3 Schaltungen mit frequenzselektiven Eigenschaften 35 a lg (8) a die Grenzkreisfrequenz ist Grenz a a (8) 3 esonanzkreise 3 eihenresonanzkreis i u u u u Bild 4 eihenresonanzkreis Die Schaltung nach Bild 4 heißt eihenresonanzkreis Für eine bestimmte Frequenz mit (83) sind Klemmenspannung u und Klemmenstrom i in Phase die Anordnung verhält sich wie der Widerstand Dieser Zustand der Schaltung heißt esonanz ist die esonanzkreisfrequenz Analyse der Schaltung Die Analyse der Schaltung folgt aus den komplexen Zusammenhängen: Impedanz Z Z j j (84) j komplexe Stromamplitude I Z (85) j komplexe Spannungsamplituden an den Bauelementen
36 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik j j I I I (86) Der Scheinwiderstand der Anordnung ist Z (87) die Stromamplitude I Z (88) die Spannungsamplituden an den Bauelementen folgen zu (89) (9) (9) Verhalten bei esonanz Gütefaktor Q Klemmenspannung u und Klemmenstrom i sind dann in Phase wenn durch Parameteränderung die Bedingung Im Z (9) bzw Im Y (93) erfüllbar ist
3 Schaltungen mit frequenzselektiven Eigenschaften 37 Aus den Gleichungen (84) und (9) erhält man als Bedingung für die esonanzkreisfrequenz und damit: (94) (95) Die esonanzfrequenz f folgt zu: f (96) π Mit der Bedingung Gleichung (94) erhält man aus den Gleichungen (88) bis (9) für die Stromamplitude und die Spannungsamplituden (97) (98) Es ist: (99) () Q () Q ist die Güte oder der Gütefaktor des esonanzkreises Für technisch relevante Anordnungen liegt die Güte Q in der Größenordnung Q = Für Q > ist also die Spannung an den Blindelementen bei esonanz größer als die Gesamtspannung Bild 5 zeigt im Zeigerdiagramm bei esonanz die Spannungsverhältnisse und Phasenverhältnisse für Q = 3 Messtechnisch wird die Güte aus der Spannungsüberhöhung am Kondensator bei esonanz ermittelt
38 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik Stromdurchlasskurve Aus den Gleichungen (88) (97) und () erhält man für die Stromamplitude: I () Q (3) Mit der Voraussetzung = konst (eingeprägte Spannung) wird die Beziehung (3) als Stromdurchlasskurve des eihenresonanzkreises bezeichnet (Bild 6) Für die Spannungsamplituden an den Blindelementen erhält man analog Q Q (4) Q Q (5) Q = 3 = / Q = Q = Bild 5 Zeigerdiagramm bei esonanz Bild 6 Frequenzgang der Stromamplitude Bild 7 zeigt den Frequenzgang der Spannungsamplituden an den Blindelementen Kondensator () und Spule () für Q = und Bild 8 für Q =
3 Schaltungen mit frequenzselektiven Eigenschaften 39 / / () () / / () () / / Bild 7 Frequenzgang der Spannungsamplituden bei Q = Bild 8 Frequenzgang der Spannungsamplituden bei Q = Bandbreite Eckfrequenzen Den Frequenzbereich in dem die Stromamplitude um nicht mehr als um den Faktor gegenüber dem Maximum bei der esonanzkreisfrequenz abgefallen ist bezeichnet man als Durchlassbereich des esonanzkreises und seine Breite als Bandbreite Die Ortskurve der Impedanz Z() des eihenresonanzkreises (Gleichung (84)) macht deutlich im Bild 9 Z Z (6) 45 45 also gilt für die Stromamplitude (7) 45 45 Z 45 45 Y - 45 / 45 Bild 9 Ortskurve Z() Bild 3 Ortskurve Y() +45 45 sind die so genannten 45-Eckkreisfrequenzen Sie lassen sich wie folgt berechnen (vgl Bild 9):
4 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik 45 (8) 45 45 (9) 45 () 45 45 () Die Bandbreite b ist die Differenz der Eckkreisfrequenzen: b 45 45 () Q Die Ortskurve der Admittanz Y() des eihenresonanzkreises ist ein Kreis durch den Nullpunkt (Bild 3) Für Kreisfrequenzen kleiner als die esonanzkreisfrequenz verhält sich der eihenresonanzkreis ohmsch-kapazitiv für Kreisfrequenzen größer als die esonanzkreisfrequenz ohmsch-induktiv Beispiel 8 = Ω = H = µf = 3 V: = 36 s f = 53 Hz Q = 56 = = 3588 V +45 = 36 s -45 = 36 s b = s 3 Parallelresonanzkreis G G j j Bild 3 Parallelresonanzkreis Die Schaltung nach Bild 3 heißt Parallelresonanzkreis Für nunmehr = konst (Stromeinprägung) kann die Schaltung zur Berechnung interessierender Größen wie +45 45 Q b ganz analog zu den Ausführungen beim eihenresonanzkreis analysiert werden