Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur

Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur (16) Zum Themengebiet Eponential- und Logarithmusfunktionen (erstellt in Zusammenarbeit mit der Albert-Schweitzer-Schule in Kassel) Vorschlag Nr. 16.1: Das Bevölkerungsgesetz von Thomas R. Malthus...3 Das auf den englischen Philosophen Malthus zurückgehende Modell wird nachvollzogen und die Übertragbarkeit auf die aktuelle Bevölkerungsentwicklung diskutiert Vorschlag Nr. 16.: Aufgabensammlung Eponentielle Prozesse...5 Sammlung verschiedener Aufgaben zu eponentiellen Prozessen Vorschlag Nr. 16.3: Das Superballeperiment...9 Die Entwicklung der Sprunghöhen eines Balles ermöglicht einen einfachen und handlungsbezogenen Einstieg in das Thema eponentielle Prozesse Vorschlag Nr. 16.4: Bevölkerungswachstum in unterschiedlichen Ländern..10 Die Bevölkerungszahlen verschiedener Länder werden auf den Wachstumsfaktor untersucht und dessen Gültigkeit für Prognosen diskutiert Vorschlag Nr. 16.5: Internetadressen zu Eponentialfunktionen...11 Verschiedene Internetadressen zum Thema Eponentialfunktion Vorschlag Nr. 16.6: Ein Federeperiment...1 Die Länge einer Feder nach Anhängen verschiedener Gewichtstücke ermöglicht eine Untersuchung zu eponentiellen Prozessen Vorschlag Nr. 16.7: Erdbevölkerung...13 Verschiedene Aufgaben zum Thema Erdbevölkerung Vorschlag Nr. 16.8: Elimination von pharmazeutischen Wirkstoffen Dosierung von Medikamenten...14 Ein Auszug aus einem medizinischen Fachbuch zeigt die Bedeutung der Halbwertzeit und ermöglicht interessante Variationen Vorschlag Nr. 16.9: Alkoholkontrolle...16 Am Beispiel des Alkoholabbaus im menschlichen Körper werden das lineare und das eponentielle Modell gegenübergestellt und verglichen Vorschlag Nr. 16.10: Logarithmengesetze...17 Gruppenpuzzle zur Logarithmenrechnung, das Gesetze, Funktionsgraphen, Anwendungen und Umkehrfunktion verbindet

Vorschlag Nr. 16.11: Wann verdoppelt sich das Geld?... Die Faustformel zur Berechnung der Verdopplungszeit wird vorgestellt und untersucht Vorschlag Nr. 16.1: Das Gesetz des Zinses...3 Eine Zeitungsanzeige zum frühen Sparen soll überprüft werden Vorschlag Nr. 16.13: Schuldentilgung...4 Zwei verschiedene Modelle zur Schuldentilgung werden untersucht Vorschlag Nr. 16.14: Hypothekenzinsen...5 Zu einer Anzeige aus einer Kasseler Tageszeitung werden verschiedene Tilgungspläne entworfen Vorschlag Nr. 16.15: Geometrische Figuren...7 Vorgestellt wird eine Folge geometrischer Figuren. Handelt es sich um eponentielles Wachstum? Vorschlag Nr. 16.16: Deutung der Koeffizienten der Eponentialfunktion...8 Anhand verschiedener Graphen zu Eponentialfunktionen soll die Bedeutung der Koeffizienten erarbeitet werden Vorschlag Nr. 16.17: Taschengeld...9 Zwei verschiedene Arten der Taschengeld-Zahlung ermöglichen den Vergleich von linearem und eponentiellem Wachstum Vorschlag Nr. 16.18: Zerfall radioaktiver Stoffe...30 Verschiedene Aufgaben zum Zerfall radioaktiver Stoffe Vorschlag Nr. 16.19: Eigenschaften der Eponentialfunktion...31 Auf einem übersichtlichen Arbeitsblatt sollen einige Eigenschaften der Eponentialfunktion ergänzt werden Vorschlag Nr. 16.0: Eigenschaften der Logarithmusfunktion...3 Auf einem übersichtlichen Arbeitsblatt sollen einige Eigenschaften der Logarithmusfunktion ergänzt werden Vorschlag Nr. 16.1: Flucht aus Heidelberg...33 Übungen zu Logarithmen, die eine Überprüfung durch einen Lösungssatz ermöglichen Vorschlag Nr. 16.: Graph und Termveränderungen...34 Es wird untersucht, welchen Einfluss die Veränderung eines Terms auf den Verlauf des Graphen hat Vorschlag Nr. 16.3: Funktionsgleichungen bestimmen...36 Zu gegebenen Graphen soll die Funktionsgleichung bestimmt werden Vorschlag Nr. 16.4: Mathe-Quiz selbstgemacht...37 Das Mathe-Quiz gibt eine methodische Anregung zur Wiederholung wichtiger Inhalte. Vorgestellt werden Schülerfragen zum Thema Logarithmus Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.

Vorschlag 16.1: Das Bevölkerungsgesetz von Thomas R. Malthus (1766-1834) Im Jahre 1798 veröffentlichte der englische Philosoph Thomas R. Malthus sein Essay on the Principles of Population. Er vermutete, dass die Nahrungsmittelerzeugung dem rasanten Bevölkerungswachstum im Zuge der industriellen Revolution nicht würde folgen können, und prognostizierte permanente Hungersnöte, die wir heute in Entwicklungsländern z.t. beobachten können. Zur Begründung seiner Thesen entwickelte er einfache Modelle für das Wachstum von Populationen: die Bevölkerung wachse eponentiell, die zur Verfügung stehenden Nahrungsmittel jedoch nur linear. Mit seiner Wachstumsfunktion N = N 0 1,030 t gelang es Malthus, das Bevölkerungswachstum in den USA für die erste Hälfte des 19. Jahrhunderts gut zu beschreiben: Jahr 1790 1800 1810 180 1830 1840 1850 1860 N (in Mio.) N 0 =3,9 5,3 7, 9,6 1,9 17,1 3, 31,4 a.) Vergleiche die Angaben aus Volkszählungen mit den theoretischen Werten der Wachstumsfunktion. b.) Aus späteren Volkszählungen sind folgende Anzahlen bekannt: Jahr 1880 1900 1930 1970 N (in Mio.) 50, 76,0 13, 03, Überprüfe, ob die Wachstumsfunktion noch sinnvoll ist. Begründe! c.) Betrachtet wird eine Bevölkerung, die zu Beginn eines bestimmten Jahres aus 1 Million Personen besteht und jährlich um 3 % wächst. Zum gleichen Zeitpunkt wären Nahrungsmittel für Millionen Personen verfügbar, wobei die Produktion der Nahrungsmittel für jährlich 100000 Personen gesteigert werden könnte. Untersuche diese Entwicklung (mithilfe einer Tabellenkalkulation). In welchem Jahr übersteigt die Anzahl der Personen die zur Verfügung stehenden Mittel? Quelle: Abakus 10, hrsg. von J. Engelhardt u.a., Schöningh Verlag Paderborn 1995, S. 57 3

Das Bevölkerungsgesetz von Thomas R. Malthus (1766-1834): Anregungen für den Unterrichtseinsatz Modellbildung für Wachstumsprozesse Historischer Kontet (Mögliche) Lösungen: a) 3,9 5,3 7,1 9,5 1,8 17,3 3, 31,3 b) 56,8 10,9 51, 85,9 Gründe für die schlechte Passung: Weltkriege und Rezessionen führen zu einem veränderten Fortpflanzungsverhalten c) t f ( t) = 1. 000. 000 1, 03 und g ( t) = 100. 000t +. 000. 000 t 0 1 3 4 5... 75 76 77 78 f(t) in Mio 1 1,03 1,06 1,09 1,13 1,16 9, 9,5 9,7 10,0 g(t) in Mio,1,,3,4,5 9,5 9,6 9,7 9,8 Tabellarische Darstellung ist auch im Sinne einer systematischen Einschachtelung möglich. t t Ansatzweise Termumformung: 1. 000. 000 103, =. 000. 000 + 100. 000t 103, 01, t = Hier ist der Tippaufwand geringer als oben und die Lösung schneller erreichbar: 76 < t < 77. Eignung, (mögliche) Methoden: Partner - bzw. Gruppenarbeit Projektarbeit: Leben und Werk von Th.R. Malthus; Internetrecherche Fächerübergreifender Unterricht (Sozialkunde, Biologie) Computergestützter Unterricht 4

1 3 4 5 Vorschlag 16.: Aufgabensammlung - Eponentielle Prozesse Am Eröffnungstag eines Streichelzoos befanden sich 93 Meerschweinchen in einem Gehege. Ein Jahr später waren es bereits 115 Meerschweinchen. a.) Wie viele Meerschweinchen werden es am Tag des 10-jährigen Jubiläums sein, wenn man annimmt, dass der Bestand linear wächst? b.) Wie viele Meerschweinchen werden es an diesem Tag sein, wenn man ein eponentielles Wachstum annimmt? c.) Welches Modell ist sinnvoller, d.h. lässt sich die Vermehrung der Meerschweinchen eher mit dem linearen oder dem eponentiellen Modell erklären? Um die Funktion der Bauchspeicheldrüse zu testen, wird ein bestimmter Farbstoff in sie eingespritzt und dessen Ausscheiden gemessen. Eine gesunde Bauchspeicheldrüse scheidet pro Minute 4% des jeweils noch vorhandenen Farbstoffs aus. Bei einer Untersuchung wird einem Patienten 0, Gramm des Farbstoffes injiziert. Nach 30 Minuten sind noch 0,09 Gramm des Farbstoffes in seiner Bauchspeicheldrüse vorhanden. Funktioniert seine Bauchspeicheldrüse normal? Ein Ball fällt aus m Höhe auf eine feste Unterlage und springt nach jedem Aufprall jeweils auf 80% der Höhe zurück, aus welcher er gefallen ist. Stelle den Funktionsterm auf, der angibt, welche Höhe der Ball nach dem n-ten Aufprall erreicht. Wie hoch springt der Ball nach dem 5. Aufprall? Ein Bakterienstamm kann durch Erhitzung vernichtet werden. Die Abnahme der Individuen folgt näherungsweise dem Gesetz N(t) = N(0) 0,8 t. Wie viele Bakterien lagen zu Beginn der Beobachtung vor, wenn es nach Stunden noch 960 sind? Wann ist der Bakterienstamm abgestorben (d.h. weniger als ein Bakterium vorhanden)? Wann wird bei Annahme gleich bleibender Wachstumsrate die Bevölkerung von Afrika die von Asien und Ozeanien übertroffen haben? Asien und die Bevölkerung von Lateinamerika die von Asien und Ozeanien übertroffen haben? Ozeanien Stelle das Bevölkerungswachstum graphisch dar. Bevölkerung 1991 Afrika 631.000.000,9% 3.073.000.000 1,9% Jährliche Wachstumsrate Lateinamerika 497.000.000,7% 5

6 7 8 9 In einem Forschungslabor wird ein neues Medikament gegen eine Infektionskrankheit entwickelt. Dazu wird unter anderem das Wachstum einer bestimmten Bakterienart eperimentell untersucht. Das dargestellte Messprotokoll gibt die Anzahl N der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit t an. t in min 30 40 50 60 70 80 90 N in 100 17 4 34 48 68 96 136 a.) Wie viele Bakterien kann man nach h, 3h, 4h und 5h erwarten, wenn man die gleiche Verdopplungszeit annimmt? Stelle den Sachverhalt in einem Koordinatensystem dar. b.) Auch vor Beginn der Beobachtung verdoppelte sich die Anzahl der Bakterien jeweils in der gleichen Zeit. Wie viele Bakterien befanden sich zu Versuchsbeginn (t = 0) in der Glasschale? Ermittle die Anzahl der Bakterien 10 min, 30 min und 1h vor Versuchsbeginn. Abbau von Koffein im Blut Eistee kann einen Koffeingehalt von 50 Milligramm pro 0,33 l Dose haben. Bei einem Jugendlichen setzt die Wirkung des Koffeins nach ca. 1 Stunde ein. Der Koffeingehalt im Blut nimmt dann eponentiell mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden ab. Eine Büchse Eistee enthält 50 mg Koffein. Wann sind nur noch 0,01 mg Koffein im Blut vorhanden, wenn der Abbau ca. 1 Stunde nach dem Verzehr beginnt? Aus Unachtsamkeit wird einem Patienten die,5-fache Menge eines Medikamentes gespritzt. Er soll daher so lange unter medizinischer Kontrolle bleiben, bis sich im Körper nur noch die ursprünglich vorgesehene Dosis von ml befindet. Es wird davon ausgegangen, dass pro Stunde etwa 4% des im Körper befindlichen Medikaments abgebaut und ausgeschieden werden. Nach wie vielen Stunden ist im Körper des Patienten nur noch die Normaldosis ml enthalten? Veranschauliche den Abnahmeprozess in einem Graphen. Bestimme die biologische Halbwertzeit des Medikamentes sowohl am Graphen als auch rechnerisch. Es gibt verschiedene Schlafmittel auf dem Markt, die zu einer besseren nächtlichen Schlafeinleitung führen sollen. Ihre Wirkung sollte jedoch spätestens am nächsten Morgen weitgehend abgebaut sein. Die Messung ergab, dass von mg des Wirkstoffes Triazolam nach 3 Stunden 1,18 mg noch nicht abgebaut sind. Was ist von diesem Schlafmittel zu halten? 6

1 3 4 Anwendungen der Eponentialfunktion () 1990 betrug die Einwohnerzahl einer Großstadt ca. 00000; ein Jahr später waren es 000 weniger. a) Gib unterschiedliche Funktionsgleichungen an, mit deren Hilfe sich der Abnahmeprozess beschreiben lässt. b) Wie lautet die Prognose für die Entwicklung der Einwohnerzahl in den Jahren 000 und 010 in den unterschiedlichen Vorhersagemodellen? c) In welchem Zeitraum hätte sich die Bevölkerungszahl bei den unterschiedlichen Vorhersagemodellen halbiert? Eine einzelne Krebszelle wird einer Maus injiziert. Am Tag darauf sind durch Zellteilung bereits 5 Zellen vorhanden, wiederum einen Tag später bereits 5 Zellen. a) Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen Eponentialfunktion, die die Menge vorhandener Krebszellen in Abhängigkeit von der jeweiligen Zeitspanne (gemessen in Tagen) beschreibt. b) Ein hochwirksames Gegenmittel steht zur Verfügung. Wann muss es spätestens eingesetzt werden, um die Maus am Leben zu erhalten? Hinweis: Man nimmt an, dass 1 Mio. Krebszellen tödlich sind. Berechne den Zeitpunkt für den Einsatz des Gegenmittels auf Dezimalen genau. c) Das eben erwähnte Gegenmittel tötet 91 % aller Krebszellen. Angenommen, das Mittel wurde gespritzt, als die Anzahl der Krebszellen 900000 betrug. Wann muss erneut gespritzt werden? Beachte den Hinweis zu Teil b). Berechne den Zeitpunkt auf 1 Dezimale genau. In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die Höhe der Schaumsäule verringert sich alle 15 Sekunden um 9%. a) Um wie viel Prozent verringert sich die Hohe der Schaumsäule in 1 Minute? b) Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Schaumhöhe 10 cm. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen Eponentialfunktion, die die Schaumhöhe (gemessen in cm) in Abhängigkeit von der jeweiligen Zeitspanne (gemessen in Minuten!) beschreibt. Runde dabei auf 4 Dezimalen. c) Zeichne den Graphen aus Teil b) im Bereich [0;8]. d) Man spricht von "sehr guter Bierschaumhaltbarkeit", wenn die Halbwertszeit des Schaumzerfalls mehr als Minuten beträgt. Beschreibe, wie man am Graphen (!) überprüfen kann, ob im vorliegenden Fall sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vorliegt. Liegt sie vor? Jedermann weiß, dass der Wertverlust eines Neuwagens im ersten Jahr am größten ist und in den Folgejahren zunehmend geringer wird. a) Der Autohandel geht (bei einem bestimmten Kfz-Typ und einer durchschnittlichen Fahrleistung) davon aus, dass der jährliche Wertverlust 15 % des letztjährigen Werts beträgt. Bestimme die Funktionsgleichung, die den jeweils noch vorhandenen Restwert (gemessen in DM) eines 34000 DM teuren Neuwagens in Abhängigkeit von der jeweiligen Zeitspanne (gemessen in Jahren) beschreibt. b) Wie viel DM ist das in Teil a) beschriebene Auto nach 10 Jahren noch wert? Runde das Ergebnis auf volle DM. c) Nach wie vielen Jahren ist das in Teil a) beschriebene Auto noch die Hälfte seines Neupreises wert? Runde das Ergebnis auf 1 Dezimale. d) Ein Händler kalkuliert nach der Faustregel, dass sich der Wert eines Autos in 3 Jahren halbiert. Von welcher prozentualen jährlichen Wertminderung geht er aus? e) Nach wie vielen Jahren hätte ein 40000 DM teures Auto nach der Faustregel aus Teil d) nur noch Schrottwert (= 700 DM)? Runde auf eine Dezimale. 7

Quellen: Elemente 11; Abakus 10; Mathematik 11 Hessen; Mathematik 1.1 Grundkurs Hessen Aufgabensammlung - Eponentielle Prozesse: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Aufstellen von Wachstums- und Zerfallsfunktionen Bedeutung der Wachstums- und Zerfallsfaktors Variationen der Aufgabe: vor allem in den Lösungswegen: graphisch / tabellarisch / rechnerisch via Terme (Mögliche) Lösungen: (1): a) 313; b) 777 (): Nein, da nur noch 0,06 g vorhanden sein dürfen. (3): 0,66m (4): 1500; 33h (5): 16 Jahre; 3 Jahre (etwas länger zum Übertreffen ) (6): a) 384 / 307 / 4576 / 196608 b) 6 / 4,5 /,15 / 0,75 (7): Zwischen 36 und 37 h nach Zerfallsbeginn (37 bzw. 38 h nach Einnahme 37,86) (8): Lösung: 3 h; 17h (9): Nach ca. 13 h ist die Konzentration auf ca. 10% abgesunken. N( t) = N(0) 0, 84 ; 3 1, 18 a = a = 0,84 Wenn weitgehend abgebaut als Restmenge 10% angesehen wird, sind ca. 13,09 h richtig. Konsequenz: Vom Mittel ist abzuraten, da es zu lange wirkt. Was aber, wenn jemand mit größeren Prozentzahlen operiert? Ein schönes Beispiel für offeneres Herangehen, da die Voraussetzungen zum Lösen individuell variieren können und damit auch die Einschätzungen. t 8

Vorschlag 16.3: Das Superballeperiment Ein Eperiment Man lässt einen Superball (Flummi) aus m Höhe senkrecht nach unten fallen. Er prallt auf den Boden und steigt ein erstes Mal nach oben, wobei er eine Sprunghöhe erreicht, die knapp unter m liegt. Er beginnt erneut zu fallen, prallt ein zweites Mal auf und steigt ein zweites Mal nach oben usw. Die Sprunghöhe wird von Mal zu Mal kleiner. Mit einem senkrecht gehaltenen Zollstock lässt sie sich relativ gut messen. Überprüfe in einem Versuch, ob ein eponentieller Prozess vorliegt. Mathematik 11 Hessen, hrsg. von A. Bigalke, N. Köhler, Cornelsen Berlin, 001, S. 96 Das Superballeperiment: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Eperimentelle Überprüfung und Mathematisierung eines eponentiellen Prozesses Variationen der Aufgabe: Welche Sprunghöhe erreicht der Ball nach dem 1. Aufprall, wenn die anfängliche Höhe 1,7 m beträgt? Überprüfe dein rechnerisches Ergebnis eperimentell. Konkreter Hinweis auf die Datensammlung: Sammle die Daten zur Sprunghöhe des Balls in einer Tabelle, die jeder Sprungnummer die zugehörige Gipfelhöhe zuordnet. Bemerkung: Dieser Prozess wird genau genommen durch eine geometrische Folge beschrieben bei der Zwischenwerte keinen Sinn machen. Diese Prozesse sollten von geometrischen Folgen als diskrete Beschreibungen reeller Eponentialfunktionen unterschieden werden. Eignung, (mögliche) Methoden: Das Eperiment verursacht nur geringen Aufwand und funktioniert sehr gut. Zeitbedarf ca. 15 Minuten Partnerarbeit 9

Vorschlag 16.4 Bevölkerungswachstum in unterschiedlichen Ländern Die Tabelle enthält die Bevölkerungszahlen (in Tausend) von 1990 und 1999 für verschiedene Länder und eine Prognose für das Jahr 00. Nimm an, dass zwischen 1990 und 1999 eponentielles Wachstum zugrunde liegt. a.) Welches Land hat den größten (den kleinsten) prozentualen Zuwachs pro Jahr? b.) Überprüfe, ob bei der Prognose für das Jahr 00 in den Ländern das eponentielle Wachstum beibehalten wurde. Jahr 1990 1999 00 Brasilien 14904 161191 197950 Deutschland 79479 81378 7353 Indien 846191 931044 138565 Meiko 84486 9190 137717 USA 49975 60479 39337 Quelle: Elemente der Mathematik 11, Einführung in die Analysis, hrsg. von H. Griesel u.a., Hannover 001, Schroedel Verlag, S. 84 Bevölkerungswachstum in unterschiedlichen Ländern: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Aufstellen von Wachstumsfunktionen Problematisierung der Bedeutung des Wachstumsfaktors Variationen der Aufgabe: Vergleichsdaten anderer Länder vorlegen oder recherchieren lassen Graphische Darstellungen im Vergleich (WIN Funktion) (Mögliche) Lösungen: (a) Brasilien 0,87%; Deutschland 0,6%; Indien 1,07%; Meiko 0,86%; USA 0,46% (b) Deutschland nein, sogar Abnahme; Brasilien 193530 (ja); Indien 1163610 (?); Meiko 109373 (?); USA 86737 (?). Tabellenwerte liegen über dem errechneten Wert; das Wachstum wird sich also beschleunigen, aber ob eponentiell, das lässt sich eigentlich nicht beantworten. Prozentualer Zuwachs pro Jahr ab 1999: Indien 1,71%; Meiko 1,71%; USA 1,98%. Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit Hausarbeit am PC Epertenvo rtrag Binnendifferenzierung 10

Vorschlag 16.5: Internetadressen zu Eponentialfunktionen 1. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/mathei/efunktionen/inde.html. http://www.zum.de/faecher/m/nrw/pm/mathe/logarith.htm 3. http://home.t-online.de/home/rudolf/link/mathe.htm 4. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/pot- Log/1510%0Aufg%0Wachstum.pdf 5. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/pot-log/1513%0log- Wachs-KA.pdf 6. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/startseite-hauptframe.htm 7. http://btmd1.mat.uni-bayreut h.de/cgi- bin/abselect.ee/formget?verz=anwd_olg/anwd_olg.te&ueber=wachstums- %0und%0Abklingvorgänge&pfad=/smart/j10/eplog/ 11

Vorschlag 16.6: Ein Federeperiment Eine (feste) Schraubfeder wird durch Anhängen von Gewichtstücken von je 1 N ausgedehnt. Nach dem Anhängen jedes Gewichtstücks wird die Gesamtlänge der Feder gemessen. Führe das Eperiment für 10 Gewichtstücke durch. Stelle die gesammelten Daten in einem Koordinatensystem graphisch dar. Liegt eine eponentielle Zunahme vor? Quelle: Mathematik 11 Hessen, hrsg. von A. Bigalke, N. Köhler, Cornelsen Berlin, 001, S. 97 Ein Federeperiment: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Eperimentelle Überprüfung und Mathematisierung eines linearen Prozesses zur Abgrenzung Variationen der Aufgabe: Wiederhole das gesamte Eperiment mit einem dünnen Gummiband anstelle der Feder Zusammenstellung verschiedener Schülereperimente zu eponentiellen und linearen Prozessen (vgl. Superball, Bierschaum, Papierfalten, usw.) Eignung, (mögliche) Methoden: Man sollte eine Feder mit einer Federkonstanten von ca. 1 cm/n wählen Partner- bzw. Gruppenarbeit 1

Vorschlag 16.7: Erdbevölkerung Es gibt optimistische Schätzungen, die davon ausgehen, dass die Erde mehr als 100 Milliarden Menschen ernähren kann. Die meisten Schätzungen gehen aber davon aus, dass die Obergrenze zwischen 8 und 1 Milliarden liegt. 1999 betrug die Erdbevölkerung 6,0 Mrd. Bewohner. Die beiden Tabellen geben einige Wachstumsraten aus dem Jahre 1998 an. Berechne die Verdopplungszeit der Bevölkerung von Gaza. Wann hat sich die Bevölkerung Lettlands halbiert? Wann ist die Bevölkerungszahl Lettlands auf 10% gegenüber dem heutigen Stand geschrumpft? Berechne die Bevölkerungszahl von Deutschland für die Jahre 010, 030 und 050. Quelle: Analysis. Grundkurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig 000, S.17 Erdbevölkerung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Bedeutung des Wachstumsfaktors Variationen der Aufgabe: Mit WIN Funktion o.a. Programmen lassen sich die Wachstumsprozesse graphisch veranschaulichen Vergleich der Tabellenwerte mit den Graphen (s.u.) (Mögliche) Lösungen: Gaza: 15,41 Jahre; Lettland: 98,67 Jahre bzw. 37,79 Jahre; BRD: Eignung, (mögliche) Methoden: erweiterte Hausaufgabe Epertenvortrag Partner- bzw. Gruppenarbeit N 0 0, 999 t 13

Vorschlag 16.8: Elimination von pharmazeutischen Wirkstoffen / Dosierung von Medikamenten aus: Allgemeine und spezielle Pharmakologie und Toikologie, hrsg. von W. Forth, D. Henschler, W. Rummel, Wissenschaftsverlag Mannheim/Wien/Zürich 5 1987, S. 61, 65f. 14

Elimination von pharmazeutischen Wirkstoffen / Dosierung von Medikamenten: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Aufgabe: Acetylsalicylsäure hat eine Halbwertzeit von 4 Stunden. Gib eine begründete Dosierungsanleitung an, wenn mindestens 30% des Wirkstoffs vorhanden sein müssen Anwendungsbeispiel aus der Medizin und Pharmazie Bedeutung des Wachstumsfaktors Vernetzung verschiedener Disziplinen und Anwendungsfragen Variationen der Aufgabe: Überlegungen zum Dosierungsintervall: Bestätige durch Rechnung oder graphisch folgende Zusammenfassung aus dem o.g. Fachbuch: Für die Erhaltung einer gleichmäßig hohen Konzentration im Blut ist die Wahl des richtigen Dosierungsintervalls ausschlaggebend. Dieses richtet sich nach der Halbwertzeit des Pharmakons. Bei kurzer Halbwertzeit muss das Dosierungsintervall klein sein, um eine gleichmäßige therapeutische Konzentration zu erreichen. Bei langer Halbwertzeit muss dagegen das Dosierungsintervall groß genug sein, um die Gefahr einer Kumulation zu vermeiden. Die Verabreichung von Medikamenten möchte eine gleichmäßig hohe Konzentration im Blut erhalten. Ermittle sinnvolle Dosierungsintervalle für Medikamente mit kurzer und langer Halbwertzeit ( Stunden/ 4 Stunden/ 8 Stunden). Lässt sich eine allgemeine Aussage treffen? Es wird angenommen, dass 1 Stunde nach der Verabreichung des Pharmakons Acetylsalicylsäure die volle Wirkung erreicht ist und mit diesem Zeitpunkt die Konzentration eponentiell abnimmt. (Mögliche) Lösungen: t 4 (1) 0, 3 > ( ) 1 t > 6, 95. Also: Erste Einnahme nach 7 Stunden. Dann 130% des Wirkstoffs. Zweite und spätere Einnahmen nach 8½ Stunden. Halbwertzeit (8) Stunden: Erste Einnahme nach 3½ (14) Stunden. Zweite und spätere Einnahmen nach 4 (17) Stunden Je größer die Halbwertzeit, desto größer das Dosierungsintervall bzw. Verdopplung der Halbwertzeit bedeutet Verdopplung der Dosierungsintervalle. Wenn die volle Wirkung erst nach 1 h einsetzt, muss die Erste Einnahme erst nach 8 h, die zweite und alle späteren erst nach 9½ h erfolgen. Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- bzw. Gruppenarbeit Projektarbeit fachübergreifender Unterricht (Biologie/Chemie) Besuch in einer Apotheke: Epertenbefragung erweiterte Hausaufgabe Vortrag der Ergebnisse vereinfachte Version: siehe Aufgabe Schlafmittel (Vorschlag 16.) 15

Vorschlag 16.9: Alkoholkontrolle Bei einer Verkehrskontrolle wird bei einem Verkehrsteilnehmer ein Alkoholgehalt im Blut von 0,8 festgestellt. Nach einer Stunde ergibt die Blutanalyse einen Alkoholgehalt von 0,6. Es ist eine Funktion gesucht, die den Abbau des Alkohols im Blut beschreibt. a) Berechne den Blutalkoholgehalt unter der Annahme, dass der Körper in jeder Stunde gleich viel Alkohol abbaut. b) Gehe davon aus, dass die stündliche Abbaumenge proportional zum vorhandenen Bestand ist. c) Vergleiche die beiden Ansätze und stelle die Entwicklung graphisch dar. d) Welche Schlüsse kann man auf den Alkoholgehalt im Blut des Verkehrsteilnehmers eine Stunde (zwei Stunden) vor der Kontrolle ziehen? Alkoholkontrolle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Gegenüberstellung von linearen und eponentiellen Abnahmeprozessen (Mögliche) Lösungen: Wir setzen t = 0 als den Zeitpunkt der Kontrolle und gehen davon aus, dass in der Abbauphase kein Alkohol konsumiert wurde. a) g ( t) = 0, t + 0, 8 b) Nach Voraussetzung gilt: f ( t) f ( t + 1 ) = c f ( t). Also gilt auch: f ( t + 1 ) = ( 1 c) f ( t) t 3 und allgemeiner f ( t) = ( 1 c) f ( 0). Demnach hier: f ( t) = 0, 8 4 c) Nach allem was wir über den Abbau von Blutalkohol wissen, ist ein lineares Modell angemessener. Entscheidungskriterium hier in erster Linie Fachkenntnisse. d) Vor einer Stunde: Pegel ca. 1 Promille in beiden Modellen. Vor zwei Stunden: Lineares Modell: Pegel 1,. Eponentielles Modell: Pegel ca. 1,4. Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- bzw. Gruppenarbeit t 16

Vorschlag 16.10: Logarithmengesetze Der folgende Vorschlag wurde der Zeitschrift mathematik lehren Heft 104 entnommen, die Kopiervorlage 6 stammt aus: Lambacher-Schweizer 10, Klett, S. 63. Es werden vielfältige Aspekte des Logarithmus abgedeckt. Dieser Vorschlag eignet sich als Lernen an Stationen, um die Eigenschaften des Logarithmus in der Klasse zu erarbeiten. Er kann aber auch als Gruppenpuzzle bzw. nach der Epertenmethode eingesetzt werden. Dabei arbeiten die Schülerinnen und Schüler in der 1. Runde als Eperten an einer Aufgabenstellung (siehe die folgenden Kopiervorlagen 1-4 und 6; zu jeder Aufgabe gibt es ein Hilfe- und ein Zusatzaufgabenkärtchen). In der. Runde werden dann Puzzlegruppen gebildet. Die Gruppen werden neu gemischt und zwar so, dass in jeder neuen Gruppe mindestens ein Eperte zu jedem Thema vertreten ist. Für die. Runde bieten sich zwei Varianten an. 1) Durcharbeiten aller Gesetze mit anschließender Präsentation auf Plakaten, die in der Klasse aufgehängt werden; ) Durcharbeiten eines Übungsblattes, in dem alle Aspekte der Eperten aufgegriffen werden. Um die Arbeitsblätter auch optisch voneinander unterscheiden zu können, bieten sich hier verschiedenfarbige Kopien an. Selbständige Erarbeitung von inner- und außermathematischen Anwendungen des Logarithmus Variationen der Aufgabe: Kopiervorlage 6 kann als eigenständiger Beweis behandelt werden. Dann könnte der Erklärungstet weggelassen werden und die Aufgabe lauten: Welche Umformungen sind durchgeführt worden?. (Mögliche) Lösungen: Lösung zu Ötzi : 1 = N a ; Einsetzen ergibt: N0 0 1 5730 a =, d.h. a = 5730 1 0, 999879. Also: 0,57 N0 = N0 0, 999879 und damit 0,57 = 0,999879 und schließlich log 0,57 = 4647 log 0,999879 (Diskussion über sinnvolle Genauigkeit: Angenommen, das Messgerät hätte 56,9% bzw. 57,1% angezeigt...! Toleranz im Alter notwendig: 4600 4700 Jahre Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- bzw. Gruppenarbeit 17

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KOPIERVORLAGE 6 Umformung von Logarithmen von der Basis a zur Basis 10: Es gilt: log ( ) ( ) lg a = ( > 0 ; a > 0; a 1) lg( a) Beweis: Setze: 1) y = log ( ) Dies wird gleichwertig umgeformt: ) a y = Auf beiden Seiten wird der Logarithmus zur Basis 10 gebildet: lg a y = a 3) ( ) lg ( ) Mit dem Logarithmengesetz wird umgeformt: 4) y lg ( a) = lg( ) mit 1) folgt: 5) log ( ) also: a = ( ) lg lg( a) ( ) lg y = lg( a) Aufgabe: Die obige Umformung gilt nicht nur für die Basen a und 10, sondern auch für beliebige Basen. Zeige, dass gilt: log ( ) b = log b ( ) 1 log ( b ) b 1 Hilfe Überlegt, was in der Gleichung für a und 10 eingesetzt wurde. Die linke Seite der Gleichung wird y gesetzt. Wie kann umgeformt werden? Zu welcher Basis muss hier logarithmiert werden? Zusatzaufgabe Löse die Eponentialgleichungen : a) 4 = 1 + c) 6 1 = 108 b) 3 = 1, 4 d) 7 1 = 3 5 1

Vorschlag 16.11: Wann verdoppelt sich das Geld? Geldanlage: Wann verdoppelt sich das Geld? Das ist leicht auszurechnen, wie die Gesellschaft für Bankpublizität mitteilt. Dafür müssen Sie lediglich die Zahl 70 durch die Rendite der Kapitalanlage teilen. Das bedeutet beispielsweise, bei einem Zinssatz von sieben Prozent sind aus angelegten 0.000 Euro in 10 Jahren bereits 40.000 Euro geworden (70:7=10). Beträgt die Rendite fünf Prozent, dauert es entsprechend länger, nämlich 14 Jahre, bis sich das Kapital verdoppelt. Voraussetzung, damit die Rechnung aufgeht, ist allerdings, dass Sie die fälligen Zinsen zu gleichen Bedingungen regelmäßig wieder anlegen und so den Zinseszins-Effekt nutzen. Was meinst du dazu? Quelle: Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe aus der Zeitung Wann verdoppelt sich das Geld?: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Variationen der Aufgabe: Unterschied graphisch darstellen (Mögliche) Lösungen: Diese Faustformel liefert in dem üblichen Zinsbereich sehr brauchbare Werte: Die d p Verdopplungszeit berechnet man mit: K K + 0 = 0 1 umgeformt ergibt sich: 100 p 0, 3 lg = d lg( 1+ ), d.h. d. 100 lg p 1+ ( ) 100 p Hintergrund-Info für Lehrer: Es gilt: = d ln( 1+ ) ln, wegen ( 1+ ) 100 ln (für kleine ) p folgt: d ln 0, 6931 0, 7, d.h. d p 70. 100 Für sehr kleine p wäre also eigentlich 69 noch besser als 70 aber 70 lässt sich natürlich leichter merken, und für die üblichen Zinssätze liefert die 70 tatsächlich bessere Werte. p% 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 15 t eakt 17,7 14, 11,9 10, 9,0 8,0 7,3 6,6 6,1 5,7 5,0 t Artikel 17,5 14 11,7 10 8,75 7,8 7 6,4 5,8 5,4 4,7 Eignung, (mögliche) Methoden: Die Aufgabe eignet sich besonders dann, wenn die Verdopplungszeit mit Hilfe von Logarithmen berechnet werden kann. Partner- bzw. Gruppenarbeit

Vorschlag 16.1: Das Gesetz des Zinses Stimmt diese Anzeige? Quelle: Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe aus der Zeitung Das Gesetz des Zinses: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Variationen der Aufgabe: n n q 1 Verwende die Sparkassenformel: Kn = K0 q + R dabei ist: K0 das q 1 p Anfangskapital; q = 1+ und R ist die 100 Jahresrate, die das 1. Mal am Ende des 1. Jahres gezahlt wird. (Mögliche) Lösungen: Die neben stehende Tabelle gibt das Kapital an bei Zinssätzen von 4%, 6%, 8% und 10% nach zwei bis 30 Jahren (alle Jahre). Das Anfangskapital sei dabei 1000 Euro, die jährliche Rate jeweils 500 Euro. Dass bei langen Zeiten (ab ca. 0 Jahren) der Zinssatz der entscheidende Faktor ist, wird auch aus unterschiedlichen Graphen sichtbar. Fazit: Anzeige stimmt prinzipiell, aber Überschrift muss diskutiert werden. Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- bzw. Gruppenarbeit 4% 6% 8% 10% 101.60 153.60 06.40 60.00 4 393.09 3449.79 3613.55 3784.60 6 4581.81 4906.18 554.84 569.37 8 5975.68 654.58 7169.4 7861.53 10 7483.30 8381.5 940.1 1056.46 1 9113.93 10447.17 1006.73 13830.57 14 10877.63 1768.44 15044.65 17784.99 16 1785.5 15376.6 18588.08 569.84 18 14848.5 18307.17 71.14 8359.50 0 17080.16 1599.93 7541.94 35365.00 19493.90 599.68 33164.9 43841.65 4 104.61 9456.7 3973.56 54098.40 6 498.34 3417.57 47373.56 66509.06 8 798.50 39375.74 5696.5 8155.96 30 3185.87 457.59 66704.6 99696.41 3

Vorschlag 16.13: Schuldentilgung Herr Huber möchte sich von seiner Bank 10000 Euro leihen. Vorschlag A: Das Geld wird mit 8% verzinst, er muss nach 10 Jahren die Schulden mit Zinseszinsen zurückzahlen. Vorschlag B: Das Geld wird mit 7% verzinst. Er muss aber jedes Jahr einen Abtrag von 1000 Euro vornehmen. Für welchen Rückzahlungsmodus würdest du dich entscheiden? Schuldentilgung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Übung zum Thema: fallende Eponentialfunktion; auch als Einstiegsaufgabe geeignet (Mögliche) Lösungen: 10 8 Plan A: K 10 = 10000 1 + 100 = 1589, 5 Plan B: Jahre Abtrag Restschuld Man erkennt, dass zunächst fast nur Zinsen und kaum Tilgung 1 1000 9700,00 geleistet werden. 1000 9379,00 Es müssen nur 10000 Euro + 5855,07 Euro = 15855,07 Euro 3 1000 9035,53 gezahlt werden. 4 1000 8668,0 5 1000 874,78 6 1000 7854,01 7 1000 7403,79 8 1000 69,06 9 1000 6406,60 10 1000 5855,07 Jahre Einzahlung Kapital 4% Kapital 5% 1 0 0,00 0 1000 1040,00 1050,00 3 1000 11,60 15,50 4 1000 346,46 3310,13 5 1000 4416,3 455,63 6 1000 563,98 5801,91 7 1000 6898,9 714,01 8 1000 814,3 8549,11 9 1000 958,80 1006,56 10 1000 11006,11 11577,89 Zusatz: Was passiert, wenn man die 1000 Euro jährlich spart, die man bei Plan A zunächst nicht zu zahlen hat? In den 10 Jahren könnte Herr Huber nur ca. 1500 Euro an Zinsen erwirtschaften. Plan A bleibt trotzdem teurer. Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- bzw. Gruppenarbeit 4

Vorschlag 16.14: Hypothekenzinsen In der HNA vom 5.9.01 ist die neben stehende Übersicht über die aktuellen Hypothekenzinsen erschienen. Diese Zinsen muss man beim Bau oder Kauf einer Immobilie an die Bank zahlen, wenn man sich das nötige Bargeld leihen muss. Man zahlt dann jedes Jahr einen konstanten Betrag zurück, der sich aus dem Tilgungsteil (in der Regel 1% der Hypothek) und dem Zinsanteil des ersten Jahres (siehe Übersicht) zusammensetzt. Es werden 100 000 Euro benötigt. Wie könnte ein Tilgungsplan aussehen? Ist die Abnahme der Schuld eponentiell? 5

Hypothekenzinsen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Variationen der Aufgabe: Durch die vielen Hypothekenangebote und die offene Aufgabenstellung sind vielfältige Auseinandersetzungen mit der Aufgabe möglich, z.b.: (1) Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Tilgung nicht monatlich, sondern jährlich erfolgt. Der teuerste Anbieter ist die Raiffeisenbank Baunatal mit 5,9% Zinsen, der billigste Anbieter ist die American Epress Bank mit 4,91% Zinsen. (Mögliche) Lösungen: (1) Für die ersten 7 Jahre ergeben sich die unten stehenden Werte: Jahr Zinsen (5,9 %) Zinsen + Tilgung Tilgung neue Schuld 1 5900 6900,00 1000 99000 5841 6900,00 1059,00 97941,00 3 5778,5 6900,00 111,48 96819,5 4 571,35 6900,00 1187,65 95631,87 5 564,8 6900,00 157,7 94374,15 6 5568,07 6900,00 1331,93 9304,3 7 5489,49 6900,00 1410,51 91631,7 Jahr Zinsen (4,91 %) Zinsen + Tilgung Tilgung neue Schuld 1 4910 5910,00 1000 99000 4860,90 5910,00 1049,10 97950,90 3 4809,39 5910,00 1100,61 96850,9 4 4755,35 5910,00 1154,65 95695,64 5 4698,66 5910,00 111,34 94484,9 6 4639,18 5910,00 170,8 9313,47 7 4576,78 5910,00 1333, 91880,6 Auch aus nur wenig Werten werden die durch verschiedene Zinssätze hervorgerufenen Unterschiede deutlich.. Es handelt sich nicht um eine eponentielle Abnahme, sondern um eine Überlagerung eines eponentiellen Abnahmeprozesses mit einem linearen Anteil (Nachweis z.b. über veränderte Prozentsätze der Restschuldhöhe. Eignung, (mögliche) Methoden: längerfristige Gruppenarbeit zusätzlicher schriftlicher Leistungsnachweis (das Arbeiten mit Eponentialfunktionen muss geübt sein) 6

Vorschlag 16.15: Geometrische Figuren Die Abbildung zeigt den Beginn einer Folge geometrischer Figuren. Das Konstruktionsprinzip ist bei jedem Schritt dasselbe: Jede Strecke wird gedrittelt. Über dem mittleren Stück wird ein gleichseitiges Dreieck aufgesetzt. Offensichtlich wird die Länge des Streckenzuges von Schritt zu Schritt größer. Berechne die Länge des Streckenzuges nach 4, 40, 400 und 100000 Schritten. Handelt es sich um eponentielles Wachstum? Quelle: Lambacher-Schweizer 10, S. 73. Geometrische Figuren: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Anwendung der Eponentialfunktion Übung Variationen der Aufgabe: Konstruktionsprinzip nicht vorgeben (Mögliche) Lösungen: Zur Vereinfachung: Ausgangsstrecke 1 LE. 4 1. Schritt: 3 =1+ 1 3. Schritt: 4 4 9 = 16 9 =1+ 1 3 + 4 9 3. Schritt: 16 4 7 = 64 7 =1+ 1 3 + 4 9 + 16 7 4. Schritt: 64 4 81 = 56 81 =1+ 1 3 + 4 9 + 16 7 + 64 81 n n 4 4 i 1 n. Schritt: =1+ 3 3 i i=1 Es handelt sich um eponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor 34. n Länge 4 3,16049 40 99437,3 400 9,45317 10 49 100.000 149 7, 47585 10 7

Vorschlag 16.16: Deutungen der Koeffizienten der Eponentialfunktion Einige Graphen der Funktion f mit f() = c a sind in der neben stehenden Abbildung dargestellt: a) Was fällt auf? b) Beweise die Vermutung! c) Jetzt sei a =. Wie ändert sich der Graph, wenn c verändert wird? Quelle: Bürger, H.; Malle, G.: Eponentialfunktionen. In: mathematik lehren (1996), H. 75, S. 55-60. Deutungen der Koeffizienten der Eponentialfunktion: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Deutung der Koeffizienten der allg. Eponentialfunktion Erarbeitung der Eigenschaften der Eponentialfunktion (Mögliche) Lösungen: (a) Es lassen sich eine Vielzahl von Eigenschaften angeben, u.a.: Spiegelt man den Graph von a an der y-achse, so erhält man den Graph von Für a > 1 steigt der Graph Für 0 < a < 1, fällt der Graph 1 =1 ; der Graph ist eine Parallele zur -Achse der Graph schneidet die -Achse in (0/1) bzw. in (0/c) die -Achse ist Asymptote für Graphen mit a 1 (c) f() = c : c > 1 Streckung; 0 < c < 1 Stauchung; < 1 Spiegelung an der -Achse; 1 < < 0 1 a c Streckung und c Stauchung und Spiegelung an der -Achse Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- bzw. Gruppenarbeit 8

Vorschlag 16.17: Taschengeld Peter startet in wenigen Tagen zu einer zweiwöchigen Klassenfahrt. Seine Eltern möchten ihm nach folgendem Plan Taschengeld mitgeben: Für den ersten Tag 3 Euro, dann täglich Euro mehr als am Tag vorher. Peter überlegt kurz und macht einen bescheidenen Gegenvorschlag: Für den ersten Tag 3 Cent, dann täglich den doppelten Betrag des Vortages. Taschengeld: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Einführungsaufgabe zu Eponentialfunktionen Vergleich von linearem und eponentiellem Wachstum Variationen der Aufgabe: Welcher Vorschlag ist günstiger? Findet möglichst viele Informationen über die vorliegenden Funktionen! Lösungsmöglichkeiten: Tabellen aufstellen und Werte vergleichen n Summen berechnen und evtl. Summenformel s ( a + a ) n = für arithmetische Reihen erarbeiten Graphen zeichnen (Wiederholung: lineare Funktionen) Funktionsgleichung bestimmen Eigenschaften von linearem und eponentiellem Wachstum erkennen Lösungen: Vorschlag 1: Summe: 4 ; allg. f () + 1 = für [ 1;14] [ 0;13] Vorschlag : Summe: 49 149 Cent = 491,49 ; allg. f ( ) = 3 für [ 0;13] Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- bzw. Gruppenarbeit 1 n bzw. f ( ) = + 3 für f () 1 = 3 für [ 1;14] bzw. 9

Vorschlag 16.18: Zerfall radioaktiver Stoffe Beim radioaktiven Zerfall wandelt sich ein Stoff unter Aussendung von radioaktiver Strahlung in einen anderen Stoff um. Der ursprüngliche Stoff wird also weniger. Die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Atome des Stoffes bezeichnet man mit N (0), die nach einer Zeit t noch vorhandene Anzahl mit N (t). Dann lautet die Funktionsgleichung für den t Zerfall radioaktiver Stoffe N(t) = N(0) a. Dabei ist a die Zerfallskonstante, die für jeden Stoff einen spezifischen Wert hat. Meistens wird beim radioaktiven Zerfall die sog. Halbwertszeit angegeben. Das ist die Zeit, in der die Hälfte der zu Beginn vorhandenen Atome zerfallen ist. 1. Für radioaktives Jod gilt a = 0, 917. a) Wie viel mg sind von 3 g dieses Jods nach 45 Tagen noch vorhanden? b) Bestimme die Halbwertszeit von radioaktivem Jod!. Das Element Radon zerfällt mit einer Halbwertszeit von 3,8 Tagen. Nach welcher Zeit ist noch ein Achtel der Ausgangsmenge Radon vorhanden? 3. Thorium zerfällt nach dem Gesetz N(t) und 15 mg radioaktives Jod. Nach welcher Zeit sind von beiden Stoffen noch gleiche Mengen vorhanden? t = N(0) 0,963. Ein Stoff enthält 10 mg Thorium Zerfall radioaktiver Stoffe: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Bearbeitung von Zerfallsprozessen (Basis der Eponentialfunktion < 1) Variationen der Aufgabe: Aufgreifen des Comics (Mögliche) Lösungen: 1. a) 60,8 mg. 11,4 Tage b) 8 Tage 3. 8,3 Tage Hinweis: Die Ergebnisse der Aufgaben 1b, und 3 können durch gezieltes Probieren gefunden werden. Eine genaue Berechnung ist erst nach der Behandlung der Logarithmengesetze möglich. Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- bzw. Gruppenarbeit 30

Vorschlag 16.19: Eigenschaften der Eponentialfunktion Eponentialfunktionen sind Funktionen der Form f() = b mit ---------- und b ----------, d.h. für den Definitionsbereich gilt: D = ----------. ❶ Die Eponentialfunktion hat nur ------------------------------ Funktionswerte y, d.h. für den Wertebereich gilt : W = ----------. ❷ Die Graphen der Eponentialfunktionen Punkte P 1 ( ----- ; ----- ) und P ( ----- ; ----- ). f() = b mit b 0 > gehen alle durch die ❸ Die Graphen der Eponentialfunktionen f() mit -------------------- sind streng monoton ------------------------------ ; mit -------------------- sind streng monoton fallend; = b ❹ Der Graph der Eponentialfunktion f() = b mit b > 0 hat die ----- - Achse als Asymptote, das bedeutet ------------------------------------------------------------------------------------------------------------. ❺ Die charakteristische Eigenschaft von eponentiellem Wachstum ist: -------------------- ---------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- ❻ Beispiele für eponentielle Prozesse in der Realität sind: ------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- ❼ Was ich sonst noch wichtig finde: --------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------- Zeichne hier die Graphen von f( ) = und 1 g( ) = 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 31

Vorschlag 16.0: Eigenschaften der Logarithmusfunktion Logarithmusfunktionen sind Funktionen der Form f() = logb mit --------- und b --------- d.h. die Logarithmusfunktion ist nur für ------------------------------ -Werte definiert: D = ----------. ❶ log b ist diejenige reelle Zahl, mit der man b potenzieren muss, um zu erhalten. Damit ist die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion. Also gilt für den Wertebereich: W = ----------.. ❷ Die Graphen der Logarithmusfunktionen Punkte P 1 ( ----- ; ----- ) und P ( ----- ; ----- ). f() = log mit b > 0 gehen alle durch die b ❸ Die Graphen der Logarithmusfunktionen f() = log mit -------------------- sind streng monoton ------------------------------ ; mit -------------------- sind streng monoton fallend. b ❹ Der Graph der Logarithmusfunktion f() = log mit b > 0 hat die ----- - Achse als b Asymptote. ❺ Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die folgenden Regeln ( u, v, a 0;a 1) > : (1) log b ( u v) = ----------------------------------------- u () = v log b ------------------------------------------- (3) ( u r )= log b -------------------------------------------- ❻ Beispiele für Anwendungen der Logarithmusfunktion in der Realität sind: ---------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- Zeichne hier die Graphen von f( ) = und ( ) = log g ❼ Was ich sonst noch wichtig finde: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3

Vorschlag 16.1: Flucht aus Heidelberg Im Jahr 1855 flüchtete in Heidelberg ein Student nach einem Duell mit einer Legitimationskarte, die er sich von einem Kommilitonen ausgeliehen hatte. Als die Flucht über die Grenze gelungen war, warf der Student die Karte fort; sie wurde als verdächtig an das Heidelberger Universitätsgericht eingesandt. In der folgenden Untersuchung antwortete der Kommilitone, dem die Karte gehörte, mit einem Satz, der sich zunächst unter den Studenten schnell verbreitete und heute als Redewendung allgemein bekannt ist. Dieser Satz ist der Lösungsspruch des Rätsels. Aufgaben: a) log 3 7 b) log 3 = = c) log 49 = = d) log 3 log 4 3 4 3 4 e) 5 5 ( log ): ( log ) 5 5 f) 1 log3 5 + log3 5 g) log 4 + log 4 h) log16 log 4 i) 1 6log3 3 + log3 9 j) 4( log 88 log11) k) 10 log (log ) l) 1 log 5 + log3 90 + log log310 5 Lösung Zuordnung: Lösung 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Buchstabe H S E V T C N O A W I Lösung 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Buchstabe B M Q Y L Z G P X R F Als Lösungssatz ergibt sich eine Redewendung: j) l) k) g) g) h) j) l) k) d) i) f) h) d) l) k) e) f) b) l) k) d) d) a) c) g) g) k) e) f) i) d) Quelle: Altmann, C. In: mathematik lehren (1999), H. 9, S. 60. 33

Vorschlag 16.: Graph und Termveränderungen Lass die Graphen folgender Funktionen zeichnen! Welchen Einfluss hat die Veränderung des Terms auf den Verlauf des Graphen? Formuliere Regeln! ❶ f 1() = f () f () = b =... ❷ f = f () = b + c 1() 3 f () = 3 1... + f () = 3... 3 ❸ f 1() = f () + 3 3() f f () = + d b =... =... ❹ a) f = 1() 3 1 () 3 3() 4 3 f f f () = a b =... =... b) f 1() = 5 f () = 1 5 3 c) f 1() = f () = 3 1 d) f ( = ( ) f 1 ) () = 3 1 ( ) ❺ Wie geht der Graph der Funktion f () = b hervor? f () = a b + d + c aus dem Graphen der Funktion + 1 Beispiel: f () = 3 4 34

Vorschläge 16.19 16.: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vorschlag 16.19 bzw. 16.0: Eigenschaften der Eponential- bzw. der Logarithmusfunktion Selbstständiges Erarbeiten der Eigenschaften beider Funktionstypen Ausfüllen der Lücken auf den Arbeitsblättern Eignung, (mögliche) Methoden: Die Schüler sollten in kleinen Gruppen an einem PC sitzen und sich die Graphen verschiedener Eponential- bzw. Logarithmusfunktionen mit einem entsprechenden Programm (z. B. MatheGrafi, Winfkt, MatheAss) darstellen lassen. Vorschlag 16.1: Flucht aus Heidelberg Übungen zu Logarithmen Lösungen: Lösungen der Aufgaben: 3;9;7;1;5;0;6;8;4;1;10; Lösungssatz: MEIN NAME IST HASE ICH WEISS VON NICHTS Vorschlag 16.: Graph und Termveränderungen Wiederholendes Üben der Termveränderungen bei Spiegelungen, Verschiebungen sowie Streckungen Vernetzung mit anderen Funktionstypen Methode: Gruppenarbeit am Computer 35

Vorschlag 16.3: Funktionsgleichungen bestimmen Bestimme die Funktionsgleichungen zu den abgebildeten Graphen! Funktionsgleichungen bestimmen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Aus günstigen Punkten wird die Funktionsgleichung ermittelt Umkehrung zum Zeichnen der Graphen (Mögliche) Lösungen: Die Funktionsgleichungen werden ungeordnet vorgegeben. Welche Gleichung gehört zu welchem Graphen? Basen in den vorkommenden Funktionen vorgeben (Mögliche) Methode: Partner- oder Gruppenarbeit Lösungen: a) () 3 1 + f = d) f () ( ) 3 1 b) f () = ( ) e) c) f () = 3 f) f () f () f () 1 1 = oder = ( ) = = 3 4 0,8 9 3 36

Vorschlag 16.4: 1. Was ist der Unterschied zwischen absolutem und relativem Zuwachs? 4. Erkläre den Begriff Halbwertszeit.. Was ist der Unterschied zwischen dem Wachstumsfaktor und dem Zerfallsfaktor? 5. Was bedeutet äquidistant? 3. Wie wird der relative Zuwachs in der Regel angegeben? 6. Was sind Logarithmen? 7. Wie nennt man die Zahl y in dem Term y? 10. Wie schreibt man kurz für log 10? 8. Wie nennt man in dem Ausdruck log a die Zahl? 11. Schreibe = 16 als Logarithmengleichung. 9. Nenne je einen anderen Begriff für die Grundzahl und für die Hochzahl einer Potenz. 1. Gib die Formel für relativen Zuwachs an. 13. Bestimme in = log 64. 14. Bestimme in log 65 =. 5 15. Bestimme in log3 81. 16. Wie berechnet man den absoluten Zuwachs? 17. Wie bildet man die Differenz beim absoluten Zuwachs? 18. Was gibt die Differenz d beim absoluten Zuwachs an? 19. Wie bildet man den Quotienten beim relativen Zuwachs?. Nenne je ein Beispiel aus der Natur für relativen und absoluten Zuwachs. 5. Wie wird eine Potenz potenziert? 0. Was gibt der Quotient beim relativen Zuwachs an? 3. Nenne die Zinseszins- Formel zur Berechnung des Endkapitals nach n Jahren. 6. Nenne drei Eigenschaften der Logarithmusfunktion. 1. Welcher Zuwachs wird mit der Formel d = Wi Wi1 ausgerechnet? 4. Definiere den Wachstumsfaktor q a) bei der Zinsrechnung b) allgemein bei Wachstumsvorgängen. 7. Nenne drei Eigenschaften der Eponentialfunktion. 8. Der Graph welcher Funktion schneidet nie die -Achse? 9. Welchen Punkt haben die Graphen aller Eponentialfunktionen gemeinsam? 30. Welchen Punkt haben die Graphen aller Logarithmusfunktionen gemeinsam? Quelle: Brüdigam, B.: Mathe-Quiz selbstgemacht. In: mathematik lehren (001) H.106, S.55-57. 37

Mathe-Quiz selbstgemacht: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Wiederholung und Festigung des Lernstoffes (Mögliche) Methode: Die Schüler stellen aus den Fragekärtchen und den (angegebenen) Antworten ein Kartenspiel her und spielen das vorgegebene Spiel. Die Fragen werden als Quiz für die ganze Klasse oder für die in Gruppen eingeteilte Klasse gestellt und beantwortet. Die Schüler entwerfen in Gruppenarbeit Fragen (und Antworten) zu einem bestimmten Thema (hier: Eponential- und Logarithmusfunktionen). Dabei treten vier Phasen auf. 1. Phase (Entwurf) Jede Gruppe stellt 1 Fragen, schneidet die Fragekarten aus und erstellt einen Antwortbogen. Es entstehen 5 8 (am besten verschiedenfarbige) Spielsätze.. Phase (Testen) Jede Gruppe spielt mit den Spielsätzen der anderen Gruppen. Die Testergebnisse bzw. Kommentare werden auf den Fragekarten oder auf den Lösungsbögen notiert. 3. Phase (Auswertung / Überarbeitung) Jede Gruppe überarbeitet ihren eigenen Spielsatz. 4. Phase (Endfassung) Jede Gruppe nennt drei oder vier ihrer besten Fragen. Die Klasse entscheidet, welche Fragen in das endgültige Spiel aufgenommen werden. Als Hausaufgabe stellen die Schüler das Kartenspiel her. Birgit Brüdigam hat das abgebildete Spiel von einer 10. Klasse entwickeln lassen. (Mögliche) Lösungen: 1. Beim absoluten Zuwachs wird die Differenz gebildet, beim relativen Zuwachs der Quotient.. Der Wachstumsfaktor q ist größer als 1; für den Zerfallsfaktor gilt: 0 < q < 1 3. In Prozent. 4. Die Halbwertszeit gibt an, in welchem Zeitraum sich bei einem Zerfallsprozess die Substanz jeweils um die Hälfte verringert. 5. Äquidistant bedeutet den gleichen Abstand habend. 6. Der Logarithmus a einer Grundzahl b ist die Hochzahl k, mit der man b potenzieren muss, um a zu erhalten. 7. Hochzahl oder Eponent 8. Numerus 9. Grundzahl = Basis; Hochzahl = Eponent 10. lg 11. log 16 = 1. r = q 13. = 6 14. = 4 15. = 4 1 = Wi + 1 Wi 1 = Wi + 1 Wi Wi 38