Ein neues Geschäftsmodell der Lebensversicherung?

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1 Versicherungsmathematisches Kolloquium am 11. Juli 2011 Ludwig-Maximilian-Universität München Ein neues Geschäftsmodell der Lebensversicherung? Ein Beitrag zur Theorie des kollektiven Sparens Prof. Dr. Oskar Goecke Institut für Versicherungswesen FH Köln 1

2 Überblick Motivation Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Thesen zur Lebensversicherung Diskussion 2

3 Überblick Motivation Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Thesen zur Lebensversicherung Diskussion 3

4 Motivation 4

5 Motivation 5

6 Überblick Motivation Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Thesen zur Lebensversicherung Diskussion 6

7 Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess p Das Modell Erste Ergebnisse Der Nutzen: Rendite-Risiko-Profil 7

8 Rendite-Glättung durch Reservepuffer 8

9 Kollektives Sparen Aktiva Passiva Kapit talmarkt t Portfolio P t kollektive Reserve Versichertenguthaben (individuelle Ansprüche) σ () t η () t R t V t Pt = Rt + Vt Risikoposition (Asset-Allokation) Deklaration 9

10 Kapitalmarktmodell Marktportfolio: () ()( ) dp t = P t μ + rσ dt + σ dw M M M M t ( 1 2 μ σ σ σ ) P () t = P (0)exp ( + r ) t+ W M M M 2 M M t Marktdrift : μm LVU-Portfolio: ( ) dp() t = P() t μ + r σ() t dt + σ() t dw SR t 1 2 P() t = P0 exp ( μ + rσ() s σ () s 2 ) dt + σ() s dw 0 [0, t] Portfoliodrift f : μ () s t s 10

11 Kapitalmarktmodell μ + rσ M μ + rσ σ M M μ μ + rσ t σ t 1 2 () () 2 σ M 11

12 Passiva Versichertenguthaben: dv() t = V() t η() t dt t Vt () = V0 exp η( sds ) 0 (log)reservequote: Pt () Pt () Vt () Rt () ρ(): t = ln = Vt () Pt () Pt () 0 t (0) 0 ln P Startreserve: ρ = ρ = V 0 12

13 Lineares Modell Das ALM wird festgelegt durch folgende Parameter: (strategische) Asset-Allokation: (strategische) Zielreservequote: Elastizitäten a 0, θ 0: σ (): t = ˆ σ + a ρ() t ρziel ( ) ˆ σ 0 ρ > ρ Ziel η (): t μ r σ () t σ () t θ ρ () t ρziel 1 2 = + + ( ) 2 Portfoliodrift: μ ( t) ˆ ρ (): t = = Reserve-neutrale Deklaration 0 13

14 Lineares Modell Das ALM wird festgelegt durch folgende Parameter: (strategische) Asset-Allokation: (strategische) Zielreservequote: Elastizitäten a 0, θ 0: σ (): t = ˆ σ + a ˆ ρ() t η (): t = μ () t + θ ˆ ρ () t ˆ σ 0 ρ > ρ Ziel 0 14

15 Folgerungen 1 ( 2 t 2 ) E : = exp aw a t t t a exp( θ s) X ˆ t : = Et 1 + ρ 0 + θ ds, ˆ σ U : = 0 E s Es gilt: (Exponentialmartingal) X dw t t t [0, t] ( ) σ ( t) = ˆ σexp( θt) X = ˆ σ + aexp( θt) ˆ σu + ρ t ( ˆ ) ˆ() t = exp( t) Ut + ˆ0 ρ θ σ ρ ( ) η μ ˆ σ ˆ σ θ ˆ σ ˆ ρ ˆ ρ () t = + r + + a ( r ) () t a 2 2 () t 2 2 t ˆ0 15

16 Eigenschaften von U t k ( t ) Setzt man f (): t = E U, so gilt für ˆ ρ = 0 und k 2 : k 0 df k dt () t ( k θ k 1 θ k 2 ) = kk ( 1) af( t) + 2aexp( t) f ( t) + exp(2 t) f ( t) Hieraus lassen sich rekursive alle Momente von U t berechnen! Folgerungen (u.a.): 2 ˆ σ lim Var ( ˆ ρ( t) ) = 2θ a t + 2 falls 2θ > sonst a 2 16

17 ρ( ˆ( ρ t ) Beispiel: Simulationspfade von ( ) 2 2θ > a 17

18 ρ( ˆ( ρ t ) Beispiel: Simulationspfade von ( ) 2 2θ > a 2 2θ < a 18

19 Verteilungskonvergenz 2 Für 0< a < 2θ konvergiert ˆ ρ () t in Verteilung ggegen g eine Zufallsvariable ˆρ mit der Dichtefunktion: a β β f ( ) 1 ˆ x = ]0, + [ ( ax+ σ ) exp β Γ ( α ) ax+ ˆ σ ax+ ˆ σ 2 2 θ θσ mit Parametern α : = 1+ und β : = 2 2 a (entspricht einer inversen Gamma-Verteilung). a ˆ 1+ α 19

20 ρ Verteilung von ˆρ ( für μ = 0.03; r = 0.25; ˆ σ = 0.1; a = 0; θ= 0.1,..., 0.5) θ = θ =

21 ρ Verteilung von ˆρ ( für μ = 0.03; r = 0.25; ˆ σ = 0.1; a = 0.2; θ= 0.1,..., 0.5) θ = θ =

22 Der Nutzen: Risikominderung durch kollektiven Risikoausgleich Vergleiche: individuelles vs. kollektives Sparen Constant-Mix-Strategie Lineares Modell (s.o.) Risiko des Sparprozesses: Standardabw. der Ablaufrendite Volatilität der laufenden Rendite (Anlegerstress) 22

23 Rendite-Risiko-Profile ( für μ = 0.03; r = 0.25; T = 5 Jahre; a = 0; θ= 0.1,..., 0.5) θ = 0.1 θ =

24 Rendite-Risiko-Profile ( für μ = 0.03; r = 0.25; T = 1, 2, 5,10, 30 Jahre; a = 0; θ= 0.4) T = 1 T = 2 T = 5 T = 10 T = 30 24

25 Risiko-Zeit-Profil ( für μ = 0.03; r = 0.25; ˆ σ = 0.1; a = 0; θ= 0.1,..., 0.5) θ = 0.5 θ =

26 Risikoneutrale Bewertung Wir betrachten T VT ( ) = V0 exp η ( tdt ) 0 und berechnen den fairen Preis: als contingent claim 1 2 ( μ ) E( μ T 2 ) Π ( VT ( )) = E exp( T) VT ( ) = exp( T) VT ( ) exp( rw rt) Q Es ergibt sich für a =0: ˆ σ 1 π VT ( ) = V ˆ 0exp 1 exp( θt) ˆ ρ0 + rsr σ 3 exp( θt) 4 θ ( ) ( ) ( ) ( ) r lim π ( VT ( )) = V ˆ 0 exp ρ0 + T SR ˆ σ θ 3 4 ˆ σ 2 26

27 Hedgekosten = Wert der Vertragstreue ( für r = 0.25; ˆ σ = 0.1; a = 0; θ= 0.1,..., 0.5) θ = θ = 0.2 θ = 0.3 θ = 0.4 θ =

28 Anlegerstress ( μ = 0.03; r = 0.25; ˆ σ = 0.2; θ= 0.4; a = 0 ) 28

29 Anlegerstress ( μ = 0.03; r = 0.25; ˆ σ = 0.2; θ= 0.4; a = 0 ) 29

30 Anlegerstress ( μ = 0.03; r = 0.25; ˆ σ = 0.2; θ= 0.4; a = 0 ) 30

31 Rendite-Risiko-Profile ( μ = 0.03; r = 0.25; ˆ σ = 0.3; a = 0 ) θ = 0.2 θ = 0.4 θ = 0.6 erwartete e Rendite e Constant Mix Anlegerstress 31

32 Überblick Motivation Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Thesen zur Lebensversicherung Diskussion 32

33 Ziele der Kapitalanlage für die Altersversorgung g Faire Teilhabe am Produktionsfaktor Kapital Realwerterhalt als Mindestziel 33

34 Rendite-Risiko-Transformation am Kapitalmarkt Sparer Sparbeitrag Sparbeitrag Bank/ Fonds Darlehen Darlehen Unternehmen Eigenkapital Eigenkapital Markt Investition Rendite Risiko Investition 34

35 Thesen zur Lebensversicherung feste Zinsgarantien geben keine Sicherheit Garantien über Dekaden sind ökonomisch falsch langfristige g Anlage sollte realwertbezogen sein 35

36 Beispielhafte Asset-Allokation Allokation Yale University Endowment Norwegischer Staatsfonds 36

37 Beispielhafte Asset-Allokation Allokation Yale University Endowment Norwegischer Staatsfonds 37

38 Thesen zur Lebensversicherung feste Zinsgarantien geben keine Sicherheit Garantien über Dekaden sind ökonomisch falsch langfristige g Anlage sollte realwertbezogen sein kollektives Sparen ist ein Versicherungsprodukt: es kommt zum Risikoausgleich zwischen den Generationen Eigenkapitalanforderungen minimieren! der kollektive Risikoausgleich rechtfertigt das Steuerprivileg der LV 38

39 Transparente Gestaltung Aktiva P t Passiva Rt V t Behandlung der Kapitalanlagen als Sondervermögen Management Fees statt Dividende aus dem Rohüberschuss definierte strategische Asset-Allokation (z.b. Constant Mix) definierte strategische Reservepolitik (insb. Zielreserve) Transparente Abrechnung des Kapitalanlageerfolges g 39

40 Überblick Motivation Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Thesen zur Lebensversicherung Diskussion 40

41 Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Prof. Dr. Oskar Goecke Institut für Versicherungswesen FH Köln Claudiusstraße Köln oskar.goecke@fh-koeln.de 41