Wolfgang Schmd Brchnung kürzstr Wg n n Grahn mt vrbotnn Strukturn www.lrn-lus.d
Katl : : Inhaltsübrscht. Dr Hautsatz dr Abbgvrbotsthor.-. Kürzst Wg n Grahn mt Abbgvrbotn. Dr Bws dr Hautsatzs. k-kürzst Wg mt dm Algorthmus von Azvdo.6 Kürzst Wg n Grahn mt Wgvrbotn.7 n Bwsskzz ds Algorthmus www.lrn-lus.d
.. nführnd Dfntonn Ich wrd mch an an d Grahdfnton (nach NoltMr haltn, d szll auf n Grah G : = ( v : = { ( v : = { ( G : = max{ g { V,, α, ω, γ } Knotnmng V nr ndlchn Kantnmng zw Abbldungn α, ω : α( st dr Anfangsknotn von ω( st dr Anfangsknotn von und nr Gwchtsfunktonγ : Kantn snd häufg mt g g g + + v V Grahn mt Multkantn ausgrchtt st. α( ω( + ( v} u, v = v} = v} V, bstht aus nr ndlchn V. bzchnt. ( α(( u, v ( ω(( u, v = u = v und hßt dr Ausgangsgrad ns Knotns v, hßt dr nsgangsgrad von v. hßt Ausgangsgrad ds Grahn G ; g ( G analog. Wnn ncht andrs vrmrkt snd Grahn mmr grchtt und gwchtt. www.lrn-lus.d
n α (.. Dfnton: Homomorh zwr Grahn Sn von G G : = Paar von kann ntutv { V,, α, ω, γ } und G : = { V,, α, ω, γ } G ( = Abbldungn wnn s ( α ( auf, Anfangs ω ( : V V und ( = und ( ω ( Wg rwtrt wrdn. : ndknotn rhaltnd und Grahn, nn snd : γ ( = γ ( ( dann nnnn Homomorhsmus für all wr. α, ω V kommuatvs Dagramm: α ψ = φα ω ψ = φ ω und α, ω V Sndψ undφ bjktv,so hßn d Grahn somorh. www.lrn-lus.d
.. Dfnton: Abbgvrbot 6 Ggbn s dr Grah G : = = { α www.lrn-lus.d { V,, α, ω, γ } ( = v, ω( = v, γ ( = und mt dm Abbgvrbot t : = (, j,,,, j, j n Abbgvrbot t st also n Kantnaar (,6 mt V T st d Mng allr Abbgvrbot ns Grahn.,, j,,,,, = { v 6, },v mt ω(,v, v, v = α(, v,. 6 },,6.
.. Schldr dsr Art gbt s tatsächlch www.lrn-lus.d 6
.. D nav Mthod 6 Wr wolln nun dn kürzstn Wg zwschn v und v 6 brchnn.dazu wndn wr dn Djkstra - Algorthmus untr Brückschtgung dr Abbgvrbot an. Dr Djkstra - Algorthmus funktonrt ncht, da jdr Knotn nur nmal n dn Kürzst- Wg- Baum aufgnommn wrdn kann. Das nfach Vrbtn ds Abbgns rcht ncht aus, um kürzst Wgn Grahn mt Abbgvrbotn zu bstmmn. www.lrn-lus.d 7
.. Hautsatz dr Abbgvrbotsthor (Schmd S G : = ( V,, α, ω, γ n Grah S v = { : = { ω( t T : t = = v}, dann glt : mt Abbgvrbotn (, ' mt ' } und zu T = { t,..., t }. jdm v V k s rfolgt d Aufnahm von v n dn Kürzst - Wg - Baum übr n Kant, so muss v (möglchrws n wtrs Mal - ncht übr d Kant - n dn Kürzst - Wg - Baum aufgnommn wrdn. B nr Kürzst - Wg - Brchnung muss v bs zu mal n dn Kürzst - Wg - Baum aufgnommn wrdn. v + g ( v Dsr Satz wrd durch dn Bws dr Gültgkt ds vrbotsorntrtn Knotnslttngs bwsn. Vrfahrns ds www.lrn-lus.d 8
www.lrn-lus.d 9..6 Bldung von Äquvalnzklassn..6 Bldung von Äquvalnzklassn { } }. { D Abbgvrbot snd äquvalnt. vrbotn., und (, Im Bslst ( und d Abbgvrbot n Äquvalnzklassn ngtlt. n nr Prrocssnghas brchnt d Mng dargstllt wrdn.im Folgndns Mng D Mngdr Äquvalnzklassn kann vondr, (, (, (, und (, (, st transtv (, (, (, (, st symmtrsch (, (, st rflxv : (, (, ( dfnrn wr folgndäquvalnzrlaton: dr Mngallr Abbgvrbot Auf.,..., mt Abbgvrbotn n Grah,,,, ( : S,,,,6, 6 6 T t t T V G k = = = = γ ω α 6
..7 Kürzst Wg n n Grahn mt Abbgvrbotn. Dynamsch Vrfahrn Algorthmusabhängg (-- Grah blbt rhaltn (kn Prrocssnghas (+ D Abbgvrbot müssn wtrhn bachtt wrdn (-- flxbl ggnübr Vrändrungn (+. Statsch Vrfahrn Algorthmus st blbg (+ Grah wrd vrändrt (Prrocssnghas (-- D Abbgvrbot müssn ncht wtr bachtt wrdn (+ unflxbl ggnübr Vrändrungn (-- Mthod dr Kantnaufnahm Mthod dr mhrfachn Knotnaufnahm nav Mthod Knotnorntrt Ntzwrk Mthod ds Zhns nur Kantn Vrbotsorntrts Knotnslttng www.lrn-lus.d
.. Mthod dr Kantnaufnahm (Standard R : = { s } whl R do Dlt_mn wrd n B aufgnommn For all ausghndn Kantn ' vonω( do f (, ' T thndcras_ky ( ' s Kantdr Läng S Dlt_mn hat Aufwand O(logm Dcras_ky wrd g ( ω( oft aufgrufn Dr Gsamtaufwand st O( m (logm + g + + ( ω( O( m www.lrn-lus.d
.. Mthod dr Kantnaufnahm Dynamschs Vrfahrn Statt dr Knotn wrdn Kantn n dn Kürzst-Wg-Baum aufgnommn. D Größ ds Kürzst-Wg-Baums wächst mt dr Anzahl dr Kantn ds Grahn. 6,,,,,,,6 6,,,,, www.lrn-lus.d
.. Mthod dr mhrfachn Knotnaufnahm (Hautsatz R : = v s whl R do Dlt_mn v wrd n B aufgnommn For all ausghndn Kantn ' von v do f (, ' T thn bgn f ' thndcras_ky ( ω( ' ls Dcras_ky ( ω( ' übr ' D Anzahl dr aufgnommnn Knotnst n+ Damt st dr Gsamtaufwand ds Algorthmus. O( m + (( n+ log( n+ O( m logm. www.lrn-lus.d
.. Mthod dr mhrfachn Knotnaufnahm Dynamschs Vrfahrn Wrd n Knotn übr n Kant, von dr aus Abbgvrbot xstrn (Mng, n dn Kürzst-Wg-Baum aufgnommn, so darf dsr n wtrs Mal, abr ncht übr ds Kant, aufgnommn wrdn. D Größ ds Kürzst-Wg-Baums wächst mt dr Anzahl dr Knotn und dr Anzahl dr Abbgvrbot ds Grahn. 6 6 www.lrn-lus.d
.. Dfnton Wgäquvalnz S G und G : = : = dann hßt { V,, α, ω, γ } { V,, α, ω, γ } n Homomorhsmus ( G, n Grah mt Abbgvrbotn n Grah ohn Vrbot, und s xstrt von G nach n vrbotsfr rwtrung von G G : T (V (V (V, snd surjktv Zu jdm, ncht vrbotnn Wg w w n G ( w mt ( w Zu jdm Wg w = w n G glt : nthält knn vrbotnn Tlwg.. n G xstrt n Wg www.lrn-lus.d
.. Knotnorntrt Ntzwrk (Standard Statschs Vrfahrn Jd nfall- und Ausfallstraß rhält nn gnn Knotn Das Abbgn wrd durch d Vrbndung nr nfallstraß mt nr Ausfallstraß dargstllt Das Löschn dsr Vrbndung bdutt n Abbgvrbot Flxbl w n dynamschs Vrfahrn Jdr Knotn Knotn und g + v rzugt ( v g ( v ( v + g Kantn ( v D Anzahl dr nun Knotn st O( m, d Anzahl dr nun Kantn st O( m g + 6 www.lrn-lus.d 6
.. Das worst cas Bsl... m Kantn SV = { v }, = {,.. } mt α( = ω( Dr Knotn v wrd n m Knotn gslttt und rzugt m Kantn. m =.. m Das Vrfahrn rzugt O( m Knotn und v V g ( v g + ( v O( m Kantn. Damt lgt dr Aufwand ds Vrfahrns n O( m www.lrn-lus.d 7
.. D D Mthod ds ds Zhns nur Kantn (Rssnbrgr/Brüchrt Zu jdr Kant ω( = α( ' und (, ' T dfnrn nu Kant ˆ mt α( ˆ = α( und ω( ˆ = ω( '. Falls ' Abbgvrbot ( ˆ, ' D Kant sow das Abbgvrbot (, ' wrdn glöscht., so muss zu ' und zu jdm ( ' ' n T jdr Kant ' mt ' wr n T das aufgnommn wrdn. 6 ' ' ' 6 6 T = {(,,6, (,, 6 } www.lrn-lus.d 8
.. D Mthod ds Zhns nur Kantn Statschs Vrfahrn Jds Abbgvrbot wrd durch Zhn nr nun Kant, wlch d rlaubtn Wg darstllt, übrbrückt. D nun Kantn könnn nn ganzn Wg bnhaltn. Knotn mt Abbgvrbot könnn vntull ncht mhr rrcht wrdn. B vrschdnn Abarbtungsfolgn dr Abbgvrbot snd d rsultrndn Grahn vntull ncht äquvalnt. D Größ ds Kürzst-Wg- Baums wächst mt dr Anzahl dr Knotn und dr Anzahl dr Abbgvrbot ds Grahn. 6 www.lrn-lus.d 9
.. D Mthod trmnrt ncht mmr?!?! T = {, (, } (,,,, T nu = {, (, } (,,,, Hausaufgab: T nu = {, (, } (,,,, Fndn S n Bdngung dafür, dass das Vrfahrn trmnrt. www.lrn-lus.d
..6 D Abhänggkt von dr Rhnfolg 8 8 7 7 6 9 6 9 T nu = ( T (,,8 \ (,, 7 } www.lrn-lus.d
..6 D Abhänggkt von dr Rhnfolg (. Tl 8 8 7 7 6 9 6 9 T nu = ( T (,,6 (,,6 T nu = ( T (,, (,, (,, \ ((,,8 (,,8 \ ((,,6 (,,6 (,,6 www.lrn-lus.d
..6 D Abhänggkt von dr Rhnfolg (. Tl 8 8 7 7 6 9 6 9 T nu = Rhnfolg : (,,8 (,,6 (,, (,, www.lrn-lus.d
. Dr Bws ds Hautsatzs.. rstr Schrtt ds Algorthmus (blau Knotn wlchn aus n Abbgvrbot bgnnt : D Kantn aus snd d rotn Kantn, : = { d Kantn aus dfnrn wr nn nun Knotn v ~ { t,..., t }. S G : = ( V,, α, ω, γ n Grah mt Abbgvrbotn T = k Wr konstrurn ~ ~ ~ n vrbotsfr rwtrung G : = ( V,, ~ α, ~ ω, ~ γ. st d Mng allr Kantn, von Zu jdr Kant aus dr rzugndn (rotn Kant aus t T : t \ = (, ' mt ' } snd d schwarzn Kantn. (blaur Knotn. wrd dsr Knotn als ndknotn zugwsn : V ~ α ( : = α( ~ V : = V v~ ~ ω ( : = v~ ~ damt st V = V + O( n + m v ~ www.lrn-lus.d
.. Zwtr Schrtt ds Algorthmus (nu Kantn Zu jdr (rotn Kant d von aus rrchbar snd : N dfnrn wr n Mng als Mng allr Kantn, : = { ' ω( = α ( ' und (, ' T} Ds snd gnau d Kantn, n d von dr Kant aus abgbogn wrdn darf. N Jd dsr Kantn wrd bnfalls vrdolt. das Dulkat dr Kant ' aus N ~ α ( ~ ' : = ~ : = v~ ~ = + ' N ~ ' ~ ω ( ~ + g ( ω( T www.lrn-lus.d ' : = dann dfnrn wr : ω ( ' v~ ' damt st + g + S ~ falls ' falls ' ( G ' (blau und grün Kantn (grün Kantn (blau Kantn ' ~ γ ( ~ ' = γ ( ' ~ ~ ' ' ~ v ' '
.. D D Mthod ds ds vrbotsorntrtn Knotnslttng (Schmd Statschs Vrfahrn Dr ndknotn jdr Kant, von dr aus Abbgvrbot xstrn, wrd gslttt und dr Kant als ndknotn zugwsn. Orgnalknotn und Dulkat stlln d slb Kruzung dar. Nur d Kantn, n d abgbogn wrdn darf, wrdn gzogn. D Größ ds kürzst-wg- Baums wächst mt dr Anzahl dr Knotn und dr Anzahl dr Abbgvrbot ds Grahn. 6 www.lrn-lus.d 6
.. Bslgrah Um d folgndn Schrtt zu rläutrn vrwndn wr folgndn Bslgrah : V T = {(,,6,( = { v,,,.. v 9,( }, w n dr Zchnung vrmrkt,,,7,(,,8 } 9 = {,,, } 7 6 8 www.lrn-lus.d 7
.. Bslgrah nach dr Knotnvrdolung Jdr ndknotn nr Kant aus Dr ntsrchndn Kant aus als V ndknotn zugwsn. = { nu =, { v,,.. v 9, v, } ', v ', v '} wrd vrdolt. wrd dsr Knotn 7 9 6 8 www.lrn-lus.d 8
.. D Vrbndung mt dn rlaubtn Rchtungn Von dn nun Knotn aus gzogn, wlch ncht vrbotn snd. Lgt d ntsrchnd Kant n mt dm nun Knotn vrbundn. = { =, {, ',, ', } ', ',, so wrd d nu Kant wrdn nur d Kantn ', ', } 7 9 V nu = { v,.. v 9, v ', v ', v '} 6 8 www.lrn-lus.d 9
.. rsts Problmbsl dr dr Mthod ds ds Zhns nur Kantn T = {, (, } (,,,, www.lrn-lus.d
.. Das Das zwt Problmbsl dr dr Mthod ds ds Zhns nur Kantn 9 8 7 7 6 9 6 9 www.lrn-lus.d
..6 Dr Bwsübrblck Grundd: D Kantn wrdn durch hrn Anfangsknotn klassfzrt (..8 Homomorh: D Grahrwtrung st homomorh zum Ausgangsgrahn (..9 Wgäquvalnz: D m rwtrtn Grahn brchntn kürzstn Wg snd d kürzstn Wg m Ausgangsgrahn untr Brückschtgung dr Abbgvrbot (.. und... Mnmaltät: Im rwtrtn Grah darf kn Kant wgglassn wrdn (.. www.lrn-lus.d
..7 D Dfnton dr kanonschn Projktonn S G = ( V, n Grah mt Abbgvrbotn T dann dfnrn wr d Projktonn Π w folgt : ~ ~ ~ und G = ( V, dssn rwtrung, Π v ( v : = ω( falls v V falls v = v (schwarzr Knotn V von rzugt (blaur Knotn wurd Π ( : = ' falls falls (schwarz odr rot Kant von ' N ( rzugt (blau odr grün Kant wurd Mt dsr Dfnton snd Π und Π surjktv und rfülln damt d Bdngung (V. Wnn klar st wlch Projkton gmnt st, schrbn wr auch Π statt Π bzw. Π. www.lrn-lus.d
www.lrn-lus.d..8 Klassfkaton dr Kantn durch Anfangs und ndknotn..8 Klassfkaton dr Kantn durch Anfangs und ndknotn 8 6 7 9 ~ ( ~ ( st blau (, ~ ( ~ ( st grün \ (, ~ ( ~ ( st rot ~ ( ~ ( st schwarz \ V V V V V V V V Π Π ω α ω α ω α ω α 8 6 7 9
..8 möglch Knotn // Kantnfolgn n n G ~ Startkantnfarb schwarzs und blaus Lvl Schwarz Rot Blau Grün S S n grün odr schwarz Kant, dann glt Π( n rot odr blau Kant, dann glt Π(. \. www.lrn-lus.d
..9 D Homomorh (.Tl: schwarz und rot Kantn S G = ( V, n Grah mt Abbgvrbotn T dann glt : α( Π ( = Π ( ~ α ( und ω( Π ( = Π ~ ~ ~ und G = ( V, dssn rwtrung, ( ~ ω( (sh... Bws : Π S, dann glt (schwarz odr rot Kant : ( v = α( Π ( = α( = Π ( ~ α ( (Dfnton von ( ~ α ( V Π Π v ~ analogs glt für ω, falls also falls schwarz st. S ( v = (rot, dann glt : ω( Π ( = ω( = Π = Π ( v ~ ( ~ ω ( (Dfnton von Π (Dfnton von Π (mt.. Π www.lrn-lus.d 6
..9 D Homomorh (. Tl: grün Kantn S ~ von ' N ( v = α( Π, ' ( ~ = α( ' = ω( (, ' st n Wg, = Π = Π ( v ~ ( ~ α ( ~ rzugt, dann glt : ~ st grün und (Dfnton von Π nach Dfnton von N (Dfnton von Π (Dfnton von ~ α und ' rzugt ~ ; ' Π Π ' ~ v ~ ( v = ω( Π ( ~ = ω( ' = Π ( ~ ω( ' (Dfnton von Π ( ' \ (schwarz und und Dfnton von ~ ω ' rzugt ~ Π Π = Π ( ~ ω( ~ (.. Π www.lrn-lus.d 7
..9 D Homomorh (. Tl blau Kantn S ~ von ' N, ' rzugt, dann glt : ~ st blau und Π ~ v ' ( v = α ( Π ( ~ = α( ' = ω( = Π = Π ( v ~ ( ~ α ( ~ (Dfnton von Π und ' rzugt ~ (, ' st n Wg, nach Dfnton von (Dfnton von Π (Dfnton von ~ α N ' Π Π ' ~ ( v = ω( Π ( ~ = ω( ' = Π = Π = Π ( v ' ( ~ ω( ' ( ~ ω( ~ (Dfnton von Π und ' rzugt ~ (Dfnton von Π (Dfnton von v' (.. und v ' Π Π v ~ www.lrn-lus.d 8
..9 Dr rwtrt Grah st homomorh zu G ~ Für all glt : α( Π ( ( ~ ( und ( ( ( ~ = Π α ω Π = Π ω( ~ nach.. st alsog homomorh zu G. ~ ~ α, ~ ω ~ V Π Π α, ω V www.lrn-lus.d 9
.. Jdr, ncht vrbotn Wg bstzt n n Äquvalnt (V S G = ( V, n Grah mt Abbgvrbotn T ~ ~ ~ und G = ( V, dssn rwtrung dann glt : Zu jdm rlaubtn Wg w : = (,..n mt ( + T ( =.. n ~ ~ ~ xstrt n Wg w : = ( ~,.. n G mt Π( ~ = für =.. n und α( V. n n G Bws : Wr konstrurn dn Wg w~ : S w. Fall :S ~ wr ~ schwarz odr grün odr =, dann dfnrn ~ st damt schwarz odr grüns glt ( ~ Π = und s glt : ~ ω ( ~ ~ ( nach Dfnton von ~ = ω ω = ~ α ( w st n Wg = ~ α ( ~ nach Dfnton von ~. : =.. Fall :S ~ blau odr rot, dann glt : und st (wl (, T vrdolt wordn dss Dulkat hss ˆ. Wr dfnrn ~ : = ˆ s glt : Π( ~ = ~ ω ( ~ ~ = v = ~ α ( ~ www.lrn-lus.d (..7 und nach Dfnton von ~ ω (.. als lmnt von N (blau odr grün.
.. Kn Wg n n G ~ nthält Abbgvrbot (V ~ ~ ~ S G = ( V, n Grah mt Abbgvrbotn T und G = ( V, dssn rwtrung ~ ~ ~ und s w : = ( ~,.. n Wg n G, dann glt w : = ( Π( ~,.., Π( ~ n st n Wg n G, dr kn Abbgvrbot nthält. n ~ Bws : S w~ n blbgr Wg n G, und s ~ ( ( ~ st n Wg : ( ( ~ = Π w ω Π = Π( ~ ω ( ~ = Π( ~ α ( ~ = α ( Π( ~..n gwählt, dann glt : Homomorh ( w~ st n Wg Homomorh ( ~ Annahm: Π( w ~ nthält n Abbgvrbot (, T, dann glt : st blau odr rot und ~ ( ~ v~. Mt..8 st ~ ω = blau odr grün und st nach.. von nr Kant rzugt wordn n d von wrdn darf (Wdrsruch zu ( T. aus abgbogn www.lrn-lus.d
.. D Mnmaltät ~ Zu jdm ~ xstrt n rlaubtr Wg w : = (,..n n G mt dr ~ ~ ~ gnschaft, dass all Wg w : = ( ~,.., n, mt ( ~ n G Π = und ( ~ ( ~ V, d Kant ~ α nthaltn. Bws :S a Abbgvrbot am Knotn v. Nach Konstrukton glt : D Mng Π. Fall: Π - ( ( v d Anzahl dr Abbgvrbot ( ( S ~ schwarz odr rot, dann dfnrn wr w =, dann glt mt obn ~ { ~ ~ α ( ~ V }, mt ω( = { } und damt st nlmntg. = v (Anzahl dr. Fall:S ~ = ~ dann wurd ~ ', ~ ' blau odr grün, von nr Kant ' rzugt, dann st ( n (rlaubtr Wg mt ~ ' T α ( ' V und mt obn st d Kant ' ndutg. ' - n rot Kant und bs zu a ( ω( blau Kantn falls = n schwarz Kant und und bs zu a ( ω( grün Kantn falls Hausaufgab :Suchn S schärfr Mnmaltätsaussagn für ds rwtrung. www.lrn-lus.d
.. D Vrbssrung von Lwandowsk (6.7. Sn n mal, ω( = ω( vrdolt wrdn. und N, dann könnn d Knotn v ~ zusammngfasst wrdn, und damt müssn d Kantn aus N = N = N nur und v ~ www.lrn-lus.d
. k-kürzst Wg mt dm Algorthmus von Azvdo.. Dfntonfür k - kürzst Wg Ggbns n n Wg w hßt zyklnfr: SW n Wg w (dsr st.a. ncht ndutg. S dann hßt w G : = hßt kürzstr n Wghßt k - kürzstr ( V,, α, ω, γ sown Startknotn s und n Zlknotnz. kn Knotnkommt n d Mngallr Wg von s nach z (ds könnnbs zu ( V Grah zwtkürzstr Wg von s nach z : γ ( w γ ( w w W fst gwählt, Wg von s nach z : γ ( w γ ( w Wg von s nach z : γ ( w γ ( w w mhrfach vor.! für all w für all w für all w zyklnfr Wgsn. W W \{ w }. W \{ w,.., k w k }. www.lrn-lus.d
.. Zwtkürzst Wg n n nm Grahn -- (nführnd Bsl z z z s s s Gsucht st dr zwtkürzst Wg von s nach z Djkstra st dm Problm zwt kürzstr Wg ncht gwachsn Algorthmus odr Grahvrändrung st notwndg www.lrn-lus.d
.. Algorthmus von Azvdo (99 modfzrt von Schmd Statschs Vrfahrn (vrändrt nur dn Grah ncht abr dn kürzst Wg- Algorthmus Azvdo vrwndt d Mthod Pathdlton (Wgvrbot.. rschaff nn nun Startknotn und nn nun Zlknotn (sätr.. Vrdol dn kürzstn Wg ohn rst und ltzt Kant bzw. Knotn. (Wgvrdolung. Ws dr rstn Kant nn nun ndknotn zu. (Umltung. Zh all Kantn übr d dr kürzst Wg vrlassn wrdn kann. (Vrbndung mt dm Ausgangsgrahn www.lrn-lus.d 6
.. Bsl für für dn modfzrtn Algorthmus von Azvdo Dr kürzst Wg st ncht mhr bghbar. Dr zwt und drttkürzst Wg snd noch möglch. www.lrn-lus.d 7
.. Dr zwtkürzst Wg von nach 6 7 7 6 7 Dr vrdolt Wg st blau D Vrbndung mt dm Ausgangsgrahn grün. D Kantn (', und (', wrdn ncht gzogn.d Kant (, wr zur Kant (,'. 7 6 7 7 6 7 www.lrn-lus.d 8
.. Bsl für zwtkürzstn Wg mt Schlng Dr zwtkürzst Wg st ncht dr vrmutt (grün Wg, sondrn dr rot Wg, dr sch vom kürzstn Wg nur durch n Schlng untrschdt. Läng ds rotn Wgs = 6 < 8 = Läng ds grünn Wgs www.lrn-lus.d 9
..6 Dr rst Schrtt Problm: Dr Algorthmus von Azvdo kann n dsr Form nn zwtkürzstn Wg dr Form Schlng - (altr kürzstr Wg odr (altr kürzstr Wg Schlng ncht rknnn. Lösung: rschaff nn nun Startknotn und nn nun Zlknotn Vrbnd dn nun Startknotn mt dm altn Startknotn durch n Kant dr Läng. Vrbnd dn altn Zlknotn mt dm nun Zlknotn durch n Kant dr Läng. www.lrn-lus.d
Bsl für nn rwtrtn Grahn ncl. Schrtt Dr zwtkürzst Wg (orang bnhaltt d Schlng bm Startknotn www.lrn-lus.d
..7 Aufwand ds Vrfahrns von Azvdo Dr kürzstwg zwschn bnhaltn. D Anzahl,dr vomkürzstnwg wgwsndn Kantnst maxmal n Knotnund = m m Knotnkann maxmal V. Damt st d Anzahldr nu rschaffnn lmntmaxmal Kantn.Dr Platzbdarf = n Knotnund n Kantn kann sch also fast vrdoln. Dr Aufwand, dn zwt- kürzstnwg zu brchnn, kann also b Anwndung ds Djkstra- Algorthmus zw mal so langdaurn w d Brchnung ds kürzstn Wgs. Aufwand = Damt st Azvdo= O( m + n logn (falls m O( n Djkstra( G + rwtrung + Djkstra( G = O( m + n logn + O( m + n + O( m + n logn = O( m + n logn rw Hoffman= O( n < Pollack = O( n ( n + m log n www.lrn-lus.d
..8 Drttkürzst Wg nach Azvdo rschaff nn nun Startknotn und nn nun Zlknotn. Brchndn kürzstn Wg w maxmalanfangswg( s wrdn nur d Kantn( vrdolt. D Kant und dn zwtkürzstn Wg w j+ = j+ =,.., m,..., j = j = muß ncht vrdolt wrdn. und d dazughörgn Knotn. Dr gmnsam übr d dr kürzstwg vrlassn wrd,bkommt (,.., m nn nun ndknotn.zh all Kantn übr d w vrlassn wrdn kann. www.lrn-lus.d
..8 Drttkürzst Wg nach Azvdo www.lrn-lus.d
..9 k - kürzst Wg nach Azvdo Brchnungds k rschaff nn nun Startknotn und nn nun Zlknotn. Brchnd k - kürzstn Wg w Anfangswg( vrdolt wrdn. s wrdn nur d Kantn( dazughörgn Knotn vrdolt. D Kant wrd,bkommt nn nun ndknotn. vrlassn wrdn kann. Aufwand = = l + kürzstn Wgs:,.., w ( mt w Djkstra( G + rw. + k = O( ( m + n logn + O( m + n O( m + n Damt lgt dr Aufwand b O( k = k l = k k,..., mt l Zh all Kantn übr d w Djkstra( G + rw. +... + l j (,.., = k j ( m + n logn. m. Dr gmnsammaxmal < k, j maxmal,muß ncht k j+ k j+,.., k m übr d w k und d l vrlassn Djkstra( k G k www.lrn-lus.d
.. Dr schlmmst Fall Ggbn s von s nach z n Grah,dr nur aus nm Zyklusbstht.Dr k - kürzstwg rgbt sch aus dm kürzstn Wg und dmanschlssndn k-malgn Durchlaufn ds komlttn Grahn. www.lrn-lus.d 6
.. Bwsübrblck ds Algorthmus von Azvdo Jdr Wg m rwtrtn Grahn st auch n Wg m Ausgangsgrahn (d zgt man übr kanonsch Projktonn = nvrs Abbldung dr Wgvrdolung. All Wg (außr Wgn, d d k-kürzstn Wg nthaltn m Ausgangsgrahn, snd auch Wg m rwttn Grahn (man konstrurt dn Vrlauf ns ggbnn Wgs m rwtrtn Grah. Gnau d k-kürzstn Wg snd vrbotn. www.lrn-lus.d 7
.. Dr Algorthmus von Hoffman & Pavly Brchnungallr kürzstnwgzum Zlknotnhn. Dr kürzstwg mn (,.. damt bnfallsbrchnt. Nmm von jdm Anfangsknotn jdr Kant kürzstnwgs jd Kant =/ und brchndn zwtkürzstn Wg als n+ mn = ( = α( { d( s, α( + γ ( + d( ω(, z mt α( = α( } Dr zwtkürzst Wg st also vomstart zum Zlknotnst mt α (,.. + kürzstr Wg vonω( nach z. m n ds z m s www.lrn-lus.d 8
.6 (Kürzst Wg n n Grahn mt Wgvrbotn Rdukton auf rlvant Wgvrbot und Äquvalnzklassnbldung (.6. D Wgvrdolung (.6. Dr Wgbaum (.6. Vrbndn dr gsltttn Wg mt dm Ausgangsgrahn (.6.7 Vrbndn dr gsltttn Wg untrnandr (.6.9 www.lrn-lus.d 9
.6. Dfnton Wgvrbot n Kantnfolg n Wg : = w: (,.. hßtwg, wnnω( = α( (,.. hßt Wgvrbot, wnn d Squnz (,.. n knm Wg vorkommn darf. n = n + P st d Mng allr =.. n. Wgvrbot. n Autobahn V A Vahngn ( : = u,,,,v B Schattnrng Unvrstät S U www.lrn-lus.d 6
.6. Kantn müssn vtl. mhrfach bfahrn wrdn Bm Fahrn von v nach v6 muss d Kant (, mhrfach bfahrn wrdn www.lrn-lus.d 6
.6. Rdukton, Klassnbldung und Anfangswg xstrnwgvrbot das größrwgvrbot, mt st Tlwgvon, so ncht mhr btrachtt wrdn. muß D rstkant von hat n wchtgbdutung. Äquvalnzklassnbl dung: ˆ ~ ˆ = ~ Für a : = aga w W und ~ P mt ~ ( ~, w : = max { k ~ = für =.. k } d Anzahldr gmnsamn Anfangskantn von wund ~. ~ hßt Anfangswg von w. = s w ˆ ˆ = ˆ = ~ ˆ = a ~ = a ˆ hßt n wnn aga maxmalr Anfangswg, { P }. ( ˆ, w = max aga (, w ˆ = ~ = www.lrn-lus.d 6
.6. D Wgvrdolung Id : rst Kant ns Wgvrbots umltn, um dann dn ltztn Schrtt zu vrbtn. Wr btrachtn n ohn rsts und Wgvrbot : ltzts lmnt : : = Vrdol d Knotn und Kantn von (,... n. vn n n v n n Knotn : v,..., v n, Kantn :,... n. Ws nn nun ndknotn zu : ω ( : = v v v D kanonsch Projkton wst Dulkatn hr Orgnal zu : Π( = www.lrn-lus.d 6
.6. Dr Wgbaum Wr btrachtn schrttws Wnn brts Wgvrbot aus so muß jds Wgvrbot. [ ] ncht von Anfang an gslttt gslttt wrdn. wurdn, n S : = (,... m dr maxmal Anfangswg von n dr Mng allr Wgvrbot, n m d brts barbtt wurdn. D Anzahl dr gmnsamn Anfangskantn s q. m Wr vrdoln d lmnt ds Wg - vrbots rst ab Kant q + und hängn ds an dn maxmaln Anfangswg an : q + v q+ q q q= q α ( : = v α( : = ( = v Π( q+ q + ω www.lrn-lus.d 6 : =
.6.6 ndwg w~ hßt ndwg von w, wnn nindx q~ xstrt,so daß = ~ für n q~. q+ w~ bgnnt nnrhalb von w vrläuft dann glchbs zumnd von w ght dann vntullnoch wtr. w ~ ŵ = ˆ = ~ = = ~ q~ ˆ = n n ~ = q ˆ = q n q~ st d Anzahldr gmnsamn = ê ndkantn. = qˆ ˆ = n ndwg wˆ hßt maxmal wnn n qˆ maxmalst. w w = n www.lrn-lus.d 6
.6.7 D Vrbndung mt dm Ausgangsgrahn Zu jdr Kant ˆ mt α dr mt dr glchn Kant aralll vrläuft und ( ˆ = ω( btrachtn wr dn Wg w : = (,.., ˆ ( bgnnt w, n Stück übr d Kant ˆ vrläßt.,. Fall : s gbt kn, das ndwg von w st. Übr d Kantnfolg ( ˆ kann ohn wtr Bachtung von Vrbotn vrlassn wrdn. Zu jdm ˆ ê dsr Kantnaar dfnrn,ˆ mt α wr n nu Kant ( ( : v : ( ˆ und ( = ω = ω Π,ˆ,ˆ ˆ, d das Dulkat von mt dm Ausgangsgrahn vrbndt. D Kant ˆ kann mhrfach gslttt wrdn.,ˆ : = www.lrn-lus.d 66
.6.8 Lösung ds nführndn Bsls V A V A V A S U S U S U www.lrn-lus.d 67
.6.9 D Vrbndung mt dn gsltttn Wgn Zu jdr Kant ˆ mt α wdr dn Wg w : = ( ˆ = ω( (,.. ˆ. btrachtn wr n ˆ ê m. Fall : wrdn, s gbt Wgvrbot von w snd mt wnn u.a. [ ] dsr ndwg mt ˆ Übr d Kantnfolg ( ˆ t, und s = ˆ. ˆ t, d ndwg ˆ kann dr maxmal vrlassn wtrhn bachtt wrd. Zu n, ˆ, t ê t ˆ m ˆ t jdm dsr Kantnaar dfnrn Kant, ˆ, t mt α wlch d gsltttn Wg von wr n nu (, ˆ :, (, ˆ ˆ : und (, ˆ = v ω = v Π, t, t und t ˆ, t vrbndt. : = ˆ t, ê www.lrn-lus.d 68
.6. Bsl für n Grahrwtrung Ggbn s n Grah G mt dn Knotn,,, v,.., v,,6 und dn Wgvrbotn = :,,,, :,dn Kantn 6,7 =,,,6 6,7,,6 6,8 8,9. : =, 6,8 8,9 8, 8 9 6 7 www.lrn-lus.d 69
.6. Bsl nach dr Wgvrdolung Das Wgvrbot = :, rzugt,,,, 6 8 d Kantn und d Knotn v ', v ' v '. und v wrdn ncht gslttt. Dr Kant ',', ',' wrd n nur ndknotn zugwsn : 6 8 6 9 7 ( ω =, : v' www.lrn-lus.d 7
.6. Bsl nach dr Wgvrdolung 6 8 6 8 9 6 7 www.lrn-lus.d 7
Bsl nach dr Vrbndung mt dm Ausgangsgrahn = :,,6 6,8 8,9 kann übr d dr 6 8 Kombnatonn ( (,,,6 6,7 ( 6,8 8, ohn Bachtung von Vrbotn vrlassn wrdn. 6, 8 6 9 7 ( (,, =,,, www.lrn-lus.d 7
Bsl nach dr Vrbndung dr gsltttn Wg : übr d Kant wrdn, wnn kann vrlassn und wtrhn bachtt wrdn. w = = = =,,,,,,,,6,,,,6,6,6 6,7 6,8 8,9,, 6 8 6 8 9 dshalb wrd d rwtrung mt und snd ndwg von w. st maxmalr ndwg, vrbundn. 6 7 ( (, =,,6, www.lrn-lus.d 7
.6. Bsl mt slbstübrlandm Wgvrbot Ggbn s n Grah G mt dn Knotn v Kantn,,,,,,,,,,. Umfahrn nach,,, Häusrblocks,,, und das anschlßnd Abbgn vrbotn st.,,6, 6, 7,,..., v und dn und dm Wgvrbot Das bdutt, daß das zw odr mhrmalg 7 6 7 www.lrn-lus.d 7
.6. Das Häusrblockbsl mt vrdoltm Wg 6 7 www.lrn-lus.d 7
.6. Das Häusrblockbsl mt vrdoltm Wg Zurst wrd wdr das grün dargstllt. Wgvrbot vrdolt. Dr vrdolt Wg st 6 7 Übr d Kantnaar ( ( und,,6 ( ( kann ohn Bachtung wtrr Wgvrbot,,6, wdr vrlassn wrdn. Dshalb wrdn d Kantn ', ',6 '', (blau gzogn. und '',6, www.lrn-lus.d 76
.6. Wggrah ds Häusrblockbsls Dr Wg w: = bstzt das Wgvrbot zw Mal als ndwg : w m = = = obrn Fall mt 6 m untrn mt gmnsamn ndkantn. 7 Fall 6 Dshalb wrd zum Paar ( n nu so ' '' Kant mt ' ', 9,6 9 dfnrt vrbundn. 6 = ( und www.lrn-lus.d 77
.7 Bwsübrblck Grundd: Klassfkaton dr Kantn durch Ihr Anfangs- und ndknotn. Church-Rossr gnschaft (Konflunz: Dr Wggrah st von dr Rhnfolg dr bhandltn Wgvrbot unabhängg. Homomorh: D kanonschn Projktonn snd surjktv und nzdnzrhaltnd. Wgäquvalnz: D möglchn Wg ds Wggrahn snd gnau d rlaubtn Wg m Ausgangsgrahn. Mnmaltät: Vom Wggrah darf kn Kant odr Knotn wgglassn wrdn. www.lrn-lus.d 78
.7. Zusammnfassung und Ausblck ntwcklung dynamschr und statschr Algorthmn zur Brchnung kürzstr Wg n Grahn mt Abbgvrbotn. rwtrung ns statschn Algorthmus auf Wgvrbot. Dr ntwcklt Algorthmus (.6 stllt n Vrbssrung ds Algorthmus von Azvdo zur Brchnung k-kürzstr Wg (. dar. Dr vorgstllt Algorthmus kann mt dn aktulln Mthodn zur Routnlanung kombnrt wrdn. Übrtragung ds Vrfahrns auf andr Brch w z.b. Logstk. Rdukton dr Wgvrbot durch schrttwss Btrachtn. Drzt wrdn all Wgvrbot auf nmal btrachtt. rwtrung ns dynamschn Abbgvrbots- Algorthmus auf Wgvrbot. Vorlsung www.lrn-lus.d 79