Übung zur Mikroökonomik I

Lehrstuhl für Volkswirtschaftslehre WS 2006/07 Prof. Dr. Ulrich Meyer Übung zur Mikroökonomik I (Verweise auf das Arbeitsbuch Meyer/Diekmann (M/D) beziehen sich auf die 5. Auflage 2000) Wirkung selektiver Steuern und Transfers 37. In einer Volkswirtschaft betragen (ohne staatliche Eingriffe) die Preise für Gut 2 (Alkohol) p 2 = 10,-- DM (je Liter), für Gut 1 (Warenkorb aller restlichen Güter) p 1 = 2,-- DM. Gehen Sie von einem repräsentativen Haushalt aus, für den die Nutzenfunktion 3 1 2 1 2 u= f( x, x ) = x x gilt. Das verfügbare Einkommen dieses Haushalts beläuft sich auf 480,-- DM. Der Finanzminister des Landes plant, zur Reduzierung der Staatsverschuldung eine Alkoholsteuer pro Einheit von 2,-- DM zu erheben. Nehmen Sie an, daß dadurch der Preis um die Besteuerung in vollem Umfang auf p2 = 12,-- DM steigt. Die Regierung ist nur dann bereit, auf die Erhöhung zu verzichten, wenn eine steueraufkommensneutrale Alternative angeboten wird. Berechnen Sie den Nutzen des Haushalts und seine Nachfrage nach den beiden Gütern vor und nach der Besteuerung, und überprüfen Sie, ob eine bessere Lösung gefunden werden kann! Benötigt werden die allgemeinen Nachfragefunktionen. Mit f 1 = x 2 3 und f 2 = 3x 1 x 2 2 : 2. GG: f 1 /f 2 = p 1 /p 2 x 2 /3x 1 = p 1 /p 2 x 2 = 3(p 1 /p 2 )x 1 in BR x 1 (p 1 + p 2 3(p 1 /p 2 )) = e 4p 1 x 1 = e x 1 = ¼ e/p 1 x 2 = ¾ e/p 2 Einsetzen der alten und neuen Werte ergibt: Für p 1 = 2, p 2 = 10, e = 480 x 1 = 60, x 2 = 36, u = 2.799.360 Für p 1 = 2, p 2 = 12, e = 480 x 1 = 60, x 2 = 30, u = 1.620.000 und ein Steueraufkommen T = 2x 2 = 60 pro Haushalt. Alternative: Pauschsteuer (oder Einkommensteuer) i. H. v. 60, somit ein verfügbares Einkommen i. H. v. e v = 420 Einsetzen der alten Preise und des neuen verfügbaren Einkommens ergibt: Für p 1 = 2, p 2 = 10, e = 420 x 1 = 52,5, x 2 = 31,75, u = 1.640.933,4 Es gibt eine steueraufkommensneutrale Alternative (nämlich die Pauschoder Einkommensteuer), die zu höherem Nutzen führt, da sie keine Verzerrungen in das Preissystem einführt. Kritische Anmerkung: Evtl. wünschenswerte Steuerungswirkung (Reduktion des Alkoholkonsums) geht verloren. 1

38. Ein Haushalt möge in einer Ausgangssituation (2-Güter-Fall), in der die Preise für beide Güter 1 betragen, den Konsumpunkt P wählen. Jetzt möge eine Preiserhöhung für Gut 1 auf p 1 = 2 eintreten. x 1 x 1 x 1 P Q P=R T { Preis T Eink { P S x 2 Q: Kein Ausgleich R: Preissubvention S: volle Kompensation durch Transferzahlung a) Stellen Sie den optimalen Konsumpunkt Q nach der Preiserhöhung graphisch dar! b) Der Staat möge zum Ausgleich der Preiserhöhung eine 50%ige Subventionierung von Gut 1 vornehmen (50% der Ausgaben für Gut 1 werden erstattet). Stellen Sie den optimalen Konsumpunkt R graphisch dar! c) Der Staat möge den Haushalt durch eine freie Transferzahlung (= Einkommenserhöhung) voll für die Preiserhöhung kompensieren. Stellen Sie den optimalen Konsumpunkt S graphisch dar! Anmerkung: Kompensation wird hier nutzenmäßig interpretiert. D. h., die Einkommenserhöhung führt dazu, daß der HH dasselbe Nutzenniveau wie vorher erreicht. Alternativ dazu könnte man Kompensation so begreifen, daß der alte Konsumpunkt P wieder realisiert werden könnte. Dies würde zu einer höheren Budgetgeraden durch den Punkt P führen. In Aufgabe d) würde das Ergebnis dann lauten, daß bei denselben Kosten für den Staat ein höherer Nutzen für den HH erreicht würde. d) Vergleichen Sie die Alternativen b) und c) miteinander! (Teilaufgabe Vordiplom SS 94) In beiden Situationen hat der Haushalt denselben Nutzen. Aber die Lösung mit Preissubventionierung kostet den Staat mehr als die Lösung mit Einkommenstransfer, T Preis > T Eink (In der Abbildung gemessen in Einheiten von x 1 ). Die Differenz zwischen beiden Lösungen rührt daher, daß Eingriffe in den Preismechanismus Verzerrungen erzeugen und die Entscheidungen der Wirtschaftssubjekte beeinflussen. Diese Differenz T Preis T Eink heißt Zusatzlast, Excess Burden oder Deadweight Loss. x 2 x 2 2

Diese Aufgabe könnte z. B. eine ökologische Steuerreform widerspiegeln. Durch eine Erhöhung der Energiekosten stellen sich die HH e schlechter. Dies könnte (z. B. für einkommensschwache HH e) mit einer Transferzahlung ausgeglichen werden. Der Steuerungseffekt der Ökosteuer bliebe erhalten (weniger Energieverbrauch), der sozial unerwünschte Effekt wäre ausgemerzt. Dualität von Nutzen- und Ausgabenfunktion 39. Was versteht man unter der indirekten Nutzenfunktion? Welches sind ihre unabhängigen Variablen, und was läßt sich allgemein über den Zusammenhang zwischen diesen Variablen und dem Nutzen sagen? Während die direkte Nutzenfunktion den Nutzen in Abhängigkeit von den Gütermengen angibt (u = f(x 1,x 2 )), gibt die indirekte Nutzenfunktion den Nutzen an, den ein Haushalt erreichen kann, wenn er bei gegebenen Preisen sein Einkommen optimal verwendet und entsprechend die Mengen x i = x i (p 1,p 2,e) konsumiert. Daher hängt der (maximale) Nutzen (indirekt) von den Preisen und dem Einkommen ab, was man durch Einsetzen von x i in die Nutzenfunktion ausdrücken kann: u = f(x 1 (p 1,p 2,e),x 2 (p 1,p 2,e)), oder kürzer u = V(p 1,p 2,e). Es gilt allgemein, daß der Nutzen positiv vom Einkommen und negativ von den Preisen abhängt, und daß die indirekte Nutzenfunktion nullhomogen in Preisen und Einkommen ist. Letzteres bedeutet, daß eine gleichmäßige Erhöhung von Preisen und Einkommen den Nutzen unverändert läßt. 40. Erläutern Sie das Ausgabenminimierungsproblem und stellen Sie seine Dualität zum Nutzenmaximierungsproblem dar! Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Nutzenmaximierung Ausgabenminimierung Input p 1, p 2 p 1, p 2 e u Output x 1 *, x 2 * x 1 c, x 2 c u* a Ein bedeutet: (Im Optimum) gleich! Graphisch: Nutzenmaximierung: Verschiebe die Indifferenzkurve solange nach außen, bis sie die Budgetgerade a tangiert. Ausgabenminimierung: Verschiebe die Budgetgerade solange nach unten, bis sie die Indifferenzkurve u* tangiert. 3

Im Ergebnis kommen dieselben Nutzenniveaus, Ausgabenhöhen und Konsummengen heraus. x 1 u* a x 1 *=x 1 c x 2 *=x 2 c x 2 41. a) Ergänzen Sie (verbal): Die indirekte Nutzenfunktion u = V(p 1,p 2,e) gibt an,...... wie hoch der (maximale) Nutzen eines optimierenden Haushalts bei gegebenen Preisen und gegebenem Einkommen ist. Die Ausgabenfunktion a = A(p 1,p 2,u) gibt an,...... wie hoch die (minimalen) Ausgaben eines optimierenden Haushalts bei gegebenen Preisen und gegebenem Nutzenniveau sind. b) Erläutern Sie, was man unter der Marshallschen (normalen, x i ) und unter der Hicksschen (kompensierten, x ic ) Nachfragefunktion versteht! Die Marshallsche Nachfragefunktion gibt die nutzenmaximalen Konsummengen bei gegebenen Preisen und gegebenem Einkommen an. Die Hickssche kompensierte Nachfragefunktion gibt die ausgabenminimalen Konsummengen bei gegebenen Preisen und gegebenem Nutzenniveau an. 4

c) p p p P p P x c x* x c x* S x E S x E x absolut inferior x nicht absolut inferior Deuten Sie den Verlauf der kompensierten Nachfragefunktion durch den Punkt P bei einem (nicht) absolut inferioren Gut x i in den obigen Abbildungen an! Geben Sie eine kurze Begründung! (Teilaufgabe Vordiplom SS 90) In der Hicksschen Nachfragefunktion ist nur der Substitutionseffekt enthalten (u = konst.), in der Marshallschen sind Substitutions- und Einkommenseffekt enthalten. Der Substitutionseffekt einer Erhöhung des eigenen Preises ist für alle Güter stets negativ (In Abb. Pfeil S nach links), d. h. die Hickssche Nachfragefunktion ist stets fallend. Der Einkommenseffekt einer Preiserhöhung ist für nicht absolut inferiore Güter negativ (in dieselbe Richtung wie der SE, Pfeil E nach links), für absolut inferiore Güter positiv (dem SE entgegengesetzt, Pfeil E nach rechts, im Giffen-Fall stärker als Substitutionseffekt, so daß Marshallsche Nachfragefunktion atypisch (d. h. steigend) verläuft). Daher ist für nicht absolut inferiore Güter die Hickssche Nachfragekurve steiler (unelastischer) als die Marshallsche. Für absolut inferiore Güter ist sie flacher. 42. a) Gegeben sei die Nutzenfunktion eines Haushalts u = f(x 1,x 2 ) = xx 1 2 Berechnen Sie daraus die allgemeinen Hicksschen Nachfragefunktionen! Informationen: Nutzenfunktion u = f(x 1,x 2 ) = p 1 x 1 +p 2 x 2 =e xx 1 2, Budgetgleichung Problem: Ausgabenminimierung unter nutzenmäßiger Nebenbedingung Min! a = p 1 x 1 + p 2 x 2 u. d. R. f(x 1,x 2 ) = u Ansatz: Lagrange-Funktion L = p 1 x 1 + p 2 x 2 + µ[u - f(x 1,x 2 )] 5

Bedingungen erster Ordnung für ein Optimum: (1) L x1 = p 1 - µf x1 = 0 p 1 = µf x1 (2) L x2 = p 2 - µf x2 = 0 p 2 = µf x2 (3) L µ = u - f(x 1,x 2 ) = 0 f(x 1,x 2 ) = u Umformungen: (1) / (2) f x1 /f x2 = p 1 /p 2. (Auch hier muß also das 2. GG gelten!) Einsetzen der Nutzenfunktion (die hier die Nebenbedingung darstellt.) x 2 /x 1 = p 1 /p 2. Einsetzen in (3) [x 1 2 p 1 /p 2 ] ½ = u Lösung: x 1 c = [p 2 /p 1 ] ½ u, x 2 c = [p 1 /p 2 ] ½ u. Hinweis: In Kurzform lassen sich die Hicksschen Nachfragefunktionen ermitteln durch Einsetzen des 2. GG in die Nutzenfunktion. b) Wie läßt sich aus den Hicksschen Nachfragefunktionen die Ausgabenfunktion ermitteln? (Teilaufgabe Vordiplom WS 93/94) Durch Einsetzen der Hicksschen Nachfragefunktionen in die Budgetrestriktion: a = A(p 1,p 2,u) = p 1 [p 2 /p 1 ] ½ u + p 2 [p 1 /p 2 ] ½ u = 2[p 1 p 2 ] ½ u. Beispiel für Dualität: p 1 = 16, p 2 = 25, u = 100 a = 4000 U-Max: p 1 = 16, p 2 = 25, e = 4000 2. GG: f x1 /f x2 = p 1 /p 2 x 2 /x 1 = p 1 /p 2. in BR: x 1 =e/2p 1 =125, x 2 =e/2p 2 =80 in U-Fkt.: u=100 Aggregation von Nachfragekurven 43. Gegeben seien für 2 Haushalte die Nachfragefunktionen p = 10 - (1/10)x (1), p = 5 - (1/15)x (2), worin x (1) und x (2) die nachgefragten Mengen von Haushalt 1 bzw. Haushalt 2 bedeuten. Bilden Sie zeichnerisch und rechnerisch hieraus die aggregierte Nachfragefunktion! (M/D, I, 96) Da nicht die Preise, sondern die Mengen addiert werden (!), muß zunächst nach den Mengen aufgelöst werden: x (1) = 100 10p x (2) = 75 15p 6

Bei der Aggregation von Nachfragefunktionen muß man beachten, daß man nur positive Nachfragemengen addieren darf. Für den Preis p = 8 z. B. ist die Nachfrage des Haushalts (1) x (1) = 20, die des Haushalts (2) wäre aber entsprechend obiger Nachfragefunktion negativ, x (2) = 45. Sie ist aber vielmehr Null. Erst für p < 5 wird sie positiv. Daher gilt oberhalb von p=5 die Nachfragefunktion (1), da bei diesen Preisen nur Haushalt (1) nachfragt. x = x (1) = 100 10p für p > 5 Unterhalb von p = 5 können die Funktionen addiert werden, da dort beide Funktionen positive Werte annehmen: x = x (1) + x (2) = 175 25p für p 5. p p p 10 5 Ergänzungen x 1 x 2 x 100 75 44. Der Ort Leupoldsgrün besteht aus 1000 Haushalten. Alle Haushalte weisen für ein Gut x dasselbe Nachfrageverhalten auf, und zwar gilt für jeden Haushalt i die () i 1 () i 2000 Nachfragefunktion p= 10 x + X, mit X = x 1000 i= 1. x (i) bezeichnet hierin die von Haushalt i nachgefragte Menge; X bezeichnet die insgesamt in diesem Ort nachgefragte Menge. a) Wie lautet für die alternativen Mengen X = 4000, X = 8000 und X = 12000 die Nachfragefunktion eines einzelnen Haushaltes i? Einsetzen von X in die Nachfragefunktion: p = 12 - x i ; p = 14 - x i ; p = 16 - x i b) Bilden Sie hierfür die kurzfristigen aggregierten Nachfragefunktionen! (M/D, I, 145) Umformen nach x i und Addieren: X = 12000-1000p ; X = 14000-1000p ; X = 16000-1000p p = 12 - X/1000 ; p = 14 - X/1000 ; p = 16 - X/1000 45. In der Situation von Aufgabe 44 gelte in der Ausgangslage p = 8. Schildern Sie unter Verwendung der bedingten Gesamtnachfragekurven die kurz- und die 7

langfristigen Effekte einer Preissenkung auf p = 4! Wie nennt man diese Effekte? (M/D, I, 148) Bei einem Preis von p = 8 fragt ein Haushalt die folgende Menge nach: 8 = 10 - x i + X/2000 x i = 2 + X/2000. In der Summe ist die Nachfrage dann X = 1000x i = 2000 + X/2 X/2 = 2000 X = 4000. (Langfristiges Gleichgewicht) Daher verhalten sich alle Haushalte entsprechend der kurzfristigen Nachfragefunktion p = 12 - x i. Ändert sich nun p auf p=4, so steigt der individuelle Konsum auf x i = 8 (Preiseffekt). In der Summe wird also nun X = 8000 nachgefragt. Sobald die Haushalte aber feststellen, daß insgesamt mehr nachgefragt wird, führt der Mitläufer- Effekt zu einer Verschiebung der individuellen Nachfragekurve auf p = 14 - x i ; womit also nun jeder x i = 10 nachfragt, die Summe also 10.000 beträgt. Dann verschiebt sich die Nachfragekurve aber abermals, auf p = 15 - x i. x i = 8 X = 8000 p = 14 - x i x i = 10 X = 10.000 p = 15- x i x i = 11 X = 11.000 p = 15,5 - x i x i = 11,5 X = 11.500 p = 15,75 - x i x i = 11,75 X = 11.750 p = 15,875 - x i x i = 11,875...... x i = 12 X = 12.000 p = 16 - x i x i = 12 Langfristiges Gleichgewicht. Preiseffekt = +4000 ME, Mitläufereffekt = +4000 ME 46. In Leupoldsgrün gibt es ein weiteres Gut (dessen Menge wir jetzt ebenfalls wieder mit x bezeichnen), für das alle Haushalte dieselbe Nachfragefunktion haben, () x i und zwar p= 13 1 1000 X. Bilden Sie die aggregierte Nachfragefunktion für X = 2000, 4000, 6000! Wie groß sind die einzelnen Effekte bei einer Reduzierung des Preises von 9,-- auf 5,-- DM? (M/D, I, 150) Snob-Effekt. 47. Nennen und erläutern Sie mögliche Verhaltensweisen bei Risiko und bei Unsicherheit! Siehe Schumann,Meyer,Ströbele (1999) S.100-102 48. a) Suchen Sie Beispiele für Güter (-gruppen), deren nutzenstiftende Wirkungen sich durch mehrere meßbare Eigenschaften der Güter beschreiben lassen! (M/D, I, 126) 8

b) Dem Haushalt Meyer stehen 3 wöchentlich erscheinende Zeitschriften zur Auswahl, die sich in Preis und durchschnittlicher Seitenzahl für Modefragen und Unterhaltung unterscheiden. Diese beiden Eigenschaften Z 1 und Z 2 sind die einzigen, für die Meyers sich interessieren. Ihre Nutzenfunktion lautet demnach u = f(z 1,Z 2 ). Es ist gegeben: Z 1 Z 2 Preis Zeitschrift 1 45 15 3,-- Zeitschrift 2 32 20 3,-- Zeitschrift 3 10 30 2,-- Meyers planen, im ganzen Jahr 60,-- DM für Zeitschriften auszugeben. Wieviel Exemplare können sie jeweils kaufen, wenn sie den ganzen Betrag für eine Zeitschrift ausgeben? Welchen Punkt im (Z 1,Z 2 )-Diagramm könnten sie dann jeweils erreichen? (M/D, I, 128) Nur Zeitschrift 1: Z 1 = 20*45 = 900, Z 2 = 20*15 = 300 Nur Zeitschrift 2: Z 1 = 20*32 = 640, Z 2 = 20*20 = 400 Nur Zeitschrift 3: Z 1 = 30*10 = 300, Z 2 = 30*30 = 900 c) Die Nutzenfunktion Meyers lautet u = f(z 1,Z 2 ) = Z 1 Z 2. Welche Gütereigenschaftskombination ist bei einem Konsumbetrag von 60,-- DM optimal? Wieviel Zeitschriftenexemplare welcher Zeitschriften werden Meyers kaufen? (M/D, I, 130) Aus Graphik ergibt sich, daß Optimalpunkt auf der Strecke von (900, 300) nach (300, 900) liegen muß, d. h. nur durch eine Kombination der Zeitschriften 1 und 3 erzielt werden kann. Die Steigung dieser Geraden (d. h. die Grenzrate der Transformation zwischen den beiden Eigenschaften) ist 1, und im Optimum muß die GRS dieser Steigung entsprechen. Dies ist aufgrund der Symmetrie der Nutzenfunktion dann der Fall, wenn beide Eigenschaften im selben Umfang vorliegen, also im Punkt (600, 600). Dieser Punkt ergibt sich als Linearkombination der Anzahl der beiden Zeitschriften 1 und 3: x 1 * 45 + x 3 * 10 = 600 x 1 * 15 + x 3 * 30 = 600 oder x 1 * 45 + x 3 * 10 = x 1 * 15 + x 3 * 30 => 30 x 1 = 20 x 3 oder x 3 = 1,5 x 1 Zusammen mit der Budgetrestriktion 3x 1 + 2x 3 = 60 ergibt dies 3x 1 + 3x 1 = 60 => x 1 = 10, x 2 = 15. d) Der Preis für Zeitschrift 2 sinkt auf 2,40 DM. Welches sind jetzt die realisierbaren Kombinationen und wo liegt nun das Optimum? (M/D, I, 131) 9

Durch die Preissenkung können nun 60/2,40 = 25 Ausgaben von Zeitschrift 2 gekauft werden, und dadurch kann eine Eigenschaftenkombination Z 1 = 25*32 = 800, Z 2 = 25*20 = 500 realisiert werden, die vorher nicht möglich war. Der Bereich der effizienten Kombinationen dehnt sich über den bisher möglichen Bereich aus, weshalb optimale Kombinationen nun entweder auf der Teilstrecke zwischen (900, 300) und (800, 500) oder zwischen (800, 500) und (300, 900) liegen müssen. Die Lösung muß durch Probieren gefunden werden. Probierlösung 1: Kombination von x 1 und x 2. Existiert ein Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und Restriktion auf der Teilstrecke zwischen (900, 300) und (800, 500)? Die Steigung der Indifferenzkurve muß (800-900)/(500-300) = ½ sein. Sie ist gegeben durch f 2 /f 1 = Z 1 /Z 2. Daher muß Z 1 = ½ Z 2 sein. Setzt man für die Z i ein, daß sie Kombinationen der Zeitschriften 1 und 2 sind, 45x 1 + 32x 2 = ½ (15x 1 + 20x 2 ) 37,5x 1 = 22x 2, so ergibt sich, daß eine Nachfragemenge negativ sein müßte. Diese Probierlösung muß also falsch sein. Probierlösung 2: Kombination von x 2 und x 3. Existiert ein Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und Restriktion auf der Teilstrecke zwischen (800, 500) und (300, 900)? Die Steigung der Indifferenzkurve muß (300-800)/(900-500) = 5/4 sein. Daher muß Z 1 = 5/4 Z 2 sein. Mit 32x 2 + 10x 3 = 5/4(20x 2 + 30x 3 ) 7x 2 = 55/2x 3 x 2 = 55/14x 3 und der Budgetrestriktion 2,4x 2 + 2x 3 = 60 ergibt sich 2,4*55/14x 3 + 2x 3 = 60 x 3 = 6*7/8 x 3 = 5¼ x 2 = 20 5/8 Die optimale Kombination liegt folglich bei einer Kombination aus den Zeitschriften 2 und 3. 49. Kommilitone Müller will für Kino- und Theaterbesuche nicht mehr als 100,-- DM und 27 Stunden Zeit pro Semester aufwenden. Zu beiden Veranstaltungen fährt er mit seinem Auto, wofür er 0,20 DM je km veranschlagt. Da er im Kino stets Bekannte trifft, dauert ein Kinobesuch erfahrungsgemäß viel länger als ein Theaterbesuch. Im einzelnen gibt folgende Tabelle Auskunft über die Erfordernisse der beiden Aktivitäten: Zeitbedarf Kinokarte Theaterkarte Fahrtweg In Stunden Menge Preis Menge Preis km DM/km Kino 4,5 1 0 5 9,-- 18,-- 0,20 Theater 3 0 1 10 a) In diesem Beispiel gibt es Verbrauchsleistungen, und neben der Konsumzeit sind 3 "Güter" insgesamt zur Erreichung dieser Verbrauchsleistungen er- 10

forderlich. Welches sind die Verbrauchsleistungen, welches die Güter? (M/D, I, 133) b) Berechnen Sie aus den Preisen für die Kinokarte, die Theaterkarte und den Fahrtweg die Preise (Kosten) p 1 und p 2 für jeweils einen Kino- bzw. Theaterbesuch! (M/D, I, 135) c) Wie lauten die Gleichungen für die Einkommens- und Konsumzeitrestriktion? Tragen Sie beide Geraden in ein Diagramm ein. Schraffieren Sie den Bereich möglicher Kino-/Theaterbesuchskombinationen! (M/D, I, 136) Welche ist optimal für u = x 1 x 2? d) Für Studenten wird der Preis für Theaterkarten auf 10,50 DM ermäßigt. Welche Kombination ist jetzt für Student Müller optimal? (M/D, I, 138) e) Nach Ablegung der Zwischenprüfung kann der Student Müller statt 27 jetzt 36 Stunden pro Semester für Kino- und Theaterbesuche aufbringen. Welche Kombination ist jetzt optimal? (p 2 = 18)(M/D, I, 139) Intertemporale Nachfragegleichgewichte 50. Ein Arbeitnehmer erwartet für das Jahr 1996 ein Einkommen von 30.000 DM. Für das Jahr 1997 rechnet er mit einem Jahreseinkommen von 21.000 DM. Seine intertemporale Nutzenfunktion lautet: u t = c t c t+1. a) Für Spareinlagen kann er eine Verzinsung von 5% realisieren; für einen Kredit werden ebenfalls 5% berechnet. Wie sieht das intertemporale Gleichgewicht für 1996 und 1997 aus? Ausführliche Lösung (für Kurzform springe zu Umformungen ): Informationen: Nutzenfunktion u t = c t c t+1, Einkommen e t = 30.000, e t+1 = 21.000, Zinssatz i = 5%. Problem: Max. u t = c t c t+1 u. d. R. c t + (1/1+i)c t+1 = e t + (1/1+i) e t+1 Im folgenden definiere ich e = e t + (1/1+i) e t+1 (= 50.000). e ist der Barwert zukünftiger Einkommen, welcher zum Zeitpunkt t bekannt und unveränderlich ist. Analog könnte man mit Kapitalwerten (aufdiskontiert auf Periode t+1) argumentieren, indem man die Budgetrestriktion mit (1+i) durchmultipliziert. Ansatz: Lagrange-Ansatz L = c t c t+1 + λ[e - c t - (1/1+i)c t+1 ] Optimalbedingungen erster Ordnung: (1) L ct = c t+1 - λ = 0 c t+1 = λ (2) L ct+1 = c t - λ(1/1+i) = 0 c t = λ(1/1+i) (3) L λ = e - c t - (1/1+i)c t+1 = 0 c t + (1/1+i)c t+1 = e Umformungen: (1) / (2) führt zum zeitlichen 2. Gossenschen Gesetz c t+1 /c t = 1 + i; Einsetzen in die Budgetrestriktion (3) c t = e/2, c t+1 = (1+i)e/2 Numerische Lösung: c t = 25.000, c t+1 = 26.250 11

b) Wie würde die Entscheidung von einem Anstieg des Sparzinses auf 20% beeinflußt? (M/D, I, 178) e = 47.500 c t = ½ [30.000 + 5/6 21.000] = 23.750 (um 1250 verringert) c t+1 = 28500 (um 2250 erhöht). Normales Sparverhalten Hinweis: Aussagen über das Vorzeichen der Verhaltensänderung könnte man durch Ableitung der Nachfragefunktionen erzielen: c t = ½ [e t + (1/1+i) e t+1 ] dc t /di = -½ e t+1 (1/(1+i) 2 ) < 0. c t+1 = ½ (1+i) [e t + (1/1+i) e t+1 ] = ½ [(1+i) e t + e t+1 ] dc t+1 /di = ½ e t > 0 s t = e t - c t = e t - ½ [e t + (1/1+i) e t+1 ] = ½ e t - ½ (1/1+i)e t+1 ds t /di = - dc t /di 51. Drei Haushalte verfügen in den Perioden 1 und 2 über jeweils 10.000 DM Einkommen. Bei einem Zinssatz von 5% realisieren die Haushalte folgende Sparquoten: (1) 15% (2) 5% (3) 0% Infolge eines Zinsanstiegs auf 40% kommt es zu einer Veränderung der Sparquoten: (1) 12% (2) 10% (3) -2% Erläutern Sie dies unter Zuhilfenahme einer Graphik, und verwenden Sie dabei die Begriffe normales Sparverhalten, anomales Sparverhalten und irrationales Verhalten! c 2 e 2 BR 2 Menge aller Konsumentscheidungen, die sowohl bei BR 1 als auch bei BR 2 möglich sind HH 1 HH2 e 2 HH 3 BR 1 e 1 c 1, e 1 12

HH 1 senkt nach Erhöhung des Zinssatzes seine Sparquote. Dies ist anomal, denn bei höherem Zinssatz lohnt sich das Sparen mehr. Es gibt jedoch eine rationale Erklärung hierfür: Der Einkommenseffekt muß stärker sein als der Substitutionseffekt (Giffen-Effekt). HH 2 erhöht seine Sparquote mit dem Zinssatz. Dies bezeichnen wir als normales Rationalverhalten. HH 3 verhält sich irrational. Betrachtet man seine beiden Konsumpunkte, so fällt auf, daß er beide Punkte sowohl vor als auch nach Zinserhöhung hätte realisieren können. Wieso zieht er in der einen Situation den einen Punkt, in der anderen Situation den anderen vor? Es gibt keine Nutzenfunktion mit abnehmender GRS, die dies erklären könnte. (Man versuche zwei Indifferenzkurven zu zeichnen, die in den jeweiligen Punkten die jeweils gültige Budgetgerade tangieren. Geht das, ohne daß sich die Indifferenzkurven kreuzen?) Eine formale Argumentation: Wir bezeichnen den gewählten Punkt vor Zinserhöhung mit A, den nach Zinserhöhung mit B. Betrachten Sie nun in der Graphik die Situation vor Zinserhöhung. Der Haushalt hat (u. a.) die Wahl zwischen A und B. Zudem gibt es einen Punkt C, der in beiden Perioden einen höheren Konsum verspricht als B. Somit gilt C > B (> steht für ist besser als ). Da der Haushalt Punkt A wählt, muß für ihn gelten, daß A C ist ( steht für ist mindestens so gut wie ). Daraus folgt (wenn wir Transitivität der Präferenzen voraussetzen), daß A C > B, somit A > B gilt. Nach Zinserhöhung kann der Haushalt immer noch zwischen A und B wählen. Er wählt B. Daher muß gelten B A. Da dies A > B widerspricht, handelt der Haushalt irrational. 52. a) u = f(c 1,c 2 ) sei die intertemporale Nutzenfunktion eines Haushalts. Was versteht man unter der intertemporalen Grenzrate der Substitution (GRS int ) und unter der Zeitpräferenzrate (ZPR)? GRS int = dc t+1 /dc t, ZPR=GRS int 1 b) Die nebenstehende Abbildung bringt die intertemporalen Präferenzen eines Haushaltes in bezug auf Konsum in der Gegenwart (c 1 ) und in der Zukunft (c 2 ) zum Ausdruck. Ergänzen Sie: Der Haushalt hat Gegenwartsvorliebe Zukunftsvorliebe, denn: Es gibt zwei äquivalente Definitionen von Gegenwarts-/Zukunftspräferenz Definition 1: Sei i = 0. Dann hat ein Haushalt 13

Gegenwartspräferenz c t > c t+1 Zukunftspräferenz c t < c t+1 Definition 2: Sei c t = c t+1. Dann hat der Haushalt Gegenwartspräferenz ZPR > 0 (d. h. GRS int > 1) Zukunftspräferenz ZPR < 0 (d. h. GRS int < 1) Die ZPR im Punkt c t = c t+1 wird in der Literatur auch als reine Zeitpräferenzrate bezeichnet. In diesem Fall hat der Haushalt Gegenwartsvorliebe. Wenn der Zinssatz Null wäre (Steigung der BR = 1), dann würden sich die Budgetrestriktionen so ergeben wie eingezeichnet. Die Optimalpunkte zeigen dann, daß der Haushalt in Periode 1 mehr konsumieren würde als in Periode 2. Folglich hat er eine Präferenz dafür, in der Gegenwart zu konsumieren. c) Die Ökonomie befinde sich im Gleichgewicht. Was können Sie über die Zeitpräferenzraten der Haushalte aussagen? (Begründung!) Sie ist gleich dem Marktzinssatz. Wäre sie größer, würde der HH weniger sparen bzw. mehr Kredite aufnehmen, was aufgrund der abnehmenden GRS zu einer Abnahme der ZPR führen würde. Wäre sie kleiner, so würde der HH dem Markt Ersparnisse zur Verfügung stellen, solange bis sein Konsumverzicht heute seine GRS genügend hat ansteigen lassen. (Teilaufgabe Vordiplom SS 1989) Das Arbeitsangebot des Haushalts 53. a) Entwickeln Sie aus der zeitlichen Bilanzgleichung "a + f = 16" (Arbeitszeit + Freizeit = 16 Stunden) die Bilanzgleichung, die die Wahlmöglichkeiten des Haushalts zwischen Einkommen (e) und Freizeit (f) beschreibt! Freizeit ist in der obigen Bilanzgleichung schon enthalten. Das Einkommen kommt über die Arbeitszeit hinein. Es ist e = la, also a = e/l. Setzt man dies ein, ergibt sich e/l + f = 16, oder, nach Durchmultiplizieren mit l, e + fl = 16l. Dies läßt sich so interpretieren, daß e das erzielte Einkommen ist, 16l das maximal mögliche Einkommen und fl das Einkommen, auf das zugunsten der Freizeit verzichtet wird. b) Leiten Sie geometrisch und analytisch für das optimale Arbeitsangebot eine Beziehung zwischen dem partiellen Grenznutzen von u = F(e,f) und dem Lohnsatz l her! Geben Sie eine verbale Formulierung dieses "2. Gossenschen Gesetzes"! (M/D, I, 166 und 167) Geometrisch: Indifferenzkurven-Diagramm Analytisch: Lagrange-Ansatz 14

Verbal: Es ist l der Preis der Freizeit (die Opportunitätskosten) und daher F f /l der Grenznutzen des Geldes im Freizeitkonsum. F e ist der Grenznutzen des Geldes (beim Einkommenskonsum ). Im Optimum müssen diese beiden Grenznutzen gleich sein, F f /l = F e. 54. Die Arbeitsangebotsfunktion eines Haushalts habe die nebenstehend angedeutete Form. a) Teilen Sie die Kurve ein in Bereiche typischen bzw. atypischen Verlaufs des Arbeitsangebots! l D B C A Arbeitsangebot Typisch: mit steigendem Lohnsatz nimmt das Angebot zu (zw. B und C). Atypisch: mit steigendem Lohnsatz nimmt das Angebot ab (zw. A und B und zw. C und D) b) Gibt es Entsprechungen zwischen atypischem Verlauf des Arbeitsangebots und atypischem Verlauf einer Nachfragefunktion (Giffen-Fall)? (M/D, I,173) Dies ist genau analog zum Giffen-Fall. Bei geringem Lohnsatz führt ein weiteres Absinken zu einem starken Einkommenseffekt (d. h., es gibt dann die Notwendigkeit, mehr zu arbeiten), bei sehr hohem Lohnsatz führt ein weiterer Anstieg ebenfalls zu einem starken Einkommenseffekt (d. h., man kann es sich leisten, weniger zu arbeiten). 15