3. Gruppentheorie für Fußgänger

Methan als Beispiel

Raumgruppen 230 Raumgruppen in 3d Symmetrie-Elemente

Weitere wichtige Definitionen Untergruppe Konjugationsklasse Abelsche Gruppen: X X X X 1 k i k i jedes Element Konjugationsklasse

Multiplikationstafel für endliche Gruppen Beispiel D 3 E J K L M N E E J K L M N J J K E N L M K K E J M N L L L M N E J K M M N L K E J N N L M J K E Konjgationsklassen:

Isomorphie von Gruppen Zuordnung G G g G gg S D C Beispiel 3 3 3v S 3 C 3v E E J C K C L M N 2 3 3 a b c

Gruppen und Matrizen A: Drehung um 90 um die z-achse B: Drehung um 180 um die z-achse Basisvektoren: xˆ, yˆ, zˆ Matrixdarstellung der Drehoperationen Gruppe: Matrizen: A A B AA B

Darstellungen von Gruppen Multiplikationsgesetz: n : Dimension der Darstellungsmatrizen ähnlichedarstellungen: X nichtsinguläre nxn Matrix die Matrizen X 1 X ähnliche Darstellung bilden eine Darstellung

Irreduzible Darstellungen Vier Matrix-Darstellungen der D 3 4 4 2 3 4 zerfällt in Block-Diagonalform reduzibel

Direkte Summe Direktes Produkt a11 a1 n b11 b1 l A, B a a b b m1 mn k1 kl a11 a1 n 0 am 1 a mn AB b11 b1 l 0 bk 1 b kl b11 b1 l b11 b1 l a11 a1 n bk 1 b kl bk 1 b kl AB b11 b1 l b11 b 1l am 1 a mn bk 1 b kl bk 1 b kl

Irreduzible Darstellungen lassen sich durch Ähnlichkeitstransformationen nicht zusammen auf die gleiche Blockform bringen Schlussfolgerung: Es existieren genauso viele irreduzible Darstellung wie Konjugationsklassen D 3 : 3 Konjugationsklassen 3 irreduzible Darstellungen,, 1 2 3

1. Orthogonalitätsrelation für irreduzible Darstellungen

Charaktere von Darstellungen Charakter : Spur der Darstellungsmatrizen Alle Elemente einer Äquivalenzklasse haben gleiche Charaktere Alle äquivalenten Darstellungen haben gleiche Charaktere quadratisches Zahlenschema. Charaktertafel Charakter der irreduziblen Darstellung zur Äquivalenzklasse C i

Charaktertafel der Gruppe D 3 Wie kommen wir zur Charaktertafel für endliche Gruppen?

Summation over equivalence classes Summation over irreducible represenations

Zerlegung beliebiger Darstellungen Wann ist eine Darstellung irreduzibel? 1 g Notation 1 1 2 2 3 12 4 15 5 25

Produkt von Darstellungen und Multiplikationstabelle der irreduziblen Darstellungen Charakter Multiplikationstabelle der D 3

1. Jeder Symmetrie-Operator 2. Alle Symmetrieoperationen bilden die Gruppe des Hamiltonoperators G H 3. Es existiert ein gemeinsamer Satz von Eigenfunktionen: Basisfunktionen

eigenfunction these set is an irreducible representation of G H * * Exception: so called accidental degeneracy

label eigenvalue E by representation

Electron states: include spin! spin s 1/ 2 2`2 matrices (spin matrices!) representation D representation with spin : direct product of D Doppelgruppe 1/2 1/2 Zusätzliches Symmetrie-Element: Drehung um 2 ändert Vorzeichen für Spin ½ Teilchen. Doppelgruppe besteht aus doppelt so viel Gruppenelementen Ê { G, EG ˆ }

Physikalische Zustände und Basis-Funktionen von Repräsentationen Gegeben: Satz von Zuständen ( i 1... N) eines physikalischen Systems. 1. wie finde ich die Darstellung zu den als Basis 2. in welche irreduziblen Darstellungen zerfällt 3. was sind die Basisfunktionen dieser Darstellungen Beispiel: ein kubisches Molekül i i Symmetriegruppe: Oh 1. Bestimme den Charakter der Darstellung Charakter = Zahl der Elemente, die in sich abgebildet werden

2. Reduziere in irreduzible Darstellungen mit der Relation: Resultat:

3. Irreduzible Basisfunktionen: Notwendig: explizite Darstellungsmatrizen T bei 1d-Darstellung = Charakter durch Symmetrieoperation auf sich selbst transformiert wird i mn, bei anderen nur Diagonalelemente, d.h. 0 wenn Basisfunktion der irreduziblen Darstellung Beispiel : Darstellung 4 i Drehung Drehung C C4x 2x Drehung C : 3 kein Beitrag

Erlaubte und verbotene Übergänge: Auswahlregeln Übergangsrate zwischen 2 Zuständen f und i : Fermis Goldene Regel

Clebsch-Gordan_Koeffizenten direktes Produkt zweier Darstellungen r zerfällt in irreduzible Darstellung q p r wie sehen deren Basisvektoren aus? Clebsch-Gordan-Koeffizienten pr, r C jk, l Beispiel: ( ) 6 4 O h

Wigner-Eckart Theorem:

Beispiel: Impulsauswahlregeln Impulsoperatoren: px, py, pz polarer Vektor dx px m px transformiert sich wie x dt suche Darstellung von { x, y, z} in der Gruppe T d

{ px, py, pz} Darstellung 5 Multiplikationstabelle 5 1 5 5 2 4 5 3 4 5 5 1 5 5 4 2 3 4 5 5 5 1 3 4 5

Erniedrigung der Symmetrie