Kapitel 1 Übungen Übung 1. Bestimmen Sie die Mengen: [ 1.,1 1 ] n 2. 3. 4. 5. n N n N [, 1 n r Q (,1 n N n N [,r [ 1 n+1, 1 n [ 1 n,1+ 1 n Übung 2. Sei X eine Menge und (A i i I eine abzählbare Partition (A i A j = für i j und i I A i = X von X. Zeigen Sie: 1. dievon(a i i I erzeugteσ-algebraabestehtgenauausdenmengenderform i J A i mit J I. Die Mengen A i heißen dann die Atome der σ-algebra A. 2. A ist überabzählbar, wenn I unendlich ist. Übung 3. Es sei X eine nichtleere Menge und P(X ihre Potenzmenge. A P(X sei eine Algebra (d.h. A; A A A c A; A,B A A B A. Man sagt, dass M P(X eine monotone Klasse ist, wenn M bezüglich abzählbarer monotoner Durchschnitte und Vereinigungen abgeschlossen ist. Ab jetzt ist M die kleinste monotone Klasse, sodass A M. 1. Zeigen Sie, dass M wohl definiert ist. 1
2 KAPITEL 1. ÜBUNGEN 2. Man setzt M 1 = {A ; A M und A c M}. Zeigen Sie, dass M 1 eine monotone Klasse ist, die eine Übermenge von M ist. Leiten Sie daraus ab, dass M bezüglich Komplemente abgeschlossen ist. 3. Es sei A σ(a. Man setzt M A = {B M ; A B M}. Zeigen Sie, dass M A = M, zunächst einmal, falls A A, dann im Allgemeinen, für A M. 4. Zeigen Sie, dass M = σ(a. 5. Leiten Sie daraus ab, dass zwei Wahrscheinlichkeitsmaße, die auf einer Algebra A übereinstimmen, auf σ(a auch übereinstimmen. Übung 4. Zeigen Sie, dass es keine abzählbare σ-algebra gibt. Hinweis: Führen Sie den Beweis indirekt, indem Sie annehmen, es gäbe eine abzählbare σ-algebra A = {A n ; n N}. Betrachten Sie die Menge { A = n N und zeigen Sie, dass A eine Partition von X ist. F n ; n N F n = A n F n = X \A n } Übung 5. Sei X überabzählbar und A die Familie der abzählbaren Teilmengen von X. Ferner sei M = {E X E A X \E A} und die Abbildung µ : M R durch gegeben. Zeigen Sie: 1. M ist eine σ-algebra µ(e = 2. µ erfüllt die Maßeigenschaften. { wenn E A 1 sonst Bemerkung: Intervalle oder die positiven Zahlen gehören nicht zu diesem Mengensystem für X = R. Übung 6. Es sei ein Maßraum (X,A,µ. Es sei eine Folge von meßbaren Mengen (E n n, sodass die Reihe µ(e n konvergiert. Zeigen Sie, dass die Menge H = {x X; n 1 < n 2 < < n k, 1 j k : x E nj } meßbar ist, und, dass µ(h 1 µ(e n. k n 1
Übung 7. Zeigen Sie, mit Hilfe eines Gegenbeispieles, dass f(a\b f(a \ f(b im Allgemeinen. Übung 8. Beschreiben Sie (A B (C D mit den Symbolen, and c. Beschreiben Sie die selbe Menge mit Worten. Übung 9. Ein Maß µ ist stetig, wenn µ({x} = für alle Punkte x. Zeigen Sie, dass ein endliches Maß als die Summe eines stetigen Maßes und eines Maßes der Form i I a iδ xi dargestellt werden kann, wobei δ xi das Dirac-Maß an der Stelle x i ist, a i positive Zahlen sind, und I eine höchstens abzählbare Menge ist. Inwiefern ist dies Darstellung eindeutig? Übung 1. Zeigen Sie, dass für jedes ε >, es eine dichte Menge E in R gibt, sodass λ(e ε, wobei λ das Lebesgue Maß ist. Übung 11. Ein Durchschnitt von σ-algebren ist eine σ-algebra. Die Spur einer σ-algebra ist eine σ-algebra. Übung 12. Zeigen Sie, dass B(R = σ({[a,b[, a < b <,} = σ({(u,v, < u < v <,u,v Q} Übung 13 (Inklusions-Exklusions-Prinzip. Sei (X,A,µ ein Maßraum. Sei µ(a i <, wobei A 1,...,A n A. Zeigen Sie, dass: ( n ( n µ A i = ( 1 l+1 µ A i (1.1 i=1 l=1 I {1,...,n} I =l Also: µ( n i=1 A i = ( µ(a 1 +µ(a 2 +...+µ(a n ( µ(a 1 A 2 µ(a 1 A 3... +...... Übung 14. Für A, B Teilmengen von X, beschreiben Sie die von {A, B} erzeugte σ- Algebra. Übung 15. Zeigen Sie, dass D genau dann ein Dynkin-System auf X ist, wenn 1. X D; 2. Für alle A,B D, A B B \A D; 3. Für jede Folge paarweise disjunkter Mengen (A n n N gilt i I A n D. Übung 16. Man betrachte die natürlichen Zahlen und die Mengenfunktion 1 µ(a = lim N N #(A [1,N] für Mengen A N, für die der Grenzwert existiert. Zeigen Sie, dass diese Mengenfunktion additiv aber nicht σ-additiv ist. Bestimmen Sie eine Menge A N, sodass µ(a nicht existiert. n=1 3
4 KAPITEL 1. ÜBUNGEN Übung 17. Sei I n = [a n,b n ] eine Folge von Intervallen. Bestimmen Sie, wenn möglich, liminfi n und limsupi n. Übung 18. Sei (X,A,µ ein endlicher Maßraum. Für A,B A definieren wir d(a,b = µ(a B (symmetrische Differenz. 1. Zeigen Sie, dass d symmetrisch ist und die Dreiecks-Ungleichung erfüllt. 2. Sei A B definiert durch d(a,b =. Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation ist, und, dass d auf dem Raum der Äquivalenzklassen A/ eine Metrik induziert. 3. Sei A = liminfa n und n=1 d(a n,a n+1 <. Zeigen Sie, dass lim n d(a,a n =. 4. Beweisen Sie, dass A/ mit der Metrik d vollständig ist. Übung 19. Sei (X,A,µ ein Maßraum und µ ein σ-endliches Maß. Zeigen Sie, dass die Menge U = {x X; µ({x} > } höchstens abzählbar ist. Übung 2. Sei k eine positive ganze Zahl und {n i } eine endliche Folge positiver ganzer Zahlen, die alle kleiner als k sind. Zeigen Sie, dass die Menge der Zahlen in [,1], in deren Zifferndarstellung zur Basis k die Folge {n i } nicht auftritt, eine Nullmenge bezüglich des Lebesgue-Masses ist. Übung 21. Es sei (X,A,P ein Wahrscheinlichkeitsraum, und A n A, sodass P(A n = 1 für alle n. Zeigen Sie, dass das Ereignis A n auch Wahrscheinlichkeit 1 hat. Übung 22. Es seien (X,A 1 und (Y,A 2 Meßräume und X = n=1 A n mit A n A 1. Weiters seien Abbildungen f n : A n Y gegeben. Die Abbildung f : X Y sei durch f(x := f n (x, falls x A n definiert. Zeigen Sie, dass die Abbildung f genau dann A 1 -A 2 - meßbar ist, wenn für jedes n N die Abbildung f n : (A n,a 1 An (Y,A 2 meßbar ist. Übung 23. Seien (X,A 1,µ, (Y,A 2,ν Maßräume mit den Vervollständigungen (X,A 1,µ und (Y,A 2,ν. Weiters sei f : (X,A 1 (Y,A 2 meßbar und es gelte für jede ν-nullmenge C A 2 µ(f 1 (C =. Zeigen Sie: Die Abbildung f : (X,A 1 (Y,A 2 ist meßbar. Ist insbesondere ν = f(µ so ist f : (X,A 1 (Y,A 2 meßbar und ν = f(µ. Übung 24. Sei (X,A ein Meßraum und f : X R. Zeigen Sie: 1. Wenn f meßbar ist, dann ist auch f meßbar. 2. Ist die Umkehrung richtig? Übung 25. Sei X,Y Mengen, und A eine σ-algebra auf X. Sei f : X Y. Dann gilt: Sei M die Familie aller Mengen E Y mit f 1 (E A, dann ist M eine σ-algebra. Übung 26. Sei ξ n : R {,...,9} gegeben durch die n-te Ziffer nach dem Komma von x in Dezimaldarstellung (im Falle von Mehrdeutigkeit wählen wir die Ziffernentwicklung, die auf... endet. Zeigen Sie, dass ξ n für alle n N Borel-meßbar ist. Übung 27. Zeigen Sie, dass jede monotone Funktion f : R R Borel-meßbar ist.
5 Übung 28. Zeigen Sie, dass df dx Borel-meßbar ist, falls f : R R differenzierbar ist. Übung 29. 1. Drücken Sie die folgenden Indikatorfunktionen mit 1 A und 1 B aus: 1 A B, 1 A B, 1 A B, 1 A B. Was ist die kanonische Darstellung von 1 A +1 B? 2. Im Approximationssatz ist eine Folge u n = n2 n 1 1 k= k 2 n 11 k ( +1 k+1 2n 1 f< 2 n 1 (f n eingeführt worden. Finden Sie die kanonische Darstellung der Funktion u n u n 1. Übung 3. Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum und eine Folge Zuffalsvariablen (f n n darauf, sodass (f n n punktweise fast sicher konvergiert, aber, sodass ( lim f n dµ = (limf n dµ. Übung 31. Seien X, Y, nicht-leere Mengen, E P(X und G P(Y. Nehme man an, dass es Folgen (E n n in E und (G n n in G gibt, sodass X = E n und Y = G n. Zeigen Sie, dass σ(e σ(g = σ(e G. Hinweis: Für A σ(e und B σ(g stellt man S A = { D σ(g; A D σ(e G } und S B = { C σ(e; C B σ(e G }. Übung 32. Sei (X, A, µ ein Maßraum. Definieren Sie das Integral einer beliebigen meßbaren Funktion f: X R n. Hinweis: verwenden Sie eine Basis des Vektorraumes R n, und zeigen Sie, dass die Definition eigentlich unabhängig der Basis ist. Übung 33. Wenn ϕ konvex ist und s < t < u, zeigen Sie, dass ϕ(t ϕ(s t s Zeigen Sie, dass eine konvexe Funktion stetig ist. ϕ(u ϕ(t. u t Übung 34. Zeigen Sie den folgenden Satz: Sei f : X Y eine meßbare Abbildung, (X,A,µ ein Maßraum und (Y,B ein Meßraum. Dann bildet ν : B R +, ν(b := µ(f 1 (B mit B B ein Maß auf B. Das so definierte Maß heißt das Bildmaß von µ unter der Transformation f. Man schreibt: ν = f(µ, oder ν = µ f. Außerdem ist die Bildmaßbildung transitiv: (f g(µ = f(g(µ (oder (µ f g = µ g f. Übung 35. SeienAund B zwei Teilmengen der Menge X undadievon AundB erzeugte σ-algebra. Weiters sei µ ein Maß auf (X,A mit µ(a = 8 25, µ(b = 1 4, µ(a B = 2 25.
6 KAPITEL 1. ÜBUNGEN Die Funktion f : X R ist gegeben durch 2 für x A\B f(x = 1 für x B sonst. Zeigen Sie, daß f meßbar ist, und bestimmen Sie X f dµ. Übung 36. Sei (X,A,µ ein Maßraum und f : X C eine meßbare Funktion. Beweisen Sie: 1. f ist genau dann µ-integrierbar, wenn 2 n µ ({ x X 2 n < f(x 2 n+1} konvergiert. n Z 2. Wenn µ(x < gilt, dann ist f genau dann integrierbar, wenn µ({x X f(x > n} konvergiert. Übung 37. Sei 1. Zeigen Sie für t 2 1, daß n N I(t = I(t = 4t n= e t2 x sinh2tx sinhx dx. 1 (2n+1+t 2 2 4t 2. 2. Zeigen Sie weiters, daß lim t 1 {I(t 4t (t 2 1 2 } = 3 4. Übung 38. Zeigen Sie das Lemma??: Seien a ij und i,j N. Dann gilt a ij = i=1 j=1 j=1 i=1 a ij Übung 39. Die Funktion f sei auf (,1 definiert als { für x rational f(x = [1/x] 1 für x irrational, wobei [x] das größte Ganze von x bezeichnet. Zeigen Sie, daß f dx =.
Übung 4. Zeigen Sie durch ein Beispiel, daß im Lemma von Fatou im allgemeinen strikte Ungleichung gilt. Übung 41. Sei (X,A,µ ein Maßraum, f: X [, ] meßbar und f(xdµ(x = c wobei < c <. Beweisen Sie: X ( lim nlog 1+ n X Übung 42. Berechnen Sie lim n n (1 x n n e x 2 dx. ( α f(x für < α < 1 dµ(x = c für α = 1 n für 1 < α <. Übung 43. Berechnen Sie lim n n (1+ x n n e 2x dx. Übung 44. Berechnen Sie die Integrale in den Beispielen 42 und 43 ohne Verwendung der Maßtheorie! Übung 45. Die Funktionen f n und g n seien durch n {(1 x2 für x n n f n (x = sonst ( n+ 1 1 g n (x = x2 2 für x n n sonst gegeben. 1. Zeigen Sie 2. Leiten Sie daraus f n (xdx g n (xdx = n π n+1 4 e x2 dx = π her. Übung 46. Seif n : [,1[ Rgegebendurchf n (x = n2 x.beweisensie < f 1+n 3 x 2 n (x < x 1 3 für x > und berechnen Sie lim n f n (xdx a unter Verwendung des Satzes von der dominierten Konvergenz, b direkt. Übung 47. 1. Bestimmen Sie den Limes wenn n von nxsinx 1+n α x αdx, für α, je nach α. Hinweis: nxsinx 1+n α x α falls α 1. 2. Selbe Frage für n 2 (1 xn sin(πxdx. 7
8 KAPITEL 1. ÜBUNGEN Übung 48. Es sei eine Folge von meßbaren Funktionen u j : X R +, sodass u j u L 1 (X für alle j. 1. Vergleichen Sie limsup u j dµ und limsupu j dµ. Ist die Voraussetzung mit u notwendig? 2. Man setzt weiter voraus, dass u 1 u 2 u 3, und, dass die Folge (u j j gegen f. ü. konvergiert. Zeigen Sie, dass die Funktion i 1 ( 1j u j f.ü. definiert ist, integrierbar, und, dass i 1( 1 j u j dµ = ( 1 i u i dµ. i 1 Übung 49. Sei (X,A,µ ein endlicher Maßraum und f n : X C eine beschränkte, gegen f gleichmäßig konvergente Folge meßbarer Funktionen. Zeigen Sie f n dµ = f dµ. lim n X Bemerkung: In einem endlichen Maßraum gilt stets, daß eine beschränkte, meßbare Funktion integrierbar ist, denn f 1 = f dµ µ(xsup f <. X Übung 5. Zeigen Sie, daß 1. lim n a 2. lim n n 2 xe n2 x 2 1+x 2 dx = für a >, aber nicht für a =. n p x r logx 1+n 2 x 2 für r > und < p < min(2,1+r. Übung 51. Sei (X,A,µ ein Maßraum mit < µ(x <. Sei f L C (X,µ eine Funktion mit f > und sei α n := X f(x n dµ(x. Zeigen Sie die folgende Behauptung: X α n+1 lim = f. n α n Übung 52. Seien f und g beliebige meßbare Funktionen. 1. Zeigen Sie, daß esssup(f +g esssupf +esssupg gilt. Geben Sie auch ein Beipiel für die strikte Ungleichung an. 2. Sei f = g f.ü. und f eine stetige Funktion. Zeigen Sie, daß esssupf = esssupg = supf. Übung 53. Gegebensei einendlicher Maßraum(X,A,µundeineFunktionf L 1 C (X,µ. Ferner sei S C abgeschlossen. Zeigen Sie folgende Aussage über den Integralmittelwert falls A E (f := 1 µ(e dann gilt f(x S für fast alle x. E f dµ S für alle E mit µ(e >,
Übung 54. Sei (X,A,µ ein Maßraum und f : X C eine meßbare Funktion. Weiters bezeichne B(z,r = {u C z u < r}. Das essentielle Bild von f wird durch definiert. Zeigen Sie: essim(f = { z C ε > : µ(f 1 (B(z,ε > } 1. Seien f und g zwei verschiedene Repräsentanten eines Elements von L (X,A,µ. Dann gilt essim(f = essim(g. 2. essim(f B(, f 3. ess Im(f ist kompakt. 4. µ(f 1 (C\essIm(f = Übung 55. Sei 1 r s <. Finden Sie ein Beispiel eines Wahrscheinlichkeitsraumes (X,A,µ, sodass L r (X,µ = L s (X,µ, bzw. L r (X,µ L s (X,µ. Übung 56. Sei f : [,1] [, stetig, λ das Lebesgue Maß, und es gelte O f dλ > für alle offenen Teilmenge O [,1]. Beweisen oder widerlegen Sie: λ({x [,1] : f(x = } =. Übung 57. Die Funktionen F : R R und G : R R seien durch gegeben. Zeigen Sie: cos(xt 1 cos(xt F(x = dλ(t und G(x = R + 1+t2 R + t 2 (1+t 2 dλ(t 1. F und G sind stetig auf R. Berechnen Sie F( und G(. 2. F( F(x+G(x = C x mit C = sin 2 t t 2 3. G ist zweimal stetig differenzierbar auf R und es gilt G = F 4. Bestimmen Sie C (lösen Sie eine lineare Differentialgleichung auf R +. Übung 58. Zeigen Sie, dass die Funktion f: (,1 R, sodass f(x = für x R\Q und f(p/q = 1/q für einen irreduziblen Bruch p/q Riemann-integrierbar ist. Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass die Verknüpfung von zwei Riemann-integrierbaren Funktionen nicht Riemann-integrierbar sein muß, und dass ein punktweiser Limes Riemann-integrierbarer Funktionen nicht Riemann-integrierbar bleiben muß. Übung 59. Sei 1 p und f L p ([, ],λ. Sei für x > die Funktion F(x = 1 f dλ. x [,x] 1. Zeigen Sie, dass F wohl definiert ist. dt 9
1 KAPITEL 1. ÜBUNGEN 2. Man nimmt an, dass 1 < p <, und, dass f C c (],+ [,R. Zeigen Sie, dass R + F p dλ = p R + xf p 1 (xf (xdλ(x. Benötigen Sie die Hölder Ungleichung, um die Hardy Ungleichung zu erhalten: F p p p 1 f p. 3. Wenn f n L p n f, zeigen Sie, dass (F n n gegen F punktweise konvergiert. Leiten Sie daraus die Hardy Ungleichung für f L p ([, ],λ ab. 4. Zeigen Sie, dass die Konstante der Hardy Ungleichung optimal ist. Hinweis: betrachten Sie f a (x = x 1/p 1 [1,a] (x. 5. Was ergibt sich im Fall p =? Zeigen Sie, dass, wenn p = 1 und f >, F nicht integrierbar ist. Übung 6. Es sei p 1, und Funktionen u,u k in L p, sodass u u k p konvergiert. Zeigen Sie, dass (u k k fast überall gegen u konvergiert. Übung 61. Sei (N,P(N,µ ein Maßraum mit µ({n} = 2 n. Vergleichen Sie die verschiedenen Konvergenzbegriffe. Übung 62. Sei (N,P(N,ζ ein Maßraum mit dem Zählmaß ζ. Vergleichen Sie wiederum die verschiedenen Konvergenzbegriffe. Übung 63. Sei (X,A,µ ein endlicher Maßraum. Beweisen Sie, daß durch f g d(f,g = 1+ f g dµ X eine vollständige Metrik auf dem Raum der reellen meßbaren Funktionen (modulo Gleichheit µ-fast überall gegeben ist. Zeigen Sie weiters, daß d(f n,f genau dann gilt, wenn f n f im Maß µ. Übung 64. Stellen Sie in den folgenden Beispielen fest, in welchem Sinne die Funktionenfolgen (f n n N auf [,1] konvergieren: 1. f n (x = (cosx n 2. f n (x = (cosnx n 3. f n (x = cosnx 4. f n (x = nx 1+(nx 2 Übung 65. Geben Sie die Lebesgue-Zerlegung von µ bezüglich ν und die Radon-Nikodým- Dichte des stetigen Anteils an! 1. µ = δ +2δ 1 +3δ 3 und ν = δ +δ 2 +δ 3 +1 [2,5] λ.
2. Sei, x x+1, < x 1 f(x = 3x 2, 1 < x 2 13, x > 2 Nun wird durch µ([,x = f(x ein Maß definiert, und ν ist das Lebesgue-Maß auf R. 3. Sei und, x 2x+1, < x 1 f(x = 3x 2 +1, 1 < x 2 2x 3, 2 < x 3 6, x > 3, x 3x, < x 1 g(x = 3x 2 +1, 1 < x 2 5x 2, 2 < x 4 18, x > 4 Sei µ durch µ((,x] = f(x und ν durch ν((,x] = g(x gegeben. Übung 66. Für i,j N sei a i,j C, sodass i,j=1 a i,j < gilt. Zeigen Sie, daß dann gilt. i=1 a i,j = j=1 Übung 67. Sei f L(, (:= integrierbar auf (, und für α > und x > sei g α (x = x (x tα 1 f(tdt. Zeigen Sie, daß α y g α(xdx = g α+1 (y,y >. Übung 68. Sei α >, f, f L(,a und F(x = x a wenn beide Integrale endlich sind. f(xlog 1 x dx = a j=1 Übung 69. Es sei f(x,y = x2 y 2 (x 2 +y 2 2. Berechnen Sie ( f(x,ydx dy und i=1 a i,j F(x x dx+f(alog 1 a, ( f dt. Zeigen Sie, dass f(x,ydy dx. 11
12 KAPITEL 1. ÜBUNGEN Übung 7. Sei (X 1,µ 1 und(x 2,µ 2 σ-endlich. ZeigenSie, dassl 1 (X 1,µ 1 L 1 (X 2,µ 2 := span{f 1 (x 1 f 2 (x 2 f 1 L 1 (X 1,µ 1,f 2 L 1 (X 2,µ 2 } dicht in L 1 (X 1 X 2,µ 1 µ 2 liegt. Übung 71. Berechnen Sie das Volumen des Körpers { K = (x,y,z R 3 (x 2 +y 2 +z 2 2 64 }. x 2 +y 2 Übung 72. Berechnen Sie das Integral x α 1 1 xα 2 2 xαp p dλ p(x 1,...,x p B für α i ( 1, über den Bereich B = {(x 1,...,x p R p x i,x 1 +...+x p 1}. Übung 73. Sei f : [,1] C eine stetige Funktion. Berechnen Sie lim n f(x 1 x 2 x n dx 1 dx n. Übung 74. Sei f : [,1] C eine stetige Funktion. Berechnen Sie lim n - mit dem Satz von Stone-Weierstraß - mit dem Gesetz der großen Zahlen. f( n x 1 x 2 x n dx 1 dx n Übung 75. Berechnen Sie das Volumen der p-dimensionalen Kugel mit Radius R. Übung 76. Berechnen Sie Γ( 1 2! Übung 77. Für i = 1,2 seien (X i,a i,µ i σ-endliche Maßräume und f i : X i (R + positive meßbare Funktionen. Zeigen Sie: 1. ν i = f i dµ i ist eine σ-endliche Mengenfunktion. 2. (ν 1 ν 2 (A = A f 1(xf 2 (yd(µ 1 µ 2 (x,y. Übung 78. Für n 1 sei f(x,y = 2 2n für 2 n x < 2 n+1 und 2 n y < 2 n+1. Sei f(x,y = 2 2n+1 für 2 n 1 x < 2 n, 2 n y < 2 n+1, und sei f = auf dem verbleibenden Teil von [,1] [,1], der für ein n nicht in einem dieser Rechtecke enthalten ist. Zeigen Sie, dass dy f(x,ydx =, aber dx f(x,ydy = 1. Übung 79. Seien(X 1,A 1,µ 1 und(x 2,A 2,µ 2 σ-endlichemaßräume,undseif A 1 A 2. Zeigen Sie, daß (µ 1 µ 2 (F = genau dann gilt, wenn µ 1 (F y = µ 2 -fast überall ist.
Übung 8. Berechnen Sie im Riemann schen Sinne. Hinweis: Verwenden Sie e tx dt = 1 x dx im Sinne von Lebesgue nicht inte- Übung 81. Zeigen Sie, daß die Funktion grierbar ist! sinx x dx und den Satz von Fubini (Vorsicht!. sinx x 13 Übung 82. Sei f : [1, [,1] durch f(x,y = e xy 2e 2xy gegeben. Zeigen Sie, daß ( ( f(x,ydy dx < und f(x,ydx dy >. Was folgern Sie daraus? 1 Übung 83. Sei f : [ 1,1] [ 1,1] R durch f(x,y = xy ((x,y (, gegeben. (x 2 +y 2 2 Zeigen Sie, daß 1 ( f(x,ydx 1 dy = 1 ( 1 f(x,ydy 1 gilt, aber daß die Funktion f dennoch nicht integrierbar ist. Übung 84. Seien (X 1,A 1,µ 1 und (X 2,A 2,µ 2 σ-endliche Maßräume. Für zwei Funktionen f 1 : X 1 C und f 2 : X 2 C bezeichnen wir mit f 1 f 2 : X 1 X 2 C die Funktion f 1 f 2 : (x 1,x 2 f 1 (x 1 f 2 (x 2. Zeigen Sie, daß f 1 f 2 dµ 1 µ 2 = f 1 dµ 1 f 2 dµ 2, X 1 X 2 X 1 X 2 wenn f 1 und f 2 integrierbar sind. Übung 85. Sei A eine positiv definite n n-matrix. Zeigen Sie, daß π e Ax,x dλ n n (x =. R n deta Übung 86. Sei X = {,1} N versehen mit dem durch µ({} = µ({1} = 1 definierten 2 Produktmaß. Für welche α R + ist die Funktion f : X R mit f(x 1,x 2,... = 2 n (α+x 1 (α+x 2 (α+x n integrierbar? n=1 Übung 87. Sei X = {,1} N versehen mit den durch µ s ({} = s und µ s ({1} = 1 s definierten Produktmaßen für < s < 1. Zeigen Sie, daß x 1 +...+x n lim n n = 1 s im Maß µ s gilt. Was folgt daraus für die Maße µ s für verschiedene Werte von s? dx
14 KAPITEL 1. ÜBUNGEN Übung 88. Seien µ und ν zwei verschiedene Maße auf dem Meßraum (X, A. Zeigen Sie, daß die Produktmaße µ N und ν N auf dem unendlichen Produktraum X N zueinander singulär sind. Übung 89. Sei X = {,1} N versehen mit dem durch µ({} = µ({1} = 1 definierten 2 Produktmaß. Sei T : X R mit T(x 1,x 2,... = 2 n x n. Bestimmen Sie das Bildmaß T(µ. Übung 9. Sei X = {,1} N versehen mit dem durch µ({} = µ({1} = 1 definierten 2 Produktmaß. Sei T : X R mit T(x 1,x 2,... = 2 3 n x n. Zeigen Sie, dass das Bildmaß von µ unter T das Hausdorffmaß auf der Cantormenge ist. Übung 91. Seif : [, CeineabsolutstetigeFunktion;fernerexistierederGrenzwert f( := lim x f(x. Zeigen Sie, daß dann f(bx f(ax x n=1 n=1 dx = (f( f(log b a gilt. Hinweis: Schreiben Sie den Integranden als Integral und verwenden Sie den Satz von Fubini. Übung 92. Verwenden Sie Übung 91, um das Integral zu berechnen. e x n=1 ( 1 e 2 n x dx x Übung 93. Es sei f : [a,b] [, [ Borel-meßbar und K := {(x,y,z t R 3 : x [a,b],y 2 +z 2 (f(x 2 } der durch Rotation der Ordinatenmenge von f um die x Achse entstehende Rotationskörper. Dann ist K Borel-meßbar, und es gilt: λ 3 (K = π Übung 94. Prüfen Sie, welche der Integrale ( f(x,ydx dy, b a (f(x 2 dx ( für die folgenden Funktionen existieren und übereinstimmen: f(x,ydy dx
15 1. f(x,y = (x y/(x+y 3 für x,y >. 2. f(x,y = x y ((x2 y 2 2 /(x 2 +y 2 2 für x,y >. Übung 95. Die Funktion f : [, [ R sei stetig, die uneigentlichen Riemann-Integrale f(tlogtdt, f(tdt seien (nicht notwendigerweise absolut konvergent, und es gelte : f(tdt =. Zeigen Sie, dass dann für alle a,b > gilt: a ( ( a f(xydy dx f(xydy dx = f(tlogtdt. b b Übung 96. Berechnen Sie unter Benutzung geeigneter Koordinaten das Volumen des Teils der Kugel (x a 2 +y 2 +z 2 a 2, der durch die Zylinderfläche (x a 2 +y 2 = b 2 (a 2 > b 2 herausgeschnitten wird. des Körpers, der von der Ebene z = und den Flächen z = x 2 +y 2 und (x 1 2 2 + y 2 = 1 begrenzt wird. 4 Übung 97. Beweisen Sie die Proposition??: L 1 (R n,+, ist ein kommutativer Ring. Übung 98. Sei χ t (x = 1 a t (1 x 2 1/t 1 [ 1,1] (x, wobei a t = [ 1,1] (1 x2 1/t dλ(x. 1. Zeigen Sie, dass (χ t <t 1 eine Approximation des Eins ist. 2. Sei f: R R stetig, mit Träger im Intervall [ 1/2,1/2]. Zeigen Sie, dass die Einschränkung von χ t f ein Polynom ist. Leiten sie daraus den Approximationssatz von Weierstraß ab. 3. Verallgemeinern Sie das Ergebnis auf R n. 4. Welche Funktionen sind auf R gleichmäßige Limiten von Folgen von Polynomen? Übung 99. Sei H ein Halbring. Zeigen Sie, dass für den von H erzeugten Ring { n } R(H = H i H i H für i = 1,...,n paarweise disjunkt gilt. i=1