Kapitalmarktmodelle - worauf kommt es dabei für Aktuare an?

Kapitalmarktmodelle - worauf kommt es dabei für Aktuare an? Vortrag im qx-club Düsseldorf, 06.02.2007 Gabriela Baumgartner Dr. Michael Leitschkis B&W Deloitte

Agenda 1. Einführung 2. ESG-Eigenschaften 3. Grundzüge der Kalibrierung 4. ESG-Tests 5. Variance Reduction - Techniken 6. Ausblick 2 B&W Deloitte

Einführung Anwendungen stochastischer Modellierung Stochastisches ALM Risikosteuerung Bewertung EEV bzw. MCEV Solvency II Economic Capital 3 B&W Deloitte

Einführung - Modellaufbau Projektionsbeginn Passiva Eigenkapital Stochastisches Kapitalmarktmodell Kurse und Zinsen Liability- Modell Asset- Modell Nettoverzinsung Asset Allokation Managementmodell Gesamtverzinsung Cash Flows Aktiva Passiva Projektionsende vers.techn. Rückstellungen Kapitalanlagen und HGB GuV Eigenkapital Aktiva Kapitalanlagen vers.techn. Rückstellungen 4 B&W Deloitte

Einführung: ESG-Anforderungen Verwendbarkeit für ALM / MCEV / Solvency II Verständlichkeit / Transparenz Outputs für die wichtigen Asset-Klassen Erfassung verschiedener Marktentwicklungen (z.b.: inverse Zinskurve) Ansatz zur Cashflow-Bewertung Numerische Effizienz 5 B&W Deloitte

ESG-Eigenschaften Arbitragefreiheit Marktkonsistenz Stochastische Bewertung der Cashflows Real World vs. Risikoneutral Mean Reversion Normale vs. Lognormale Zinsmodelle 1-Faktor vs. N-Faktor Konvergenzverhalten 7 B&W Deloitte

Arbitragefreiheit Mehr Ertrag nur durch mehr Risiko ( no free lunch ) Grundvoraussetzung für marktkonsistente Bewertung Bei ALM führt Arbitrage ggf. zu falschen Entscheidungen Beispiel: Optimale Aktienquote und Risikotragfähigkeit 8 B&W Deloitte

Marktkonsistenz Korrektes Pricing der Kalibrierungsassets* Start-Zinskurve: ESG-Input, nicht Output Volatilitäten: implizit Korrelationen? Risikoprämien? Mehr zu (*): Abschnitt Kalibrierung 9 B&W Deloitte

Cashflow-Bewertung mit Deflatoren Hochrechnung Heutige Markt- Preise Deflatoren B&W Deloitte

Betrachte die Blaue Aktie Zeit 1 Zeit 0 3 Fest- Zustand 1.65 1 Hunger- Zustand 11 B&W Deloitte

... und die Rote Aktie Zeit 0 Zeit 1 2 Fest- Zustand 1.00 0.5 Hunger- Zustand 12 B&W Deloitte

und die dazugehörigen Deflatoren Zeit 1 Zeit 0 0.7 Fest- Zustand 1.00 1.2 Hunger- Zustand 13 B&W Deloitte

Bewertung mit Deflatoren (allg.) [ ] P = E D t C t 14 B&W Deloitte

Bewertung unserer Basis-Aktien Szenario Blau Rot Deflator Deflator * Cashflow Deflator * Cashflow Fest 3 1.5 0.7 2.1 1.40 Hunger 1 0.5 1.2 1.2 0.6 Erwartung 1.65 1.00 15 B&W Deloitte

Bewertung weiterer Titel Szenario Risikofrei Lila Aktie Deflator Deflator * Cashflow Deflator * Cashflow Fest 1 1.5 0.7 0.7 1.05 Hunger 1 0.5 1.2 1.2 0.6 Erwartung 1 1 0.95 0.95 0.825 Diskont 5.13% 19.4% 16 B&W Deloitte

Vergleich: klassisch und modern Klassisch: [ ] P = E v t Ct Fester Diskontsatz Abhängigkeit zwischen Diskontsatz & Cashflow P = E[ D C ] t t Modern: Stochastischer Diskont - Deflator Unabhängigkeit zwischen Diskontsatz & Cashflow 17 B&W Deloitte

Risikoneutrale Bewertung Ein bei Banken populärer Ansatz Spezielle Wahrscheinlichkeiten Keine Risikoprämien Diskontierung mit der (pfadabhängigen) Short Rate 18 B&W Deloitte

Real-World vs. Risikoneutral Real-World Risikoneutral Marktkonsistent: J Arbitragefrei: J Leicht verständlich: J Mehrwährungsfähig: J Marktkonsistent: J Arbitragefrei: J Leicht verständlich: N Mehrwährungsfähig: N 19 B&W Deloitte

Spot, Forward and Short Rates Spot rate r( s, t) = ln P( s, t) t s Forward rate f ( s, t) = lnp( s, t) t Short rate r( s) = limr( s, t) = lim f ( s, t) t s t s 20 B&W Deloitte

Ansätze zur Zinsmodellierung Short Rate-Modelle (z.b. Hull-White, CIR) Forward Modelle (HJM) Marktmodelle (z.b. LIBOR Market) 21 B&W Deloitte

Ein paar Formeln Hull-White normal = σ α µ drt tdwt + ( t rt) dt CIR drt = σt rtdwt + α( µ t rt) dt BK lognormal dx t = σtdwt + α( µ t Xt) dt, Xt = lnrt 22 B&W Deloitte

Mean Reversion Bewegung der Zinssätze zu einem mittleren Wert hin in historischen Werten nachweisbar in den Marktpreisen berücksichtigt niedrige Zinsvolatilität für hohe Laufzeiten 23 B&W Deloitte

Mean Reversion: etwas Intuition Bei hohen Zinsen Schritt 1 Niedrigere Kreditaufnahme Schritt 2 Weniger Investitionen Schritt 3 weniger Produktion Schritt 4 weniger Investitionsbedarf Schritt 5 Niedrigere Zinsen 24 B&W Deloitte

Mean Reversion: etwas Intuition Bei niedrigen Zinsen Schritt 4 Schritt 3 höhere Zinsen Schritt 1 höhere Kreditaufnahme Schritt 2 mehr Investitionen mehr Kapitalbedarf 25 B&W Deloitte

Normale Modelle Pro Closed Form - Preise für Anleihen und Optionen Einfachheit der Kalibrierung Contra Negative Zinsen möglich 26 B&W Deloitte

Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Pro Closed Form - Preise für Anleihen Contra Schwer zu kalibrieren 27 B&W Deloitte

Lognormale Modelle Pro Implizit in Black s Cap&Floor-Formel Contra Keine Closed Form -Preise für Anleihen Z.T. sehr hohe Zinssätze 28 B&W Deloitte

1-Faktor-Modelle Es wird eine Brownsche Bewegung verwendet Pro Verständlichkeit Einfachheit der Kalibrierung Contra Perfekte Korrelation der Zinsen für alle Laufzeiten 29 B&W Deloitte

N-Faktor-Modelle Es werden 2 oder mehr Brownsche Bewegungen verwendet Pro Twists der Zinskurve modellierbar Contra Schwierigere Kalibrierung 30 B&W Deloitte

Kalibrierung Einleitung (1) Input Bond-Preis 100 Zinskurve t=0 Modell Output 100 Zinskurve t=0 Bond-Preis 32 B&W Deloitte

Kalibrierung Einleitung (2) Volatilitäten Inputs - Startwerte Anfangs-Zinskurven (Risikoprämien) Korrelationen Generator Outputs -Simulationen Dividenden Wechselkurse Spot Rates Aktienindices ZCB Preise Inflation u.s.w. 33 B&W Deloitte

Nominal-Zinskurve Quelle (Bundesanleihen, Swaps, andere) Eigenes Bondportfolio Duration der Verpflichtungen Verfügbare Bonds Glattheit der gefitteten Zinskurve Fit anderer Instrumente 34 B&W Deloitte

Beispiel Goodness of Fit to German Government Bonds 1.00% 0.80% 0.60% 0.40% 0.20% 0.00% 3 1/2% 08/04/11 3 1/4% 09/04/10 2 1/2% 08/10/10 3 1/4% 17/04/09 3 1/2% 09/10/09 3% 11/04/08 3 1/2% 10/10/08 4 1/4% 15/02/08 4 1/2% 17/08/07 4% 16/02/07 3 1/4% 04/07/15 3 1/2% 04/01/16 4% 04/01/37 4 1/4% 04/07/14 3 3/4% 04/01/15 4 3/4% 04/07/34 4 1/4% 04/01/14 3 3/4% 04/07/13 5% 04/07/12 4 1/2% 04/01/13 5% 04/07/11 5% 04/01/12 5 3/8% 04/01/10 4% 04/07/09 4 1/2% 04/07/09 3 3/4% 04/01/09 ZERO 04/01/08 5 5/8% 04/01/28 5 1/4% 04/01/08 4 3/4% 04/07/28 4 3/4% 04/07/08 4 1/8% 04/07/08 6% 04/07/07 6% 04/01/07 6 1/2% 04/07/27 6 1/4% 04/01/24 6% 20/06/16 5 5/8% 20/09/16-0.20% % Pricing Error -0.40% -0.60% -0.80% -1.00% 35 B&W Deloitte

Volatilitäten Verwende Finanzinstrumente, in deren Bewertung die Volatilität eingeht Beispiele: Floor / Cap Swaptions Put / Call Optionen Diese Instrumente können mit Black-Scholes- Formel bewertet werden 36 B&W Deloitte

Zinsvolatilitäten Swaptions (1) Swaption: Recht, zu einem bestimmten Zeitpunkt einen Zinsswap einzugehen Bewertung mit Black-Formel: p( t, n) = n 2 1 k) k 1 ( X N( d ) F N( d )) = P(0, t + d d 1 2 = 2 F σ log + X 2 σ t = d 1 σ t t t: Optionslaufzeit n: Swaplaufzeit X: Strike F: Forward Swap Rate P(0,t+k): t+k-jahres ZCB Preis zur Zeit 0 37 B&W Deloitte

Zinsvolatilitäten Swaptions (2) Goodness of Fit 30 25 20 15 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 Swap Term 7 5 4 3 2 Option Term! 38 B&W Deloitte

Korrelationen Bestimmt aus historischen Zeitreihen Beachte Konsistenz der Zeitreihen Beispiel: 10 Jahre, wöchentliche Daten 39 B&W Deloitte

Risikoprämien Erwarteter Ertrag über dem risikofreien Zins Beispiel: Risikoprämie auf Aktien-Return Rolling Mean Equity Total Return in Excess of Risk Free return 3.50% 3.00% 2.50% Mean Return 2.00% 1.50% 1.00% 0.50% Rolling Mean Equity Total Return in Excess of Risk Free return 0.00% 5 10 15 20 Holding Period (years) 40 B&W Deloitte

1 = 1 - Test Investiere EUR 100 in Aktien bzw. Anleihen Berechne den Wert in N Jahren (für alle Pfade) Bewerte jedes Ergebnis (abdiskontieren) Bilde den Erwartungswert Wie hoch sollte er sein? EUR 100, unabhängig von künftigen Entwicklungen! 42 B&W Deloitte

1 = 1 = 1 Test Investment-Strategie A Investment-Strategie B Starte mit 100 Ergebnis X Ergebnis Y Diskontiere mit dem Deflator 43 B&W Deloitte

1 = 1 = 1 - Test Auch dieser Test soll EUR 100 ergeben Härter als der 1=1 Test Investmentstrategien beliebig wählbar ESG-Produzent kennt sie nicht 44 B&W Deloitte

Weitere Test-Ansätze Passen ESG-Outputs zu den Inputs? z.b. Volatilitäten, Risikoprämien Sind ESG-Outputs plausibel? 45 B&W Deloitte

Varianzreduktion warum? Verhältnis simulierter ZCB Preis zu Input ZCB Preis Verhältnis 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 100 500 1000 5000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Laufzeit Herausforderung: Kleine Anzahl Simulationen aber genaue Schätzwerte für bekannte Grössen 47 B&W Deloitte

Ansätze zur Varianzreduktion Mehr Simulationen Importance Sampling Control Variates Antithetische Variablen Renormalisierung 48 B&W Deloitte

Antithetische Variablen Erzeuge gleichzeitig zwei Pfade Z 1, Z 2, Z 3,... -Z 1, -Z 2, -Z 3,... F(Z 1, Z 2, Z 3,...) F(-Z 1, -Z 2, -Z 3,...) 49 B&W Deloitte

Wirkung Antithetischer Variablen Spot Rates Illustrativ Spot Rate 4.8% 4.6% 4.4% 4.2% 4.0% 3.8% 3.6% 3.4% 3.2% 3.0% 5 10 15 20 Laufzeit Initial UnVar Antithetisch 50 B&W Deloitte

Renormalisierung Idee: Skalierung der Simulationen, um den Sampling Error zu verringern Wähle eine Zufallsvariable, für die der theoretische Erwartungswert bekannt ist Skaliere die Beobachtungen für alle Simulationen, s.d. der beobachtete Durchschnitt gleich dem theoretischen Erwartungswert 51 B&W Deloitte

Renormalisierung Beispiel: Wir haben 100 Preise zu kalibrieren und verwenden 100 Simulationen Genau die Anzahl Simulationen, um die Preise zu fitten Gibt das eine realistische Bewertung der Verpflichtungen? 52 B&W Deloitte

Wiederholung: 1 = 1 = 1 Test Investment-Strategie A Investment-Strategie B Starte mit 100 Ergebnis X Ergebnis Y Diskontiere mit dem Deflator Weil a und b beliebig sind, kann dieser Test nicht so einfach ausgetrickst werden! 53 B&W Deloitte

Wirkung der Renormalisierung 4.6% 4.4% Spot Rates Illustrativ Spot Rate 4.2% 4.0% 3.8% 3.6% 3.4% 3.2% Initial UnVar Var 3.0% 5 10 15 20 Laufzeit 54 B&W Deloitte

Einfluß auf Return-Verteilung Histogramm des Aktienreturns Illustrativ 60 50 Verteilung nach rechts verschoben! Häufigkeit 40 30 20 10 0-70% -45% -20% 5% 30% 55% 80% Return Non variance reduced Variance reduced 55 B&W Deloitte

Exkurs: Sharpe-Ratio Definition: S µ r σ : Erwarteter Return = r : Risikofreier Return Überrendite pro Einheit Risiko Hoher (positiver) Wert: gute Wertentwicklung im Vergleich zur risikolosen Anlage 56 B&W Deloitte

Renormalisierung: Pro und Contra Vorteile: Simulationen erfüllen die Martingaltests Simulationen passen zur Anfangs-Zinskurve exakt Nachteil: Verteilung von nicht-deflatierten Cashflows kann beeinflusst werden In der Regel verwendet für Bewertungen Die negativen Effekte sind geringer falls MSR klein 57 B&W Deloitte

Varianzreduktion: Fazit Antithetische Variablen stets zu empfehlen Renormalisierung gut bei Bewertungen Bei Real World Simulationen beachte MSR! 58 B&W Deloitte

Literaturangaben M.Baxter, A.Rennie Financial Calculus S.Jarvis, F.Southall, E.Varnell Modern Valuation Techniques J.Exley, S.Mehta, A.Smith Mean Reversion 60 B&W Deloitte

Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Ihre Ansprechpartner: 0221 973 240 (B&W Deloitte in Köln) 0044 207 303 58 52 (Deloitte Capital Markets Group in London) 61 B&W Deloitte