Robotertechnik. Vorlesung. Prof. Dr.-Ing. Christoph Woernle. Universität Rostock WS 2018/19. Lehrstuhl für Technische Mechanik/Dynamik

Robotertechnik Übersicht 0. Vorlesung Robotertechnik Prof. Dr.-Ing. Christoph Woernle Universität Rostock WS 208/9

Robotertechnik Übersicht 0.2 Manuskripte zur Vorlesung zum Download http://www.hro.ipa.fraunhofer.de/fhg/agp_iff/lehre/skripte/index.jsp Prof. Flügge, Dipl.-Ing. Wurst Robotertechnik Prof. Woernle Robotertechnik (Folien)

Robotertechnik Übersicht 0.3 Übersicht Bauarten von Industrierobotern 2 Koordinatentransformationen bei Robotern 3 Geschwindigkeit und Beschleunigung 4 Trajektorienberechnung 5 Dynamik von Robotern 6 Regelung von Robotern 7 Zur Kinematik von Parallelrobotern

Robotertechnik Übersicht 0.4 Einführende Literatur zur Robotertechnik Bücher Craig, J.: Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Reading (Mass.): Addison Wesley, 989 Sciavicco, L.; Siciliano, B.: Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer, 20. Stark, G.: Robotik mit MATLAB. Fachbuchverlag Leipzig, 2009. Weber, W.: Industrieroboter. Methoden der Steuerung und Regelung. München: Hanser, 2002. Zeitschriften The International Journal of Robotics Research IEEE Journal of Robotics and Automation

Robotertechnik Aufbau von Robotern. Übersicht Bauarten von Robotern. Begriffe, Einteilung.2 Serielle, hybride und parallele Roboter

Robotertechnik Aufbau von Robotern. Begriffe, Einteilung.2 Einteilung von Handhabungsgeräten () Handhabungsgeräte manuell gesteuert programmgesteuert fest programmiert frei programmiert (Tele-)Manipulatoren Einlegegeräte Industrieroboter Serviceroboter

Robotertechnik Aufbau von Robotern. Begriffe, Einteilung.3 Einteilung von Handhabungsgeräten (2) Handhabungsgeräte: Technische Einrichtungen, die Bewegungen in mehreren Bewegungsachsen im Raum ausführen. Manipulatoren: Telemanipulatoren: Einlegegeräte: Industrieroboter: Serviceroboter: Durch Bediener manuell gesteuerte Bewegungseinrichtung, ggf. mit Kraftverstärkung. Durch Bediener ferngesteuerte Manipulatoren (z.b. in Kernkraftwerken). Bewegungseinrichtungen, deren Bewegungen hinsichtlich Bewegungsfolge und /oder Wegen/Winkeln nach einem nach einem fest vorgegebenen Programm ablaufen, das ohne mechanischen Eingriff nicht verändert werden kann. Industrieroboter sind universell einsetzbare Bewegungsautomaten mit mehreren Achsen, deren Bewegungen hinsichtlich Bewegungsfolge und Wege bzw. Winkel frei programmierbar (d.h. ohne mechanischen Eingriff vorzugeben bzw. änderbar) und gegebenenfalls sensorgeführt sind. Sie sind mit Greifern, Werkzeugen oder anderen Fertigungsmitteln ausrüstbar und können Handhabe- und andere Fertigungsaufgaben ausführen. (nach VDI-Richtlinie 2860) Ein Serviceroboter ist eine frei programierbare Bewegungseinrichtung, die teiloder vollautomatische Dienstleistungen verrichtet. Dienstleistungen sind dabei Tätigkeiten, die der Verrichtung von Leistungen für Menschen und Einrichtungen dienen. (nach Fraunhofer-IPA, Stuttgart)

Aufbau eines Industrieroboters Mechanik Kinematische Kette : Gelenkig miteinander verbundene Armsegmente Antriebe der Handachsen, wirken über Summen- und Differentialgetriebe Nebenachsen (Handachsen) Endeffektor mit Tool-Center Point (TCP) KUKA IR 60 (982) Hauptachsen: Achsen,2,3 Antriebe (heute bürstenlose AC Synchronmotoren) mit untersetzenden Getrieben Robotertechnik Aufbau von Robotern. Begriffe, Einteilung.4

Robotertechnik Aufbau von Robotern.5 Übersicht Bauarten von Robotern. Begriffe, Einteilung.2 Serielle, hybride und parallele Roboter

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.6 Klassifizierung von Mehrkörpersystemen Mehrkörpersystem n n K G Körper Gelenke offen (Baumstruktur) n K n G nsng nk teilweise geschlossen geschlossen kinematische Schleifen vollständig geschlossen allgemeine Darstellung "serielle Kinematik" "hybride Kinematik" "parallele Kinematik" Beispiel

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.7 Gelenke und Freiheitsgrad Drehgelenk ( Revolute) Schubgelenk ( Prismatic) Drehschubgelenk ( Cylindric) Kardangelenk ( Universal) Kugelgelenk ( Spherical) s s 2 2 3 fg fg fg 2 fg 2 fg 3 Ein räumliches Mehrkörpersystem mit n n K G Körpern Gelenken mit je f Gi und den Freiheitsgrad (=Anzahl unabhängiger Lagegrößen) f hat nsngnk kinematische Schleifen Gelenkfreiheitsgraden ng fgi 6nS (Grübler-Kutzbach-Bedingung) i Die Lage des Systems wird durch f verallgemeinerte Koordinaten (Winkel oder Verschiebungen) q [ q q q ] 2 f T eindeutig beschrieben. Damit müssen bei einem Roboter f unabhängige Antriebe vorhanden sein.

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.8 Symbolik zur Darstellung kinematischer Ketten nach VDI-Richtlinie 286 Translationsachse (Schubgelenk) s Translation fluchtend (Teleskop) Translation nicht fluchtend Verfahrachse Rotationsachse (Drehgelenk) Rotation fluchtend Rotation nicht fluchtend Nebenachsen Greifer

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.9 Typische serielle Roboterkinematiken kartesisch zylindrisch sphärisch horizontaler Knickarm vertikaler Knickarm Arbeitsraum Kinematische Kette

Kartesische Roboter Eigenschaften: Durch modularen Aufbau aus Einzelkomponenten an Anwendung anpassbar (Verfahrwege, Nutzlasten) Ergänzung der kinematischen Kette durch Handachsen Hohe Nutzlasten und große Arbeitsräume möglich Gegenüber Knickarmrobotern eingeschränkte Beweglichkeit Typische Einsatzgebiete: Palettieren Beschicken von Werkzeugmaschinen Brennschneiden und Schweißen in großen Arbeitsräumen (z.b. im Schiffbau) Reis Robotics, Baureihe RL Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.0

Horizontaler Knickarm-Roboter (SCARA) Zwei Bauarten für vertikale Achse: als erste Achse als vierte Achse Gebräuchliche Benennung: SCARA-Roboter für Selective Compliance Robot Arm. TCP Kinematische Kette ist in der horizontalen Ebene nachgiebig und in der vertikalen Richtung steif. Eigenschaften: Durch Bewegung in der horizontalen Ebene keine Gewichtskrafteinflüsse hohe Genauigkeiten, große Beschleunigungen möglich. Für die typischen Anwendungen reichen die vier Achsen aus kostengünstiger als Knickarmroboter mit sechs Achsen. Typische Einsatzgebiete: Bestücken von Leiterplatten Montage von Geräten Beschicken von Maschinen Palettieren. Fanuc S-520i Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.

Vertikaler Knickarm-Roboter q 3 q 4 q TCP q 5 q 6 Eigenschaften: Volle Beweglichkeit: sechs Freiheitsgrade im Raum Umgreifen von Hindernissen möglich Handachsen meist als Zentralhand : drei sich in einem Punkt schneidende Drehachsen Gewichtsausgleich an Achse 2 durch pneumatische Feder Gewichtsausgleich an Achse 3 durch Handachs-Antriebe als Gegengewicht Von allen Roboterbauarten am universellsten einsetzbar. Handachs-Motoren als Gegengewicht hydropneumatischer Gewichtsausgleich q 2 Einsatzgebiete: Punktschweißen, Bahnschweißen, Entgraten, Kleberauftrag Lackieren Montage Beschicken von Maschinen Palettieren u.v.a.m. KUKA KR 500 Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.2

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.3 Vertikale Knickarm-Roboter Spezifikationen Spektrum der von der KUKA Roboter GmbH angebotenen vertikalen Knickarmroboter KR 6/2 KR 000 Nutzlast am Endeffektor 6 kg 000 kg Eigenmasse 205 kg 4700 kg Maximale Reichweite 570 mm 3202 mm Wiederholgenauigkeit <0, mm <0,2mm Wiederholgenauigkeit: Genauigkeit, mit der eine Lage des Endeffektors erneut angefahren werden kann Absolute Genauigkeit: Genauigkeit mit der eine in Koordinaten vorgegebene Position erreicht werden kann (wird von Herstellern nicht angegeben)

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.4 Vertikaler Knickarm-Roboter Typischer Arbeitsraum Draufsicht Vertikale Ebene Fanuc S-70i

Vertikaler Knickarmroboter mit Antrieb der dritten Achse durch Parallelogramm q 4 q 5 passives Gelenk q 6 q 2 q 3 2. Armsegment q Eigenschaften: Teilweise geschlossene kinematische Kette Antrieb der dritten Achse zum Grundgestell hin zurückverlegt Kleinere Biegebeanspruchung des 2. Armsegments als beim normalen Knickarmroboter (theoretisch) höhere Nutzlasten möglich Parallelführung des Endeffektors, indem nur Antrieb von 2. Achse (Winkel q 2 ) bewegt wird Arbeitsraum kleiner als beim normalen Knickarmroboter (kein Überkopf-Schwenken von Achse 3 möglich). Einsatzgebiete: Punktschweißen, Kleber-, Dichtmittelauftrag Montage, Palettieren, Handhabung schwerer Bauteile. Fanuc S-420 Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.5

Vertikaler Knickarmroboter mit Parallelführung des Endeffektors q 3 q 2 q Antriebe Achse stets vertikal q 4 Eigenschaften: Teilweise geschlossene kinematische Kette Handachse bleibt durch Parallelogrammkinematik stets vertikal Alternative zum SCARA-Roboter Typische Einsatzgebiete: Palettieren Bandbeschickung Fanuc M-40i Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.6

Parallelkinematik-Roboter ABB IRB 940 (Tricept) Schubgelenk (passiv) Drehgelenke (passiv) Kardangelenke raumfest Schraubtriebe q 2 q 3 q bis zu drei serielle Handachsen Eigenschaften: Teilweise geschlossene kinematische Kette Günstig für Aufnahme von Bearbeitungskräften Typische Einsatzgebiete: Mechanische Bearbeitung (Trennen, Bohren, Schleifen) Schweißen, Brennschneiden Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.7

Parallelkinematik-Roboter Gough-Stewart-Plattform q6 Kardangelenk q q 2 q 3 q 5 q 4 Dreh - Schubgelenk (z.b. Spindeltrieb) Kardangelenk Eigenschaften (siehe auch Vergleich serielle/parallele Roboter): Volle Beweglichkeit: sechs Freiheitsgrade im Raum Günstige Aufnahme von Bearbeitungskräften Arbeitsraum eingeschränkt (insbesondere Orientierung) Fanuc F-200iA Stewart, D.: A Platform with Six Degrees of Freedom. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers 80 (965), pp. 37-386. Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.8

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.9 Gough-Stewart-Plattform weitere Anwendungen Originale Anwendung: Reifentestmaschine, ca. 954: Gough und Whitehall (Dunlop Rubber Co., Birmingham ) Flugsimulator (CAE SimuFlite, Québec, Canada) Werkzeugmaschine (Ingersoll, USA)

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.20 Weitere Parallelkinematiken mit sechs Führungslenkern () Lenkerfußpunkte auf Kreisbahnen geführt: Hexa-Parallelmanipulator (F. Pierrot, Université Montpellier) q2 q3 Lenkerfußpunkte auf Geraden geführt: Hexaglide-Werkzeugmaschine (Institut für Werkzeugmaschinen und Fertigung, ETH Zürich) Antrieb durch Linearmotoren q q 4 q 5 q 6 Weitere Informationen zu Parallelrobotern: http://www.parallemic.org/

Weitere Parallelkinematiken mit sechs Führungslenkern (2) Lenkerfußpunkte paarweise auf Kreisbahn geführt: Delta-Parallelmanipulator (R. Clavel, EPF Lausanne) ABB IRB 340 FlexPicker q 3 Grundplatte q q2 zusätzlich Drehung des Greifers über Kardanwelle Endeffektor mit Freiheitsgrad 3 bleibt stets parallel zur Grundplatte Roboter für Gesichtschirurgie (Charité, Berlin) Eigenschaften: Hohe Dynamik (Beschleunigungen) durch kleine bewegte Massen Für Pick-and-Place-Anwendungen, Alternative zu SCARA Einsatzgebiete z.b. Bestücken von Leiterplatten Lebensmittelindustrie (ABB FlexPicker) Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.2

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.22 Weitere Parallelkinematiken mit sechs Führungslenkern (3) Lenkerfußpunkte paarweise auf Ebene geführt: Triplanar-Parallelmanipulator q 4 q 3 q 6 q q 2 q 5 Mechatronik-Laboratorium, Universität Paderborn (Prof. Lückel) Institut für Mechatronik e.v., Chemnitz (Prof. Maisser) Antriebe durch Flächen-Schrittmotoren

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.23 Serielle und parallele Roboter Vor- und Nachteile Vorteile von Parallelrobotern gegenüber seriellen Robotern: Modularer Aufbau mit vielen Gleichteilen Höhere Dynamik (größere Beschleunigungen) durch kleinere bewegte Massen möglich: - alle Antriebe können im Grundgestell angeordnet werden - (schwere) Direktantriebe mit hoher Dynamik (z.b. Linearmotoren) möglich - Führungslenker nicht auf Biegung beansprucht, können dadurch leichter gebaut werden Höhere Steifigkeit der Lastführung (Nachgiebigkeit der Plattform z.b. unter Bearbeitungskräften) Empfindlichkeit der Endeffektorlage auf Veränderungen der Bauteilabmessungen (theoretisch) kleiner Eigenfrequenzen liegen auf Grund der kleineren bewegten Massen höher Möglichkeit, das System durch redundante Antriebe zu verspannen, um höhere Steifigkeiten zu erzielen Nachteile von Parallelrobotern gegenüber seriellen Robotern: Arbeitsraum wesentlich kleiner, insbesondere in Bezug auf die Orientierung Kinematische Transformationen bei manchen Bauarten aufwendiger Singuläre Stellungen schwieriger beherrschbar Konstruktive Probleme bei Gelenken (kleines Bauvolumen und großer Bewegungsbereich hohe Steifigkeit) Empfindlichkeit bzgl. thermischer Ausdehnung der Führungslenker

Robotertechnik Aufbau von Robotern.2 Serielle, hybride und parallele Roboter.24 Serviceroboter Serviceroboter: Ein Serviceroboter ist eine frei programmierbare Bewegungseinrichtung, die teiloder vollautomatisch Dienstleistungen verrichtet. Dienstleistungen sind dabei Tätigkeiten, die nicht der direkten industriellen Erzeugung von Sachgütern, sondern der Verrichtung von Leistungen von für Menschen und Sachgütern dienen. (Fraunhofer-Institut für Produktionstechnik und Automatisierung (IPA), Stuttgart, 994) Einsatzgebiete: Gewerblich; häuslicher Bereich Flugzeugwaschroboter (Putzmeister AG) Haushaltsroboter Care-O-Bot (IPA Stuttgart)

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2. Übersicht 2 Koordinatentransformationen bei Robotern 2. Aufgabenstellung 2.2 Koordinatendarstellung von Vektoren 2.3 Beschreibung von Drehungen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.5 Denavit-Hartenberg-Parameter 2.6 Vorwärtstransformation 2.7 Rückwärtstransformation

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2. Aufgabenstellung 2.2 Koordinatentransformationen bei Robotern seriell q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 K E parallel y K E q 6 q y q q 2 q 3 q 4 q 5 K K hier n 6 hier n 6 Roboterkoordinaten q Gelenkwinkel bzw. q -verschiebungen q n beschreiben die Bewegungen der angetriebenen Gelenke Vorwärtstransformation (Direkte Kinematik) y fq ( ) Rückwärtstransformation (Inverse Kinematik) q f ( y ) Weltkoordinaten y re Ortsvektor y E Kardan-Winkel y 6 beschreiben die Lage (Pose) des Endeffektors im Raum

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.3 Übersicht 2 Koordinatentransformationen bei Robotern 2. Aufgabenstellung 2.2 Koordinatendarstellung von Vektoren 2.3 Beschreibung von Drehungen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.5 Denavit-Hartenberg-Parameter 2.6 Vorwärtstransformation 2.7 Rückwärtstransformation

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.2 Koordinatendarstellung von Vektoren 2.4 Koordinatendarstellung von Vektoren s e z z e z z s z s Schreibweise für Vektoren: Fette Buchstaben a, v,, usw. (handschriftlich unterstrichen: a, v,, usw.). Zerlegung eines Vektors s in Richtung der Basisvektoren ex, ey, ez (Einheitsvektoren) eines rechtshändigen Koordinatensystems K : sx x sy y sz s e e e z. s e x x x e x s x O e y s e s y y y y Koordinaten (skalare Komponenten) sx s ex, sy s ey, sz s ez Schreibweise als (3,)-Matrix sx sx s s y sy s sz z. sx, sy, sz. mit

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.2 Koordinatendarstellung von Vektoren 2.5 Rechenoperationen mit Vektoren () Rechenoperation geometrisch vektoriell Koordinatendarstellung Addition zweier Vektoren b a c c a b c a b c a x x b c a b c a b x y y y z z z Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar b a b a, 0 a, 0 b a b a b x a x b y a y b z a z

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.2 Koordinatendarstellung von Vektoren 2.6 Rechenoperationen mit Vektoren (2) Rechenoperation geometrisch vektoriell Koordinatendarstellung Skalarprodukt zweier Vektoren b a m m a b abcos m skalar T m a b b x m ax ay a z b y bz mab ab ab x x y y z z Vektorprodukt c c ab c ab zweier Vektoren 0 az a y b c absin e n x c az 0 ax by e n b A ay ax 0 b A z ab y z ab z y a c ab z xab x z ab x y ab y x

Transformation von Vektorkoordinaten x s e x e z O s y z s e y s z s x y Zwei Darstellungen des Vektors s : z 2 y 2 e y2 e z2 O 2 e x2 Skalare Multiplikation mit den Einheitsvektoren e, e, e : e e e 2 sx ex ex2 ex ey2 ex ez2 sx s e e e e e e s y y x2 y y2 y z2 y sz ez ex2 ez ey2 ez ez2 sz s 2s z 2s y 2s x! 2 2 2 sxex syey szez sxex2 syey2 szez2 x y z x 2 x y z 2 Eigenschaften der Transformationsmatrix T : Aufbau der Zeilen- und Spaltenvektoren: 2 T ex 2 2 T T ex2 ey2 e z2 e y 2 T ez Umgekehrte Koordinatentransformation 2 2 2 s T s mit T 2 T ist orthogonal Sechs Orthonormalitätsbedingungen: Nur drei der neun Elemente von sind voneinander unabängig Freiheitsgrad drei der Drehung 2 2 T Weil die Transformationsmatrix die Drehung eines Körpers beschreibt, wird sie auch als Drehmatrix bezeichnet. T 2 T T 2 2 s T s Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.2 Koordinatendarstellung von Vektoren 2.7

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.3 Beschreibung von Drehungen 2.9 Beschreibung von Drehungen durch Transformationsmatrizen (Drehmatrizen) Drehung eines Körpers um einen Fixpunkt O r 0 z 0 z Koordinaten des gedrehten körperfesten Vektors mit 0 0 r() t T() t r 0r () t zeitlich veränderliche Koordinaten von r im Ausgangssystem K 0 r x 0 y 0 Ausgangslage (Zeitpunkt t 0 ) O x r () t y Gedrehte Lage (Zeitpunkt t ) r konstante Koordinaten von r 0 T() t im mitgedrehten System K 0 Es gilt r r const 0 zeitlich veränderliche (3,3)-Drehmatrix Es gilt () t () t () t () t 0 0 0 0 T ex ey ez

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.0 Drehmatrizen Beispiele () Drehung um die x - Achse O z 2 x z 3 x 2 2 z y 2 O2 Drehung um die z 2 O2 O y 2 x2 2 3 2 x 3 3 y y - Achse y x 2 z 2 e z2 cos sin 2 sin O z 3 e z 3 cos 2 e x2 e x 3 x 3 z e z O sin 2 2 cos 2 2 cos 2 z 2 e z2 e y2 sin ey y O2 O y 2 3 Transformation von K 2 2 r T r 2 mit der Drehmatrix 0 0 2 T ex2 ey2 ez2 0 cos sin 0 sin cos Transformation von K 2 23 3 r mit der Drehmatrix T r 23 2 2 2 T ex3 ey3 ez3 nach K nach K 3 2 cos 2 0 sin 0 0 sin 0 cos 2 2 2

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.3 Beschreibung von Drehungen 2. Drehmatrizen Beispiele (2) O x z 3 O 2 z 2 2 O 3 x 3 z y2 x2 2 y y 3 Die Hintereinanderschaltung der zu den Einzeldrehungen gehörendenkoordinatentransformationen liefert die Transformation von K nach K 2 2 2 3 r T r 2 23 3 r T T r 23 3 r T r 3T mit der Drehmatrix 3 2 23 3 0 0 cos 0 sin T T T T 2 2 0 cos sin 0 0 0 sin cos sin 2 0 cos 2 cos 2 0 sin 2 sin sin 2 cos sin cos 2. cos sin 2 sin cos cos 2

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.3 Beschreibung von Drehungen 2.2 Orientierung des Endeffektors im Raum z E Gieren (yaw) Drehung um Hochachse z 0 TCP Rollen (roll) Drehung um Längsachse x E y E Nicken (pitch) Drehung um Querachse x 0 y 0 Die Drehmatrix der Drehung des endeffektorfesten Koordinatensystems K E gegenüber dem raumfesten System K0 kann mit Hilfe von drei aufeinanderfolgenden Drehungen um drei unterschiedliche Achsen in vorgegebener Reihenfolge (Drehungen sind nicht kommutativ! ) beschrieben werden. Dies führt auf die Definition der Kardan-Winkel (oft auch als yxz- bzw. zyx-euler-winkel bezeichnet, die Benennungen sind in der Literatur nicht einheitlich).

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.3 Beschreibung von Drehungen 2.3 Nichtkommutativität von Drehungen z z. Drehung: 90 um x-a chse 2. Drehung: 90 um y-ac hse z Ausgangslage x O y x O y x O y z z. Drehung: 2. Drehung: 90 um y-ac hse 90 um x-ac hse x O y x O y Es werden unterschiedliche Endlagen erreicht!

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.4 Kardan-Winkel. Definition (xyz-euler-winkel) Ausgangslage K K 0 3. Drehung: 2. Drehung: 3. Drehung: Winkel x ( x ) Winkel y ( y ) Winkel um um 3 0 um 3 z ( z ) 3 2 z 0 z z 0 z z 0 z z 0 z 2 z 2 z 3 y 3 z 3 y 3 y y y 2 z y 3 3 z3 y 2 y 3 x 3 y 0 x 3 y 0 x 3 y 0 y 0 x 0 x x 0 x 0 x 2 x 0 x 2 x 3 0 0 T( ) 0 cos sin 0 sin cos Drehmatrizen 0 2 Transformation der Koordinaten eines Vektors r r T( ) r 0 0 cos 0 sin T( ) 0 0 sin 0 cos r T( ) r 2 2 23 cos sin 0 T( ) sin cos 0 0 0 r T( ) r 2 23 3

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.3 Beschreibung von Drehungen 2.5 Kardan-Winkel. Definition (xyz-euler-winkel) Die gesamte Koordinatentransformation von K3 nach K0 lautet 0 0 2 23 3 r T( ) T( ) T( ) r 0 03 3 2 3 T3 r T(,, ) r mit der resultierenden Drehmatrix (Abkürzungen c cos, s sin ) 0 0 cos 0 sin cos sin 0 03T (,, ) 0 cos sin 0 0 sin cos 0 0 sin cos 0 0 sin 0 cos cc cs s 03 T(,, ) cs ssc cc sss sc. ss csc sc css cc Berechnen der Kardan-Winkel aus einer gegebenen Drehmatrix T ( ):. Zwei Lösungen für aus cos T, sin Auswahl von " ", liefert 90 90. 2.Die dazu gehörenden Winkel und ergeben sich aus T T2 cos, sin, cos cos T33 T23 cos, sin. cos cos Für 90 ist die Auflösung nach den Kardan-Winkeln nicht möglich ("Rahmensperre"). 03 T ij

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.3 Beschreibung von Drehungen 2.6 Kardan-Winkel. Definition (xyz-euler-winkel) Interpretation der beiden Lösungen: 2 3 T3 cos T, sin Auswahl von " ", liefert 90 90. Lösung " " x 0 z 2 x 2 z z 3 z 0 y 3 x 3 y 0 Lösung "+" y 2 z 0 Darstellung der Rahmensperre bei 90 : Die Berechnung der Kardan-Winkel aus der Drehmatrix ist singulär (Nenner cos 0 ). Die Drehachsen der kardanischen Aufhängung liegen in einer Ebene es ist keine Drehung um die -Achse möglich. x 3 x 0 x 3 y3 z3 y 0

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.3 Beschreibung von Drehungen 2.7 Kardan-Winkel 2. Definition (zyx-euler-winkel) Ausgangslage K K 0 3. Drehung: 2. Drehung: 3. Drehung: Winkel z ( z ) Winkel y ( y ) Winkel um um 3 0 um 3 x ( x ) 3 2 z 0 z z 0 z 2 z 0 z 3 z 2 z 0 y z 3 x3 3 x0 y0 y x 0 x z 3 x 3 y 3 y 0 y x 0 x x 2 z 3 x 3 y 3 y y 0 y 2 x 0 x x x 2 3 y 0 y 3 y 2 cos sin 0 cos 0 sin Drehmatrizen 0 2 T( ) sin cos 0 T( ) 0 0 0 0 sin 0 cos Transformation der Koordinaten eines Vektors r r T( ) r 0 0 r T( ) r 2 2 23 0 0 T( ) 0 cos sin 0 sin cos r T( ) r 2 23 3

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.3 Beschreibung von Drehungen 2.8 Kardan-Winkel 2. Definition (zyx-euler-winkel) Die gesamte Koordinatentransformation von K3 nach K0 lautet 0 0 2 23 3 r T( ) T( ) T( ) r 0 03 3 r T(,, ) r mit der resultierenden Drehmatrix (Abkürzungen c cos, s sin ) cos sin 0 cos 0 sin 0 0 03T (,, ) sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 sin cos sin 0 cos cc sc css ss csc 03T (,, ) sc cc sss cs ssc s cs cc Berechnen der Kardan-Winkel aus einer gegebenen Drehmatrix T ( ):. Zwei Lösungen für aus cos, sin 90 90. 2 T3 T3 Auswahl von " ", liefert 2.Die dazu gehörenden Winkel und ergeben sich aus T33 T32 cos, sin, cos cos T T2 cos, sin. cos cos Für 90 ist die Auflösung nach den Kardan-Winkeln nicht möglich ("Rahmensperre"). 03 T ij

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.20 Lage eines Körpers im Raum Geg.: Lage (Pose) von K gegenüber Position von O : Orientierung : 0 0 r0() t 0 T() t K z 0 z 2 y 2 x 2 O 2 r 2z r 2x r 2y x Lage (Pose) von K Position von O : Orientierung : 2 r2 gegenüber 2 2 T const const K r20( t) z r2( t) y O Ges.: Lage (Pose) von K gegenüber Position von O : Orientierung : 2 0 2 r20 02 () t T() t K 0 O 0 r0( t) 0r 20x 0r 20z 0r 0x 0r 0z y 0 x 0 0r 20y 0r 0y

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.2 Lage eines Körpers im Raum Position von O gegenüber K : 2 0 0 0 0 r20x() t r0x() t T() t T2() t T3() t r2x r () t r () t T () t T () t T () t r 20y 0y 2 22 23 2y r 20z() t r 0z() t T3() t T32() t T33() t r2z 0 0 0 20() t 0() t () t 2 r r T r Orientierung von K gegenüber K : 2 0 z 0 r20( t) z 2 y 2 x 2 O 2 z r 2z r 2x r2( t) y r 2y O x T() t T() t T 02 0 2 r0( t) 0r 20z 0r 0z y 0 O 0 0r 20x 0r 0x 0r 20y 0r 0y x 0

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.22 Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen Die Gleichung für die Position von O gegenüber K 2 0 0 0 0 r20x() t r 0x() t T () t T2() t T3() t r 2x r20y() t r0y() t T2() t T22() t T23() t r2y r 20z() t r 0z() t T 3() t T32() t T33() t r2z 0 0 0 r () t r () t T() t r 20 0 2 kann umgeschrieben werden in die äquivalente Matrizengleichung oder 0 0 0 0 0 r20x() t T() t T2() t T3() t r0x() t r2x 0 0 0 0 0 r20y() t T2() t T22() t T23() t r0y() t r 2y 0 0 0 0 0 r20z() t T3() t T32() t T33() t r0z() t r 2z 0 0 0 0 0 P 2 ( t) D() t P 2 0 0 0 r20() t T() t r0() t r2 0 T 0 0 P2() t D() t P2 0P 2 homogene Koordinaten des Punktes O 2 in K 0 P 2 homogene Koordinaten des PunktesO 2 in K 0 D ( 4,4)-Matrix, transformiert homogene Punktkoordinaten vom System K in das System K 0

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.23 Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen Die Matrizengleichung für die Position vono 0 0 0 r20() t T() t r0() t r2 0 T 0 0 P2() t D() t P2 kann um die Gleichung für die Orientierung von K 02 0 2 T T () t () t T gegenüber K 2 0 gegenüber K 2 0 erweitert werden. Dies führt auf die (4,4)-Matrizengleichung 02 0 0 0 2 T() t r20() t T() t r0() t T r2 T T T. 0 0 0 02 0 2 D() t D() t D Diese Gleichung verknüpft die (4,4)-Lagematrizen der Koordinatensysteme: 0D Lage (Pose) von K gegenüber K0, 2D Lage (Pose) von K2 gegenüber K, 02D Lage (Pose) von K gegenüber K. 2 0

Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen Beispiel Geg.: Ges.:,, sl 0 2 02 D, D, D Lage (Pose) von K gegenüber K0 cos sin 0 0 0 0 0 sin cos 0 0 T r 0D 0 0 s 0 0 0 0 0 0 Lage (Pose) von K2 gegenüber K 0 0 l 2 T r 2 0 0 0 2 D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lage (Pose) von K gegenüber K 02 0 2 02 2 0 0 0 2 0 2 0 0 02 0 T r0 T r2 T T T r2 r0 T r20 D D D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin cos 0 l cos cos sin 0 l sin D 0 0 s 0 0 0 Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.24 s x 0 O 0 z y O r0 x r2 z 0 l y 0 r 20 O 2 z 2 y 2 x 2

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.25 Inverse (4,4)-Lagematrix 0 0 0 T r 0, 0 0 Wird die Lage (Pose) von K gegenüber K beschrieben durch die (4,4)-Lagematrix D 0 0 0 so wird umgekehrt die Lage (Pose) von K gegenüber K beschrieben durch dazu inverse (4,4)-Lagematrix D 0 0 0 0 T r 0 0 0 Mit den Zusammenhängen für die Drehmatrix D. 0 0 T T T und für den umgekehrten Vektor r 0 0 0 T 0 r0 T r0 T r0 lautet die zu 0 D r 0 0 inverse (4,4)-Lagematrix mit der Koordinatendarstellung D D 0 0 0 0 T 0 T 0 T T r 0 0 0.

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.26 Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen Beispiel (Forts.) Aus der (4,4)-Lagematrix von K 02 gegenüber K 2 0 sin cos 0 l cos 02 0 T r 20 cos sin 0 l sin D 0 0 s 0 0 0 0 0 0 folgt die dazu inverse Lagematrix von K gegenüber K 0 2 s z y O r0 x r2 z 0 l r 20 O 2 x 2 20 02 20 D D 02 T 02 T 0 20 2 T T r 20 T r 02 0 0 0 0 0 0 sin cos 0 0 cos sin 0 l D 0 0 s. 0 0 0 x 0 O 0 y 0 r 02 z 2 y 2

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen 2.27 Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen Beispiel 2 Geg.: Abmessungen, Winkel Ges: a) Lagematrizen b) Lagematrix c) Lagematrix 2 3 34 2 24, D, D, D D D 7 x z O y z 4 8 y 2 z 2 O 2 4 x 2 z 3 y 4 3 O 3 x 3 y 3 5 O 4 2 x 4

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.5 Denavit-Hartenberg-Parameter 2.29 Denavit-Hartenberg-Parameter Definition () Denavit-Hartenberg-Parameter (DH-Parameter) ermöglichen die standardisierte geometrische Beschreibung von kinematischen Ketten durch eine minimale Anzahl von Abmessungen: Dem i-ten Armsegment wird das körperfeste Koordinatensystem K wie folgt zugeordnet: z x y i i i -Achse wird mit frei wählbarem Richtungssinn in die Achse des Gelenks i gelegt -Achse wird in das gemeinsame Lot der zi - und der zi-achse gelegt. Sie wird von der zi - zur zi-achse gerichtet. Falls sich die zi - und zi-achsen schneiden, ist der Richtungssinn der x -Achse frei wählbar. -Achse Ergänzung zum Rechtssystem. Ursprung Oi wird in den Schnittpunkt der xi- und der zi-achse gelegt. Falls die Gelenkachsen zi - und zi parallel sind, ist die Lage von O auf der z -Achse nicht bestimmt und frei wählbar. i i i i Denavit J, Hartenberg R S: A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices. ASME Journal of Applied Mechanics 22 (955), 20-222.

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.5 Denavit-Hartenberg-Parameter 2.30 Denavit-Hartenberg-Parameter Definition (2) Die Lage (Pose) des Koordinatensystems Ki gegenüber dem System Ki wird durch die vier DH-Parameter beschrieben: i i i si Abstand zwischen der xi- und der xi-achse, gemessen in Richtung der z -Achse (vorzeichenbehaftet). Winkel zwischen der x - und der x -Achse, gemessen im mathematisch positiven Sinn um die z -Achse (vorzeichenbehaftet). i i i i Kreuzungswinkel zwischen der z - und der z -Achse, gemessen im mathematisch positiven Sinn um die x -Achse (vorzeichenbehaftet). i i di Kreuzungsabstand zwischen der zi- und der zi-achse, gemessen in Richtung der xi-achse (vorzeichenbehaftet) Da die xi-achse so gewählt wurde, dass sie von der z - zu der z -Achse zeigt, ist d. i i i 0

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.5 Denavit-Hartenberg-Parameter 2.3 Denavit-Hartenberg-Parameter Drehgelenk Gelenk i Gelenk i Gelenk i Armsegment i Armsegment i yi i zi d i Oi xi z i ri, i y i s i Oi i x i Lage (Pose) von Ki gegenüber Ki cos i sin i cos i sin i sin i di cos i ii, i T ri, i sin i cos i cos i cos i sin i di sin i ii, D 0 sin i cos i si 0 0 0 0 0 0

Denavit-Hartenberg-Parameter Schubgelenk Gelenk i Gelenk i Gelenk i Armsegment i Armsegment i yi i zi d i Oi xi z i ri, i y i s i Lage (Pose) von K ii, i gegenüber K i cos i sin i cos i sin i sin i di cos i ii, i T ri, i sin i cos i cos i cos i sin i di sin i D 0 sin i cos i si 0 0 0 0 0 0 Oi Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.5 Denavit-Hartenberg-Parameter 2.32 i x i

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.6 Vorwärtstransformation 2.34 Vorwärtstransformation bei seriellen Robotern q 3 q 2 qn 2 qn y E x E 2 3 4 q n O E z E q z r E E, T( ) E x y O Roboterkoordinaten q Gelenkwinkel bzw. q -verschiebungen q n beschreiben die Bewegungen der angetriebenen Gelenke Vorwärtstransformation (Direkte Kinematik) y fq ( ) Weltkoordinaten y re Ortsvektor y E y Kardan-Winkel 6 beschreiben die Lage (Pose) des Endeffektors im Raum

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.6 Vorwärtstransformation 2.35 Denavit-Hartenberg-Parameter Beispiele () 2 3 2 4 s 3 4 r E 5 6 5 z E 6 O E y E x E 7 s s 2 O 2 z 2 x 2 O 3 x 3 z 3 x 5 s 3 z 5 x 6 z 6 z x 4 4 O O O s 6 4 5 6 O E z E z z x O y x y i s d i i i i O variabel 400 mm 90 0 mm 2 variabel 250 mm 90 0 mm 3 0 variabel 0 0 mm 4 variabel 0 mm 90 0 mm 5 variabel 0 mm 90 0 mm 6 variabel 340 mm 0 0 mm

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.6 Vorwärtstransformation 2.36 Denavit-Hartenberg-Parameter Beispiele (2) Lagematrizen von Ki gegenüber Ki, i,, 6 : 2 23 34 cos 0 sin 0 mm D 0 0 400 mm 0 0 0 sin 0 cos 0 mm, cos 0 sin 0 mm D 0 0 250 mm 0 0 0 2 2 sin 2 0 cos 2 0 mm, 0 0 0 0 0 0 D 0 0 s, 3 0 0 0 45 56 67 D D D cos 0 sin 0 mm 0 0 0 mm 0 0 0 4 4 sin 4 0 cos 4 0 mm, cos 0 sin 0 mm 0 0 0 mm 0 0 0 5 5 sin 5 0 cos 5 0 mm, cos sin 0 0 mm 0 0 340 mm 0 0 0 6 6 sin 6 cos 6 0 0 mm. Lage (Pose) von K K gegenüber K : 7 E D D D D D 0 0 0 7 T r 7 2 23 56 67 7.

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.6 Vorwärtstransformation 2.37 Denavit-Hartenberg-Parameter Aufgaben z Grundlänge z 2 x O z 2 2 z 3 2 O 4 y 4 x 4 P z 4 y x z 2 2 2 3 O z 3 z E O E 3 s 3 y E x E y Geg.: Ges: Abmessungen a) Fehlende Achsen der Koordinatensysteme b) DH-Parameter K, K 2 3 c) (4,4)-Lagematrizen 2 23 34 4 D, D, D, D d) Jacobi-Matrix J des Systems K (siehe Kapitel 3) 4 4

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.39 Rückwärtstransformation bei seriellen Robotern q 3 q 2 3 4 qn 2 qn q n ye x E z E 2 O E q z r E E, T( ) E x y O Roboterkoordinaten q Gelenkwinkel bzw. q -verschiebungen q n Rückwärtstransformation (Inverse Kinematik) q f ( y ) Weltkoordinaten y re y E y 6 Ortsvektor Kardan-Winkel Im Fall dimq n dim y ist der Roboter kinematisch redundant: Die Rückwärtstransformation hat unendlich viele Lösungen. Anschaulich: Die kinematische Kette kann bei festgehaltenem Endeffektor bewegt werden.

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.40 Lösungsverfahren für die Rückwärtstransformation Bestimmungsgleichungen für die Rückwärtstransformation g( q, qn, y) 0 nichtlineares algebraisches g(, q y) 0 Gleichungssystem für die g6( q, qn, y) 0 Roboterkoordinaten q analytische Verfahren numerische (iterative) Verfahren Algebraischer Ansatz Geometrischer Ansatz Newton-Raphson Verfahren inkrementelle Rücktransformation Schwierigkeiten bei der Rückwärtstransformation: Mehrdeutigkeit der Lösungen: Zu einer gegebenen Endeffektorlage gibt es mehrere Lösungen. An den Grenzen des Arbeitsraums treten Singularitäten auf. Analytische Lösungen, die wegen des Berechnungsaufwandes angestrebt werden, existieren nur in speziellen Fällen (bei den meisten Industrierobotern trifft dies zu).

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.4 Analytische Lösungsverfahren für die Rückwärtstransformation 2 23 6E D q D q2 D q6! Algebraischer Ansatz Für einen n 6 - achsigen Roboter gelten die folgenden 2 Bestimmungsgleichungen für die Roboterkoordinaten q, von denen sechs voneinander unabhängig sind: ( ) ( ) ( ) E Dy ( )! 2 23 6E E D( q) D( q2) D( q6) Dy ( )! 23 6E 2 E q2 q6 q D( ) D( ) D ( ) Dy ( ) ii, Weitere Gleichungen werden durch Multiplikation mit D von links erhalten :! 6E 56 23 2 E q6 q2 q2 q D( ) D ( ) D ( ) D ( ) Dy ( ) Die Auswahl günstiger Gleichungen für die analytische Auflösung nach den Roboterkoordinaten ist i. Allg. schwierig. Geometrischer Ansatz Durch geometrische Überlegungen können häufig Bestimmungsgleichungen gefunden werden, die nach den gesuchten Gelenkkoordinaten auflösbar sind.

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.42 Beispiel zur Rückwärtstransformation Algebraischer Ansatz Ebener Roboter mit n 3 Achsen Geg: Ges: Abmessungend, d2, d3 Endeffektorlage y [ x y ] Gelenkwinkel,, 2 3 E E E T y y E d 2 d 3 O E O 3 3 E Algebraischer Ansatz d O O 2 2 x E x Mit den Abkürzungen c cos( ), s sin( ), 2 2 2 2 c cos( ), s sin( ) 23 2 3 23 2 3 lauten die Bestimmungsgleichungen E E D( q) D( y) c23 s23 0 d c d2 c2 d3 c23 ce se 0 xe s23 c23 0 d s d2 s2 d3 s23 se ce 0 ye 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.43 Beispiel zur Rückwärtstransformation Algebraischer Ansatz Die (,4)- und (2,4)- Bestimmungsgleichungen x d d d x d x d d 3 c 2 c2 3 c23 E 2 c2 E 3 c23 c d s d s d s y d s y d s d s y3 werden quadriert und addiert, 2 2 3 23 E 2 2 E 3 23 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2x d cos 2y d sin x y d d 0. A( y) B( y) C( y) () (2) liefert entsprechend der folgenden Folie zwei Lösungen, Diese Bestimmungsgleichung für (,2) Für jeden der berechneten Winkel können mit Hilfe der (,4)- und (2,4)- Bestimmungsgleichungen der dazugehörende Winkel eindeutig berechnet werden, cos( 2) d ( x3 dc ) 2 (,2) 2. sin( 2) d ( y3 d s ) 2 Die (,)- und (2,)-Bestimmungsgleichungen ergeben c23 ce E 2 3. s23 se womit eindeutig der Winkel erhalten wird, (,2) (,2) (,2) 3 E 2 2. 3 Der Auflösungablauf ist : y () (2) () 2 (2) 2 () 3 (2) 3.. Konfiguration 2. Konfiguration

Auflösung von A cosβ + B sinβ + C = 0 Die Bestimmungsgleichung (Index bei weggelassen) Acos Bsin C 0 wird zur Auflösung nach umgestellt und quadriert 2 2 ( Acos C) ( Bsin ) 2 2 2 2 2 A cos 2AC cos C B sin 2 cos Die beiden Lösungen entsprechen den beiden Konfigurationen der kinematischen Kette bei gegebener Endeffektorlage. 2 2 2 2 2 ( A B )cos 2AC cos ( C B ) 0. d 2 Diese quadratische Gleichung in cos liefert zwei Lösungen 2 2 2 (,2) cos AC B A B C 2 2. A B (2) d d d 2 O 3 Einsetzen dieser Lösungen in die Ausgangsgleichung Acos Bsin C 0 ergibt O () sin (,2) 2 2 2 BC A A B C 2 2 A B. cos sin () (2) Damit liegen zwei Lösungen, im Intervall vor: () (2) cos () (2) () (2) sin. Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.44

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.45 Beispiel zur Rückwärtstransformation Algebraischer Ansatz Insgesamt liegt damit der folgende Auflösungablauf vor: y () (2) () 2 (2) 2 () 3 (2) 3. Konfiguration 2. Konfiguration Die beiden Lösungen für die Gelenkwinkel entsprechen den beiden möglichen Konfigurationen der kinematischen Kette: y y E (2) (2) 2 (2) O 2 O E O 3 (2) 3 () 3 E O () O 2 () 2 () x E x

Beispiel zur Rückwärtstransformation Geometrischer Ansatz Ebener Roboter mit Geg: Ges: n 3 Achsen Abmessungen d, d2, d3 Endeffektorlage y [ x y ] Gelenkwinkel,, Geometrischer Ansatz 2 3! 3( y) r2( ) d2 3 2 E E E Der Abstand d2 der Punkte O2 und O3 kann in Abhängigkeit der gegebenen Endeffektorkoordinaten y und des Gelenkwinkels β ausgedrückt werden, r ( r ( y) r ( )) 2! d 2 2 2 2 3( y) r2 d2 ( r ( )) 0 2 T 2 2 3 3 2 r2 d2 r 2r r 0 mit r! d cos x x d cos E sin E 3 E 3 2, r2 dsin y 3 ye d3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2x d cos 2y d sin x y d d A( y) B( y) C( y) () (2), 2 Lösungen, siehe folgende Folie T Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.46 0 y y E O 2 y y 3 d r 3 O O O r 2 2 d 2 d 2 d 3 2 d 3 O E O 3 x 3 x E O 3 3 O E E x x

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.47 Beispiel zur Rückwärtstransformation Geometrischer Ansatz (,2) 32 (,2) Für jeden der berechneten Winkel kann der dazu gehörende Vektor r berechnet werden, (,2) x (,2) (,2) 3 d cos r32( ) r3 r2( ) (,2) y3 d sin Zu jedem eindeutig aus cos sin 3 3 ergibt sich der dazugehörende Winkel T r (,2) 2 r32 cos dd ( r r ) e (,2) sin dd 2 und der dazugehörende Winkel 2 (,2) T 2 2 32 z T 32 re 3 r d2d3 T ( r 32 re3 ) e d d 2 3 z 3 3 (,2) eindeutig aus Insgesamt ergibt sich der dargestellte Auflösungsablauf zur Berechnung der beiden Lösungen. 2 y O (2) Auflösungsablauf () (2) (2) O 2 r 2 () () 2 (2) 2 (2) 2 () O 2 () 3 (2) 3 O 3 r 32 () 2 O E () 3 (2) 3. Konfiguration 2. Konfiguration

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.48 Ebener Dreigelenkroboter Arbeitsraum d d d 2 3 TCP d 3 d 2 d d d 2 3 d Lage-Arbeitsraum (dextrous workspace) Gesamtheit aller erreichbaren Lagen (Position und Orientierung) des Endeffektors d d d 2 3 Positions-Arbeitsraum (reachable workspace) Gesamtheit aller vom TCP erreichbaren Punkte bei eingeschränkter Orientierung des Endeffektors Weitere Einschränkung der Arbeitsräume ergeben sich durch die begrenzten Schwenkwinkel der Gelenke.

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.49 Arbeitsraum Vertikaler Knickarm-Roboter Seitenansicht Draufsicht

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.50 Berücksichtigung der Konfiguration bei der Bahnplanung Beispiel singuläre Stellung I Ziel 2 Konfigurationen 2 max Start Bahn II Bahn I Bahn I Start "Arm rechts" 2 Ziel Hindernis min Bahn II II Ziel singuläre Stellung 2 min max "Arm links" Die Zielposition kann wegen des Hindernisses nur in der Konfiguration "Arm links" erreicht werden. Befindet sich die kinematische Kette zu Beginn der Bewegung in der Konfiguration "Arm rechts", so ist sie in die Konfiguration "Arm links" zu überführen. Hierbei ist ein Durchgang durch die singuläre Stellung erforderlich.

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.7 Rückwärtstransformation 2.5 Konfigurationen eines vertikalen Knickarmroboters 4, 5, 6 Zu jeder der vier dargestellten Konfigurationen gehören zwei mögliche Orientierungen des Handgelenks. 2 3 Insgesamt gibt es damit acht Konfigurationen. Auflösungsablauf y 2 3 4 5 6. Konfiguration 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3. Übersicht 3 Geschwindigkeit und Beschleunigung 3. Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse 3.2 Allgemeine Bewegung eines Körpers im Raum 3.3 Jacobi-Matrix, singuläre Lagen 3.4 Kinematisch redundante Roboter 3.5 Jacobi-Matrix und Kräfte

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3. Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse 3.2 Drehung um eine raumfeste Achse Betrachtet wird die Drehung eines starren Körpers um die raumfeste z-achse mit dem zeitlich veränderlichen Drehwinkel () t. z Bahn von P Die Lage eines Körperpunkts P wird beschrieben durch den Ortsvektor rt () mit den Koordinaten im raumfesten System Oxyz, r sin xt () rsincos () t r() t yt () rsinsin () t zt () r cos mit cos r e const, r r. z Der Punkt P bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius r um die Drehachse. sin e z O x r x y P z y

Drehung um eine raumfeste Achse Die Geschwindigkeit von P kann auf zwei Arten berechnet werden: a) Ableiten der Koordinaten von r() t nach der Zeit t vx( t) r sin sin ( t) r () t v() t vy() t r sincos () t () t vz() t 0 Eigenschaften des Geschwindigkeitsvektors v : 2 2 2 Betrag v v v v v : b) Mit dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit ez gilt die Vektorgleichung v r Die Auswertung in Koordinaten ergibt 0 rsin cos ( t) rsin sin ( t) v 0 rsin sin ( t) rsincos () t () t () t r cos 0 v r sin v proportional zum Abstand von P von der Drehachse Richtung : vz 0 v r v0 v x y z parallel zur xy-ebene, senkrecht zur Drehachse senkrecht auf r Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3. Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse 3.3 (3.) e z O y O z r sin x r sin x r x y v P P y y r v x

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3. Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse 3.4 Drehung um eine raumfeste Achse v r Die Geschwindigkeitsvektoren der Körperpunkte vi definieren ein Vektorfeld (Geschwindigkeitsfeld) mit den folgenden Eigenschaften: Betrag vi vi proportional zum Abstand des jeweiligen Punktes ri von der Drehachse: v r. i i Richtung von vi senkrecht auf der Verbindungslinie von der Drehachse zum jeweiligen Punkt v r 2 2 O r 2 r Richtungssinn von v i nach der Rechtsschraubenregel. r i v i

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3. Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse 3.5 Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl Die Größen Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl sind zu unterscheiden: Winkel rad Zeit s s n Dimension Umrechnung Umdrehungen Zeit Einheit n Hz entspricht 2 s s also Beispiel: Die Drehzahl n 2n (U) (U) 20 ˆ 2 2 Hz min s entspricht der Winkelgeschwindigkeit 2 2 = 2, 56 s s Winkelgeschwindigkeit zeitliche Änderung des Drehwinkels Hz U Drehzahl (Drehfrequenz) Anzahl Umdrehungen pro Zeiteinheit s s

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3. Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse 3.6 Drehung um eine raumfeste Achse Beschleunigung Die Beschleunigung von P kann auf zwei Arten berechnet werden: a) Ableiten der Koordinaten von v() t nach der Zeit t : a r sin sin r sin cos v r sin cos 2 sin sin 0 0 at an Tangential- Normal- Beschleunigung b) Zeitableitung der Vektorgleichung vr : a v r r (Produktregel) mit r r und dem Vektor der Winkelbeschleunigung ez. Damit gilt für die Beschleunigung von P die Vektorgleichung a r ( r) (3.2) a t an Die Auswertung dieser Vektorgleichung in Koordinaten ergibt 0 r sin cos 0 0 r sin cos a 0 r sin sin 0 0 r sin sin r cos r cos r sin sin r sin cos 2 a r sin cos r sin sin 0 0 e z O y O z, a a n x r x y a t a n a P P y a t x

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.7 Übersicht 3 Geschwindigkeit und Beschleunigung 3. Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse 3.2 Allgemeine Bewegung eines Körpers im Raum 3.3 Jacobi-Matrix, singuläre Lagen 3.4 Kinematisch redundante Roboter 3.5 Jacobi-Matrix und Kräfte

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.2 Allgemeine Bewegung eines Körpers im Raum 3.8 Allgemeine räumliche Bewegung Geschwindigkeit von P Wie bei der ebenen Bewegung ist, vgl. Folie 2.2, rp rq rpq v v r P Q PQ Die zeitliche Änderung des körperfesten Vektors r Vektor der Winkelgeschwindigkeit ausgedrückt, PQ wird mit dem z r P r PQ P r PQ vp r PQ Damit ist r PQ v v r P Q PQ. (3.3) r Q Q v Q Beschleunigung von P Die zeitliche Ableitung von vp ergibt die Beschleunigung von P, v v r r mit r r P Q PQ PQ PQ PQ O x y a a r ( r ) (3.4) P Q PQ PQ

Beispiel Roboter mit zwei Drehgelenken Geg: Armlängen d, d2 Gelenkwinkel, 2 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, Ges: Ortsvektor r3 von O3 Geschwindigkeit v von O Beschleunigung a von O 3 3 3 3 2 y O d d 2 2 O 2 O 3 2 x O 3 O 2 2 Armsegment : Drehbewegung um O Armsegment 2: Allgemeine ebene Bewegung Ortsvektor vono3 x d 3 cos d2 cos 2 r r r y d sin d sin mit z 3 0 Geschwindigkeit von P, zwei Berechnungswege: 3 2 32 3 2 2 2 2 2 a) Berechnung durch Zeitableitung der Ortsv ektorkoordinaten im raumfesten Koordinatensystem entsprechend d sin 2 d2 sin 2 r v d cos d cos mit 0 3 3 2 2 2 2 2 Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.2 Allgemeine Bewegung eines Körpers im Raum 3.9 y O y 3 3 r 3 r 32 2 r O 2 O 2 x 3 x

Beispiel Roboter mit zwei Drehgelenken b) Vektorielle Berechnung Die Drehung des Armsegments um O liefert gemäß (3.) die Geschwindigkeit von O v r mit w e 2 2 Die Auswertung dieser Vektorgleichung ergibt 2 0 dcos dsin v2 0 dsin dcos z 2 0 Am Armsegment 2 gilt der Zusammenhang (3.3) zwischen den Geschwindigkeiten der Körperpunkte O und O v v r 3 2 2 32 z 2 3 y O v v 3 2r32 r 2 2 r 2 2 O 2 v 2 r 32 O 3 x mit der absoluten Winkelgeschwindigkeit von Armsegment 2 ( ) e 2 2 z 2 e z. Die Auswertung der Vektorgleichung v v r v 3 2 2 3 2 2 32 ergibt dsin 0 d2 cos 2 d sin 2 d2 sin 2 d cos 0 d sin d cos 2 d2 cos 2 0 2 z 2 0 Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.2 Allgemeine Bewegung eines Körpers im Raum 3.0

Beispiel Roboter mit zwei Drehgelenken Beschleunigung von P 2, zwei Berechnungswege: a) Zeitableitung der Geschwindigkeitskoordinaten im raumfesten Koordinatensystem v d sin 2 d2 sin 2 2 2 d cos 2 d2 cos 2 a d cos d cos 2 2 d sin d sin mit 0 0 2 2 2 2 2 b) Vektorielle Berechnung 2 2 2 2 2 Die Drehung des Armsegments um O liefert gemäß (3.2) die Beschleunigung von P a r ( r ) mit ( ) e e 2 2 z 2 0 dcos 0 0 dcos dsin 2 dcos a 0 dsin 0 0 dsin 2 dcos dsin z 20 z 20 0 0 Am Armsegment 2 gilt der Zusammenhang (3.4) zwischen den Beschleunigungen von P und a a2 a 2 r2 2 ( 2 r2) mit ez 2 a Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.2 Allgemeine Bewegung eines Körpers im Raum 3. z P 2 2 0 d2 cos 2 0 0 d2 cos 2 2d2 sin 2 2d2 cos 2 0 d2 sin 2 0 0 d2 sin 2 a 2d2 cos 2 2 2d2 sin 2 2 z 20 2 2 z 20 0 0

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.2 Übersicht 3 Geschwindigkeit und Beschleunigung 3. Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse 3.2 Allgemeine Bewegung eines Körpers im Raum 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.4 Kinematisch redundante Roboter 3.5 Jacobi-Matrix und Kräfte

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.3 Jacobi-Matrix der Rotation Bei dem ebenen Zweiarm-Roboter aus Folie 3.9 f werden die translatorische und rotatorische Geschwindigkeit des Endeffektor- Koordinatensystems auf dem Armsegment 2 betrachtet. K E a) Winkelgeschwindigkeit E von KE Sie ist die Summe Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten und 2, also e e E z 2 z In Matrizenform lautet diese Gleichung E e z ez 2 rot JE oder ausgeschrieben y O d y E d 2 2 O 2 O x E 3 E 2 x O 0 0 Ex Ey 0 0 2 Ez E rot J E rot E Die Matrix J wird als die Jacobi - Matrix der Rotation des Koordinatensystems K E bezeichnet. Sie bildet die T Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten [ 2] in den Winkelgeschwindigkeitsvektor ab. E

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.4 Jacobi-Matrix der Translation a) Geschwindigkeit v von K Wird in der vektoriellen Berechnung von ve v3 von Folie 3.0 v2 r2 mit ez in v v r mit ( ) e E 2 E E2 E 2 z eingesetzt, so ergibt sich v e r ( E z 2 E E ) e r 2 z E2 ve ez ( r2 re2 ) 2 ez re2 2 re r O 2 2 ve ez re O 2ez r E2 () (2) ve ve Diese Darstellung zeigt die Beiträge der Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten und zur Geschwindigkeit v : 2 d sin d2 sin 2 Geschwindigkeit von OE auf Grund () ve ez re d cos d2 cos 2 der Gelenk-Winkelgeschwindigkeit 0 d 2 sin 2 Geschwindigkeit von O auf Grund E (2) ve 2 ez re2 d2 cos 2 2 der Gelenk-Winkelgeschwindigkeit 2 0 y (2) E v E v e r 2 z E2 r E v e r () E r E 2 z E O 3 E E O x

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.5 Jacobi-Matrix der Translation In Matrizenform lauten diese Gleichungen E z E z E2 2 tr JE v e r e r oder ausgeschrieben v d sin d2 sin 2 d2 sin Ex 2 vey d cos d2 cos 2 d2 cos 2 v 2 Ez 0 0 ve tr J tr E Die Matrix J wird als die Jacobi - Matrix der Rotation des Koordinatensystems K E bezeichnet. Sie bildet die T Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten [ 2] in den Geschwindigkeitsvektor v ab. E E y O (2) E v E v e r 2 z E2 v e r () E z E O O 3 E r E 2 r E 2 r O 2 2 x

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.6 Bedeutung der Jacobi-Matrizen Der Rang der Jacobi-Matrizen kennzeichnet die Anzahl der unabhängigen rotatorischen bzw. translatorischen Bewegungsmöglichkeiten von K E in der betrachteten Stellung des Roboters. a) Der Rang der Jacobi-Matrix der Rotation JE in 0 0 Ex Ey 0 0 2 Ez E rot JE beträgt eins, entsprechend der beiden linear abhängigen Spaltenvektoren. Dies bedeutet, dass K E eine unabhängige rotatorische Bewegungsmöglichkeit (Drehung um die z-achse) besitzt. b) Der Rang der Jacobi-Matrix der Translation JE in v dsin d2sin 2 d2sin Ex 2 vey d cos d2 cos 2 d2 cos 2 v 2 Ez 0 0 ve tr JE beträgt zwei, entsprechend der beiden linear abhängigen Spaltenvektoren () (2) ve und ve. Dies bedeutet, dass KE zwei unabhängige translatorische Bewegungsmöglichkeiten (Translation in der xy, -Ebene) besitzt. rot tr y O (2) E v E v e r 2 z E2 v e r () E z E O O 3 E r E 2 r E 2 r O 2 2 x

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.7 Bedeutung der Jacobi-Matrizen Der Rang der Jacobi-Matrizen kennzeichnet die Anzahl der unabhängigen rotatorischen bzw. translatorischen Bewegungsmöglichkeiten von K E in der betrachteten Stellung des Roboters. a) Der Rang der Jacobi-Matrix der Rotation JE in 0 0 Ex Ey 0 0 2 Ez E rot JE beträgt eins, entsprechend der beiden linear abhängigen Spaltenvektoren. Dies bedeutet, dass K E eine unabhängige rotatorische Bewegungsmöglichkeit (Drehung um die z-achse) besitzt. b) Der Rang der Jacobi-Matrix der Translation JE in v dsin d2sin 2 d2sin Ex 2 vey d cos d2 cos 2 d2 cos 2 v 2 Ez 0 0 ve tr JE beträgt zwei, entsprechend der beiden linear abhängigen Spaltenvektoren () (2) ve und ve. Dies bedeutet, dass KE zwei unabhängige translatorische Bewegungsmöglichkeiten (Translation in der xy, -Ebene) besitzt. rot tr y O (2) E v E v e r 2 z E2 v e r () E z E O O 3 E r E 2 r E 2 r O 2 2 x

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.8 Koordinatentransformation auf Geschwindigkeitsebene Mit Hilfe der Jacobi-Matrizen können die Vorwärts- und Rückwärtstransformationen auf Geschwindigkeitsebene berechnet werden. Im vorliegenden Fall des ebenen Zweiachsroboters wird der Zusammenhang zwischen den Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten, 2 und den Geschwindigkeitskomponenten vex, vey des Punktes OE in der xy, -Ebene betrachtet. a) Vorwärtstransformation y v E v e r (2) E 2 z E2 v e r () E r E 2 r E z E O O 3 E Geg.: Gelenkwinkel [ 2 ] T Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten [ ]. T 2 Ges.: Geschwindigkeit von O, v [ v v ]. E Exy Ex Ey T O r 2 2 O 2 x Mit der "ebenen" (2,2)-Jacobi-Matrix J tr Exy gilt der Zusammenhang vex d sin d2 sin 2 d2 sin 2 v Ey d cos d2 cos 2 d2 cos 2 2 v Exy tr JExy

Koordinatentransformation auf Geschwindigkeitsebene b) Rückwärtstransformation Geg.: Gelenkwinkel [ 2 ] Geschwindigkeit von O, v [ v v T ]. T Ges.: Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten [ ]. Ist die Jacobi-Matrix J J tr Exy tr Exy T E Exy Ex Ey Mit der Determinante der Jacobi-Matrix tr Exy D J D dd v Exy 2 tr regulär, kann das lineare Gleichungssystem v J nach v aufgelöst werden, d sin d sin d sin d cos d cos d cos 2 2 2 2 2 2 2 2 (cos sin sin cos 2 2 2 2 2 2 2 lautet die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel 2 D D v d sin v cos v sin v d cos d sin Ex 2 2 Ex 2 Ey 2 Ey 2 2 2 2 2 ) dd sin( ) dd sin Exy Exy Exy d sin d2 sin 2 vex vex( d cos d2 cos 2) vey( d sin d2 sin 2) d cos d cos v dd sin Ey 2 2 Die Auflösung nach v Exy ist nicht möglich für sin 20, also 20 oder 2. Eine solche Lage eines Roboters wird als singuläre Lage bezeichnet. Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.9

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.20 Singuläre Lage des Roboters Betrachtet wird die singuläre Lage des ebenen Zweiarmroboters gemäß Folie 3.9 sin 0 0 oder. 2 2 2 Der Rang der Jacobi-Matrix der Translation J tr bzw. bei ebener Betrachtung J in v Exy Exy e z re ez re2 2 tr JExy reduziert sich von zwei auf eins. Die Beiträge der Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten tr E y O d e e r z E r 2 z E2 r E2 2 d 2 r O 2 E v E O E gesperrte Richtung freie Richtung () (2) v e r und v e r E z E E 2 z E2 zeigen die gleiche Richtung. Dies bedeutet, dass der Punkt nur noch in diese Richtung bewegt werden kann. Die Bewegung in die senkrecht dazu stehende Richtung ist gesperrt. O E Die singulären Lagen typischer Industrieroboter werden in den Folien 3.23-3.25 angegeben.

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.2 Jacobi-Matrix eines allgemeinen seriellen Roboters Betrachtet wird ein Roboter mit fünf Drehgelenken (Gelenkwinkel, 2, 4, 5, 6, Achs -Einheitsvektoren u, u2, u4, u5, u6) und einem Schubgelenk (Verschiebung s, Achs -Einheitsvektor u ). 3 3 u 2 u3 u4 s 3 r r r 2 4 5 6 u E4 E5 E6 r E2 O E u 5 E r E v E O x y Die Winkelgeschwindigkeit E und die Geschwindigkeit ve des Endeffektor-Koordinatensystems KE setzen sich additiv aus den Anteilen auf Grund der relativen Gelenkgeschwindigkeiten zusammen: E u u s 0 u u u 2 2 3 4 4 5 5 6 6 ve ure 2u2rE2 s 3u3 4u4rE4 5u5rE5 6u6rE6 Dreh- Dreh- Schub- Dreh- Dreh- Dreh- Gelenk i

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.22 Jacobi-Matrix eines allgemeinen seriellen Roboters Die (3,6)-Jacobi-Matrix der Rotation J E rot E 2 s 3 u u2 0 u4 u5 u 6 4 rot J E 5 6 q ergibt sich aus Der i-te Spaltenvektor ist bei einem Drehgelenk: Schubgelenk: Nullvektor 0 Achs-Einheitsvektoren u i Die (3,6)-Jacobi-Matrix der Translation J ergibt sich aus 2 s 3 ve ure u2re2 u3 u4re4 u5re5 u6r E6 4 tr J E 5 6 q tr E Der i-te Spaltenvektor ist bei einem Drehgelenk: Vektor ui rei mit dem Vektor rei von der i-ten Gelenkachse zum Punkt O Schubgelenk: Achs-Einheitsvektor u i E

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.23 Singuläre Lagen SCARA-Roboter Reguläre Lage der kinematischen Kette Der Freiheitsgrad des Endeffektors ist f 4. 2 3 s 4 u Singuläre Lage Die Drehachsen u, u2, u3 liegen in einer Ebene E Die Translation des Endeffektors in der Ebene E ist nicht möglich. Der Freiheitsgrad des Endeffektors reduziert sich von vier auf drei. E u 2 u 3

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.24 Singuläre Lagen Zylinderkoordinaten-Roboter Reguläre Lage der kinematischen Kette Der Freiheitsgrad des Endeffektors ist f 6 s 3 5 O 4 2 4 6 u 3 O. singuläre Lage O liegt in der Ebene von u und u Translation in Richtung von u 2 nicht möglich 4 2 u u 2 2. singuläre Lage (Handachsen - Singularität) u4, u5, u6 liegen in einer Ebene E Drehung um die Achse senkrecht von E nicht möglich u 4 u 5 E u 6

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.25 Singuläre Lagen Vertikaler Knickarm-Roboter Reguläre Lage der kinematischen Kette Der Freiheitsgrad des Endeffektors ist f 6 2 3 4 5 6 2. singuläre Lage u2, u3 undo4 liegen in einer Ebene E Translation in Richtung von r nicht möglich u 2 u 3 r 34 E O 4 34. singuläre Lage O liegt in der Ebene von u und u Translation in Richtung von u nicht möglich 4 2 2 O 4 r E 2 u 2 u 3 3. singuläre Lage (Handachsen - Singularität) u4, u5, u6 liegen in einer Ebene E Drehung um die Achse senkrecht von E nicht möglich u4 u5 u 6 u u 2 E

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen 3.26 Bedeutung der singulären Lagen In den singulären Lagen ist die Beweglichkeit des Endeffektors eingeschränkt. Wird eine Bewegungsbahn des Endeffektors so geplant, dass die kinematische Kette in die Umgebung einer singulären Lage kommt, treten hier große Gelenkgeschwindigkeiten auf. Werden die maximalen Gelenkgeschwindigkeiten erreicht, so muss die Bahngeschwindigkeit reduziert werden. In der Praxis bedeutet die Handachs-Singularität (Folien 3.24, 3.25) die größte Einschränkung für die Bahnplanung.

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.4 Kinematisch redundante Roboter 3.28 Kinematisch redundante Roboter Roboterkoordinaten q Gelenkwinkel bzw. q -verschiebungen q n inverse Kinematik q f ( y ) "Funktionale" Lagekoordinaten y durch Aufgabenstellung y vorgegebene Lagekoordinaten y m Falls dimqn dim ym Roboter ist ( n m) -fach kinematisch redundant Inverse Kinematik hat unendlich viele Lösungen Beispiel y E 2 3 TCP 4 2 xe q, y y 3 E 4 dimq 4 dim y 2 2 - fach kinematisch redundant x E

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.4 Kinematisch redundante Roboter 3.29 Kinematisch redundante Roboter Beispiel Sechsachsiger Knickarmroboter mit rotierendem bzw. rotationssymmetrischen Werkzeug (z.b. bohren, fräsen, polieren, lackieren) Drehung des Endeffektors um Werkzeugachse muss nicht vorgegeben nur m 5 Lagegrößen y werden vorgegeben: Koordinaten des TCP und zwei Richtungswinkel der Werkzeugachse dimq6 dim y5 - fach kinematisch redundant werden

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.4 Kinematisch redundante Roboter 3.30 Kinematisch redundante Roboter (3) Umgreifen von Hindernissen Betonverteilermast Arbeitsbühne (Putzmeister AG)

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.4 Kinematisch redundante Roboter 3.3 Kinematisch redundante Roboter Lösung der inversen Kinematik Bei redundanten Robotern ist das Gleichungssystem für die Rückwärtstransformation unterbestimmt: y fq ( ) y f ( q, q ) n y f ( q, q ) m m n m Gleichungen für n m Roboterkoordinaten q Methoden für die Lösung der inversen Kinematik: Ergänzung von weiteren nm Lagegrößen y (Beseitigung der Redundanz) durch Bestimmungsgleichungen der Form g( q, qn, yy, ) 0 gqyy (,, ) 0 gnm( q, q n, yy, ) 0 Nachteil: Funktionale Bewegungsvorgaben lassen sich meist nur umständlich in solche Gleichungen abbilden. Formulierung einer Optimierungsaufgabe, meist als "lokale" Optimierung In einer aktuellen Lageq wird das Lage-Inkrement q so berechnet, dass es die Zielfunktion 2 T I( q) q Pq p q min R mit der linearisierten Koordinatentransformation gq ( ) Gq ( R) qy 0 mit Gq ( R) q q als Nebenbedingung. T! q R

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.5 Jacobi-Matrix und Kräfte 3.33 Statischer Zusammenhang zwischen Antriebskräften und Kräften am Endeffektor Geg.: Ges.: Durch den Endeffektor auf die Umgebung ausgeübtes Kraft - Momentenpaar ( F, M ) Erforderliche Antriebsmomente (bei Drehgelenken) bzw. Antriebskräfte (bei Schubgelenken) i (ohne Berücksichtigung weiterer Kräfte, wie Gewichtsund Trägheitskräfte) E E 2 3 5 4 6 F E M E O E M E F E O

Antriebsmoment an einem Drehgelenk Schnitt an einem Drehgelenk t i f i u i O i i f i u i u i i O i r Ei O E F E M E M E Gelenk-Schnittkraft Gelenk-Schnittmoment Antriebsmoment f t i i i ti Momentengleichgewicht bzgl. O t M r F i E Ei E Antriebsmoment am Drehgelenk T T i ui ti ui ME rei FE ( ) T T T i ui ti ui ME ui rei FE T T T i ui ti ui ME ui rei FE T T E i ui ( ui rei ) FE ( ) ( ) ) Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.5 Jacobi-Matrix und Kräfte 3.34 i M i i FE

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.5 Jacobi-Matrix und Kräfte 3.35 Antriebskraft an einem Schubgelenk Schnitt an einem Schubgelenk O i f i u i u i i t i i u i f i O i r Ei F E M E t i O E M E F E Kräftegleichgewicht Gelenk-Schnittkraft Gelenk-Schnittmoment Antriebskraft f t i i i f i E Antriebskraft am Schubgelenk T T i ui fi ui FE i F M T T E 0 ui FE i

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.5 Jacobi-Matrix und Kräfte 3.36 Darstellung mit Hilfe der Jacobi-Matrix Der gesamte Zusammenhang kann mit Hilfe der transponierten rotatorischen und translatorischen Jacobi-Matrizen aus Folie 3.22 formuliert werden: T u u re 2 T u2 u2 re 2 3 T T 0 u 3 ME 4 T u4 u4re 4 FE T 5 u5 u5r E 5 T 6 6 6 E 6 u u r rot T JE tr T JE u u 3 4 2 u 2 r E2 u O u 5 3 5 4 r E r r r 6 O E E4 E5 E6 F E M E F E M E

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4. Übersicht 4 Trajektorienberechnung 4. Hauptkomponenten eines Robotersystems 4.2 Bewegungsarten PTP und CP 4.3 PTP-Bewegung mit trapezförmigem Geschwindigkeitsprofil 4.4 Asynchrone und synchrone PTP-Bewegungen 4.5 PTP-Bewegung mit Überschleifen 4.6 PTP-Bewegung mit sinusoidem Geschwindigkeitsprofil 4.7 CP-Linear- und CP-Zirkularinterpolation

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4. Hauptkomponenten eines Robotersystems 4.2 Hauptkomponenten eines Robotersystems Regelstrecke (Roboter mit Antrieben) q 4 q 6 q 5 Sensordatenverarbeitung Sensorsignale q q 2 q 3 Generierung von Bahn-Stützpunkten Programmiersystem Interpolation Inverse Kinematik Steuerung qq ˆˆ, Achsregler Sollwerte der Gelenkkoordinaten Stellgrössen u qq, Messgrößen: Gelenkkoordinaten

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.2 Bewegungsarten PTP und CP 4.3 Bewegungsarten PTP-Bewegung (point-to-point) Der Endeffektor soll gewünschte Lagen anfahren (z.b. um Objekte zu greifen), der Weg hin zu diesen Lagen muss nicht genau festgelegt sein CP-Bewegung (continuous path) Der Endeffektor muss exakt entlang einer gewünschten Bahn bewegt werden (z.b. für Bahnschweissen, Kleberauftrag, Lackieren, Entgraten) unkontrollierter Verlauf der Lagekoordinaten Anfangslage y y( t ) a 0 IK y e Endlage y( t ) IK q q( t ) IK e e e Interpolation der Lagekoordinaten entlang der Sollbahn Anfangslage y( t) y y( t ) a 0 IK y( t ) IK 2 y IK q e e Endlage y( t ) e q( t ) e q q( t ) a 0 q( t2) q( t ) Interpolation der Gelenkkoordinaten q q( t ) a 0 q( t ) q( t) 2 Feininterpolation der Gelenkkoordinaten

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.3 PTP-Bew. m. trapezförmiges Geschwindigkeitsprofil 4.4 PTP-Bewegung mit trapezförmigem Geschwindigkeitsprofil q e q q a Geg.: Startwert qa, Endwert qe maximale Geschwindigkeit q maximale Beschleunigung q max max q q a q k q a q max Lage (Gelenkkoordinate) Ges.: BewegungsdauerT Verlauf vonqt () q t q max Geschwindigkeit 0 q qmax qmax t q max Beschleunigung 0 q max T a Tk T Ta t

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.3 PTP-Bew. m. trapezförmiges Geschwindigkeitsprofil 4.5 PTP-Bewegung mit trapezförmigem Geschwindigkeitsprofil q Zu durchfahrender Weg q e q a q q q e a q q a q k q a q q max 0 q q max 0 q max qmax T a Tk T q max qmax Ta Lage (Gelenkkoordinate) t Geschwindigkeit t Beschleunigung t Beschleunigungs-/Abbremszeit und -weg q T q q T q T Falls max 2 a, a max a max a qmax 2 2 qa 2 q : Fahrzeit mit konstanter Geschwindigkeit qk Tk mit qk q2qa q max Gesamte Verfahrzeit q max qk T 2Ta Tk 2 qmax q max Verlauf der Gelenkkoordinate 2 q max t, 0 t Ta 2 qt ( ) qa q max ( tta ), Ta ttt 2 q qmax ( T t), TTa t T 2 a a

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.3 PTP-Bew. m. trapezförmiges Geschwindigkeitsprofil 4.6 PTP-Bewegung Aufgabe Eine Roboterachse soll die qualitativ dargestellte PTP-Bewegung mit trapezförmigem Geschwindigkeitsprofil ausführen. a) Gegeben: Gesucht: b) Gegeben: Gesucht: q q a e a 5 q max 20s 60 q 00s T, T, T q q e a k max 5 q max 20s 80 q 00s T, T, T a k max q q max 0 qmax T a Tk T qmax Ta t c) Gegeben: Gesucht: q q a e 5 qmax 00s 80 T 2, 5 s ' a, k, größte erreichte Geschwindigkeit max T T q

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.4 Asynchrone und synchrone PTP-Bewegungen 4.7 Synchrone PTP-Bewegung Achse Achse 2 (Leitachse) Achse 3 PTP asynchron: Jede Achse hat kürzestmögliche Verfahrzeit, die Achsen erreichen ihre Endlagen nicht zeitgleich. PTP synchron: Die Verfahrzeiten der Achsen werden an die Achse mit der größten Verfahrzeit (Leitachse) angepasst, so dass alle Achsen ihre Endlage zeitgleich erreichen, z.b. durch Verringerung der maximalen Geschwindigkeit. Beispiel: Anpassung der Achse an Leitachse 2 durch Verringerung der maximalen Geschwindigkeit. q q max q max 0 q 2 q max 2 q max3 q max3 0 q 3 0 q max q max T a T 3 T T T 2 T3 t t t Geg.: Verfahrzeit der Leitachse T2, Beschleunigungszeit Ta Ges.: Angepasste max. Geschwindigkeit q Beschleunigungsweg q q T a 2 max a max Mit konstanter Geschwindigkeit durchfahrener Weg q k q ( T T ) max 2 a Angepasste konstante Geschwindigkeit! q q 2qa qk q max T T Angepasste konstante Beschleunigung q q q q q q q max max max max max max max q 2 a max

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.5 PTP-Bewegung mit Überschleifen 4.8 PTP-Bewegung mit Überschleifen 0 q T i q i q i Wegpunkte q i, i T i q i q i q i, i+ T i+ q i+ q i+ t Ziel: Durchfahren von Zwischenlagen ohne Stillstand Übergänge mit konstanter Beschleunigung Geg.: Gelenklagen (Wegpunkte) qi Zeitintervalle Ti, i zwischen aufeinanderfolgenden Wegpunkten qi und qi maximale Beschleunigung q Ges.: Dauer der Überschleifabschnitte T (symmetrisch zu den Wegpunkten) i i 0 0 q q q i q i T i, i q i, i q i q i T i, i+ q i, i+ q i+ q i+ t t Konstante Geschwindigkeiten qi qi q i, T i, i Vorzeichen der Beschleunigung q q sign( q q ) i i ii, i, Dauer der Überschleifabschnitte qii, qi, Ti, i q i 0 Beschleunigung 0 Verzögerung In der Beschleunigung stetige Übergänge können z.b. durch Interpolation mit Splines 5. Ordnung erreicht werden.

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.5 PTP-Bewegung mit Überschleifen 4.9 PTP-Bewegung Aufgabe 2 q T 2 T 2 q 2 T 23 Eine Roboterachse soll die qualitativ dargestellte PTP-Bewegung mit Überschleifen ausführen. q T q 2 q 23 T 3 q 3 Gegeben: Gesucht: T2 T23 s, q 5, 2 q max 80s, q2 5, q3 40. q, q, 2 23 T2 T23 t T, T, T, 2 3 T, T. 2 23

PTP-Bewegung Aufgabe 2. Bahnsegment ( q qmax): q 2 qt q2 q q 2 T 2 2T 2. Bahnsegment ( q q ): q q qt 23 3 q Übergang bei q : 3 q 3 2 23 T 23 2T3 2 2 max q q q q qt T 2TT2 0 2 2 2 2 T2 2T q q q TT TT 2 0,3 s 2 2 2 2 q q 2 qt 0,72 s q q q q qt T 2TT 2 0 3 2 2 3 2 3 3 3 23 3 T23 2T3 q3 q q T T T T 2 0, 39 s 2 3 2 3 23 23 q3 q qt 23 3 3 3,0 s q q T 0, 25 s T T T T 0, 25 s 23 2 2 2 2 2 2 q2 T23 T23 T3 2T2 0, 49 s q T 2 0, 74 s T2 0, 25 s T230, 49 s T30, 39 s 0 T 0,3 s t T2 s T23 s Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.5 PTP-Bewegung mit Überschleifen 4.0

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.6 PTP-Bew. m. sinusoidem Geschwindigkeitsprofil 4. PTP-Bewegung mit sinoiden Geschwindigkeitsprofil q e q q a q a qk q a q q q max 0 q q max q max Lage (Gelenkkoordinate) t Geschwindigkeit t Beschleunigung Die Interpolation mit trapezförmigem Geschwindigkeitsverlauf führt zu Sprüngen im Beschleunigungsverlauf, die zu sprungförmigen (harten) Stelleingriffen führen Hohe Beanspruchung der Mechanik Anregungen von Eigenschwingungen des mechanischen Systems (Resonanz). Aus diesem Grund soll der zeitliche Verlauf der Beschleunigung stetig sein. Möglichkeit: 2 Beschleunigungsverlauf gemäß einer sin t -Funktion 2 qt ( ) qmax sin t, 0 tta T. a q max 0 t T a Tk T Ta

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.7 CP-Linear- und CP-Zirkularinterpolation 4.2 CP-Bewegung Linearinterpolation z 0 r a Beginn e t r() t st () r e Ende Geradeninterpolation zwischen zwei Stützpunkten mit den Ortsvektoren r und r : re ra r() t r(()) st ra st (), re ra et r () t e st (), t a e x 0 O 0 y 0 r() t e st (). t Interpolation vonst () zwischensa 0und s wie bei der PTP-Bewegung. e r e r a z 0 Überschleifen zwischen aufeinanderfolgenden Geradenabschnitten zur Vermeidung sprungförmiger Beschleunigungsänderungen. x 0 O 0 y 0

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.7 CP-Linear- und CP-Zirkularinterpolation 4.3 CP-Bewegung Linearinterpolation x 0 Beginn x z 0 O 0 r a y 0 c r() t st () O d() t r e n y z Ende Geg.: Ortsvektor zum Kreismittelpunkt c Normalenvektor der Kreisebene n zu durchfahrender Winkel Anfangslage des TCP r Ges.: Bahn des TCP r(()) st Zu durchfahrende Bogenlänge s R mit R r c Lokales Koordinatensystem K ra c e, e n, e e e ra c n 0 T e x ey ez x y z x y Ortsvektor des TCP in K 0 0 0 0 st () R cos R st () d(()) st Rsin. R 0 Bahn des TCP in K r(()) st c Td(()). st a a.

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5. Übersicht 5 Dynamik von Robotern 5. Grundaufgaben der Roboterdynamik 5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette 5.3 Bewegungsgleichungen der Achsantriebe 5.4 Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5. Grundaufgaben der Roboterdynamik 5.2 Dynamik von Robotern Kräfte Dynamik: Wechselwirkung zwischen Bewegungen und Kräften/Momenten Bewegung Kräfte und Momente q 5 q 4 q 6 R i r f i R i r f i f E i q q 2 q 3 i i t E r f i R i mig R i i r f i Roboterkoordinaten (Winkel bzw. Verschiebungen) q i Antriebsmomente Lagerkräfte,-momente Reibmomente in den Gelenken f i r r i, ti R i Gewichtskräfte Bearbeitungskräfte,-momente d'alembertsche Trägheitskräfte mg f f i E, t dyn i E und -drehmomente t dyn i

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5. Grundaufgaben der Roboterdynamik 5.3 Grundgleichungen der Dynamik Translationsbewegung Rotationsbewegung Aufgabe Antriebskraft f x Antriebsmoment A S g Masse m Massenträgheitsmoment bzgl. A A Freischnittbild Bewegungsgleichung f Trägheitskraft mx dx geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft Impulssatz (Newtonsches Grundgesetz) Trägheits-Drehmoment A S l S mg A Gewichtskraft d Reibungsmoment mx f dx mgl sin d A Drallsatz (Eulersche Gleichung) S

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5. Grundaufgaben der Roboterdynamik 5.4 Grundaufgaben der Roboterdynamik Beispiel Antriebsmoment A d l S mg Bewegungsgleichung mgl sin d A S Direkte Dynamik Gegeben: Verlauf des Antriebsmoments ( t) Anfangsbedingungen ( t0), ( t0) Gesucht: Bewegung () t Integration der Differentialgleichung (Anfangswertproblem) mgls sin d, ( t0), ( t0) A Für numerische Integration Übergang auf Zustandsform Zusta ndsgrößen x (Lage) x2 (Geschwindigkeit) Zustandsgleichungen (Differentialgleichungssystem. Ordnung) x2 x 0 x( t0) x0, x2 ( mgls sin x dx2) x2( t0) x 20 A A x a( x) b, x( t ) x 0 0 Inverse Dynamik Gegeben: Bewegung (), t (), t () t Gesucht: Verlauf des erforderlichen Antriebsmoments () t Auswertung der algebraischen Gleichung mgl sin d A für alle Zeitpunkte t. Es ist keine numerische Integration erforderlich. S

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.5 Übersicht 5 Dynamik von Robotern 5. Grundaufgaben der Roboterdynamik 5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette 5.3 Bewegungsgleichungen der Achsantriebe 5.4 Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette 5.6 Bewegungsgleichungen eines Roboters mit Freiheitsgrad f q3, 3 q5, 5 Bewegungsgleichungen (Freiheitsgrad f ) M( q) q k( qq, ) g( q, q ) q2, q, 2 q4, 4 q6, 3 6 q f -Vektor der verallgemeinerten Koordinaten M (, f f) -Massenmatrix, symmetrisch ( M M ) k f -Vektor der verallgemeinerten Kreisel- und Zentrifugalkräfte T O g f -Vektor der verallgemeinerten eingeprägten Kräfte (Gewichtskräfte, Reibungskräfte) f -Vektor der verallgemeinerten Antriebskräfte Direkte Dynamik Gegeben: Anfangsbedingungen q( t0), q ( t0) Antriebskräfte/-momente ( t) Gesucht: Bewegung q() t Integration des Differentialgleichungssystems M ( q) g( q, q) k( q, q) q Gegeben: Bewegung Inverse Dynamik qt (), qt (), qt ( ) Gesucht: Verlauf der erforderlichen Antriebsmome nte ( t) Auswertung der algebraischen Gleichung M( qq ) g( qq, ) k( q, q )

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette 5.7 Beispiel Bewegungsgleichungen eines ebenen Roboters y S 2 Freiheitsgrad f 2 2 Massen m, m 2 L 2 g Trägheitsmomente, bzgl. der Schwerpunkte S, S S S2 2 S 2 Antriebsmomente, 2 x Bewegungsgleichungen m md m ml ml m m g m g d m ml m ml m g d 2 2 0 2 2 2c2 22 2 2c2 2 2s 2(2 22) ( 22) c 22 c( 2) 2 2 2 2 22 2 2c2 22S 2 2 2 2s2 22 c( 2) 22 Mq () q kqq (, ) gqq (, ) mit 2 2 2 0 2( 2 2) S S2 m m m d

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette 5.8 Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen Lagrange - Gleichungen zweiter Art d U Q nk j, j,, f dt q q q j j j T(, qq ) U( q) Q nk j (, qq ) Kinetische Energie des Gesamtsystems Potentielle Energie des Gesamtsystems Nichtkonservative eingeprägte Kräfte: Antriebskräfte, Reibungskräfte Klassisches Verfahren der Mechanik, aber für größere Systeme ( f 3) ineffizient und schlecht implementierbar.

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette 5.9 Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen Newton - Euler - Methode Freischneiden der Teilkörper, Berücksichtigung der Schnittkräfte und -momente Für alle Teilkörper: Newtonsche Gleichung (Kräftegleichgewicht nach d'alembert) e m r F F r, j,, n j Sj j j Eulersche Gleichung (Momentengleichgewicht nach d'alembert), j,, n Sj j j Sj j e Mj r Mj r Fj K Elimination der Reaktionskräfte und -momente M und der abhängigen kinematischen Grössen. Für die Generierung der Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen ist diese Methode am besten geeignet. Unterschiedliche Möglichkeiten zur Implementierung: Explizite Berechnung der Terme der Bewegungsgleichung Rekursive Formulierung, insbesondere für offene kinematische Ketten (Roboter) anschaulich. K r j

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette 5.0 Rekursive Berechnung der inversen Dynamik Gleichgewichtsbedingungen für einen Körper [ ] S S S S S i [ m a ] S i f i u i i t i f i i u i t i O i Si f i Oi ri, i Oi t i i u i f i u i i t i Kräftegleichgewicht f i i Momentengleichgewicht bzgl. O t Antriebsmoment i i i i, i i Si S i S S S S S i i T i [ m a ] i i S i t r f [ m a ] [ ] f t u als Komponente des Schnittmoments in Achsrichtung u i Koordinatensystem K i r, i i T vi, i a, i f, i t i i Gelenk Körper i i qi q i q i i Koordinatensystem Ki i,i T r v a i i f,, i i, t i i

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette 5. Rekursive Berechnung der inversen Dynamik Inverse Dynamik ( qqq,, ) M( qq ) k( q, q ) g( qq, ) 2 q2, 2 3 4 q, q3, 3 q, n n qn, n n (Endeffektor) f E t E K Lage Geschw. Beschl. Kraft Koordinatensystem K r, T v0 a 0 f t Gelenk Körper 2 f 2 2, t 2 2 Koordinatensystem K i ri T vi, a, i, i f, i t i i i Gelenk Körper i i Ki i,i T r v a i i f,, i i, t i i Gelenk Körper n n Koordinatensystem K 2 r 2 2, T v2, 2 a, Koordinatensystem Koordinatensystem re v a f E E E T, E,, E, t E Kn E q q q qi q i q i i qn qn qn n

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette 5.2 Lösung der direkten Dynamik mit Hilfe der rekursiven inversen Dynamik Bekannt ist die rekursive Berechnungsvorschrift für die inverse Dynamik ( qqq,, ) M( qq ) k( qq, ) g( qq, ) Für die direkte Dynamik wird die Beschleunigung der Roboterkoordinaten berechnet, g( qq,, ) q M ( q) [ g( qq, ) k( qq, ) ] q qq (, q, ), Hierfür werden die Massenmatrix M und der Vektor g g k benötigt. q q q q q Inverse Dynamik ( qqq,, ) Direkte Dynamik qqq (,, ) q Lösung: Mehrfaches Auswerten der inversen Dynamik ( qq,, q) mit speziell gewählten Eingangsgrößen: a) Vektor g durch Auswerten der inversen Dynamik mit nullgesetzten Gelenkbeschleunigungen g (, qq, q 0) b) Massenmatrix M 2 f. Spaltenweise Berechnung i ( q, q 0, q e ), i,, f mit e T [0,,0,,0,,0] i Hierbei werden die Erdbeschleunigung und die Bearbeitungskräfte und -momente Null gesetzt, g, f t 0 0 E E c) Auflösen des linearen Gleichungssystems nach den Gelenkbeschleunigungen q, Mq g q i i - tes Element

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.3 Bewegungsgleichungen der Achsantriebe 5.4 Robotergetriebe Harmonic Drive Getriebe Circular Spline (raumfest) Flexspline (Abtrieb) Getriebeübersetzung q m ig 50300 q Wave Generator (Antrieb)

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.3 Bewegungsgleichungen der Achsantriebe 5.5 Robotergetriebe Wolfrom-Planetengetriebe q r r2 q m Abtrieb Antrieb Abtrieb Antrieb r etwas kleiner als 2 r Getriebeübersetzung q m ig 30300 q

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.3 Bewegungsgleichungen der Achsantriebe 5.6 Robotergetriebe Wolfrom-Planetengetriebe

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.3 Bewegungsgleichungen der Achsantriebe 5.7 Achsantrieb vereinfachtes Modell Annahmen: Getriebe starr und spielfrei Getriebe geschwindigkeitsproportionaler Motor Ansatz für Reibungsmomente Roboterarm Getriebemassen auf Motor und Arm verteilt q Getriebe verlustfrei keine mechanische Kopplung q m (in Bezeichnungen Achsindex weggelassen) der Antriebe Motor Getriebe Roboterarm ml d q m m m q q m Rotor-Drehwinkel q Antriebsmoment (Luftspalt) Wellenmoment Rotor-Trägheitsmoment Reibmomente in Motor und Getriebe ( d const) m ml m m R d q m q m Übersetzung: q m ig q Momentenverhältnis: G m Annahme: keine Verluste: Eingangs-Winkelgeschw. Ausgangs-Winkelgeschw. Ausgangsmoment Eingangsmoment G i G q Achs-Drehwinkel q Achs-Antriebsmoment Bewegungsgleichungen M( qq ) k( qq, ) g( q) Dynamische Verkopplungen zwischen den Achsen

Dynamik eines einzelnen Achsantriebs i u m I u L i m R ui M Motorstrom induzierte Spannung m q m ml q m d q m m q m q Elektrischer Kreis dim L Rim u k uq m, ku const () dt ui L Annahme : Elektrische Zeitkonstante Tel gegenüber R mechanischer Zeitkonstante (s.u.) T vernachlässigt: Rim u k uq m, ku const (2) ui Drallsatz für Rotor (mechanische Zeitkonstante T m ) m m Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.3 Bewegungsgleichungen der Achsantriebe 5.8 mech mech m qm ki i m m d q m, ki const (3) ml Bei vernachlässigten elektrischen Verlusten ist mech. Leistung el. Leistung ki i m q m kuq m im ki ku (4) ml ui Getriebe q m i G q, m ig (5) Aus (3) mit (2),(4),(5) folgt m 2 2 k i 2 k i i Gq d R ig q ig u R d k d (6)

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.4 Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems 5.20 Dynamik der kinematischen Kette mit Antrieben () Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette (Freiheitsgrad f ) M( qq ) k( q, q ) g( q) () Dynamik der Achsantriebe i q i d q i k u, j, f 2 2 Gj m j G m j G mj j j j In Matrizenform für alle f Achsen i q i q i 2 2 2 0 ig m 0 G m 0 uf f f q i f d f q igf kmf 2 2 2 G m 0 G dm 0 G km 0 u m f f f M q D q K u (2) Elimination von durch Einsetzen von (2) in () Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette mit Antrieben (Regelstrecke) ( ) M q Mm q k( q, q ) Dq g( q) Ku M( q)

Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.4 Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems 5.2 Dynamik der kinematischen Kette mit Antrieben (2) Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette mit Antrieben (Regelstrecke): 2 2 M( ) igm M ( ) f q k(, ) q q qq ig dm 0 2 q g( ) i G km 0 q u 2 Mf ( ) Mff ( ) i q Gf mf f kf (, ) q q 0 qq 2 q 2 ig m f ( ) 0 f f d f f g i G f k u q mf M( q) M m q k( qq, ) D q g( q) K u M( q) Die auf die Antriebe zurückgehenden Anteile stehen auf der Hauptdiagonalen der Systemmatrizen. Mit zunehmenden Getriebeübersetzunge i G dominieren diese Anteile gegenüber den von der kinematischen Kette herrührenden Anteilen (Übersetzungen bei Robotergetrieben ig 5000) die untersetzenden Antriebe entkoppeln tendenziell die Bewegungsgleichungen.

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6. Übersicht 6 Regelung von Robotern 6. Aufgaben der Regelung 6.2 Dezentrale Gelenkregelung 6.3 Vorsteuerung durch inverses dynamisches Modell 6.4 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6. Aufgaben der Regelung 6.2 Roboter als Regelstrecke Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems (Regelstrecke) bzw. M( qq ) k( qq, ) Dq g( q) Ku M( qq ) g( q) k( qq, ) Dq Ku b( qq, ) Blockschaltbild Direkte Dynamik Direkte Kinematik q f () q y q J() q y J() q f () q q q q u M () q (, ) Ku bqq q JqJ q y Stellgrössen Gelenk - koordinaten Endeffektor - Lagekoordinaten

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6. Aufgaben der Regelung 6.3 Lageregelung auf Gelenkebene Aufgabe q q 2 y q 3 q 4 yˆ( t) q 5 q 6 Steuerung Berechnen der Stellgrößen u() t so, dass die Gelenkkoordinaten q() t auch bei Störungen z() t den Sollverläufen qˆ () t nachgeführt werden. Durch eine vorgeschaltete Berechnung der inversen Kinematik wird eine Bahnfolgeregelung erreicht: Die Endeffektor-Lagekoordinaten y() t werden gewünschten Zeitverläufen yˆ( t) nachgeführt. Die Reglerauslegung (Festlegen der Reglerdynamik) erfolgt im Raum der Gelenkkoordinaten. Für die Lageregler gibt es unterschiedliche Konzepte, z.b. (Dezentrale) Einzel-Gelenkregler, ggf. mit Vorsteuerung durch inverses System Adaptive Regelungen (dezentral oder zentral) (Zentrale) Regelung durch exakte Linearisierung. Bei Industrierobotern gebräuchliche Art der Steuerung. Regelstrecke (Roboter mit Antrieben) Führungsgrössenberechnung yy ˆˆ, Inverse Kinematik qq ˆˆ, Lageregler u Direkte Dynamik Direkte qq, Kinematik yy, Sollwerte der Endeffektor- Lagekoordinaten Sollwerte der Gelenkkoordinaten Stellgrössen (Steuerspannungen) z Störungen Istwerte der Gelenkkoordinaten Istwerte der Endeffektor- Lagekoordinaten

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6. Aufgaben der Regelung 6.4 Kartesische Lageregelung Aufgabe q q 2 y q 3 q 4 yˆ( t) q 5 q 6 Berechnen der Stellgrößen u() t so, dass die Endeffektor-Lagekoordinaten y() t auch bei Störungen z() t den Sollverläufenyˆ () t nachgeführt werden. Die Reglerauslegung (Festlegen der Reglerdynamik) erfolgt im Raum der Endeffektor-Lagekoordinaten. Die Istwerte der Endeffektor-Lagegrössen y() t werden gemessen (aufwendig) oder durch Vorwärtskinematik aus den Gelenkkoordinaten q() t berechnet. Die Lageregler müssen als aufwendige zentrale (verkoppelte) Regler entworfen werden, z.b. durch exakte Linearisierung. Bei Industrierobotern bisher nicht gebräuchlich. Steuerung Regelstrecke (Roboter mit Antrieben) Führungsgrössenberechnung yy ˆˆ, Lageregler qq ˆˆ, Inverse Dynamik u Direkte Dynamik Direkte qq, Kinematik yy, Sollwerte der Endeffektor- Lagekoordinaten Sollwerte der Gelenkkoordinaten Stellgrössen (Steuerspannungen) z Störungen Istwerte der Gelenkkoordinaten Istwerte der Endeffektor- Lagekoordinaten

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.5 Übersicht 6 Regelung von Robotern 6. Aufgaben der Regelung 6.2 Dezentrale Gelenkregelung 6.3 Vorsteuerung durch inverses dynamisches Modell 6.4 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.2 Dezentrale Gelenkregelung 6.6 Dezentrale Gelenkregelung Lineares Entwurfsmodell Dezentrale Achsregelung: Die Bewegung der j-ten Achse wird unabhängig von den anderen Achsen geregelt, d.h. es werden nur Abweichungen der Gelenkkoordinaten dieser Achse zurückgeführt Kopplungen zwischen den Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems werden nicht im Reglerentwurf berücksichtigt, sondern als Störungen aufgefasst. Kaskadierte Reglerstruktur, bestehend aus einem Lageregler und einem unterlagerten Geschwindigkeitsregler. Ausgehend von den nichtlinearen Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems (Regelstrecke) M( ) M ( ) f q k(, ) q q qq D 0 q g( ) q K 0 u M 0 f ( ) M ff ( ) q f kf (, ) q q D ff qq q f gf ( ) 0 K u ff f q M( q) q k( qq, ) D q g( q) K u wird ein einfaches lineares Entwurfsmodells für die dezentralen Gelenkregler hergeleitet: in zwei Schritten. Vernachlässigung der Nebendiagonalemente der Massenmatrix Mq ( ). Dies führt auf die f Differentialgleichungen M ( q) q k ( qq, ) D q g ( q) K u, j,, f. jj j j jj j j jj j

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.2 Dezentrale Gelenkregelung 6.7 Dezentrale Gelenkregelung kaskadierter Gelenkregler 2. Vernachlässigung der Lageabhängigkeit von M jj ( q), indem eine LageqR const betrachtet wird. Mit M M ( q ) ist dann j jj R Mj qj Djj q j Kjjuj gj( q) kj( qq, ), j,, f. zj(,) qq Die verbleibenden Kopplungen im Term z (, qq ) werden beim Reglerentwurf als Störgrößen angesehen. Für jedes der f vonenander entkoppelten Systeme M q D q K u, j,, f, j j jj j jj j Eingrößenregler entworfen, z.b. als kaskadierter PI-Geschwindigkeits- und P-Lageregler. j

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.2 Dezentrale Gelenkregelung 6.8 Dezentrale Gelenkregelung kaskadierter Gelenkregler qˆj kaskadierter Gelenkregler Regelstrecke q j P - Lageregler qˆj K p s q j PI - Geschwindigkeitsregler K v v Ts Ts v u j K jj D jj M j s q j z j( qq, )

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.9 Übersicht 6 Regelung von Robotern 6. Aufgaben der Regelung 6.2 Dezentrale Gelenkregelung 6.3 Vorsteuerung durch inverses dynamisches Modell 6.4 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.3 Vorsteuerung durch inverses dynamisches Modell 6.0 Dezentrale Gelenkregelung mit Vorsteuerung durch das inverse System Zur Verbesserung des Führungsverhaltens (=Schleppabstand AAbweichung zwischen Soll- und Istlage ) kann mit Hilfe des inversen dynamischen Modells eine Stellgröße aufgeschaltet werden, die das System unter idealen Bedingungen (keine Modell- und Parameterfehler, konsistente Anfangsbedingungen) exakt entlang der Sollbahn führen würde. Die Einzel-Gelenkregler werden dadurch entlastet. Nichtlineare Vorsteuerung durch inverse Dynamik (Computed - Torque Feedforward Control) kaskadierter Gelenkregler Regelstrecke ˆq ˆq zu anderen Achsen qˆj qˆj K p s q j q j ˆq K M ( qq ˆ) ˆ b( qˆˆ, q ) u u j K v v Ts v Ts u j K jj D jj M j s q j z j( qq, ) Kopplung mit anderen Achsen j - te Achse

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6. Übersicht 6 Regelung von Robotern 6. Aufgaben der Regelung 6.2 Dezentrale Gelenkregelung 6.3 Vorsteuerung durch inverses dynamisches Modell 6.4 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.4 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung 6.2 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung () Idee: Kompensation der Streckennichtlinearitäten durch eine nichtlineare Zustandsrückführung und Aufschaltung neuer Eingangsgrössen so, dass das Übertragungsverhalten von den neuen Eingängen zu den Regelgrössen (Gelenkwinkel) durch voneinander entkoppelte Integriererketten beschrieben werden kann, die durch eine lineare Rückführung "einfach" stabilisiert werden können. Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems (Regelstrecke) q 2 q 3 qn M() q q bq (, q ) Ku. Inverse Dynamik q qn 2 q n u K ( ) (, ). Mq w bqq Regelstrecke mit inverser Dynamik bei ein-/ausgangslinearisiertes System M M, K K, bb K q w bzw. q w, j,, f. j j Dies sind f voneinander entkoppelte Doppelintegriererketten.

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.4 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung 6.3 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung (2) Gesamtsystem ˆq Stabilisierung Entkopplungsrückführung Regelstrecke Direkte Kinematik q y f ( q) K p ˆq q J( q) y K v q q ˆq w K m ( ) (, ) M q w b u qq S M ( q) (, ) Ku bqq q JqJ q y Sollwerte der Roboterkoordinaten Rückführverstärkungen Eingänge des E/A - linearisierten Systems Stellgrössen Roboter - koordinaten Endeffektor - Lagekoordinaten K diag( K,, K ) p p pf K diag( K,, K ) v v vf

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.4 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung 6.4 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung (3) Äquivalentes E/A-linearisiertes System ˆq Stabilisierung ein - /ausgangslinearisiertes System q Direkte Kinematik y f ( q) K p ˆq q J( q) y ˆq K v w q q q JqJ q y Sollwerte der Roboterkoordinaten Eingänge des E/A - linearisierten Systems Roboter - koordinaten Endeffektor - Lagekoordinaten

Robotertechnik 7 Zur Kinematik von Parallelrobotern 7. Übersicht 7 Zur Kinematik von Parallelrobotern 7. Parallelroboter mit sechs Stablenkern 7.2 Singuläre Stellungen bei Parallelrobotern

Robotertechnik 7 Zur Kinematik von Parallelrobotern 7. Parallelroboter mit sechs Stablenkern 7.2 Parallelroboter mit sechs Freiheitsgraden Betrachtet werden Parallelroboter, deren Eindeffektorplattform (sechs Weltkoordinaten y) durch sechs kinematische Führungsketten mit je einem angetriebenen Gelenk (Roboterkoordinate q i ) im Raum geführt wird. Die kiematischen Führungsketten konnen entweder mit veränderlichen Lenkerlängen oder mit geführten Lenkerfußpunkten realisiert werden, siehe Folien 7.3 und 7.4. Parallelroboter mit veränderlichen Lenkerlängen (Stewart-Gough-Plattform) y K E q 6 q q 2 q 3 q 4 q 5 K Roboterkoordinaten q Gelenkwinkel bzw. q -verschiebungen q 6 beschreiben die Bewegungen der angetriebenen Gelenke Vorwärtstransformation (Direkte Kinematik) y fq ( ) Rückwärtstransformation (Inverse Kinematik) q f ( y ) Weltkoordinaten y re Ortsvektor y E Kardan-Winkel y 6 beschreiben die Lage (Pose) des Endeffektors im Raum

Robotertechnik 7 Zur Kinematik von Parallelrobotern 7. Parallelroboter mit sechs Stablenkern 7.3 Parallelkinematiken mit sechs Stablenkern () Lenkerlängen veränderlich: Werkzeugmaschine (Ingersoll) Lenkerfußpunkte auf Kreisbahn geführt: Hexa-Parallelmanipulator (Université Montpellier) Lenkerfußpunkte auf Geraden geführt: Hexaglide-Werkzeugmaschine (ETH Zürich)

Robotertechnik 7 Zur Kinematik von Parallelrobotern 7. Parallelroboter mit sechs Stablenkern 7.4 Parallelkinematiken mit sechs Stablenkern (2) Lenkerfußpunkte paarweise gemeinsam auf Kreisbahn geführt: Delta-Parallelmanipulator (R. Clavel, EPF Lausanne) Lenkerfußpunkte paarweise gemeinsam auf Ebene geführt: Triplanar-Parallelmanipulator