Fokus Mathematik Baden-Württemberg Kursstufe - Lehrerfassung Probekapitel 4.1 Eponentialfunktionen und ihre Ableitungen ISBN 978-3-06-009195-9 Die Lehrerfassung: Das Komplett-Paket für die effiziente Unterrichtsvorbereitung Das Schülerbuch in der Lehrerfassung enthält die Lehrbuchseiten ergänzt um kurze didaktische Erläuterungen und Tipps ausgewählte Lösungen Links auf passende Zusatzmaterialien auf dem beiliegenden digitalen Unterrichtsplaner. Alles direkt bei den Aufgaben! Der digitale Unterrichtsplaner auf DVD-ROM vervollständigt die gedruckte Lehrerfassung auf ideale Weise. Mit einem Stoffverteilungsplaner erstellen Sie am Computer schnell Ihre tagesgenaue Jahresplanung. Dazu liefert Ihnen die Software alle Lösungen zum Schülerbuch als PDF PDF-Dateien der passenden Schülerbuchseiten Abbildungen aus dem Schülerbuch plus weitere Schaubilder, Animationen, Simulationen editierbare Arbeitsblätter mit Lösungsbögen und interaktive Tests.
4. Kapitel Wachstum und Zerfall Wie beschreibe ich Wachstumsprozesse, die sich offenbar mit der Zeit ändern? Am Anfang breitet sich die Wasserhyazinthe offensichtlich relativ schnell auf dem Wasser aus. Je weniger Wasserfläche vorhanden ist, desto geringer wird das Wachstum. Wie beschreibe ich einen solchen Prozess mathematisch?
Aufträge DE Auftrag 1 ist sehr umfassend. Auftrag 2 führt direkt zur Proportionalität von f ' und f, während der Auftrag 3 anwendungsbezogen ist. 4 Wachstum und Zerfall 4.1 Eponentialfunktionen und ihre Ableitungen Auftrag 1 Weltbevölkerung Anfang 2009 lebten etwa 6,75 Milliarden Menschen auf der Welt. Der Datenreport der Deutschen Stiftung Weltbevölkerung sagte 2008 für die Weltbevölkerung eine jährliche Steigerung um 1,2 % voraus. Die Weltbevölkerungsuhr (Bild 122/1) zeigt auch die Zunahme der Weltbevölkerung (122/2). DE Aufgabe 23 beschäftigt sich vertiefend mit Auftrag 1. Aufgabe 18 beschäftigt sich mit Bevölkerungswachstum im Hinblick auf Verdopplungszeiträume. 122/1 Weltbevölkerungsuhr 122-1 DE Die ersten beiden Teilaufträge eignen sich für Einzelarbeit, evtl. als Hausaufgabe. Im Unterrichtsgespräch kann dann der Auftrag fortgesetzt werden. Die ständig aktualisierte Anzeige wird durch eine Modellrechnung auf der Grundlage einer konstanten Steigerungs- bzw. Rückgangsrate erzeugt. Am 1. Januar 2009 leben 6.752.529.832 Menschen auf unserem Planeten. Zuwachs der Weltbevölkerung: pro Jahr: 81.938.000 Menschen pro Minute: 155 Menschen 122/2 Weltbevölkerung 2009 Geben Sie eine Funktion an, mit der sich die Weltbevölkerungszahl in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren) bei gleich bleibendem prozentualen Bevölkerungswachstum berechnen lässt. Berechnen Sie mithilfe dieser Funktion die absolute Zahl für die Bevölkerungszunahme innerhalb einer Minute und die mittlere Änderungsrate der Weltbevölkerung für immer kleiner werdende Zeitspannen. Ermitteln Sie schließlich die momentane Änderungs rate (Ableitung) der Weltbevölkerungszahl. 122
Aufträge 4.1 Eponentialfunktionen und ihre Ableitungen 8 6 4 2 4 Ermitteln Sie mithilfe eines Taschenspiegels (vgl. Fokus 6, 0 6 4 2 2 Kapitel 3.1, Aufgabe der Woche) 2 die Ableitungen dieser Funktionen an der Stelle 0. Finden Sie durch Anwendung dieses Ver123/1 fahrens auf weitere Stellen mit Näherungswerten die Terme für die Ableitungsfunktion f ' 1, f ' 2und f ' 3. Auftag 3 Strahlende Pilze Die Strahlenbelastung von Pilzen im Umkreis des Tschernobyl-Reaktors in der Ukraine ist auch viele Jahre nach dem Reaktorunfall von 1986 noch hoch. Pilze aus dieser Region, die im Jahr 2007 untersucht wurden, hatten eine Cäsium-137-Aktivität von 100 000 Bq pro Kilogramm, obwohl die Halbwertszeit von Cäsium-137 nur ca. 30 Jahre beträgt. Bestimmen Sie eine Funktion, mit der sich die Aktivität in Ab hän gigkeit von der Zeit (in Ja hren) berechnen lässt. Wie groß ist die jährliche prozentuale Abnahme der Aktivität? Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Aktivität. DE Das grafische y Auftrag 2 Taschenspiegel Finden Sie zum Graphen G 1von Bild 123/1 die Funktionsgleichung und zeichnen Sie die entsprechenden Graphen zu den Funktionen f 1: 2 f 1' () 0,7 2 f 2: 1,5, f 2' () 0,4 1,5 f ' () 1,1 3 3 f 3: 3 und f : 0,5. f 4' () 0,7 0,5 4 6 8 Differenzieren mithilfe eines Spiegels sollte ggf. vorab gemeinsam wiederholt werden. Bei Bearbeitung in Partnerarbeit reduziert sich die Zahl der benötigten Taschenspiegel. Eine Erläuterung der Technik finden Sie unter 123-0 DE Ergänzung: Aufgaben 3 und 4. Info 123/2 Tschernobyl-Reaktor nach dem GAU von 1986 123-1 Die Halbwertszeit einer radioaktiven Substanz ist die Zeit, in der die Aktivität, also die Anzahl der radioaktiven Zerfälle pro Sekunde, auf die Hälfte des Ausgangswertes sinkt. Auftrag 1 wird Aktivität pro Kilogramm Pilze: A (t) = A 0 ( _ 12 ) T = 100 000 Bq ( _ 12 ) 30 Jahre t t H Die jährliche Änderungsrate der Aktivität im Jahr t ist A (t + 1) A (t) = 0,023 A (t). Sie ist direkt proportional zum Wert der Aktivität im Jahr t, kurz: A' (t) = 0,023 A (t). bei der Erarbeitung verwendet. 123
Erarbeitung 124-0 Arbeitsblatt Wachstumsformen anhand der Wertetabelle erkennen Zur Erinnerung Eine Funktion f mit einer Funktionsgleichung der Form f () = k a mit D = R heißt Eponen tialfunk tion. 124-1 4 Wachstum und Zerfall Beschreibung durch eine Eponentialfunktion Ein jährliches Bevölkerungswachstum von 1,2 % bedeutet, dass die Bevölkerungszahl von Jahr zu Jahr mit dem Faktor 1,012 multipliziert werden muss. Die Bevölkerungszahl B (t) lässt sich zu jedem Zeitpunkt durch die Gleichung B (t) = 6,75 Mrd. 1,012 t zuordnen. Dies ist die Gleichung einer Eponentialfunktion. Bild 124/1 zeigt den zugehörigen Graphen. 124/1 Die Zunahme der Bevölkerungszahl im Jahr t nach 2009 beträgt: B (t + 1) B (t) = 6,75 Mrd. 1,012 t + 1 6,75 Mrd. 1,012 t = 6,75 Mrd. 1,012 t (1,012 1) = 0,012 B (t) Die jährliche Zunahme ist also direkt proportional zur Bevölkerungszahl B (t). Wenn zu Beginn des Jahres 2009 die Bevölkerungszahl B (0) = 6,75 Mrd. betrug, dann kann man die Zahl nach t Stunden mit B (t) = 6,75 Mrd. 1,012 t/(365 24) bzw. nach t Sekunden mit B (t) = 6,75 Mrd. 1,012 t/(365 24 60 60) berechnen. 25 20 15 10 5 B(t) 0 20 40 60 80 100 120 t Zeitspanne h h in der Einheit Jahre B (0 + h) B (0) 1 Jahr 1 6,75 Mrd. (1,012 1) = 81 000 000 1 Tag 1/365 6,75 Mrd. (1,012 1/365 1) 220 600 1 Stunde 1/(365 24) 6,75 Mrd. (1,012 1/(365 24 ) 1) 9200 1 Minute 1/(365 24 60) 6,75 Mrd. (1,012 1/(365 24 60) 1) 153 1 Sekunde 1/(365 24 3600) 6,75 Mrd. (1,012 1/(365 24 3600) 1) 2,55 Insgesamt zeigt sich eine direkte Proportionalität zwischen der Bevölkerungszunahme und der Bevölkerungszahl. Ableitung der Eponentialfunktion DE Wechsel von der anwendungsbezogenen Funktion B zur abstrakten Eponentialfunktion f. Die mittlere Änderungsrate der Weltbevölkerung (pro Zeiteinheit h) erhält man mit dem Quot ienten B (t + h) B (t) = 6,75 Mrd 1,012 (t + h) 6,75 Mrd. 1,012 t = 6,75 Mrd. 1,012 t (1,012 h 1) h h h = B (t) (1,012 h 1). Wenn die Zeitspanne h immer kleiner gewählt wird, entspricht dies dem h Grenzwert für h 0. Man erhält so die Ableitung der Funktion B. Nach den Betrachtungen oben folgt, dass auch die Ableitung der Funktion B zum Zeitpunkt t direkt proportional zu B (t) ist. Dies gilt für jede Eponentialfunktion f mit f () = a : f '() = lim a + h a = a lim a h 1 = a c = c f (). Dabei wird vorausgesetzt, dass der Grenzwert lim a h 1 = c eistiert. Satz 4.1 Bei der Eponentialfunktion f mit f () = a, a R + \{1}, D f = R, ist die Ableitung f ' () an der Stelle direkt proportional zum Funktionswert f (), kurz: f ' () = c f (). 124
4.1 Eponentialfunktionen und ihre Ableitungen Erarbeitung Die Ableitung der Eponentialfunktion kann direkt angegeben werden, wenn die Konstante c bekannt ist. Sie erhält man, wenn man die Stelle = 0 betrachtet. Es gilt f (0) = a 0 = 1. Also f '(0) = c f (0) = c. Die Proportionalitätskonstante c ist also der Wert der Ableitung an der Stelle 0. Daraus ergibt sich folgender Satz: Satz 4.2 Die Ableitung der Eponentialfunktion f mit f () = a, a R + \{1}, D f = R, ist die Funktion f ' mit f ' () = f ' (0) f (). Im Beispiel des Bevölkerungswachstums ist a = 1,012. Damit lässt sich die Konstante c = B' (0) = lim a h 1 näherungsweise mit einem Taschenrechner ermitteln. Es ergibt sich: h 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 1,012 h 1 0,012 0,011935 0,011929 0,0119286 0,0119286 0,01192857 0,01192857 h Also ist B '(0) 0,01192857. Die momentane Änderung bzw. die Ableitung der Funktion B lässt sich nun für jeden Zeitpunkt mit B '(t) 0,01192857 B(t) näherungsweise berechnen. Um für jede Eponentialfunktion mit Basis a (a > 0) die Ableitung (näherungsweise) angeben zu können muss jeweils f '(0) = lim a h 1 näherungsweise bestimmt werden. h a 0,5000 1,5 2 2,5 3 1 0,5000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 0,1 0,6697 0,4138 0,7177 0,9596 1,1612 0,01 0,6908 0,4063 0,6956 0,9205 1,1047 0,001 0,6929 0,4055 0,6934 0,9167 1,0992 0,0001 0,6931 0,4055 0,6932 0,9163 1,0987 So erhält mal z. B. für f () = 2 näherungsweise die Ableitungsfunktion f ' () 0,6932 2. Die Tabelle lässt die Vermutung aufkommen, dass es eine Basis a zwischen 2,5 und 3 gibt, für die gilt: f '(0)= lim a h 1 = 1. Für diese Basis gilt dann: f '() = 1 f () = f (), d. h. die Funktion und ihre Ableitung wären gleich. Definition 4.1 Die Basis a, für die gilt lim a h 1 =1, heißt Euler sche Zahl e. Die Zahl e kann näherungsweise bestimmt werden, da lim a h 1 = 1 gilt. Für hinreichend kleine Werte von h ist e h 1 1, also e h h + 1 bzw. e (1 + h) 1_ h, h 1_ h eakt: e = lim (1 + h) bzw. mit n = 1_ wird e = lim ( 1 + 1_ h 0 h n n ) n. Mit dem Taschenrechner lassen sich Näherungswerte berechnen: Zur Erinnerung Leonard Euler (1707 1783 war ein bedeutender Mathematiker. Er hat u. a. f () als Schreibweise für Funktionen und das Symbol π für die berühmte Kreiszahl in der Mathematik eingeführt. n 10 20 100 1000 10000 100000 1000000 1000000 000 ( 1 + 1_ n ) n 2,59 2,65 2,70 2,72 2,718 2,7183 2,71828 2,71828183 Näherungswert mit 10 Stellen (Taschenrechnergenauigkeit): e 2,718281828. Die Euler sche Zahl e ist eine irrationale Zahl, die Dezimaldarstellung ist nicht periodisch. 125
Erarbeitung 4 Wachstum und Zerfall Eigenschaften der Eponentialfunktion Mit der Euler schen Zahl e wird definiert: Definition 4.2 Die Funktion f: e mit der Euler schen Zahl e als Basis und D = R heißt natürliche Eponentialfunktion. Für sie gilt: Satz 4.3 Bei der natürlichen Eponentialfunktion stimmt für alle jeweils der Wert f '() der Ableitungsfunktion mit dem Funktionswert f () überein, kurz: f () = e f ' () = f () = e. Demgemäß ist auch F: F () = e eine Stammfunktion der natürlichen Eponentialfunktion. Bild 126/1 zeigt den Graphen der na türlichen Eponentialfunktion. Die Ableitung der natürlichen Eponentialfunktion hat an der Stelle 0 den Wert 1, d. h., die Tangente an diese Eponentialkurve im Schnittpunkt mit der y-achse verläuft parallel zur Winkelhalbierenden im I. Quadranten. Auch an jeder anderen Stelle des Graphen ist seine Steigung identisch mit dem Funktions wert. y 5 4 3 2 1 3 2 1 0 1 2 3 1 126/1 Graph der natürlichen Eponentialfunktion Mithilfe des Logarithmus zur Basis e kann jede Eponentialfunktion auf eine natürliche Eponentialfunktion zurückgeführt werden: Zur Erinnerung log a ( b ) = a = b log a ( b ) ist also diejenige Zahl, mit der a potenziert werden muss, um b zu erhalten. Es gilt: a log a ( b ) = b log a ( u n ) = n log a u Definition 4.3 Der Logarithmus zur Euler schen Zahl e als Basis heißt natürlicher Logarithmus. Schreibweise: ln ( b ) = log e ( b ) Dabei ist ln eine Abkürzung für logarithmus naturalis. Basiswechsel: a = e r ln (a) = ln (e r ). Daraus folgt mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen: r ln (e) = ln (a). Wegen ln (e) = 1 ist r = ln (a) und damit a = e ln (a) sowie a = ( e ln (a) ) = e ln ( a ). Es ist: f () = a = e ln ( a ) Mithilfe der Kettenregel erhält man f ' () = ln (a) e ln ( a ) = ln (a) a = ln (a) f (). 126-0 Arbeitsblatt zum Basiswechsel 126 Satz 4.4 Für jede Eponentialfunktion f mit f () = a, a R + \{1}, D f = R gilt f ' () = ln (a) f () = ln (a) a.
4.1 Eponentialfunktionen und ihre Ableitungen Aufgaben Aufgaben Trainieren Anwenden Vernetzen 1 Bestimmen Sie zur Funktion f die Ableitungsfunktion f '. a) f () = 2 ln (2) 2 c) f () = 0,7 ln (0,7) 0,7 e) f () = 1 0 b) f (u) = 4,5 u ln (4,5) 4,5 u d) f () = 0,2 ln (0,2) 0,2 f) f () = 3 + 3 ln (3) 3 2 Mithilfe von e ln () = und mit den Potenzgesetzen lässt sich eine beliebige Potenz a mit der Basis e schreiben (Basiswechsel siehe S. 126). Schreiben Sie die Funktionsterme mit der Basis e. a) f () = 2 e ln (2) c) f () = 0,2 e ln (0,2) e) f () = 2 e ln (2) b) f () = 10 e ln (10) d) f () = 5 2 5 e ln (2) f) f () = 0,1 2 0,1 e ln (2) 3 Geben Sie zur Funktion f die Ableitungsfunktion und je eine Stammfunktion an. a) f () = e c) f (v) = e 2 e) f () = 3 e b) f () = c e d) f () = e 3 + 4 f) f () = 3 e + 4 DE Zur Probe die Stammfunktionen ableiten zu lassen. 4 Bestimmen Sie zur Funktion f die Ableitungsfunktion f '. a) f () = 12 2 + 4 c) f () = 5 e + 3 e) f () = e 2 + 3 b) f () = e d) f () = e ( + 1) f) f () = 2 e DE Bei b), d) und f) wird die Produktregel für Ableitungen benötigt. 5 Zeichnen Sie den Graphen der natürlichen Eponentialfunktion in einem geeigneten Koordinatensystem in Ihr Heft und beschreiben Sie den Verlauf in Worten. Vergleichen Sie mit den Graphen der Funktionen f () = 4 und g () = 0,5. a = 1 y 6 In der Abbildung sind Graphen der Funktionenschar 6 a = 2 a = 1_ 2 f a : a e zu verschiedenen Parameterwerten a gezeichnet. Ordnen Sie a = 1 bzw. a = 2 die passenden Graphen zu und bestimmen Sie (evtl. mithilfe von Wertepaaren) für die übrigen Graphen den zugehörigen Parameterwert a. Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters a im Funktionsterm f a () = a e auf den Graphen allgemein mit Worten. 127/1 7 Zeichnen Sie auf dem Schulhof mit Kreide ein sehr großes Koordiantenkreuz, sodass die Funktionsgraphen verschiedener Eponentialfunktionen der Form f () = b a + c durch eine Menschenkette dargestellt werden können. Drei Personen aus der Klasse geben jeweils Werte für a, b und c an, der Rest formiert sich in der Form des Graphen in dem Koordinatenkreuz. Untersuchen Sie während der Durchführung folgende Aspekte und begründen Sie. a) Wer muss sich in welche Richtung bewegen, wenn a (bzw. b oder c) geändert wird? b) Bei welchen Änderungen der Parameter a (bzw. b, c) können Personen stehen bleiben? c) Für welche Werte von a, b oder c lässt sich der Graph nicht mehr darstellen? 4 2 3 2 1 0 2 4 a = 2 1 2 3 a = 1_ 2 a = 1 Zur Erinnerung Kettenregel f ()= u (v ()) f ' ()= u ' (v ()) v ' () lineare Substitution: u (m + b) d = m 1 U (m + b) DE Die Lösung von Aufgabe 5 bleibt überschaubar, wenn man für die Parameter passende Werte wählt. Eine allgemeine Diskussion eignet sich eher als abschließende Aufgabe zum Vernetzen. DE Die Basis a darf nicht zu groß gewählt werden. Die Aufgabe erfordert Zeit. 127
Aufgaben 4 Wachstum und Zerfall 8 Untersuchen Sie mithilfe eines GTR die Graphen der Funktionen f und g mit f () = e und g () = e b und beschreiben Sie den Einfluss des Parameters in der zweiten Funktionsgleichung auf den Graphen der Funktion. a) b = 2 c) b = 1 e) b = 1_ b) b = 1_ 2 d) b = 2 2 f) b = 0,3 9 Skizzieren Sie die Graphen von f und f ' jeweils im gleichen Koordinatensystem. a) f () = 1,5 c) f () = e b) f (t) = 0,5 t d) f () = 2 DE/ Übersetzung: Für welchen Wert von hat der Graph die Steigung 1? 128 (Ableitungen) a) f '() = 0,5 e b) f '() = 0,5 e 0,5 c) f '() = 2_ 3 e 1_ 3 d) f '() = 2 e 2 e) f '() = 1 e 2 f) f '() = 1,5 e 1 DE 14 a): Im Hinblick auf b) Eigenschaften des Graphen beschreiben lassen, ggf. Punktsymmetrie nachweisen lassen. 14 b): Punktsymmetrie zum Ursprung liefert die Lösung. Berechnung mit Stammfunktion nicht möglich. 10 For what value of will the slope of the function f be 1? a) f () = 0,5 e, D = R b) f () = e 0,5, D = R c) f () = 2 e 1_ 3, D = R d) f () = e 2, D = R 11 Berechnen Sie den Wert der Ableitung von f an der Stelle 0. a) f () = e 2, 0 = 1 b) f () = 2 e, 0 = 1 c) f () = 1_ e 0,5, 0 = 4 f'(1) = 3 e 2 f'( 1) = 1_ e f'(4) = 1 16 e 2 12 Bestimmen Sie zur Funktion f den Term der Ableitungsfunktion f ', berechnen Sie deren Wert an der Stelle 0. Welche Bedeutung hat dieser Wert f '( 0 ) für den Graphen der Funktion? a) f () = 0,5 e, D = R, 0 = 1 b) f () = e 0,5, D = R, 0 = 4 c) f () = 2 e 1_ 3, D = R, 0 = 2 13 Berechnen Sie. 10 1 d) f () = e 2, D = R, 0 = 0,5 e) f () = e, D = R +, 0 = 9 f) f () = 1,5 e 1, D = R, 0 = 1 a) e d b) 2 + 0,5 e d c) 2 d d) a d 1 e 10 e 1 0 5_ + 0,5 e 12 2 u 6 14 Betrachtet wird die Funktion f mit f () = 5 e 0,25 2 ln(2) 1 ln(a) ( a v a u ) a) Skizzieren Sie den Graphen von f. b) Berechnen Sie Sie f () d. 5 5 15 Berechnen Sie den Wert der Steigung von G f an der Stelle 0. a) f () = e 2, 0 = 1 b) f () = 2 e, 0 = 1 c) f () = 1_ e 0,5, 0 = 4 DE Druckfehler in Erprobungsauflage: Aufgabe 15 inhaltsgleich mit Aufgabe 11 Noch fit? = ln (2) = ln (4) I Berechnen Sie die Entfernung der Punkte P und Q. a) P (1 2), Q (9 8) P 4 b) ( 4 3), Q (2 1) c) P ( 2 4 6), Q (5 3 1) II Die beiden parallelen Seiten eines gleichschenkligen Trapezes sind 24 m und 32 m lang und haben einen Abstand von 16 m. Berechnen Sie die Länge der Diagonalen und den Umfang des Trapezes. III Die Grundfläche einer Pyramide ist ein 4 cm langes und 5 cm breites Rechteck. Die Spitze liegt 6 cm senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Berechnen Sie die Länge der Grundflächendiagonale und der Seitenkanten. v = 3 ln (1,5) 0,42 (nicht algebraisch lösbar)
Die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Ableitung Methode Die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Ableitung Die natürliche Logarithmusfunktion Die sich für den natürlichen Logarithmus ergebenden Werte können als Funktionswerte ln () aufgefasst werden. y 1 ln () Die Funktion f mit f () = ln () heißt natürliche Logarithmusfunktion. Sie ist nur für positive reelle Zahlen definiert. 1 0 1 2 3 4 Wegen ln (e ) = für alle R und e ln () = für alle R + bezeichnet man die natürliche Logarithmusfunktion auch als Umkehrfunktion der natürlichen Eponentialfunktion (vgl. Aufgabe 30). 1 2 Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion Die Ableitungsfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion erhält man über den Zusammenhang zur natürlichen Eponentialfunktion. Betrachtet wird die Funktion u mit u () = e ln (). Ihre Ableitung kann auf zwei Arten berechnet werden: u () = e ln () u' () = e ln () (ln())' } 1 = e ln () (ln ())' (ln ())' = u () = e ln () = 1 = 1_ u' () = 1 e ln () Für die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion gilt (ln ())' = 1_. Die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion Bisher konnte zu der Funktion f mit f () = 1_ keine Stammfunktion angegeben werden. Die Berechnung der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion hat dieses Problem gelöst. Für die Funktion f mit f () = 1_ ist F mit F () = ln () eine Stammfunktion für R+. Aufgaben 1 Begründen Sie, warum die natürliche Logarithmusfunktion nur für positive reelle Zahlen definiert ist. 2 Beschreiben Sie, wie Sie zu den Funktionen g und h mit g () = 3 und h () = 1 Stammfunktionen bestimmen können. Versuchen Sie auf gleiche Weise zu f mit f () = 1_ eine Stamm- 3 funktion zu bestimmen und erläutern Sie die auftretenden Schwierigkeiten. 3 Die Funktion f mit f () = 1_ ist für R\{0} definiert. F mit F () = ln () ist aber nur für R + eine Stammfunktion von f. Begründen Sie mithilfe der Graphen der Funktionen, dass G mit G () = ln ( ) für R\{0} Stammfunktion von f ist und somit auch für < 0 für f eine Stammfunktion eistiert. Hinweis Für die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion können die beiden Schreibweisen ln' () oder (ln ())' verwendet werden. DE Logarithmusfunktionen sollen nicht mehr vertieft behandelte werden. Die ln-funktion wird benötigt, um die entsprechenden Eponentialgleichungen lösen und Integrale berechnen zu können. Dieses Seite stellt das dafür benötigte Wissen zur Verfügung. 4 Untersuchen Sie die Funktionenschar f a mit f a () = (ln () + a) ln (). 5 Berechnen Sie die Integrale. Stellen Sie die entsprechenden Flächeninhalte grafisch dar. 5 a) 1_ d 1 3 b) 0,5 ( 1_ + ) d 129
Aufgaben 4 Wachstum und Zerfall Trainieren Anwenden Vernetzen 16 Sie bekommen von einem Mitschüler aus der Parallelklasse eine SMS: Morgen schreiben wir Klausur. Was ist e? Erklär mal bitte! Verfassen Sie eine Antwort-SMS. 17 Der Psychologe Dietrich Dörner schreibt in einem Buch: Erläutern Sie, welche Unfähigkeit Dörner in seinem Tet anspricht und was mit nicht- linearen Zeitverläufen gemeint ist. Erläutern Sie den zweiten Tetteil mithilfe geeigneter mathematischer Darstellungen und Zahlenbeispielen. a) b) Die geringe Fähigkeit zum Umgang mit nichtlinearen Zeitverläufen lässt sich aber nicht nur an Einzelfällen demonstrieren, sondern auch im psychologischen Eperiment als allgemeines Phänomen beobachten. [ ] Aus diesem Ergebnis [einer Studie] lässt sich ablesen, dass zum Beispiel der normale Zeitungsleser, dem ein Artikel mitteilt, die Waldschäden nehmen jährlich um 20 Prozent zu, die tatsächliche Information dieser Nachricht überhaupt nicht versteht. Er glaubt zu verstehen, aber er versteht es nicht. a) Flächen stellen die Bevölkerungszahl dar. Der Verdopplungszeitraum beträgt jeweils 30 Jahre 18 Die Grafik gibt Überblick über die prognostizierte tendenzielle Bevölkerungsentwicklung in Afrika. 1951 1951 1980 vor a) Welche Informationen können Sie der Grafik entnehmen? 2011 2040 b) Erläutern Sie mithilfe einer Rechnung, wie man der Abbil- 1981 2010 c) dung entnehmen kann, dass das jährliche Bevölkerungswachstum in Afrika etwa 2,5 Prozent beträgt. Im Jahr 1950 lebten in Afrika 224 Millionen Menschen. 2041 2070 Berechnen Sie die Bevölkerungszahl für den aktuellen Zeitpunkt und vergleichen Sie mit statistischen Daten im Internet. 130/1 d) Berechnen Sie den aktuellen Zuwachs der Bevölkerung in Afrika pro Minute ausgehend von dem in b) angenommenen Wachstumsfaktor. 19 Ermitteln Sie mithilfe der Ableitungsfunktion f ' das Monotonieverhalten und finden Sie eventuell vorhandene Etrema der Funktion f. a) f () = e 2 b) f () = 3 e c) f () = 2 + 1 e DE/ Aufgabe 20: e), f) höherer rechnerischer Aufwand als bei a)-d). DE a) Die Graphen unterscheiden sich kaum, sodass ein Vergleich mit Zahlenbeispielen sinnvoll ist. b) Grenzwerte betrachten und auf lim ( 1 + 1_ n n ) n zurückführen. 130 20 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P (0 f (0)). a) f () = e 2 y = 1 c) f () = 2 2 y = 0 e) f () = ( 2 1) 2 y = ln(2) 1 b) f () = e y = d) f () = e 2 y = f) f () = ( 2) 0,5 y = (1 + 2 ln(0,5)) 2 21 Peter und Paul haben ihr Geld bei zwei verschiedenen Banken mit einem Zinssatz von p % angelegt. Peter bekommt seine Zinsen jährlich gutgeschrieben, Paul monatlich mit dem monatlichen Zinssatz p %. Peter vermutet, dass sein Kapital wesentlich stärker zunehmen würde, 12 wenn er jeden Tag (mit einem täglichen Zinssatz von p %) oder sogar jede Stunde (mit entsprechendem Zinssatz) die Zinsen für sein Geld gutgeschrieben bekäme. 360 a) Untersuchen und vergleichen Sie die verschiedenen Varianten. b) Verkürzt man die Zeit, nach der die Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden immer wei- ter, so spricht man von stetiger Verzinsung. Entwickeln Sie eine Zinsformel für die stetige Verzinsung. Banken rechnen das Zinsjahr mit je 30 Tagen pro Monat, also insgesamt 360 Tagen.
4.1 Eponentialfunktionen und ihre Ableitungen Aufgaben 22 Bild 131/1 zeigt einige Graphen zu Funktionen mit einer Gleichung vom Typ f () = e + c bzw. f () = e + c einschließlich ihrer Tangenten in einem Punkt P( f ()) mit Z. Geben Sie die Funktionsgleichung an, berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes der Tangente und stellen Sie die Gleichung für die Tangente auf. Zeichnen Sie (z. B. mithilfe eines Funktionenplotters) zwei weitere Funk tionen dieses Typs, zeichnen Sie die Tangenten in einem selbst gewählten Punkt und geben Sie ihre Gleichungen an. 23 Erläutern Sie die zugrunde gelegten Annahmen, die in Auftrag 1 gemacht werden. Betrachten Sie die Auswirkungen bei einer Variation der Parameter und folgern Sie daraus die Zuverlässigkeit der abgeleiteten Prognosen und Grenzen der Modellierung am Beispiel der Bevölkerungsentwicklung. Informieren Sie sich über die Bevölkerungsentwicklung in Deutschland bzw. weltweit seit 1900 und untersuchen Sie, ob für diesen Zeitraum diese Annahmen zutreffend waren. 24 Einem Patienten wird zum Zeitpunkt t = 0 eine bestimmte Menge eines Medikaments verabreicht. Der Term f (t) = 10 ( e t_ 2 e t ) = 10 e t_ 2 ( 1 e t_ 2 ), t [0; [ beschreibt die Konzentration dieses Medikaments (Anzahl der Milliliter pro Liter Blut) nach t Stunden. a) Bestimmen Sie das Verhalten von f (t) am Rand des Definitionsbereichs und berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration ihr Maimum erreicht. b) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration nach dem Maimum wieder auf 75 % ihres Maimalwertes abgesunken ist. 25 Erstellen Sie für die Funktion f eine Wertetabelle (D = D ma ), bestimmen Sie die Null stelle (n) und das Verhalten am Rand des Definitionsbereichs. a) f () = 2 e c) f () = 2 0,5 e) f () = 2 ln ( 2 ) b) f () = 1_ e 131/1 d) f () = ln 3 2 1 y 8 6 4 2 0 2 f) f () = + 1 ln 1 2 3 blau: y = 1_ e + 2_ e + 1, rot: y = e 2 e 2 2, grün: y = e + 3 DE Es sind Recherchen im Internet oder statistischen Jahrbüchern nötig. /DE a) f (0) = 0, lim f (t) = 0, t Maimum bei t = 2 ln(0,5) 1,39. b) Nach ca. 2,77 Std. Die Gleichung bei b) muss mit GTR gelöst werden. 26 Ermitteln Sie mithilfe der Ableitungsfunktion f ' das Monotonieverhalten und finden Sie eventuell vorhandene Etrema der Funktion f. a) f () = e 2 b) f () = 3 e c) f () = 2 + 1 e d) f () = 2 ln e) f () = 1_ ln f) f () = e ln 27 Der Graph der Funktion f : 2 e 0,5, D = R wird an folgenden Geraden gespiegelt: a) an der -Achse f 1 () = 2 e 0,5 b) an der y-achse f 2 () = 2 e 0,5 c) zunächst an der -Achse, dann an der y-achse f 3 () = 2 e 0,5 d) zunächst an der y-achse, dann an der -Achse f 4 () = 2 e 0,5 Welche Funktion gehört zu dem Graphen, der beim Spiegeln entsteht? Berechnen Sie die Steigung des Graphen von f an der Stelle 0 und geben Sie ohne weitere Rechnung die Steigung der weiteren Graphen an der Stelle 0 an. 131-0 Interaktive Übung zum Spiegeln von Eponentialfunktionen. 131
Aufgaben 4 Wachstum und Zerfall Trainieren Anwenden Vernetzen 28 Bei einer chemischen Reaktion wird aus Edukten (Ausgangsstoffe) ein Produkt hergestellt. Damit die Reaktion kontinuierlich ablaufen kann, müssen die Edukte gleichmäßig zugeführt werden, da sie durch die Reaktion abgebaut werden. Die Konzentration der Ausgangsstoffe in einem Reaktionsgefäß kann näherungsweise durch eine Funktion k beschrieben werden. Sie gibt in Abhängigkeit von t (in Minuten) die Konzentration des Stoffes in mol/l an. Für einen bestimmten Ausgangsstoff gilt k' (t) = e 1,11t. 5 a) Berechnen Sie e 1,11t dt und erläutern Sie die Bedeutung dieser Zahl. b) 0 Untersuchen Sie, ob die Konzentration dieses Ausgangsstoffs stets unter dem Wert 1 mol/l bleibt. a) a = 2; b = 0,5 b) a = 5 e 0,2 ; b = 0,1 DE Hier wird die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Eponentialfunktion thematisiert. Der Begriff Umkehrfunktion wird an weiteren Beispielen thematisiert. zu f): Anhand des grafischen Umkehrens durch Spiegelung an der Geraden y = kann thematisiert werden, warum u () = 2 nicht auf dem gesamten Definitionsbereich umkehrbar ist. 29 Bestimmen Sie die Parameter für die Funktionsgleichung f () = a e b so, dass der Graph die geforderten Eigenschaften hat. a) Der Graph verläuft durch den Punkt P (0 2) und hat dort die Steigung 1. b) Der Graph verläuft durch den Punkt Q (2 5) und hat dort die Steigung 1_. 2 c) Durch welche anderen Vorgaben lassen sich die in a) und b) bestimmten Funktionen ein- deutig festlegen? 30 Betrachten Sie mithilfe des GTR den Funktionsgraphen der Funktion g () = ln (). a) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von g und geben Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion g an. b) Vergleichen Sie den Graphen von g mit dem Graphen von f mit f () = e. Beschreiben Sie, wie Sie den Graphen von g aus dem Graphen von f erhalten können. c) Vergleichen Sie Definitions- und Wertebereiche der Funktionen f und g. d) Betrachten Sie die Wertetabellen der Funktionen f und g sowie f (g), also f (g ()) = e ln() und g (f) also g (f ()) = ln (e ). Beschreiben Sie das Verhältnis von f und g zueinander. e) Gilt für zwei Funktionen u und v die Eigenschaft u (v()) = = v (u ()), wobei zu den Definitionsbereichen beider Funktionen gehört, so nennt man u die Umkehrfunktion von v bzw. umgekehrt v die Umkehrfunktion von u. Erläutern Sie die Bedeutung des Begriffs Umkehrfunktion. f) Geben Sie zu den folgenden Funktionen u die Umkehrfunktion v, sowie Definitions- und Wertebereiche von u und v an: u() = 2, u () = + 1 31 Untersuche im Folgenden die Funktion mit der Gleichung f () = 1_ (e e ), D = R und 2 die Funktion mit der Gleichung g () = 1_ (e + e ), D = R. Der zugehörige Graph G 2 g von g () heißt Kettenlinie, weil der Verlauf einer frei hängenden Kette (oder einer Hochspannungsleitung) sich in einem geeigneten Koordinatensystem durch diese Funktion beschreiben lässt. a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktionen. Was fällt auf, was lässt sich daraus folgern? b) Wo ist die Kettenlinie fallend/steigend? Hat sie Nullstellen? Zeichnen Sie den Graphen. c) Untersuchen Sie die Abweichung der Kettenlinie von der Parabel durch zwei gemeinsame Anfangs- bzw. Endpunkte und den gemeinsamen Tiefpunkt. d) Berechnen Sie f 2 () g 2 (). Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Ergebnis und der Bezeichnung für die Funktionen? e) Überprüfen Sie die folgende Aussage mithilfe des GTR: Wenn a der Steigungswinkel der Tangente in einem Punkt P ( p y p ) ist, so gilt cos(a) = 1 y p. 132
4.1 Eponentialfunktionen und ihre Ableitungen Aufgaben 32 Die Euler sche Zahl e lässt sich noch auf eine andere Weise definieren: e ist die einzige positive Zahl, die für alle R die Eigenschaft besitzt, dass e 1 + gilt. a) Formulieren Sie in Worten, was diese Aussage bedeutet und veranschaulichen Sie die Aus- sage mithilfe einer geeigneten graphischen Darstellung. b) Vergleichen Sie den Graphen von f() = e mit g 2 () = 1 + + 2, g 2 3 () = 1 + + 2 + 3 und 2 6 g 4 ( ) = 1 + + 2 + 3 + 4 2 6 24 c) Begründen Sie die oben und in a) gemachte Aussage mithilfe der folgenden Darstellung für die Funktion f: f () = e = 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 2! 3! 4! 5! d) Berechnen Sie mithilfe der in c) gegebenen Darstellung von e einen Näherungswert für die Euler sche Zahl auf drei Dezimalstellen genau. DE Aufgabe 33 thematisiert eponentielle Abnahme 33 Der radioaktive Zerfall einer Substanz soll durch Würfeln simuliert werden. Dabei wird festgelegt, dass ein Atom ( ein Würfel) beim Würfeln der Augenzahl 6 zerfallen ist. Beginnen Sie mit 100 Würfeln und protokollieren Sie den Zerfallsvorgang durch die nach jedem Wurf noch nicht zerfallenen Würfel. Beschreiben Sie die zeitliche Entwicklung beim Zerfall des Würfelbestandes durch eine Funktionsvorschrift. Erläutern Sie an dieser Simulation den Begriff der Halbwertszeit. Nehmen Sie Stellung zu der Formulierung: Eine radioaktive Substanz ist am Anfang am gefährlichsten, verliert ihre Gefahr aber nie ganz. 2 p 34 Die Funktion f mit der Gleichung f () = 1 1_ e 2 2 wird als Gaußfunktion bezeichnet. Ermitteln Sie ihre typischen Eigenschaften und skizzieren Sie ihren Graphen. Recherchieren Sie ihre Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 35 Untersuchen Sie die Funktionenschar f a () = 1 e 0,5 2 +a. 2 p a) Beschreiben Sie die Eigenschaften der Graphen in Abhängigkeit vom Parameter a. b) Benennen und begründen Sie die Gemeinsamkeiten aller Graphen der Funktionenschar. c) Untersuchen Sie, in welchem Zusammenhang die Funktionenschar mit den folgenden Kurven steht: k 1 () = 1 e 0,5 ( 1) 2 0,5 k 2 p 2 () = 1 e 0,5 2 Aufgabe 35 c): k k 2 p 3 () = 1 und k 3 sind die 1 e 0,5 ( + 1)2 0,5 Ortslinien der Wendepunkte, k 2 p 2 die Ortslinie der Hochpunkte der Schar. 36 Der Graph der Funktion f mit f () = e besitzt weder Etrem- noch Wendepunkte. Verändern Sie den Funktionsterm durch Verknüpfungen mit anderen Funktionen so, dass der Graph der neuen Funktion die folgenden Eigenschaften besitzt. Überprüfen Sie Ihre Lösungen durch geeignete Rechnungen. a) b) c) Es gibt genau einen Etrempunkt. Es gibt mindestens zwei Etrempunkte. Es gibt genau einen Wendepunkt. 37 Die Terme der höheren Ableitungen der Funktion f : f () = e ( + 1)( 1) weisen eine Regelmäßigkeit auf. a) Bilden Sie die 1., 2., 3., -Ableitung der Funktion f und stellen eine Vermutung für den Term der n.-ableitung auf. b) Stellen Sie ebenso eine Vermutung für eine Stammfunktion von f auf und beweisen Sie diese Vermutung. c) Der Graph von f schließt mit der -Achse eine nach links geöffnete Fläche ein. Überprüfen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Inhalt besitzt. d) Beweisen Sie die Gültigkeit der von Ihnen in a) gefundenen Formel für den Term der n. Ableitung mit dem Beweisverfahren der Vollständigen Induktion. 133-1 Zur Erinnerung Durch den Basiswechsel log a = lg : lg a kann man die Logarithmen zu beliebigen Basiszahlen a R + mit dem Taschenrechner ermitteln. DE Aufgabe 34 eignet sich auch während der Bearbeitung des Abschnitts 7. 3 (Normalverteilung). DE Die individuellen Lösungen können gut in Partneroder Gruppenarbeit verglichen werden, bevor ausgewählte Beispiele in der Klasse vorgestellt werden. 133