Finanzmathematik Bachelorarbeit aus Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften im WS 2010

Finanzmathematik Bachelorarbeit aus Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften im WS 2010 Harald Hinterleitner (0755828) und Christof Schöffl (0686939) 28. März 2010

Inhaltsverzeichnis 1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte 2 1.1 Motivation................................... 2 1.2 Ein-Perioden-Modell............................. 2 1.3 Portfolios................................... 3 1.4 Optionen.................................... 5 1.5 Bewertung von Auszahlungsprofilen..................... 6 1.5.1 Zeitliche Transformation deterministischer Zahlungsströme.... 6 1.5.2 Zeitliche Transformation zustandsabhängiger Zahlungsströme... 7 1.5.3 Bewertung von Auszahlungsprofilen mit Hilfe von Replikationen. 8 1.6 Replikation und Arbitrage.......................... 9 1.7 Der Fundamentalsatz der Preistheorie.................... 12 1.7.1 Trennungssätze im R n........................ 14 1.7.2 Der Fundamentalsatz der Preistheorie................ 15 1

Kapitel 1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte 1.1 Motivation Suche Modell zur Bewertung von Optionen etc: Zeitpunkt t > 0, Zustandsräume Ω t. einfachstes Modell: aktueller Zeitpunkt t = 0 ein weiterer Zeitpunkt zugelassen: ω Ω, t = 1. Voraussetzung bei t = 0: Finanzmarkt vollständig bekannt Ziel: Verallgemeinerung zu realistischeren Modellen 1.2 Ein-Perioden-Modell Annahmen: genau zwei Zeitpunkte: Anfangszeitpunkt 0 und Endzeitpunkt 1, wobei Handelsaktivitäten nur bei t = 0 möglich sind Zustand des Finanzmarktes bei t = 0 bekannt t = 1 : einer aus K Zuständen Ω = w 1,..., w K N (endlich) Wertpapiere S 1,...S N Dazu Preisprozess S := {S t = (St 1,..., St N ) t = 0, 1} (beschreibt Preise der N Wertpapiere) S1(w) i : Ω R (Preise hängen vom Zustand ab) St(w)...Kurs i des i-ten Wertpapiers bei t = 1 im Zustand ω Ω WICHTIG: S0 i und S1(w), i w Ω bekannt erst bei t = 1: Entscheidung welcher Kurs realisiert wird Bemerkung: {X X : Ω R} = R K S 1 = (S 1 1,..., S N 1 ) = R K N 2

Beispiel: Ein-Perioden-Modell mit K Zuständen Veranschaulichung der zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 1 zu spezifizierenden Kursdaten: Beispiel: Interpretation: S 1 1(w 1 ) = S 1 1(w 2 ) = 1, 02 entspricht festverzinslicher Kapitalanlage mit r = 2%; S 2 Beispiel für Aktie 1.3 Portfolios Fi- Definition: Ein Portfolio ist die Zusammenfassung von h 1 Finanzinstrumenten S 1,... und h N nanzinstrumenten S N zu einer Gesamtheit. 3

h 1 D.h. h =. h N R N wobei h i...stückzahl von S i h i S i... Position Der Wert V 0 (h) des Portfolios h bei t = 0: V 0 (h) := h S 0 (Skalarprodukt) h S 1 (w 1 ) t = 1: V 1 (h) := h S 1 :=. R K h S 1 (w k ) Es gilt: V 1 (h) = V 0 (h) + h δs mit δs := S 1 S 0 Beispiel: Definition: Gewinn G(h) := V 1 (h) V 0 (h) = h δs der mit Portfoliostrategie h erzielt wird. (G(h) nur abhängig von δs... Änderung der Wertpapierpreise) Bemerkung: bei Definition der Stückzahlen h i R negative Werte: h i Aktien werden geliehen und am Markt verkauft ( Schulden!) ( ) ( ) 10 1 Beispiel: Betrachte Portfolio h =, S 1 0 =, S 10 1, 1 S1 2 wie oben. ( ) ( ) 10 1 Es gilt: V 0 = h S 0 = = 0 ( 1 ) ( 10 ) 10 1, 02 V 1 (w 1 ) = h S 1 (w 1 ) = = 1, 8 da Kurs steigt 1 12 V 1 (w 2 ) = 1, 2 Kurs sinkt nach Liquidierung des Portfolios besteht Zahlungsverpflichtung von 1, 20. 4

1.4 Optionen Definition: Eine Call-Option beinhaltet das Recht (nicht die Pflicht): ein spezifiertes Wertpapier (Underlying) zu einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt (Fälligkeit) zu einem heute festgesetzten Preis (Basis-Stückpreis) zu kaufen (entspr. Kaufoption) Wert der Option bei Fälligkeit: max(s K, 0) =: (S K) +, wobei S... Kurs des Underlyings bei Fälligkeit K... Basispreis Investor: Optionsrecht nur bei S(w) > K (Gewinn durch sofortigen Verkauf) (Wert der Option >= 0) Call-Option im Ein-Perioden-Modell: c j = (S 1 (w j ) K) +, j = 1,..., K c... Auszahlungsprofil (zustandsabhängige Auszahlung) Definition: Eine Put-Option beinhaltet das Recht ein spezifiertes Wertpapier (Underlying) zu einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt (Fälligkeit) zu einem heute festen Preis zu verkaufen (Verkaufsoption) Auszahlungsprofil: (K S) + := max(k S, 0), c R K, c j = (K S 1 (w j )) +, j = 1,..., K Bemerkung: Option 5

Clou: europäische Option: festgelegter Zeitpunkt amerikanische Option: beliebiger Zeitpunkt bis zur Fälligkeit keine Unterscheidung möglich bei Ein-Perioden-Modell Put-Option ist Versicherung nach unten bei Wertpapierbestand Call-Option gegen unerwarteten Preisanstieg versichern Option hat Preis (wie Versicherungen) Ziel: faire Preisfindung für Optionen und Derivate Beispiel 1: wie oben + Call-Option auf S 2 mit K = 10, 5 und Fälligkeitszeitpunkt 1 t = 1: Optionswerte: c(w 1 ) = (S1(w 2 1 ) K) + = (12 10, 5) + = 1, 5 c(w 2 ) = (S1(w 2 2 ) K) + = ((9 ) 10, 5) + = 0 1, 5 Auszahlungsprofil c = 0 Beispiel 2: wie oben + Put-Option mit K = 11 (Ausübungspreis) ( ) ( ) (11 12) + 0 c = (11 9) + = 2 1.5 Bewertung von Auszahlungsprofilen gesucht: ein sinnvoller Preis für Auszahlungsprofile c R K für t = 0 1.5.1 Zeitliche Transformation deterministischer Zahlungsströme Angenommen eine Bank hat bei t = 1 die Zahlungsverpflichtung c > 0. D.h. die Bank erfährt bei t = 0 einen Zahlungsstrom von c. Diese zukünftige Verpflichtung kann wie folgt in eine äquivalente Verpflichtung bei t = 0 transformiert werden: t = 0: Bank kauft Anleihe mit Auszahlung c bei t = 1 dafür bezahlt Bank bei t = 0: c 0 := d c, wobei d der Diskontfaktor zwischen t = 0 und t = 1 ist t = 1: durch Auszahlung der Anleihe begleicht Bank die Verpflichtung c, sodass netto bei t = 1 kein Kapital fließt Es ist auch der umgekehrte Fall möglich: Bank erhält c bei t = 1. Transformation in c 0 bei t = 0: t = 0: Bank verkauft Anleihe, die bei t = 1 mit c zurückgezahlt werden muss es gilt wieder c 0 := d c 6

t = 1: Bank erhält c mit dem die Schuld aus der Anleihe beglichen wird jeder beliebige Betrag c, der bei t = 1 fließt, lässt sich mit Hilfe von Handelsaktivitäten in äquivalente Zahlung c 0 = d c bei t = 0 transformieren. 1.5.2 Zeitliche Transformation zustandsabhängiger Zahlungsströme Idee ist analog wie bei deterministischen Zahlungsströmen. Annahme: Bank hat Verpflichtungen mit Kontrahenten ja nach eintretenden Zustand w j einen Betrag c(w j ) = c j R bei t = 1 auszutauschen. c(w j ) > 0 Bank muss c(w j ) auszahlen c(w j ) < 0 Kontrahent bezahlt c(w j ) an Bank Das entsteht z.b. durch den Verkauf einer Option. Ziel: Finde für Auszahlung c einen Preis c 0 bei t = 0, sodass bei t = 1 kein Kapital fließt. D.h.: Bestimme Portfolio h R N so, dass Wert des Portfolios mit Auszahlung c bei t = 1 in jedem Zustand übereinstimmt. c(w 1 ) = h S 1 (w 1 ). c(w K ) = h S 1 (w K ) h Wert des Portfolios c 0 bei t = 0 angebbar, da S 0 (bei t = 0) bekannt sind. Es gilt: c 0 =. Zusammenfassung: Transformation der Zahlung c bei t = 1 in Zahlung c 0 bei t = 0: bestimme h, welches bei t = 1 Auszahlung c hat kaufe dieses Portfolio bei t = 0 für c 0 = h S 0 t = 1: je nach Zustand w erhält man c(w) = h S 1 (w) bei c(w) > 0, oder schuldet man c(w) = h S 1 (w) bei c(w) < 0 7

bei t = 1 fließt netto kein Kapital 1.5.3 Bewertung von Auszahlungsprofilen mit Hilfe von Replikationen Wir untersuchen, ob und wie zu einem gegebenen c R K ein Portfolio h gefunden werden kann. Lemma: h R N : h S 1 = D T h S1(w 1 1 ) S1 N (w 1 ) wobei D T :=..... die Transponierte der Payoff-/Auszahlungsmatrix S1(w 1 K ) S1 N (w K ) S1(w 1 1 ) S1(w 1 K ) D := (S 1 (w 1 ),, S 1 (w K )) =..... R N K S1 N (w 1 ) S1 N (w K ) Beweis: h S 1 (w 1 ) h 1 S1(w 1 1 ) + + h N S1 N (w 1 ) h S 1 =. =. = D T h h S 1 (w K ) h 1 S1(w 1 K ) + + h N S1 N (w K ) also: das Aufsuchen von h für Auszahlungsprofile c R K entspricht dem Lösen des SLG c = D T h. Ist h R N Lösung von diesem SLG, so sagen wir, h repliziert c. Definition: c R K heißt replizierbar : c ImD T. Beispiel 3: wie oben: Ermittle Preis einer Call-Option auf S 2 mit Ausübungspreis K = 10, 5 ( ) ( ) 1, 02 1, 02 1, 5 D =, c = 12 ( 9 ) ( 0 ) ( ) ( ) 1, 5 1, 02 1, 02 c D T h1 4, 412 h = h = 0 12 9 0, 5 h 2 8

c 0 = h S 0 = ( ) ( ) 4, 412 1 = 0, 588 Preis der Call-Option bei t = 0. 0, 5 10 Definition: Ein Tupel (S 0, S 1 ) =(b, D) R N M N K (R) heißt Marktmodell mit Preisvektor b := S 0 R N und Payoff-/Auszahlungsmatrix D M N K (R). Bemerkung: Anzahl der Zeilen von b(und D) = Anzahl der Finanzinstrumente Anzahl der Spalten von D = Anzahl der Zustände 1.6 Replikation und Arbitrage Wir haben: Ansatz zur Bewertung von zustandsabhängigen Auszahlungen c R K mit löse c = h S 1 = D T h bestimme Preis c 0 von c bei t = 0: c 0 = h S 0 Bemerkungen: Wahrscheinlichkeiten p j, mit denen w j Ω bei t = 1 eintreten, spielen keine Rolle Portfoliovektoren aus R N (nicht aus Z N ) für lin.alg.: keine z.b. 3, 14 Aktien; Realität: (50, 100,...)+ Runden auf z Z Es tauchen zwei Probleme bei der Bewertungsstrategie auf: Replikation ist nicht möglich: h : c = D T h, also c / ImD T Replikation ist nicht eindeutig bestimmt: h, h : c = D T h = D T h, d.h. Portfolios sind ökonomisch gleichwertig Definition: Ein Marktmodell (b, D) heißt vollständig, wenn D T surjektiv ist, also wenn ImD T = R K (b, D) vollständig jedes Auszahlungsprofil c ist replizierbar. Satz: (Law of One Price) Sei (b, D) ein Marktmodell, c ImD T ein replizierbares Auszahlungsprofil. Der Preis c 0 ist eindeutig bestimmt kernd T b. Beweis: sei h 0 eine spezielle Lösung von c = D T h allgemeine Lösung: h = h 0 + f mit f kernd T bel. h b = h 0 b f b = 0 kernd T b. 9

Was ist, wenn D T h = D T h aber h b h b? o.b.d.a.: h b < h b Dann gilt (h h ) b < 0 und D T (h h ) = 0. D.h. der Erwerb des Portfolios h h bei t = 0 ist mit Kapitaleinnahme von (h h ) b > 0 verbunden. Die Einnahme hat kein Risiko, denn, bei t = 1 ist h h wertlos. Eine Möglichkeit, risikolose Gewinne ohne eigenen Kapitaleinsatz zu erzielen, heißt Arbitragegelegenheit. Definition: Eine Handelsstrategie h heißt Arbitragegelegenheit, falls h b 0 und D T h > 0 oder h b < 0 und D T h 0 Arbitragegelegenheiten in (b, D) : Marktmodell heißt arbitragefrei Bemerkungen: D T h > 0: alle Komponenten sind 0 und mindestens eine Komponente > 0 x >> 0 : x i : x i > 0, i = 1,..., n, (strikt positiv) h b 0, D T h > 0: Portfolio kostet anfangs nichts, oder bringt was ein V 0 (h) = h b 0; t = 1: keine Zahlungsverpflichtungen + Chance auf Gewinn V 1 (h) = D T h > 0 h b < 0, D T h 0: Gewinn wird sofoert realisiert, später keine Verpflichtungen und Chance auf Gewinn für Bewertung von Auszahlungsprofilen wird Arbitragefreiheit des Marktmodells vorausgesetzt, in der Praxis gibt es Arbitragegelegenheiten für kurze Zeit Lemma: In einem arbitragefreien Marktmodell (b, D) beinhaltet jede bei t = 0 getätigte kostenlose Investition in ein Portfolio h mit D T h 0 das Risiko eines Verlustes. Beweis: Sei h eine kostenlose Investition mit D T h 0. Dann gilt D T h > 0, denn sonst wäre h eine Arbitragegelegenheit. Wegen D T h 0 muss daher mindestens eine Komponente von D T h negativ sein = Verlust. Bemerkung: Die Voraussetzung einer kostenlosen Investition bei t = 0 ist wesentlich, da risikolose Gewinne bei einer festverzinslichen Geldanlage mit positivem Kapitaleinsatz möglich sind. Satz: In einem arbitragefreien Marktmodel(b, D) gilt kernd T b 10

und der Preis jedes replizierbaren Auszahlungsprofils c = D T h ist eindeutig bestimmt durch h b. Beweis: Angenommen kernd T b. Dann f kernd T : f b 0. Mit Multiplikation mit 1 kann erreicht werden, dass f b < 0 gilt. Mit D T f = 0 ist f Arbitragegelegenheit. Die zweite Aussage folgt aus dem Satz Law of One Price. Beispiel 4: Umkehrung kernd T b (b, D) arbitragefrei: 0, 99 1, 1 1, 1 Gegenbeispiel: (b, D) = 7, 10 9 ; rangd T = 2, d.h. Modell ist vollständig 2, 1 9 6 19, 091 dimkernd T = 1, d.h. D T f = 0 Lösung ist f = 3 1 19, 091 0, 99 f b = 3 7 = 0 kernd T b 1 2, 1 Dennoch nicht arbitragefrei, denn Verschuldung in S 1 und Investition in S 3 führt immer zu positivem Gewinn. Bemerkung: es gibt ein Gegenbeispiel: eindeutige Bestimmtheit eines replizierbaren Portfolios (b, D) arbitragefrei. Satz: Sei c = D T h ein replizierbares Auszahlungsprofil in einem arbitragefreien Marktmodell (b, D). Dann ist h b der einzig mögliche arbitragefreie Preis für c. Beweis: Wird etwa das Auszahliungsprofil c für den Preis s < h b angeboten, so kaufe c zum Preis von s und verkaufe Portfolio h für h b. bei t = 0 haben wir Gewinn h b s > 0; bei t = 1 haben wir D T h c = 0 (keine Verpflichtung). Im Falle s > h b kaufe h und verkaufe es für s. Definition: Die lineare Abbildung L : R N R R K =R K+1 ; h ( h b, D T h) = ( hs 0, h S 1 ) heißt Entnahmeprozess. Dabei ist L 0 (h) := h b... die zum Erwerb von h erforderliche Abbuchung L 1 (h) := D T h... Wert des Portfolios bei t = 1 Satz: Sei (b, D) ein Marktmodell. Angenommen Portfolio θ: θ b > 0 und D T θ > 0. Dann gibt es Arbitragegelegenheiten Portfolio h: h b = 0 und D T h > 0 Beweis: : trivial (Definition) : Sei h Arbitragegelegenheit. Dann gilt ( h b, D T h) > 0. Nach Vorauss. gilt: θ b > 0 11

und D T b > 0. Wähle λ 0 so, dass (h + λθ) b = 0 h b θ b 0. Nun ist λ = 0 h b = 0. Dann folgt D T h > 0, da h nach Vorauss. Arbitragegelegenheit. Gilt dagegen λ > 0 h b < 0, also D T h 0. Betrachte D T (h + λθ) = D T h + λd T θ > 0, da D T h 0 und λd T θ > 0. Ist also (b, D) nicht arbitragefrei, so Arbitragegelegenheiten h: h b = 0 und D T h > 0. Korollar 1: (b, D) Marktmodell. Angenommen Finanzinstrument S i : S0 i > 0 und S1 i > 0. Arbitragegelegenheiten Portfolio h : h b = 0 und D T h > 0. Beweis: Portfolio e i = (0,, 0, 1, 0,, 0) T e i b = b i = S : 0 i > 0 und D T e i = e i S 1 = S i 1 > 0. Somit folgt die Behauptung aus vorigem Satz. Korollar 2: Marktmodell (b, D) arbitragefrei kostenfreie Portfolios h bei t = 0 mit D T h 0 j : (D T h) j < 0. D.h. das Risiko eines Verlustes ist vorhanden. Beweis: Sei (b, D) arbitragefreies Marktmodell. : aus Lemma folgt, dass jedes kostenlose Portfolio h bei t = 0 mit D T h 0 in mindestens einem Zustand einen negativen Wert besitzt. : angenommen h mit h b = 0 D T h 0: j : (D T h) j < 0 h : h b = 0 D T h > 0. Mit letztem Satz folgt daraus die Arbitragefreiheit. 1.7 Der Fundamentalsatz der Preistheorie Notation: Skalarprodukt über Finanzinstrumente: ; Skalarprodukt über Zustände:, Ziel: (b, D) arbitragefrei φ R K : φ >> 0 b = Dφ Satz: (Law of One Price, Version 2) Sei (b, D) ein arbitrage-freies Marktmodell. Dann gilt b ImD. Also φ R K : b = Dφ und es gilt: h R N : h b = φ, D T h. Beweis: Da (b, D) arbitrage-frei, folgt b kernd T. Nach Sätze über adjungierte Abbildungen gilt: kernd T ImD und R N = kernd T ImD b ImD. Also φ R K mit b = Dφ und h b = Dφ h = φ, D T h Bemerkung: Der Preis c 0 = h b eiens replizierbaren Auszahlungsprofils c = D T h unter der Voraussetzung b = Dφ ist eindeutig bestimmt und berechenbar durch c 0 = φ, c ohne h zu kennen. Sätze über adjungierte Abbildungen: Sei L : V W, L : W V : x, Ly = L x, y x W, y V 12

1. Es gilt: kernl ImL. Beweis: Sei x kernl und y ImL. Dann gilt y = L z für ein z W. x, y = x, L z = Lx, z = 0. 2. Es gilt: V = kernl ImL und W = kernl ImL. Beweis: Wegen L = L reicht es, die erste Aussage zu beweisen. Wir wissen: kernl ImL, also ImL (kernl). Weiters dim ImL = dim ImL = dim(kernl), wegen Dimensionssatz. Daher gilt: ImL = (kernl) Satz: Gilt b = Dφ für ein φ R K mit φ >> 0 (b, D) arbitragefrei. Beweis: Es gilt h b = φ, D T h. Ist D T h > 0, so folgt h b > 0 wegen φ >> 0. Ist dagegen D T h 0, folgt h b 0 h ist keine Arbitragegelegenheit. Definition: Ein φ R K mit φ >> 0 und b = Dφ heißt Zustandsvektor. (( ) ( )) 1 1, 02 1, 02 Beispiel 5: Betrachte (b, D) =, ( ) ( ) 10 ( ) 12 9 ( ) 1, 02 1, 02 φ 1 1 0, 392 Dφ = b 12 9 φ 2 = φ = >> 0 10 0, 588 Satz: Sei (b, D) ein arbitragefreies und vollständiges Marktmodell. Dann Zustandsvektor in (b, D). Beweis: Sei φ R K : b = Dφ. Sei e i R K i-ter Standardbasisvektor. (b, D) vollständig h i R N : e i = D T h i. Damit gilt φ i = φ, e i. Wäre φ i = h i b 0, so wäre h i wegen D T h i = e i > 0 eine Arbitragegelegenheit. Da (b, D) aber nach Vorauss. arbitragefrei, folgt φ i > 0 i = 1,...K. Ziel: aus Arbitragefreiheit eines Marktmodells ganz allgemein, ohne Voraussetzung der Vollständigkeit, die Existenz eines Zustandsvektors ableiten; dazu werden folgende zwei Trennungssätze benötigt (Spezialfälle: Satz von Hahn-Banach) 1.7.1 Trennungssätze im R n Satz: (erster Trennungssatz) Sei C R n abgeschlossene, konvexe Menge, die den Ursprung nicht enthält. Dann x 0 R n α > 0 : x 0, x α x C. Insbesondere schneidet C nicht die Hyperebene x 0, x = 0. Beweis: 13

Sei λ > 0 so, dass C B λ (0), wobei B λ (0) = {x R n : x λ} (Kegel um Ursprung mit Radius λ). Sei x 0 C der Punkt, an dem die stetige Abbildung x x auf der kompakten Menge C B λ (0) ihr Minimum annhimmt. So folgt sofort: x x 0 x C. Da C konvex, gilt x C t [0, 1] : x 0 + t(x x 0 ) C. Definiere f : R R, t x 0 + t(x x 0 ) 2 = x 0 2 + 2t x 0, x x 0 + t 2 x x 0 2. f ist differenzierbar und es gilt x 0 2 = f(0) f(t) t [0, 1]. Daher ist f f(t) f(0) (0) = lim t 0 0 und f (0) = 2 x t 0, x x 0 = 2( x 0, x x 0 2 ) 0 x C Mit λ := x 0 2 folgt die Behauptung. Satz: (zweiter Trennungssatz) Sei K eine kompakte und konvexe Teilmenge des R n und sei V ein Untervektorraum des R n. Seien V und K disjunkt. So x 0 R n : x 0, x > 0 x K und x 0, x = 0 x V. Daher ist der Unterraum V in einer Hyperebene enthalten, die K nicht schneidet. Beweis: Menge C := K V = {x R n : (k, v) K V, x = k v} ist konvex, da V als UR und K nach Vorauss. konvex sind. C ist abgeschlossen, da V abgeschlossen und K kompakt ist. K, V disjunkt 0 / C x 0 R n α > 0 : x 0, x > α x C k K v V : x 0, k x 0, v α k K f.a.b, V VR v V λ R : λ x 0, v x 0, k α x 0, v = 0 v V (einzige Möglichkeit, da λ bel.) x 0, k α > 0 k K. 14

1.7.2 Der Fundamentalsatz der Preistheorie Satz: In einem Marktmodell (b, D) sind folgende Aussagen äquivalent: 1. (b, D) ist arbitragefrei 2. Φ R K+1, Φ >> 0 h R N : Φ, L(h) = 0 3. Zustandsvektor φ R K, φ >> 0 mit b = Dφ Beweis: 1. 2.: Sei (b, D) ein arbitragefreies Marktmodell. Dann h R N : L(h) = ( hb, D T h) > 0. L : R N R K+1 linear ImL ist UVR von R K+1, der {x R K+1 x > 0} nicht schneidet. Insbesondere schneidet ImL NICHT M = {x R K+1, x > 0, K i=0 x i = 1} kompakt, konvex zweiter Trennungssatz Φ R K+1 : Φ, x = 0 x ImL und Φ, x > 0 x M Φ >> 0 (Wähle x = e j ) 2. 3.: Sei Φ R K+1, Φ >> 0 : Φ, L(h) = 0 Schreibe Φ = (Φ 0, Φ 1 ) mit Φ 0 R, Φ 1 R K. Φ >> 0 Φ 0 > 0 Φ 1 >> 0 0 = Φ, L(h) = (Φ 0, Φ 1 ), ( h b, D T h) = Φ 0 (h b) + Φ 1, D T h Φ also h b = 1 Φ 0, D T h Definiere φ := Φ 1 Φ 0 R K φ >> 0 h b = φ, D T h = Dφ h h R N b = Dφ 3. 1.: im obigen Satz bereits bewiesen Bemerkungen: mit φ ist der Preis JEDES replizierbaren Auszahlungsprofil berechenbar: c 0 = φ, c 15

für Nachweis der Arbitragefreiheit reicht: untersuche b = Dφ, φ >> 0 auf Lösbarkeit. (( ) ( )) 1 1, 1 1, 1 Beispiel 6: Betrachte Marktmodell (b, D) =, 5 7 4 Untersuche (b, D) auf Vollständigkeit und auf Arbitragefreiheit: detd = 4, 4 5, ( 5 0 ) D regulär Marktmodell vollständig 0, 45455 Dφ = b φ = φ >> 0 (b, D) arbitragefrei 0, 45455 BestimmeWert einer Call-Option auf S 2 mit Basispreis K = 6: ( ) 1 Auszahlung c = c 0 0 φ, c = 0, 45455 1 1, 1 1, 1 1, 1 Beispiel 7: Betrachte Marktmodell (b, D) = 5, 7 4 6 10 12 9 9 Zeige, (b, D) vollständig, aber icht arbitragefrei: rangd = 3 (b, D) vollständig 0, 60606 Dφ = b φ = 0, 5303 Arbitragegelegenheiten 0, 22727 0 finde Arbitragegelegenheit: c 0 = 0 = φ, c c = 0, 22727 > 0 positive Auszahlung; da vollständig c ist replizierbar 0, 5303 1, 51 h = 0, 151 h b = 0 und D T h = c > 0 0, 227 16

Literaturverzeichnis [1] Jürgen Kremer: Einführung in die diskrete Finanzmathematik Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 17