Mathematisches Institut der Universität München Sommersemester 4 Daniel Rost Lukas-Fabian Moser Aufgabe. rlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag zum 9. Tutoriumsblatt a) Es bietet sich Ω = {(a,b) a,b {,...,} mit a b} an. Auf dieser Menge bietet sich die leichverteilung (Laplace-Wahrscheinlichkeit) an, denn jede Kombination von erster zweiter gezogener Zahl ist gleich wahrscheinlich. Wegen Ω = 9 = 8 ist damitp({(a,b)}) = 8 für allea b. Ebenso wäre es möglich, die Reihenfolge der gezogenen Enten zu vergessen anstatt Paaren (a, b) Mengen {a,b} zu verwenden. Das würde zu Ω := {A {,...,} A = } führen. Als Wahrscheinlichkeitsverteilung würde sich immer noch die Laplace-Verteilung anbieten; wegen Ω = ( ) = 9 = 9 wäre dann P ({{a,b}}) = 9 für alle a,b {,...,} mit a b. b) Wir bleiben beim zuerst beschriebenen Modell: Dann ist A = {(,9),(,8),(,),(4,6),(6,4),(,),(8,),(9,)} P(A) = A 8 = 8 8,. c) ein! Beispielsweise ist der Summenwert nur durch die Ergebnisse (,) (,) möglich, so daß seine Wahrscheinlichkeit,5 ist. 8 (Wer findet eine Formel für die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Summenwertesk?) Je nachdem, ob mit oder ohne Wiederholung gezogen wird, bietet sich jeweils der Ergeb- Aufgabe. nisraum bzw. Ω mit := {A,...,Z} 5 = {(a,a,a,a 4,a 5 ) i : a i {A,...,Z}} Ω ohne := {(a,a,a,a 4,a 5 ) i : a i {A,...,Z},a,...,a 5 paarweise verschieden} an. (Dabei gilt Ω ohne Ω mit.) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist jeweils als Laplace-Verteilung anzunehmen (mit einer ähnlichen Begründung, wie sie in der Fußnote zu Aufgabe gegeben wurde), so daß uns nur die Mächtigkeiten interessieren: Es ist Ω mit = 6 5 =.88.6 Ω ohne = 6 5 4 =.89.6. (Man kann Ω ohne auch als ( 6 5) 5! berechnen, natürlich mit dem gleichen Resultat.) Zur Begründung der Wahl der Laplace-Wahrscheinlichkeit kann man etwa mit einem Baumdiagramm argumentieren (das man aber aufgr seiner röße er besitzt 8 Pfade! besser nicht konkret hinschreiben sollte): Wenn man sich das Angeln zweier Enten als zweistufiges Zufallsexperiment vorstellt, hat sicherlich für die Zahl der ersten gezogenen Ente jede der Zahlen,,..., die gleiche Wahrscheinlichkeit. Für die Zahl der zweiten Ente sind nun die verbliebenen 9 Zahlen alle gleich wahrscheinlich, d.h. jede hat die Wahrscheinlichkeit 9. Insgesamt hat damit nach der. Pfadregel jeder Pfad durch den Baum die Wahrscheinlichkeit 9 = 8.
a) Das Ereignis A besteht nur aus einem einzigen Ergebnis, ist also ein Elementarereignis. Damit ist P mit (A) = P ohne (A) =.88.6,84.89.6,. b) Das Ereignis B ist, je nach Fall, durch verschiedene Mengen beschrieben, denn beispielsweise liegt das Ergebnis (A,E,A,E,A) in B mit, jedoch nicht in B ohne. Für die Mächtigkeiten ergibt sich (da es fünf verschiedene Vokale gibt) B mit = 5 5 =.5 woraus sich ergibt. B ohne = 5 4 = 5! =, P mit (B mit ) =.5.88.6,6 P ohne (A) =.89.6,5 c) Das Ereignis C ist am einfachsten über sein egenereignis C : Das Wort enthält kein A zu beschreiben. Für dieses ist das Vorgehen nämlich identisch zu demjenigen in b), nur daß wir statt der Menge{A,E,I,O,U} der Vokale nun die Menge{B,C,...,Z} der erlaubten Buchstaben betrachten. Damit ergibt sich C mit = 5 5 = 9.65.65 C ohne = 5 4 = 6.5.6, woraus sich P(C mit ) = P(C mit ) = 55 6 5,8 ergibt. P(C ohne ) = P(C ohne ) = 5 4 6 5 4 = 6 = 5 6,9
Aufgabe. Man hat nur dann eine Chance, gleich viele rote wie schwarze Kugeln zu ziehen, wenn man geradzahlig viele Kugeln zieht; es sind also nur die Fälle k {,4,6} interessant, wir wollen dann jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, beim Ziehen von k Kugeln genau k schwarze Kugeln zu erwischen. Dies leistet die Hypergeometrische Verteilung aus der Vorlesung, genauer die WahrscheinlichkeitsverteilungH(k,,4): DennH(n,,S) beschreibt das Ziehen vonnkugeln ohne Zurücklegen aus einer Urne mit Kugeln, von denen S schwarz sind, H(n,, S)({l}) ist die Wahrscheinlichkeit, genau l schwarze Kugeln zu erwischen. Unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also, in Abhängigkeit vonk, ( H(k,,4)({ k 4 ) ( }) = k (. k) k ) Dies ergibt... für k = :... für k = 4:... für k = 6: ) ( ( ) ) = 4 ) ( ( ) ) = 6 4 ) ( ( ) ) = 4 6 = = 4,5, 5 = 8 5,54, = 4,5. Die Wahrscheinlichkeiten sind also gleich ( am größten) für k = k = 6, aber der Unterschied in der Wahrscheinlichkeit zum Fallk = 4 ist nicht sonderlich groß. Aufgabe 4. a) Wir modellieren das eschehen durch ein zweistufiges Zufallsexperiment mit dem Ergebnisraum Ω = {(,),(,),(,),(,)}. Dabei steht in einem Paar wie(,) der erste Buchstabe (hier ) für die Wahl des Spielers A (er wählt eine ewinntür oder eine ietentür), der zweite Buchstabe (hier ) für die Wahl des Spielers B. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich anhand des folgenden Baumdiagramms: P({(,)}) = = P({(,)}) = = P({(,)}) = = P({(,)}) = = Hier steht die linke Spalte für die Wahl des SpielersA, die rechte Spalte für die des SpielersB. Der oberste Pfad ist unmöglich (wenn A bereits die ewinntür erwischt hat, kann B nur noch eine iete auswählen!)
Verfolgt SpielerAdie Strategie Bleibe bei der ursprünglichen Wahl, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß er eine ewinntür erwischt hat, natürlich ; formal ergibt sich das anhand der Rechnung P( A hat zu Beginn die ewinntür gewählt ) = P({(,?)}) = P({(,),(,)}) = P({(,)})+P({(,)}) = + =. Verfolgt Spieler A dagegen die Strategie Wechsle zur verbleibenden Tür, so erwischt er damit genau dann die ewinntür, wenn die ursprünglichen Wahlen von A B das Muster (,) ergaben (denn nur dann ist die dritte Tür). Das bedeutet P( A hat nach Wechseln die ewinntür erwischt ) = P({(,)}) =. Auch bei dieser Strategie beträgt die ewinnwahrscheinlichkeit füraalso. b) Hier ändert sich die Situation insofern, als der Moderator, der die Rolle von SpielerB übernimmt, niemals die ewinntür öffnet! Damit ergibt sich das folgende modifizierte Baumdiagramm: P({(,)}) = = P({(,)}) = = P({(,)}) = = P({(,)}) = = Im Fall der Strategie Bleiben ergibt sich wie vorher P( A hat zu Beginn die ewinntür gewählt ) = P({(,?)}) = P({(,),(,)}) = P({(,)})+P({(,)}) = + =, im Fall der Strategie Wechseln jedoch P( A hat nach Wechseln die ewinntür erwischt ) = P({(,)}) = (denn Wechseln führt nun immer dann zum Sieg, wenn Kandidat A zu Beginn eine ietentür gewählt hat). c) Während Kandidat B blind raten muß, hat der Moderator die Information, hinter welcher Tür der ewinn liegt, sie beeinflußt auch seine Wahl (nämlich in dem Fall, in dem A zuerst eine iete gewählt hat). Diese zusätzliche Information kann A sich zunutze machen, indem er auf die Entscheidung des Moderators reagiert die Tür wechselt. (Anders formuliert: Dadurch, daß der Moderator eine bestimmte Tür nicht öffnet, verrät er zumindest mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit! etwas über diese Tür. och deutlicher wird das in einer bekannten Variante dieses Spiels,
bei dem es nicht drei, sondern eine Million Türen gibt, hinter einer einzigen verbirgt sich ein ewinn. achdem nun A sich für eine der Türen entschieden hat, öffnet der Moderator 999.998 weitere ieten-türen läßt eine einzige verschlossen. Hier ist leicht nachzuvollziehen, daß sich hinter der einen ausgelassenen Tür eher der ewinn verbirgt als hinter der ursprünglich von A gewählten.)