Lösungen zu Aufgaben S. 274 7/32 Ein Kondensator mit C = 0,1 µf und eine Spule mit L = 44 mh bilden einen Schwingkreis. Berechnen Sie die Eigenfrequenz. Durch Einschieben eines Eisenkerns in die Spule vergrößert sich deren Induktivität um den Faktor 23. Wie verändert sich dadurch die Eigenfrequenz? 1 1 f = = = 2,4 khz 2π LC 2π 44mH 0, 1µ F f Eisen =f / (23) 1/2 = 500 Hz. 7/33 Eine lange Spule (n = 340, l = 60 cm, d = 8 cm) wird mit einem Kondensator der Kapazität C = 0,1 µf und einem Widerstand R = 200 Ω in Serie geschaltet. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz. L = µ 0 n² A / l = 1,22 mh, 1 f = = 14,4 khz 2π LC Die Rechnung zeigt, dass man für die gedämpfte Schwingung eine kleinere Frequenz erhält. Es gilt: 1 1 R² C R² C f = = f 1 = 6,09 khz 2 π LC 4L² 4L 7/34 Ein Schwingkreis mit einer Kapazität von C = 47 nf schwingt bei einer Frequenz von f = 3,7 khz. Wie groß ist die Induktivität? Aus f = ½ π (LC) 1/2 folgt L = 1/(2π f) 2 C = 39,4 mh. Lösungen zu Aufgaben S. (282) u. 286 7/41 Bei einer an einer Metallwand reflektierten Welle beträgt der Abstand der Intensitätsmaxima 1,24 cm. Wie groß sind Wellenlänge und Frequenz der Mikrowelle? Mit λ = 2. 1,24 m folgt f = c / λ = 3 10 8 m/s / 2,48 m = 121 MHz. 7/42 Der CB-Sprechfunk, der den Frequenzbereich 27,005 MHz bis 27,125 MHz umfasst, ist in 12 Kanäle unterteilt. Wie groß ist die Bandbreite eines Kanals?
Für den CB-Sprechfunk ist das Frequenzband von 27,005 MHz bis 27,125 MHz reserviert. Damit hat jeder Kanal eine Breite von (27,125 MHz - 27,005 MHz) / 12 = 10 khz zur Verfügung. 7/43 Durch Reflexionen der Fernsehwellen können Geisterbilder" auftreten. Warum gibt es beim Hörfunk keine derartige Beeinträchtigung? Wegen der größeren Wellenlängen sind die durch Reflexionen entstandenen Gangunterschiede normalerweise klein im Vergleich zur Wellenlänge und wirken sich nicht aus. 7/44 Wie erklärt es sich, dass die Frequenzmodulation von Störsignalen weniger beeinträchtigt wird als die Amplitudenmodulation? Vereinfacht kann man sagen, dass eine Amplitudenschwankung aufgrund eines Störeinflusses bei der Amplitudenmodulation direkt zu hören ist, während die Frequenzmodulation davon nicht betroffen ist, da ihre Information im Frequenzhub enthalten ist. Tatsächlich ist zu beachten, dass die Fourier-Transformation der modulierten Trägerschwingung bei der AM endliche, durch die Breite des NF-Bandes bestimmte Seitenbänder ergibt, während sie bei der FM unendlich viele Seitenfrequenzen liefert, deren Amplitude allerdings mit zunehmender Modulationsfrequenz kleiner wird. Die FM benötigt daher ein breiteres Frequenzband als die AM. Mit dieser Verbreiterung des Frequenzbandes geht nicht nur eine Verbesserung der Übertragungsqualität einher, sondern auch eine bessere Störbefreiung. Lösungen zu Aufgaben S. 294 7/58 FIZEAU benutzte für sein Experiment ein Zahnrad mit z = 720 Zähnen, das sich mit der Umdrehungszahl n = 12,6 s -1 drehte. Welche Strecke legt das Licht zurück, während sich das Rad um genau einen Zahn weiter dreht? Wie musste das Experiment folglich durchgeführt werden? s =c t = 3 10 8 m/s s / (12,6 720) = 33,07 km. Der zweite Spiegel musste also 15-20 km entfernt stehen. 7/61 Ein Lichtsignal wird auf den Mond geschickt (mittlere Entfernung Erde-Mond e = 384 000 km). Wie groß ist seine Laufzeit? Für den Lichtweg zum Mond hin und zurück gilt für den mittleren Abstand t = 2,56 s.
Lösungen zu Aufgaben S. 300 7/68 Ein Doppelspalt mit dem Spaltabstand 1,2 mm wird mit einer Quecksilberlampe beleuchtet. Auf dem 2,73 m entfernten Schirm beobachtet man für jeweils 5 Streifenabstände im grünen Licht 6,2 mm und im blauen Licht 4,9 mm. Berechnen Sie die Wellenlängen. λ grün = d sin α d a / e = 5,47 10-7 m. λ blau = 4,31 10-7 m. 7/69 Im Doppelspaltversuch misst man für die Abstände von einem hellen Streifen zum übernächsten hellen bei rotem Licht 3,5 cm, bei gelbem Licht 3,1 cm und bei grünem Licht 2,5 cm. Die übrigen Maße sind e = 4,95 m und d = 0,2 mm. Berechnen Sie die Wellenlängen. 707 nm; 626 nm; 505 nm. 7/72 Der Gangunterschied zwischen zwei zur Interferenz kommenden Wellenzügen sei a) s = 10 10-7 m bzw. b) s = 100 10-7 m. Welche Wellen aus dem Bereich λ =400 nm bis λ = 750 nm verstärken sich dann gerade maximal? Wie groß sind jeweils die Ordnungszahlen der Interferenzen? Von den Wellenlängen λ n = s/n, die die Interferenzbedingung erfüllen, fallen in a) nur λ 2 = 500 nm, in b) λ 14 = 714,2 nm,... λ 25 = 400 nm in den vorgegebenen Bereich. 7/73 Zum Versuch 7/29 mit dem Glimmerblatt: Schätzen Sie die Ordnung des Gangunterschiedes für Licht mittlerer Wellenlänge ab, das an der Vorder- und an der Innenseite des Glimmerblattes (Dicke d = 1,0 mm) reflektiert wird. n = s / λ = 1 mm / 600 nm = 1666. 7/74 Eine 0,75 µm dicke Seifenhaut (n = 1,35) wird senkrecht bestrahlt. Welches Licht (Wellenlängen) wird bei Reflexion ausgelöscht, welches verstärkt? Verstärkung: m λ = 2 d n + λ / 2 ; (m ½ ) λ = 2 d n ; λ = 2dn /(m ½) ; m=1,2,... λ m = 4,04 µm / (2 m -1) = 4,04 µm; 1,35 µm; 0,808 µm; 0,577 µm; 0,449 µm; 0,367 µm. Auslöschung: (2m + 1) λ / 2 = 2 d n + λ / 2 ; m = 1, 2... ; m λ = 2 d n λ = 2,02 µm / m = 2,02 µm ; 1,01 µm ; 0,674 µm ; 0,506 µm ; 0,404 µm
7/75 Die Oberfläche einer Linse (n =1,53) wird mit einem Material (n = 1,35) vergütet, sodass die Wellenlänge λ = 550 nm im reflektierten Licht ausgelöscht wird. Wie dick muss die Schicht sein? Welche Phasenverschiebung erleiden das reflektierte violette Licht (λ = 400 nm) und das rote Licht (λ = 700 nm)? Wegen n Linse > n M finden beide Reflexionen am dichteren Medium statt. s = λ d n = λ / 2 d = λ / 4 n = 550 nm / (4 1,35) = 101,8 nm. φ = 2 π s/ λ = 2 π 2 101,8 nm/ λ = 3,20 [1,82] 7/76 Die Radien des 1. und 3. dunklen Ringes einer Newton'schen Plankonvexlinse (Krümmungshalbmesser R = 118 cm) sind 0,83 mm bzw. 1,45 mm. Wie groß ist die Wellenlänge des benutzten Lichtes? 2 2 ( r3 r1 ) λ = = 0, 599 µ m (3 2) R Lösungen zu Aufgaben S. 309 7/77 Auf einem Schirm im Abstand e = 2,55 m vom Gitter (250 Linien pro Zentimeter) wird im monochromatischen Licht der Abstand der Maxima 1. Ordnung (links und rechts vom Hauptmaximum 0. Ordnung) zu 8,2 cm, der der 2. Ordnung zu 16,6 cm und der der 3. Ordnung zu 24,8 cm gemessen. Berechnen Sie die Wellenlänge. λ 1,2,3 = 643 nm, 651 nm u. 648 nm bzw. λ m = 647,3 nm 6/78 Die beiden Maxima 1. Ordnung der grünen Hg-Linie λ = 546,1 nm haben auf einem e = 3,45 m entfernten Schirm einen Abstand von 18,8 cm. Wie groß ist die Gitterkonstante? Wie viele Gitterspalte kommen auf 1 cm? 2 g = n λ e 2 + a n / a n = 2,0 10-5 m (500 Linien pro cm). 7/79 Ein Gitter besitzt 20 000 Linien auf 4 cm. a) Berechnen Sie die Winkel, unter denen das sichtbare Spektrum 1. und 2. Ordnung erscheint. b) Wie groß ist der Winkelabstand zwischen beiden Spektren? 1. Ordnung: sin α rot = λ rot / g ==> α rot = 22,95, α violett = 12,12 u. a 1 = 10,83.
2. Ordnung: α rot = 51,26, α violett = 24,83 u. a 1 = 16,47. Winkelabstand: α = α violett 2 - α rot 1 = 24,83-22,95 = 1,88. 7/80 Die gelbe Hg-Linie (λ = 578,0 nm) fällt in der 3. Ordnung fast genau mit der blauen Linie in 4. Ordnung zusammen. Berechnen Sie daraus die Wellenlänge der blauen Linie. 3 λ gelb / g 4 λ blau / g; λ blau 3/4 λ gelb = 433 nm. 7/82 Lässt man einen Laserstrahl streifend unter dem Winkel α auf die Millimetereinteilung (Strichabstand d) einer Schieblehre fallen (s. Abbildung), so zeigt die gegenüberliegende Wand die Interferenzfigur eines Gitters. Zeigen Sie, dass sich zwei benachbarte Strahlen in der Richtung β n des Maximums n. Ordnung verstärken, wenn gilt n λ = d(cos α - cos β n ), und geben Sie an, wie man daraus mit Hilfe der Versuchsgrößen der Abbildung die Wellenlänge bestimmen kann. Die beiden Parallelstrahlen, die auf zwei benachbarte Strichrillen fallen und von dort aus in alle Richtungen reflektiert werden - hier sind nur die reflektierten Strahlen in Richtung ß n herausgegriffen -, besitzen bis zum Auftreffen auf die Rillen den Gangunterschied s 1 = d cos α und nach dem Auftreffen den von s 2 = d cos ß n, insgesamt also den Gangunterschied s = s 1 - s 2 (wegen α < ß n ). Damit ergibt sich mit s = n λ als Bedingung für ein Maximum in Richtung ß n n λ = d(cos α - cos ß n ). Die Winkel α und ß n entnimmt man aus der Geometrie des Versuchs über tan α = y 0 / x 0 und tan ß n = y n /x 0. 7/84 An einer Beugungsfigur am Spalt misst man als Abstand der beiden Beugungsminima 1. Ordnung 15 mm, weiter e = 212 cm. Eine 10 mm-messskala wird mit einem Diaprojektor auf der Projektionswand 45 cm groß abgebildet, der verwendete Spalt unter den gleichen Bedingungen 7 mm groß. Bestimmen Sie die Wellenlänge. d = 10 mm 7 mm / 45 cm = 0,156 mm λ = d sinα d s/e = 552 nm.
7/85 Licht einer Wellenlänge von 550 nm geht durch einen 0,15 cm breiten Spalt und fällt auf einen 2,5 m entfernten Schirm. Wie breit ist der Streifen des Maximums 0. Ordnung (vom rechten bis zum linken Minimum 1. Ordnung)? λ /d = sin α s/e; 2 s = 2 e λ / d = 1,83 mm. Zusätzliche Aufgaben - El.-magn. Schwingungen Geben Sie die analogen Größen und Gleichungen für elektrische und mechanische Schwingungen an. Der Spannung U beim elektrischen Schwingkreis entspricht die Auslenkung s beim Federpendel. Dem Strom I entspricht die Geschwindigkeit v (oder der Impuls p). Der maximalen elektrischen Feldenergie E el entspricht die maximale Spannenergie E Sp : E el = ½ CU² E Sp =1/2 Ds² Der maximalen magnetischen Feldenergie E mag entspricht die maximale kinetische Energie E kin : E mag = ½ LI² E kin = ½ mv² Wiederholen Sie die Herleitung der Thomson'schen Gleichung und stellen Sie eine analoge Gleichung für das Federpendel auf. Für ein Federpendel mit der Masse m und der Federkonstanten D folgt aus F = m a = m & s& und F = -Ds die Differentialgleichung m d 2 s/dt 2 + D s = 0 analog zu L d 2 I/dt 2 + I / C = 0. Mit dem Ansatz x = x 0 sin ωt analog zu I = I 0 sin ωt folgt ω = 2 π f = D m analog zu ω=2nf= 1 ( LC) Die Zeit-Strom-Funktion eines elektrischen Schwingkreises ist durch I (t) = 0,03 A sin (350πt/s) gegeben. Die Induktivität des Schwingkreises beträgt L = 0,5 H. Berechnen Sie die Schwingungsdauer T, die Eigenfrequenz f 0, die Kapazität C des Kondensators, den Effektivwert U G der Generatorspannung und die maximalen Energiewerte des elektrischen und magnetischen Feldes. Mit ω = 350 π/s = 2 π /T wird T = 1/175 s = 5,71 ms C = 1 / (ω 2 L) = T 2 / /4 π 2 L) = 1,65 µf U = X L I = ω L I =16,5 V; U G =16,5 V / 2 1/2 =11,7 V E m = ½ LI² =225 µj; E el = ½ CU 2 = 225 µj.
Leiten Sie die Thomson'sche Gleichung aus der Resonanzbedingung für den Serienschwingkreis her. Die Impedanz einer Reihenschaltung aus Widerstand, Spule und Kondensator Z = R² + ( ωl 1/ ωc)² wird minimal (Resonanz), wenn ω L = 1 /ω C. Daraus folgt ω = 1 / (LC) 1/2. Stellen Sie die Resonanzkurve eines Serienschwingkreises - Stromstärke I als Funktion der Frequenz f - grafisch dar. Es seien L = 0,44 H und C = 5 µf. Der ohmsche Widerstand habe den Wert R = 50 Ω und die angelegte Spannung sei U G = 24 V. Wie groß sind bei Resonanz die Spannungen an der Spule und am Kondensator? Aus der Impedanz Z = R² + ( ωl 1/ ωc)² folgt mit ω o = 2 π f 0 = 1 / (LC) 1/2 Mit I max = U/R = 24 V/50 Ω = 480 ma, f 0 = 107,3 Hz und L / (R 2 C) = 35,2 ergibt sich die dargestellte Resonanzkurve: Berechnen Sie die Induktivität L eines Schwingkreises, der mit 1,5 MHz schwingt; die Kapazität sei C = 50 pf. Wie viele Windungen müsste die Spule haben, wenn sie auf einen Stab (l = 4 cm, d = 6 mm) gewickelt wäre?
Erklären Sie, wie bei einer Dreipunktschaltung die Rückkopplung funktioniert. In der Rückkopplungsschaltung nach MEISSNER wird mit der Spannung U L auch die Spannung U ind in einer Sekundärspule induziert. Dort liegt sie in einem Kreis an der Basis-Emitter-Strecke des Transistors T, wo sie einen Basisstrom fließen lässt, der momentan phasenrichtig den Transistor öffnet. Die Aufgabe der Sekundärspule übernimmt in der Dreipunktschaltung der obere Teil der Schwingkreisspule. Denkt man sich mit gleicher Phase eine Spannung U L eingezeichnet, so liegt der obere Teil dieser Wechselspannung ebenfalls an der Basis-Emitter-Strecke des Transistors T 1 und öffnet ihn momentan. Man beachte dabei, dass die Batterie für die hochfrequente Wechselspannung einen Kurzschluss darstellt und an dem Wechselstromwiderstand des 250 pf-kondensators nur ein Teil der Spannung abfällt. Welche Analogie besteht zwischen den stehenden elektromagnetischen Wellen auf der Lecher-Leitung und den Eigenschwingungen einer Pfeife? Die Lecher-Leitung mit einem geschlossenen und einem offenen Ende ist analog zur gedeckten Pfeife. Am geschlossenen Ende der Lecher-Leitung wird mit dem Induktionsstrom ein Schwingungsbauch der magnetischen Feldstärke angeregt; die elektrische Feldstärke hat hier einen Knoten. Bei der Pfeife regt an der Schneide der Luftstrom einen Schwingungsbauch der Bewegung der Luftsäule an, der Luftdruck hat hier einen Schwingungsknoten. Am jeweils anderen Ende ist es umgekehrt: Dort hat die elektrische Feldstärke einen Schwingungsbauch ebenso wie der Luftdruck. Bei Fernseh- und UKW-Antennen werden Hertz'sche Dipole als Direktoren und Reflektoren verwendet. Wie lang muss ein Hertz'scher Dipol sein, der auf den UKW-Kanal 11 (f = 90,3 MHz) abgestimmt ist? Aus c = f λ erhält man λ/2 = c/(2 f) = 3 10 8 m/s / (2 90,3 MHz) = 1,66 m. Der abgestimmte Dipol ist ca. 1,50 m lang. - Lichtgeschwindigkeit In der Astronomie verwendet man die Strecken, die das Licht in bestimmten Zeiten zurücklegt, als Längenmaße. Berechnen Sie die Strecken Lichtsekunde", Lichtstunde" und Lichtjahr". Geben Sie in diesen Einheiten die Entfernungen von der Erde zur Sonne, zum Jupiter, zum Pluto und zum nächsten Fixstern (α Centauri: 40 10 12 km) an. 1 Ls = 300 000 km; 1 Lh = 1,08 10 9 km; 1 Lj = 9,46-10 12 km. Sonne: 8,5 Lichtminuten, Jupiter (mittl. Abstand 5,2023 AE): 43,2 Lichtminuten, Pluto (mittl. Abstand 78,9 AE): 10,9 Lichtstunden, α Centauri: 4,3 Lichtjahre.
- Interferenz am Spalt und Gitter Durch ihre feine Rillenstruktur bedingt lässt sich eine CD-ROM als Reflexionsgitter benutzen. Lässt man das rote Licht eines He-Ne-Lasers (632,8 nm) von einer solchen CD reflektieren, dann beobachtet man zwischen dem Hauptmaximum 0. und 1. Ordnung einen Winkel von 22. Wie groß ist der Abstand der Rillen? Wie groß ist der Abstand zwischen aufeinander folgenden Bits, wenn auf der CD zwischen r = 2,2 cm und r = 5,5 cm 600 Megabyte Daten gespeichert sind? g = λ /sin α = 632,8 nm / sin 22 = 1,689 µm. Gesamte Spurzahl: N = (5,5 cm - 2,2 cm) / g = 19 538. Gesamte Spurlänge: l = N 2 π r m = N 0,242 m = 4 726 m. s = l / 8 600 10 6 = 0,98 µm. Man findet für den Abstand von einem bis zum übernächsten hellen Interferenzstreifen im geometrischen Schatten eines Drahtes (Breite d = 1,5 mm) a = 3,2 mm. Der Abstand Draht- Schirm ist e = 4,12 m. Wie groß ist die Wellenlänge des Lichtes? Die beiden Ränder des Drahtes können als Lichtquellen angesehen werden mit dem Abstand eines Drahtdurchmessers. Daher wird wie beim Doppelspalt λ = d a 2 / (2 e), hier also λ = 5,825 10-7 m. Wie breit muss ein Einzelspalt mindestens sein, damit man das Minimum n-ter Ordnung (n = 1, 2... ) beobachten kann? Beschreiben Sie demnach die Vorgänge, die sich abspielen, wenn ein Spalt langsam ganz geschlossen wird. 1 sin α n = n λ / d ; d n λ. Schließt man den Spalt ganz, dann kann man schließlich nur noch das zentrale Maximum beobachten, das dann den ganzen Winkelbereich hinter dem Spalt einnimmt. Stellen Sie einen Spalt her und verkippen Sie die beiden Kanten etwas gegeneinander, sodass ein keilförmiger Spalt entsteht. Beobachten Sie durch diesen Spalt eine möglichst punktförmige Lichtquelle. Beschreiben und erklären Sie Ihre Beobachtungen. Man beobachtet ein keilförmiges Maximum 0. Ordnung und Beugungsstreifen, die an der breiten Kante enger stehen als an der Spitze d. Keils, da an der Spitze der Spalt enger ist. Stellen Sie einen Spalt her. Beobachten Sie durch diesen Spalt eine möglichst punktförmige Lichtquelle und drehen Sie den Spalt langsam um seine Achse. Beschreiben und erklären Sie Ihre Beobachtungen. Die Beugungsstreifen bilden einen Strahl", der senkrecht auf der Spaltrichtung steht und sich beim Drehen des Spaltes mitdreht.
Zeichnen Sie den Intensitätsverlauf I(α) / I 0 hinter einem Einfachspalt zwischen Hauptmaximum und drittem Nebenmaximum. Berechnen Sie I(α) / I O an den (ungefähren) Stellen der Maxima s / λ = ½ (2n+1) mit n = 1,2,3... Wie hängt der Wert I(α) / I 0 an den Maxima von n ab? Zu zeichnen ist f(x) = I(α) / I O = (sin π x / π x) 2 ; -4 x = s / λ < 4 Die Werte in den Maxima" nehmen mit 1 / (n + 1)² ab. - Dünnschichtinterferenz Newton'sche Ringe beobachtet man häufig auch bei der Projektion von glasgerahmten Diapositiven. Wie kommt diese Erscheinung zustande? Die Newton'schen Ringe entstehen, wenn sich das Diapositiv wellt und so mit dem Glas eine keilförmige Luftspalte bildet.