Von den Grundlagen der Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen und Teilchendetektoren Michael Unrau HS WS 08/09 14 November 2008 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 1 / 24
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 2 / 24
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 2 / 24
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 2 / 24
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 2 / 24
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 2 / 24
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 2 / 24
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 2 / 24
Einleitung Motivation Einleitung Motivation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 3 / 24
Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 4 / 24
Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 4 / 24
Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 4 / 24
Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 4 / 24
Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 4 / 24
Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 4 / 24
Einleitung Historisches Einleitung Historisches Die Monte-Carlo Methode wurde von John von Neumann und Stanislaw Ulam in den 1940er Jahren im Laufe des Manhattan Projekts entwickelt, um die Neutronendiffusion zu berechnen. HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 5 / 24
Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 6 / 24
Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 6 / 24
Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 6 / 24
Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 6 / 24
Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 6 / 24
Zufallszahlen Linear kongruente Generatoren Zufallszahlen Linear kongruente Generatoren x i = (ax i 1 + c) mod m 0 x m a: Multikator c: Summand (häufig c = 0) m: Modul x 0 : Saatzahl HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 7 / 24
Zufallszahlen Linear kongruente Generatoren Zufallszahlen Linear kongruente Generatoren x i = (ax i 1 + c) mod m 0 x m maximale Periodenlänge ist m (bei c = 0 ist die maximale Periodenlänge m 1) maximale Periodenlänge wird erreicht, wenn: 1 m ist eine Primzahl 2 a ist so gewählt, dass das kleinste k für das gilt (a k 1) mod m = 0 ist k = m 1 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 8 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Problem: Erzeugung von Zufallszahlen, deren Verteilung durch die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) gegeben ist. x ist eine gema ß f (x) verteilte Zufallsvariable es gilt: Z x f (t)dt = F (x) = u u gleichfo rmig in (0,1) x = F ( 1) (u) Anschaulich: Bei großer Steigung von F (x) werden gro ßere Intervalle in u abgedeckt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 9 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Problem: Erzeugung von Zufallszahlen, deren Verteilung durch die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) gegeben ist. x ist eine gema ß f (x) verteilte Zufallsvariable es gilt: Z x f (t)dt = F (x) = u u gleichfo rmig in (0,1) x = F ( 1) (u) Anschaulich: Bei großer Steigung von F (x) werden gro ßere Intervalle in u abgedeckt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 9 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Problem: Erzeugung von Zufallszahlen, deren Verteilung durch die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) gegeben ist. x ist eine gema ß f (x) verteilte Zufallsvariable es gilt: Z x f (t)dt = F (x) = u u gleichfo rmig in (0,1) x = F ( 1) (u) Anschaulich: Bei großer Steigung von F (x) werden gro ßere Intervalle in u abgedeckt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 9 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Problem: Erzeugung von Zufallszahlen, deren Verteilung durch die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) gegeben ist. x ist eine gema ß f (x) verteilte Zufallsvariable es gilt: Z x f (t)dt = F (x) = u u gleichfo rmig in (0,1) x = F ( 1) (u) Anschaulich: Bei großer Steigung von F (x) werden gro ßere Intervalle in u abgedeckt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 9 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Problem: F ( 1) ist nicht immer leicht zu berechnen. Verfahren: 1 wähle x gleichverteilt im Intervall, wo f (x) 0 2 wähle y gleichverteilt in (min(f (x)), max(f (x))) 3 falls y < f (x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 10 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Problem: F ( 1) ist nicht immer leicht zu berechnen. Verfahren: 1 wähle x gleichverteilt im Intervall, wo f (x) 0 2 wähle y gleichverteilt in (min(f (x)), max(f (x))) 3 falls y < f (x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 10 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Problem: F ( 1) ist nicht immer leicht zu berechnen. Verfahren: 1 wähle x gleichverteilt im Intervall, wo f (x) 0 2 wähle y gleichverteilt in (min(f (x)), max(f (x))) 3 falls y < f (x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 10 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Problem: F ( 1) ist nicht immer leicht zu berechnen. Verfahren: 1 wähle x gleichverteilt im Intervall, wo f (x) 0 2 wähle y gleichverteilt in (min(f (x)), max(f (x))) 3 falls y < f (x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 10 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 11 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 11 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 11 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 11 / 24
Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 11 / 24
Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 12 / 24
Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 12 / 24
Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 12 / 24
Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 12 / 24
Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 12 / 24
Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit an, je häufiger das Experiment durchgeführt wird. 1 lim n n n i=1 f (u i ) = 1 b f (u)du = E(f ) b a a V (I ) = (b a)2 V (f (x)) n σ 1 n HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 13 / 24
Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit an, je häufiger das Experiment durchgeführt wird. 1 lim n n n i=1 f (u i ) = 1 b f (u)du = E(f ) b a a V (I ) = (b a)2 V (f (x)) n σ 1 n HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 13 / 24
Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit an, je häufiger das Experiment durchgeführt wird. 1 lim n n n i=1 f (u i ) = 1 b f (u)du = E(f ) b a a V (I ) = (b a)2 V (f (x)) n σ 1 n HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 13 / 24
Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Trapezregel: Integral I = b a f (x)dx wird angenähert durch: I T = h( 1 2 f 0 + f 1 +... + f n 1 + 1 2 f n) wobei das Intervall [a,b] in n gleiche Intervalle der Länge h geteilt wird, und es gilt: f i = f (a + ih) i = 0, 1, 2,...n Fehler: σ T 1 n 2 Bei der Berechnung nach Simpsonregel: σ S 1 n 4 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 14 / 24
Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Trapezregel: Integral I = b a f (x)dx wird angenähert durch: I T = h( 1 2 f 0 + f 1 +... + f n 1 + 1 2 f n) wobei das Intervall [a,b] in n gleiche Intervalle der Länge h geteilt wird, und es gilt: f i = f (a + ih) i = 0, 1, 2,...n Fehler: σ T 1 n 2 Bei der Berechnung nach Simpsonregel: σ S 1 n 4 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 14 / 24
Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Trapezregel: Integral I = b a f (x)dx wird angenähert durch: I T = h( 1 2 f 0 + f 1 +... + f n 1 + 1 2 f n) wobei das Intervall [a,b] in n gleiche Intervalle der Länge h geteilt wird, und es gilt: f i = f (a + ih) i = 0, 1, 2,...n Fehler: σ T 1 n 2 Bei der Berechnung nach Simpsonregel: σ S 1 n 4 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 14 / 24
Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 15 / 24
Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 15 / 24
Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 15 / 24
Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 15 / 24
Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 15 / 24
Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 15 / 24
Reduktion der Varianz Reduktion der Varianz Der Fehler der Schätzung kann durch die höhere Anzahl an Versuchen reduziert werden, dies kostet jedoch viel Rechenzeit σ MC σ(f ) n Um die Abweichung zu halbieren muss man die Anzahl der Versuche vervierfachen! Effizienter: V(f) reduzieren HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 16 / 24
Reduktion der Varianz Reduktion der Varianz Der Fehler der Schätzung kann durch die höhere Anzahl an Versuchen reduziert werden, dies kostet jedoch viel Rechenzeit σ MC σ(f ) n Um die Abweichung zu halbieren muss man die Anzahl der Versuche vervierfachen! Effizienter: V(f) reduzieren HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 16 / 24
Reduktion der Varianz Reduktion der Varianz Der Fehler der Schätzung kann durch die höhere Anzahl an Versuchen reduziert werden, dies kostet jedoch viel Rechenzeit σ MC σ(f ) n Um die Abweichung zu halbieren muss man die Anzahl der Versuche vervierfachen! Effizienter: V(f) reduzieren HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 16 / 24
Reduktion der Varianz Reduktion der Varianz Der Fehler der Schätzung kann durch die höhere Anzahl an Versuchen reduziert werden, dies kostet jedoch viel Rechenzeit σ MC σ(f ) n Um die Abweichung zu halbieren muss man die Anzahl der Versuche vervierfachen! Effizienter: V(f) reduzieren HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 16 / 24
Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 17 / 24
Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 17 / 24
Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 17 / 24
Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 17 / 24
Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 17 / 24
Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 17 / 24
Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 17 / 24
Reduktion der Varianz Importance Sampling Reduktion der Varianz Importance Sampling Varianz ist bei großen Werten von f(x) besonders groß stärkere Gewichtung der Bereiche mit hohen Funktionswerten reduziert die Varianz I = I b a n b a n i=1 f (x)dx = f (x i ) g(x i ) b Varianz klein falls f (x) g(x) const. a f (x) f (x) g(x)dx = E( g(x) g(x) ) x i (a, b) entsprechend g(x) verteilt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 18 / 24
Reduktion der Varianz Importance Sampling Reduktion der Varianz Importance Sampling Varianz ist bei großen Werten von f(x) besonders groß stärkere Gewichtung der Bereiche mit hohen Funktionswerten reduziert die Varianz I = I b a n b a n i=1 f (x)dx = f (x i ) g(x i ) b Varianz klein falls f (x) g(x) const. a f (x) f (x) g(x)dx = E( g(x) g(x) ) x i (a, b) entsprechend g(x) verteilt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 18 / 24
Reduktion der Varianz Importance Sampling Reduktion der Varianz Importance Sampling Varianz ist bei großen Werten von f(x) besonders groß stärkere Gewichtung der Bereiche mit hohen Funktionswerten reduziert die Varianz I = I b a n b a n i=1 f (x)dx = f (x i ) g(x i ) b Varianz klein falls f (x) g(x) const. a f (x) f (x) g(x)dx = E( g(x) g(x) ) x i (a, b) entsprechend g(x) verteilt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 18 / 24
Reduktion der Varianz Importance Sampling Reduktion der Varianz Importance Sampling Varianz ist bei großen Werten von f(x) besonders groß stärkere Gewichtung der Bereiche mit hohen Funktionswerten reduziert die Varianz I = I b a n b a n i=1 f (x)dx = f (x i ) g(x i ) b Varianz klein falls f (x) g(x) const. a f (x) f (x) g(x)dx = E( g(x) g(x) ) x i (a, b) entsprechend g(x) verteilt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 18 / 24
Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 19 / 24
Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 19 / 24
Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 19 / 24
Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 19 / 24
Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 19 / 24
Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 19 / 24
Monte-Carlo Simulation Zentraler Grenzwertsatz Monte-Carlo Simulation Zentraler Grenzwertsatz Die Summe aus einer großen Anzahl identisch verteilter, unabhängiger Zufallsvariablen mit endlicher Varianz nähert sich der Normalverteilung an. HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 20 / 24
Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 21 / 24
Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 21 / 24
Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 21 / 24
Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 21 / 24
Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 21 / 24
Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 21 / 24
Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 21 / 24
Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 21 / 24
Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 21 / 24
Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf 1 Berechnung der Matrix-Elemente 2 Parton Shower aus Gluonen und Quarks 3 Hadronisierung 4 Detektorsimulation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 22 / 24
Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf 1 Berechnung der Matrix-Elemente 2 Parton Shower aus Gluonen und Quarks 3 Hadronisierung 4 Detektorsimulation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 22 / 24
Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf 1 Berechnung der Matrix-Elemente 2 Parton Shower aus Gluonen und Quarks 3 Hadronisierung 4 Detektorsimulation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 22 / 24
Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf 1 Berechnung der Matrix-Elemente 2 Parton Shower aus Gluonen und Quarks 3 Hadronisierung 4 Detektorsimulation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 22 / 24
Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 23 / 24
Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 23 / 24
Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 23 / 24
Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 23 / 24
Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 23 / 24
Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 23 / 24
Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 23 / 24
Zusammenfassung Quellen James E. Gentle - Random Number Generation and Monte Carlo Methods F. James - Monte Carlo theory and practice Rubinstein/Kroese - Simulation and the Monte Carlo Method N.Metropolis - The Beginning of the Monte Carlo Method V.Blobel/E.Lohrmann - Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse Povh - Teilchen und Kerne Vielen Dank an Prof. Quast für Beispielprogramme und viele nützliche Anregungen! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 24 / 24