Seite 1 von 7 Abiturrüfung 215 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung: Eine Firma stellt mit zwei verschiedenen Maschinen A und B Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als 1. Wahl gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als 2. Wahl bezeichnet. Eine Fliese, die mit Maschine A roduziert wurde, ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von,9 1. Wahl (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von,1 2. Wahl ). Maschine B roduziert lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von,8 1. Wahl -Fliesen. Dabei kann für beide Maschinen davon ausgegangen werden, dass die Produktion von Fliesen 1. und 2. Wahl jeweils stochastisch unabhängig erfolgt. Fliesen, die von Maschine A roduziert wurden, werden im Folgenden als A-Fliesen bezeichnet, Fliesen von Maschine B als B-Fliesen. Jede Packung enthält 2 Fliesen, die von derselben Maschine stammen. a) (1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung A-Fliesen genau zwei 2. Wahl -Fliesen enthalten sind. (2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung A-Fliesen maximal 8 % der Fliesen die Qualität 1. Wahl haben. Die 2 Fliesen einer Packung B-Fliesen wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt. (3) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur 1. Wahl -Fliesen enthält. [Kontrollergebnis =,32768 ] (4) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur 1. Wahl -Fliesen enthält. (2 + 3 + 2 + 4 Punkte)
Seite 2 von 7 b) An Großabnehmer verkauft die Firma auch Paletten, die jeweils 5 Packungen Fliesen von derselben Maschine enthalten. Ein Bauunternehmer bestellt eine Palette mit A-Fliesen. Da die Packungen bei der Lieferung nicht gekennzeichnet sind, befürchtet er, versehentlich eine Palette mit B-Fliesen erhalten zu haben. Er beschließt, für einen Test der Lieferung zufällig 1 Fliesen zu entnehmen und die Anzahl X der 2. Wahl -Fliesen in dieser Stichrobe zu bestimmen. (1) Begründen Sie, dass X als binomialverteilte Zufallsgröße aufgefasst werden kann, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit bei A-Fliesen =,1 und bei B-Fliesen =,2 beträgt. (2) Es wird ein Hyothesentest mit der Nullhyothese H :,2 durchgeführt. Wird H verworfen, wird die Palette angenommen, sonst wird sie zurückgeschickt. Erklären Sie die Wahl der Nullhyothese. (3) Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel (auf Basis der genannten Nullhyothese) für die oben genannte Stichrobe von 1 Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit (d. h. Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art) von höchstens 5 %. [Zur Kontrolle: H wird für X 13 abgelehnt.] (4) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit A, dass die Hyothese H aufgrund der Entscheidungsregel aus (3) irrtümlich nicht abgelehnt wird, obwohl die Palette tatsächlich A-Fliesen enthält, also =,1 gilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit B, dass die Hyothese H irrtümlich abgelehnt wird, obwohl die Palette tatsächlich B-Fliesen enthält, also =,2 gilt. [Zur Kontrolle: A,1239, B,469 ] (5) Im Lager des Herstellers befanden sich 7 Paletten mit A-Fliesen und 3 Paletten mit B-Fliesen, aus denen die angelieferte Palette zufällig ausgewählt wurde. Bestimmen Sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten Irrtumswahrscheinlichkeit für den Test. A und B die gesamte (3 + 4 + 5 + 6 + 4 Punkte)
Seite 3 von 7 c) Für besonders ansruchsvolle Kunden soll eine Sorte Premium angeboten werden, die nur aus 1. Wahl -Fliesen besteht. Dazu will die Firma die 2. Wahl -Fliesen aus der Produktion der Maschine A aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer otimal funktioniert: Das Testgerät erkennt eine 2. Wahl -Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von w =,8 ( Aussortierwahrscheinlichkeit ) und sortiert sie aus. Andererseits wird eine 1. Wahl - Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von,5 zu Unrecht als 2. Wahl aussortiert. (1) Stellen Sie die Situation grahisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten). Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als 1. Wahl einstuft (also nicht aussortiert). (2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine 2. Wahl -Fliese ist. (3) Bestimmen Sie, wie groß die Aussortierwahrscheinlichkeit w des Testgeräts mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit aus (2) (und damit der erwartete Anteil der 2. Wahl -Fliesen nach dem Aussortieren) durch die Prüfung auf unter 1 % gesenkt wird. (7 + 4 + 6 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung
Seite 4 von 7 Tabelle 1: σ-regeln für Binomialverteilungen Eine mit den Parametern n und binomialverteilte Zufallsgröße X hat den Erwartungswert µ = n und die Standardabweichung σ = n (1 ). Wenn die LAPLACE-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, gelten die σ-regeln: P( µ 1,64σ X µ + 1,64 σ),9 P( µ 1,96σ X µ + 1,96 σ),95 P( µ 2,58σ X µ + 2,58 σ),99 P( µ 1,64 σ X),95 PX ( µ + 1,64 σ),95 P( µ 1,96 σ X),975 PX ( µ + 1,96 σ),975 P( µ 2,58 σ X),995 PX ( µ + 2,58 σ),995 P( µ 1σ X µ + 1 σ),683 P( µ 2σ X µ + 2 σ ),954 P( µ 3σ X µ + 3 σ),997 P( µ 1 σ X),841 PX ( µ + 1 σ),841 P( µ 2 σ X),977 PX ( µ + 2 σ),977 P( µ 3 σ X),999 PX ( µ + 3 σ),999
Seite 5 von 7 Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n = 1 und n = 2 Fnk ( ; ; ) = Bn ; ; +... + Bnk ; ; n n = 1 +... + k 1 n k ( ) ( ) ( ) ( ) n k,2,5,8,1,15,2,25,3,5 n,8171,5987,4344,3487,1969,174,563,282,1 9 1,9838,9139,8121,7361,5443,3758,244,1493,17 8 2,9991,9885,9599,9298,822,6778,5256,3828,547 7 3,999,9942,9872,95,8791,7759,6496,1719 6 1 4,9999,9994,9984,991,9672,9219,8497,377 5 1 5,9999,9986,9936,983,9527,623 4 6,9999,9991,9965,9894,8281 3 7,9999,9996,9984,9453 2 8,9999,9893 1 Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, 9,999,6676,3585,1887,1216,388,115,32,8, 19 1,941,7358,5169,3917,1756,692,243,76, 18 2,9929,9245,7879,6769,449,261,913,355,2 17 3,9994,9841,9294,867,6477,4114,2252,171,13 16 4,9974,9817,9568,8298,6296,4148,2375,59 15 5,9997,9962,9887,9327,842,6172,4164,27 14 6,9994,9976,9781,9133,7858,68,577 13 7,9999,9996,9941,9679,8982,7723,1316 12 2 8,9999,9987,99,9591,8867,2517 11 2 9,9998,9974,9861,952,4119 1 1,9994,9961,9829,5881 9 11,9999,9991,9949,7483 8 12,9998,9987,8684 7 13,9997,9423 6 14,9793 5 15,9941 4 Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, 16,9987 3 17,9998 2 n,98,95,92,9,85,8,75,7,5 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h.,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k
Seite 6 von 7 Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilungen für n = 1 n n n k Fnk ( ; ; ) = Bn ( ; ;) +... + Bnk ( ; ; ) = ( 1 ) +... + ( 1 ) k n k,5,7,1,15 1/6,2,25,27,3 1/3,4 n,59,7,,,,,,,,, 99 1,371,6,3,,,,,,,, 98 2,1183,258,19,,,,,,,, 97 3,2578,744,78,1,,,,,,, 96 4,436,1632,237,4,1,,,,,, 95 5,616,2914,576,16,4,,,,,, 94 6,766,4443,1172,47,13,1,,,,, 93 7,872,5988,261,122,38,3,,,,, 92 8,9369,734,329,275,95,9,,,,, 91 9,9718,838,4513,551,213,23,,,,, 9 1,9885,992,5832,994,427,57,1,,,, 89 11,9957,9531,73,1635,777,126,4,1,,, 88 12,9985,9776,818,2473,1297,253,1,2,,, 87 13,9995,991,8761,3474,2,469,25,6,1,, 86 14,9999,9959,9274,4572,2874,84,54,14,2,, 85 15,9984,961,5683,3877,1285,111,33,4,, 84 16,9994,9794,6725,4942,1923,211,68,1,1, 83 17,9998,99,7633,5994,2712,376,133,22,2, 82 18,9999,9954,8372,6965,3621,63,243,45,5, 81 19,998,8935,783,462,995,42,89,11, 8 2,9992,9337,8481,5595,1488,684,165,24, 79 21,9997,967,8998,654,2114,157,288,48, 78 22,9999,9779,9369,7389,2864,1552,479,91,1 77 23,9881,9621,819,3711,2172,755,164,3 76 24,9939,9783,8686,4617,299,1136,281,6 75 25,997,9881,9125,5535,3737,1631,458,12 74 26,9986,9938,9442,6417,462,2244,715,24 73 27,9994,9969,9658,7224,5516,2964,166,46 72 28,9997,9985,98,7925,6379,3768,1524,84 71 29,9999,9993,9888,855,7172,4623,293,148 7 1 3,9997,9939,8962,7866,5491,2766,248 69 1 31,9999,9969,937,8446,6331,3525,398 68 32,9984,9554,899,717,4344,615 67 33,9993,9724,9261,7793,5188,913 66 34,9997,9836,9518,8371,619,133 65 35,9999,996,9697,8839,683,1795 64 36,9999,9948,9817,921,7511,2386 63 37,9973,9893,947,8123,368 62 38,9986,994,966,863,3822 61 39,9993,9968,979,934,4621 6 4,9997,9983,9875,9341,5433 59 41,9999,9992,9928,9566,6225 58 42,9999,9996,996,9724,6967 57 43,9998,9979,9831,7635 56 44,9999,9989,99,8211 55 45,9995,9943,8689 54 46,9997,9969,97 53 47,9999,9983,9362 52 48,9999,9991,9577 51 49,9996,9729 5 5,9998,9832 49 51,9999,99 48 52,9942 47 53,9968 46 54,9983 45 Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, 55,9991 44 56,9996 43 57,9998 42 58,9999 41 n,95,93,9,85 5/6,8,75,73,7 2/3,6 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h.,5 gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k
Seite 7 von 7 Tabelle 4: Normalverteilung φ φ ( z) =,... ( z) = 1 φ( z) z 1 2 3 4 5 6 7 8 9, 5 54 58 512 516 5199 5239 5279 5319 5359,1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753,2 5793 5832 5871 591 5948 5987 626 664 613 6141,3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 646 6443 648 6517,4 6554 6591 6628 6664 67 6736 6772 688 6844 6879,5 6915 695 6985 719 754 788 7123 7157 719 7224,6 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549,7 758 7611 7642 7673 774 7734 7764 7794 7823 7852,8 7881 791 7939 7967 7995 823 851 878 816 8133,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 834 8365 8389 1, 8413 8438 8461 8485 858 8531 8554 8577 8599 8621 1,1 8643 8665 8686 878 8729 8749 877 879 881 883 1,2 8849 8869 8888 897 8925 8944 8962 898 8997 915 1,3 932 949 966 982 999 9115 9131 9147 9162 9177 1,4 9192 927 9222 9236 9251 9265 9279 9292 936 9319 1,5 9332 9345 9357 937 9382 9394 946 9418 9429 9441 1,6 9452 9463 9474 9484 9495 955 9515 9525 9535 9545 1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 968 9616 9625 9633 1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 976 1,9 9713 9719 9726 9732 9738 9744 975 9756 9761 9767 2, 9772 9778 9783 9788 9793 9798 983 988 9812 9817 2,1 9821 9826 983 9834 9838 9842 9846 985 9854 9857 2,2 9861 9864 9868 9871 9875 9878 9881 9884 9887 989 2,3 9893 9896 9898 991 994 996 999 9911 9913 9916 2,4 9918 992 9922 9925 9927 9929 9931 9932 9934 9936 2,5 9938 994 9941 9943 9945 9946 9948 9949 9951 9952 2,6 9953 9955 9956 9957 9959 996 9961 9962 9963 9964 2,7 9965 9966 9967 9968 9969 997 9971 9972 9973 9974 2,8 9974 9975 9976 9977 9977 9978 9979 9979 998 9981 2,9 9981 9982 9982 9983 9984 9984 9985 9985 9986 9986 3, 9987 9987 9987 9988 9988 9989 9989 9989 999 999 3,1 999 9991 9991 9991 9992 9992 9992 9992 9993 9993 3,2 9993 9993 9994 9994 9994 9994 9994 9995 9995 9995 3,3 9995 9995 9995 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9997 3,4 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9998 3,5 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 3,6 9998 9998 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 3,7 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 3,8 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 Beisiele für den Gebrauch: φ ( 2,32) =,9898 ( ) φ( ) φ,9 = 1,9 =,1841 ( z),994 z 2,51 φ = =