Generalthema: Ausgewählte Fragen der Fremdfinanzierung

Institut für Geld- und Kapitalverkehr der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Seminar zur Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre und Bankbetriebslehre Wintersemester 1999/000 Zuständiger Mitarbeiter: Dipl.-Kfm. Dirk Niedereichholz Generalthema: Ausgewählte Fragen der Fremdfinanzierung Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios Gliederung A. Einführung Philipp Baumgart (15 min.) I. Was ist der Value at Risk? II. Wieso soll der Value at Risk ermittelt werden? III. Statistische Grundlagen 1. Grundbegriffe. Kovarianz und Korrelationskoeffizient 3. Normalverteilung und asymmetrische Verteilung 4. Perzentil einer Verteilung B. Risikomanagement für Kreditportfolios Min Luo (5 min.) I. Abgrenzung von Markt- und Kreditrisiken II. Bedeutung des Kreditrisikomanagements III. Traditionelle Steuerungsmechanismen C. Ermittlung des Value at Risk I. Grundlagen Philipp Baumgart (15 min.) II. Besonderheiten bei der Renditeverteilung von Kreditportfolios III. Modelle zur Ermittlung des Value at Risk bei Kreditportfolios Min Luo (15 min.) 1. Varianz-Kovarianz-Methode. Historische Simulation 3. Monte-Carlo-Simulation 4. Vergleich D. Credit Metrics von J. P. Morgan Prof. Dr. Hartmut Schmidt I. Credit Metrics als Modell zur Ermittlung des VaR 1. Ermittlung der Marktwertverteilung einer Forderung. Ermittlung der Marktwertverteilung eines Portfolios 3. Ermittlung der Verlustwerte 4. Ermittlung des VaR II. Sonstige Analyseziele von Credit Metrics

Was ist der Value-at-Risk? Definition: Der Value-at-Risk mißt den in Währungseinheiten bewerteten Verlust, der während eines bestimmten Zeitraums mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird.

Wieso soll der Value-at-Risk ermittelt werden? vorher: Geldgeschäft derzeit: Geschäft mit dem Risiko Bestandhaltungs- und Transaktionsleistungen Marktrisiken Kreditrisiken Risikomanagement ist zur Kernkompetenz geworden.

Spezielles Risikomanagement identifiziert, mißt bewertet, steuert und kontrolliert versicherbare Risiken. Risiko bezeichnet die Gefahr einer negativen Abweichung des tatsächlichen vom erwarteten Wert eines Ereignisses.

Forderungen nach dem Value-at-Risk extern Bankenaufsicht: Eigenkapitalunterlegung bei Kreditvergabe, dient dem Gläubigerschutz (Insolvenzvorbeugung). intern Risikomanagement: Bereitstellung von economic capital (= VaR) zum Schutz vor externen Verlusten. Baseler Ausschuß für Bankenaufsicht (int.): Einheitliche internationale Lösung zur Wahrung der Wettbewerbsgleichheit.

Statistische Grundlagen: Zufallsvariabel X: ω Χ( ω ), ω Ω Verteilung von X: P (x) = P (xεb) Diskrete Verteilungen mit einer endlichen Trägermenge Stetige (kontinuierliche) Verteilungen mit der Dichtefunktion f (x). f (x) dx = 1 empirische Erwartungswert Varianz E (x) = 1/N x n Var (x) = [x-e (x) ] f (x) dx

Kovarianz Y...... x, y......... X Die mittlere Abweichung der einzelnen Wertepaare xi, yi vom Mittelpunkt x, y bezeichnet die Kovarianz: cov x,y = 1/N (x i y i xy)

Zusammenhang der Variablen cov x,y = positiv cov x,y = negativ cov X,Y = 0 Y y y............ x x x Kovarianz ist ein relatives Maß des Zusammenhangs. Korrelationskoeffizient Grad der Abweichung r = cov (x,y) /s x s y -1 r 1-1: perfekt negativ korreliert 0: keine Korrelation 1: perfekt positiv korreliert

Verteilungen Normal asymmetrisch f (x) f (x) N(µ, σ ) negative Schiefe longer left tail µ = 0 x µ = 0 x µ = E (x) und σ = Var (x) Standardisierung: Χ µ σ

Perzentil einer N (0,1) f(x) -,58 µ = 0,58 x Fx(a) = P(- <x a) F x (x) = P(- <x F x -1 (p) ) = p

Kreditrisiken: Risiken sind die Gefahr einer negativen Abweichung von dem erwarteten Wert eines Ereignisses. Die Kreditrisiken beziehen sich auf die Gefahr der Wertverluste der Kreditgeschäfte. Die Risiken können wegen der Verschlechterung der Bonität des Kreditnehmers und der Wirtschaftskondition, oder wegen der falschen Festsetzung der Risikoprämie, sowie wegen der falschen Bestimmung der Kreditdauer entstehen. I. Abgrenzung von Markt- und Kreditrisiken: 1. Bei gegebener Ratingklasse sind Werte eines Kreditportfolios nicht normal verteilt. < -,81 -,81 0 >,81,81 99% Konfidenzintervall VaR 0,995

- Im Kreditgeschäft wird das Risiko vornehmlich Down-Side -Risiko sein. Folgende Kennzahlen sind für die Beschreibung der Verteilung notwendig: Schiefe: α = n k= 1 [( µ ) / δ ] w k R 3 w k : Eintrittswahrscheinlichkeit (3 < α < -3) α = 0 => symmetrische Normalverteilung α < 0 => Schiefe nach rechts ( vorwiegend Down-Side-Risk mit R < µ α > 0 => Schiefe nach links Die Schiefe zeigt die asymmetrische Verteilung aller Zufallsvariablen. Kurtosis : β n = w k= 1 k [( R µ ) / δ ] 4 3

Die Kurtosis ist eine Meßzahl für die Wölbung der Verteilung aller Zufallsvariablen. β = 0 β > 0 β < 0 => Normalverteilung => Die Zufallsvariablen konzentrieren sich (kleinere Kreditrisiken) => Die Zufallsvariablen zerstreuen sich (größere Kreditrisiken) - Die Ermittlung des VaR erfolgt nur durch das Perzentil-Verfahren.. Identifikation der Kreditrisiken: Ausfallrisiken bedeuten hundertprozentigen Wertverlust eines Kredites. Die Ausfallrisiken einzelner Kredite führen zum Wertverlust eines Kreditportfolios. Die Wertveränderung kann durch die Verteilung ausgedrückt werden Bonitätsrisiken entstehen durch die Veränderung der Rating-Klasse eines Kreditnehmers. Im Gegensatz zu den Marktrisiken implizieren die Bonitätsrisiken eines Kreditportfolios, daß die Veränderung der Kreditfaktoren (µ, δ) nicht antizipierbar sind.

3. Die Kreditrisiken sind zu schwer kontrollieren - Genauso wie die Marktrisiken bestehen die Kreditrisiken aus systematischen Risiken und unsystematischen Risiken, wobei die unsystematischen Risiken diversifizierbar sind. - Im Gegensatz zu den Marktrisiken werden die unsystematischen Kreditrisiken durch die Ratingklasse (µ, δ - Prinzip) ausgedrückt. Die systematischen Risiken sind aufgrund der Nicht-Normalverteilung schwer zu ermitteln. ( z.b. die Kombination von zwei Anleihen mit jeweils mit AA und BBB Klasse)

Abgrenzung von Markt- und Kreditrisiken Marktrisiken: VaR ist ein geeignetes Mittel, um die Marktrisiken eines Portfolios zu R µ N = δ messen. (, 1) Ausfallswahrscheinlichkeit Die Veränderung der Marktrisiken unterliegt der Random Walk Hypothese mit K t +1 = Kt + et. e t bezieht sich auf die Wertveränderung und ist von den Werten der Vergangenheit unabhängig. Sie kann durch die Normalverteilung interpretiert werden. Die Entwicklung von Wertpapierkursen, Wechselkursen oder Zinssätzen kann sich in zwei Richtungen bewegen. Es entstehen dadurch sowohl Down- Side -Risiko als auch Up-Side -Risiko. VaR 0,9775 = - - -1 0 1 95,45% Die standardisierte Normalverteilung mit µ = 0und δ = 1

II. Bedeutung des Kreditrisikomanagements 1. Kreditgeschäft ist eine der Hauptertragsquellen der Bank. - eine wichtige Ertragsquelle im kommerziellen Bankgeschäft - Hauptfinanzierungsquelle für die klein- und mittelständigen Betriebe.. Die Komplexität des Managements für Kreditportfolios - Erkennung der Bonität des Kreditnehmers ( Unternehmensstruktur, Eigenkapitalausstattung, Qualität des Managements, Umsatz- und Gewinnentwicklung, Marktprospekt für die Produkte, aktuelle Wirtschaftskondition ) - Festlegung der Ausfallwahrscheinlichkeitsfunktion des Kredites, Festlegung der Risikoprämie, der Kreditsumme und der Kreditdauer (Fristentransformation, Inflationsgefahr). - Die Zusammensetzung des Kreditportfolios, um die Kreditrisiken zu minimieren.

- ZielKonflikte zwischen dem Gewinnmaximierungsprinzip und der Einhaltung der KWG-Regelung - Die Großkrediteinzelobergrenze begrenzt die insgesamt an einen Kreditnehmer vergebenden Kredite auf 5% des haftenden Eigenkapitals - Die Gesamtgroßkreditobergrenze darf das achtfache der Eigenmittel nicht überschreiten.

III. Traditionelle Steuerungsmechanismen 1. Der Risikohorizont in Krümmels Modell der Einzelkreditentscheidung A. Das freie Eigenkapital bestimmt das maximale Einzelkreditangebot. B. Beim maximalen Einzelkreditangebot ist eine Ausfallwahrscheinlichkeit von annähernd Null gerade akzeptabel, bei kleineren Krediten auch höhere Ausfallwahrscheinlichkeiten. C.Wird eine bestimmte maximale Ausfallwahrscheinlichkeit überschritten, führt das stets dazu, daß die Bank dem Kreditnehmer kein Kredit einräumt, auch dann nicht, wenn nach einem kleineren Kredit gefragt wird.

D.In den durch die Thesen 1 bis 3 abgesteckten Grenzen geht eine höhere Ausfallwahrscheinlichkeit auch mit einer höheren vereinbarten Verzinsung einher. Kommentar: - Grundlegende Gedanke für VaR und die Einführung der Risikoprämie - Die Portfoliotheorie auf die Einzelkreditentscheidung anzuwenden ist nicht möglich. Deswegen haben die traditionellen Ansätze in der Praxis noch große Bedeutung. - Die Risikopräferenz der Bank kommt besser zum Ausdruck. - Differenzierung einzelner Kreditnehmer nicht durch die standardisierte Rating-Klasse, sondern durch einzelne Überprüfung - Zeit- und arbeitsintensiv für die Verwaltung von großer Menge Kreditgeschäfte Fazit: VaR-Konzept für Kreditportfolios und die Einzelkreditentscheidungen können sich gut ergänzen.

Ermittlung des Value-at-Risk Konfidenzniveau α Risiko Chance α E = erwartete Rendite VAR(α) = α-quantil der Verlustverteilung

III. Modelle zur ermittlung des VaR bei Kreditportfolios - Wie drückt sich die Rating-Klasse einer Anleihe in der Verteilung aus? (z.b. eine BBB-Anleihe)? - Die Verteilung eines Kreditportfolios mit Rating-Klasse BBB AAA AA A BBB BB B CCC Zahlungs unfähig Wahrscheinlich 0,0 0,33 5,95 86,93 5,30 1,17 0,1 0,18 keit in % (a) Portfoliowert(b) 109,37 109,19 108,66 107,55 10, 98,10 83,64 51,13 Der Erwartungswert: (Summe a b) = 107,09 Varianz = 8,9477

93,7% 6,77% 0,3% 1,47% 99,98% 83,64 98,10 10, 107,09 107,55 109,19 - akkumulierte Wahrscheinlichkeit - zeigt die Verteilungswahrscheinlichkeit der Wertveränderung (Wahrscheinlichkeit einer Ratingveränderung in einem Jahr für BBB) - Verteilung anderer Ratingklasse mit anderen Kreditfaktoren (µ, σ)

- Ermittlung der Kreditfaktoren (µ, σ) der (annahmegemäß) multivariablen Normalverteilung A. Es wird ein fiktiver Gesamtkreditportfolio angenommen, das aus allen historischen Daten (µ, σ) ti des Kreditportfolios besteht. B. Wenn sich dabei um die normalen Marktrisiken handelt, werden die folgende Formel verwendet δ µ p = = = n i= 1 j= 1 n n n xi δ i + i= 1 i= 1 j i n n p x i i = 1 x µ i i x j ρ ij δ i δ j x i x j ρ ij δ i δ j Da die Werte des Kreditportfolios nicht normal verteilt sind, wird die Ermittlung der Kreditfaktoren (µ p, σ p ) für den gesamten Kreditportfolio etwas kompliziert.

Beispiel: zwei Kreditportfolios (µ, σ) t-, (µ, σ) t-1 mit folgender Werverteilungswahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit 60% 40% Portfoliowert 10 80 (µ, σ) t- => µ= 0,4 80 + 0,6 100=9, σ = (10-9) 0,6+(80-9) 0,4=58 1 Wahrscheinlichkeit 0% 80% Portfoliowert 10 80 (µ, σ) t-1 => µ=0, 10+0,8 80=88, σ = (10-88) 0,+(80-88) 0,8)=56 Zusammensetzung: Gesamtkreditportfolio jeweils 50% µ p = 88 0,5+9 0,5=90 COV(1,)=[(10-9)(10-88)+(10-9)(80-88)+(80-9)(10-88)+(80-9)(80-88)]/=800 σ p =[0,5(58+56)+*0,5*800] 1/ =4,41 Garch-Methode: unterschiedliche Gewichtung der Kreditfaktoren (µ, σ) t-, (µ, σ) t-1

- Ermittlung der Wertveränderung eines Kreditportfolios A. Um den VaR zu ermitteln, muß die Verteilung der Wertveränderung eines Kreditportfolios untersucht werden -> (µ t, δ t ) B. Die Wertveränderungen eines Marktportfolios unterliegen eines stochaistischen Prozesses und kann z.b. durch den Wiener Prozeß erklärt werden: (I: Jahreszinssatz) x = a t + b µ t = I t δ t =δ t t 1/ Daraus folgt, daß die Verteilung der Wertveränderungen eines Kreditportfolios wie folgendes beschreiben werden kann µ t = 0 δ t =δ t t 1/ Beispiel: µ p = 90, σ p =4,41, t = 0,01 Jahr = 3,65 Tage, µ t = 0, δ t =4,41 0,01 1/ =,441 µ t+ t, = 0, δ t+ t =4,41 1,01 1/ = 4,53 t

1. Varianz-Kovarianz-Methode A. Ermittlungsverfahren des Varianz-Kovarianz-Ansatzes 1. Das Portfolio bzw. seine einzelnen Instrumente werden in gewisse standardisierte Risikopositionen umgerechnet.. Aus historischen Daten werden die Parameter der (annahmegemäß) multivariablen Normalverteilung der Marktfaktoren geschätzt. 3. Mit den Standardabweichungen und Korrelationen der Marktfaktoren werden die Standardabweichungen und Korrelationen der Wertveränderungen der standardisierten Risikopositionen berechnet. 4. Mit den gängigen Formeln wird die Standardabweichung des Portfolios berechnet, die bei dem gegebenem Konfidenzniveau den VaR kennzeichnet.

Historische Simulation: A. Das Ermittlungsverfahren der Historischen Simulation: 1. Der Wert eines Kreditportfolios in einer bestimmten Haltedauer wird als Funktion der Werte der Marktfaktoren ausgedrückt. - (µ t, δ t ) ist bekannt. Aus allen Marktdaten in dem letzten Betrachtungszeitraum (mit bestimmten Tagen) werden die Veränderungen der Werte der Marktfaktoren ermittelt. - Ermittlung von (µ t, δ t ) 3. Durch Anwendung der historischen relativen Veränderungen (µ t, δ t ) ergeben sich eine Anzahl von möglichen Werten innerhalb des Betrachtungszeitraums für die Marktfaktoren am Folgetag. Ermittlung von (µ t+ t, δ t+ t ) 4. Diese werden auf das zu bewertende heutige Kreditportfolio angewendet, für das somit die bestimmte Anzahl innerhalb des Betrachtungszeitraums von Werten des Kreditportfolios für den nächsten Tag berechnet werden.

5. Subtrahieren wir von diesen Werten den heutigen Wert des Kreditportfolios, so erhalten wir eine bestimmte Anzahl von Gewinn- oder Verlustwerten. Die Werte werden nach der Größe eingeordnet. 6. Sofern davon nach dem VaR-Prinzip ein Wert negativ ist, wird sein Absolutbetrag als VaR genommen. Andersfalls ist der VaR gleich Null. Interpretation der Historischen Simulation durch ein Beispiel. - Ausgangslage: VaR 0,95 (max. Wertverlust mit Konfidenzintervall von 95% ) Haltedauer: 3,65 Tag, (Marktfaktoren (µ t, δ t ) für jede 3,65 Tag bekannt und konstant) Betrachtungszeitraum: letzte 365 Tage (100 Untersuchungsproben) (3,65) 1 : Wert des Kreditportfolios R 1 = 5,5 Mio. DM (stoch. Probe) mit µ 1 = 6 Mio. DM, δ 1 = 0,30 (gegeben) (3,65): Wert des Kreditportfolios R = 4 Mio. DM ( stoch. Probe) mit µ = 5 Mio. DM, δ = 0,5 (gegeben)..

3. Die Veränderung der Marktfaktoren unterliegt einer Normalverteilung. Die Ermittlung der (µ t, δ t ) kann durch ein bestimmtes Modell z.b. den Wiener Prozeß ermittelt werden. δ t 5 6 µ t = = 0,04 5 1 = δ1 t = 0,3 0,01 = Standardisierung der Stichprobe aus dem ersten 3,65 Tagen Daraus folgt, 0,03 R µ 1 5,5 6 N( 1, 1) = N(, 1) = N( 1,67, δ 0,30 µ R t 1 1 = 1,67 0,03+ ( 0,04) = 0,0901 = µ 1( 1+ R 1) = 6(1 0,0901) 3,66 1 + t t = So können wir 3,66 Mio. DM als den Mittelwert für die nächsten 3,65 Tag bestimmen. 3,66 6 =,34 Mio. DM Verlust 1)

Es bedeutet, daß in den nächsten 3,65 Tagen, also in (3,65) ein Verlust von,36 Mio. DM auftreten kann. 4. Es werden insgesamt 100 Gewinn- oder Verlustwerte ermittelt. Die Werte werden nach der Größe eingeordnet. Der fünftschlechteste Wert (100 0,05=5) ist z.b.,4 Mio. DM. Dann wird,4 Mio. DM der VaR. Monte-Carlo-Simulation: Das wesentliche Merkmal der Monte-Carlo-Simulation ist die freie Vorgabe von angenommenen Verteilungen der Marktfaktren (beliebige, viele Untersuchungsrealisationen). Ansonsten ist die Vorgehenweise der Historischen Simulation sehr ähnlich. Das Ermittlungsverfahren der Monte-Carlo-Simulatiuon: 1. Der Wert eines Kreditportfolios in einer bestimmten Haltedauer wird als Funktion der Werte der Marktfaktoren ausgedrückt.. - (µ t, δ t ) ist bekannt

. Aus allen Marktdaten werden durch einen Zufallsgenerator sehr viele Realisationen für mögliche Werte der Marktfaktoren ermittelt. - Ermittlung von (µ t, δ t ) 3. Durch Anwendung der historischen relativen Veränderungen (µ t, δ t ) ergeben sich eine Anzahl von möglichen Werten innerhalb des Betrachtungszeitraums für die Marktfaktoren am Folgetag. Ermittlung von ((µ t+ t, δ t+ t ) 4. Diese werden auf das zu bewertende heutige Kreditportfolio angewendet, für das somit die bestimmte Anzahl innerhalb des Betrachtungszeitraums von Werten des Kreditportfolios für den nächsten Tag berechnet werden. 5. Subtrahieren wir von diesen Werten den heutigen Wert des Kreditportfolios, so erhalten wir eine bestimmte Anzahl von Gewinn- oder Verlustwerten. Die Werte werden nach der Größe eingeordnet. 6. Bei einer gegebenen Wahrscheinlichkeit wird der VaR ermittelt.

Vergleich: Die Varianz-Kovarianz-Methode ist relativ einfach umzusetzen. Allerdings wird die Aussagefähigkeit des GARCH-Verfahrens durch die Nicht-Standardnormalverteilung der Kreditrisiken eingeschränkt. Rechnerisch kann das GARCH-Verfahren wegen der Gewichtung der Varianzen sehr kompliziert sein. Die Historische Simulation ist ein sehr einfaches, und leicht implementierbares Verfahren. Die Schwäche liegt in der Theorielosigkeit und der völligen Ausrichtung an der eher kurzfristigen Vergangenheit. Die Monte-Carlo-Simulation zeigt ihre Stärke in der Flexibilität, mit der die Verteilungen variiert werden können. Als Schwäche gelten der erhebliche Rechenaufwand und die Auswahlskriterien für einen Zufallsgenerator.

D. I. 1. Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 1 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt V = 6 (1 + 3.7) 6 (1+ 4.3) 6 (1+ 4.93) 106 (1+ 5.3) 6+ + + + = 3 4 108.66 Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 3 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt µ Total = p iµ s i= 1 i 0.0% 109.37 0.33% 109.19 5.95% 108.66 86.93% 107.55 = 5.30% 10.0 1.17% 98.10 0.1% 83.64 0.18% 51.13 = 107.09 + + + + + + + σ s Total = p iµ i µ Total i= 1 = =.99 0.0% 109.37 0.33% 109.19 5.95% 108.66 86.93% 107.55 5.30% 10.0 1.17% 98.10 0.1% 83.64 0.18% 51.13 + + + + + + + 107.09 Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 4 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt D. I.. Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 5 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt µ Total = p iµ s i= 1 i 0.09% 106.59 +.7% 106.49 + 91.05% 106.30 + 5.5% 105.64 + = 0.74% 103.15 + 0.60% 101.39 + 0.01% 88.71+ 0.06% 51.13 = 106.55 σ s Total = p iµ i µ Total i= 1 = = 1.49 0.09% 106.59.7% 106.49 91.05% 106.30 5.5% 105.64 0.74% 103.15 0.60% 101.39 0.01% 88.71 0.06% 51.13 + + + + + + + 106.55 Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 6 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 7 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 8 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt (Joint migration probabilities with 0.30 asset correlation (%)) Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 9 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 10 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Erwartungswert und Varianz {Standardabw.} des Portfolios aus zwei Anleihen: Erwartungswert und Standardabweichung der BBB-Anleihe: $107.09 und $.99 Erwartungswert und Standardabweichung der A-Anleihe: $106.55 und $1.49 Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 11 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Varianz-Kovarianz-Matrix Anleihe Anleihe 1 Anleihe Anleihe 3... Anleihe n Anleihe 1 Varianz 1 Kovarianz 1, Kovarianz 1,3 Kovarianz 1,... Kovarianz 1,n Anleihe Kovarianz 1, Varianz Kovarianz,3 Kovarianz,... Kovarianz,n Anleihe 3 Kovarianz 1,3 Kovarianz,3 Varianz 3 Kovarianz 3,... Kovarianz 3,n... Kovarianz 1,... Kovarianz,... Kovarianz 3,... Varianz... Kovarianz...,n Anleihe n Kovarianz 1,n Kovarianz,n Kovarianz 3,n Kovarianz...,n Varianz n Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 1 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Varianz-Kovarianz-Matrix Anleihe Anleihe 1 Anleihe Anleihe 3... Anleihe n Anleihe 1 Varianz 1 Kovarianz 1, Kovarianz 1,3 Kovarianz 1,... Kovarianz 1,n Anleihe Kovarianz 1, Varianz Kovarianz,3 Kovarianz,... Kovarianz,n Anleihe 3 Kovarianz 1,3 Kovarianz,3 Varianz 3 Kovarianz 3,... Kovarianz 3,n... Kovarianz 1,... Kovarianz,... Kovarianz 3,... Varianz... Kovarianz...,n Anleihe n Kovarianz 1,n Kovarianz,n Kovarianz 3,n Kovarianz...,n Varianz n Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 13 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt σ ( T p ) = σ ( T 1 ) + σ ( T ) + Cov( T 1, T ) 11. =.99 + 1.49 + Cov Cov = 11..99 1.49 Cov = 1 (11..99 1.49 ) Cov = 0.03 Cov( T i, j ) = 1 [ ] σ ( T ) σ ( T ) σ ( T ) p i j Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 14 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 15 - = = = = = = = = = n i n j j i j i p n i i p i i R R i R i R i T T T T E T E T E T p T T p T E R R 1 1, 1 8 1 8 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( σ σ ρ σ σ

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 16 - D. I. 3. Ermittlung der Verlustverteilung V p = Ausgangswert des Portfolios V p = Wertveränderung des Portfolios am Ende des Betrachtungszeitraums ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 p p n i i i p p p p T V V T E V E V T E V E σ = σ = = =

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt D. I. 4. Ermittlung des Value at Risk Perzentile der Verlustverteilung Perzentile Formel 95.0 % E( V p ) + 1.65 50.0 % E( V p ) 5.0 % E( V p ) - 1.65.5 % E( V p ) - 1.96 1.0 % E( V p ) -.33 0.5 % E( V p ) -.58 0.1 % E( V p ) - 3.09 Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 17 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 18 -

Institut für Geld- und Kapitalverkehr ABWL/BBL-Seminar WiSe 1999/000 der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Ermittlung des Value at Risk für unser Beispielportfolio V p = $ 10.00 E( V p ) = 13.63 10.00 = 3.63 ( V p ) = 3.35 Perzentile der Verlustverteilung Perzentile Formel Wert 95.0 % E( V p ) + 1.65 3.63 + 1.65 3.35 = 9.16 50.0 % E( V p ) 3.63 = 3.63 5.0 % E( V p ) - 1.65 3.63-1.65 3.35 = -1.90.5 % E( V p ) - 1.96 3.63-1.96 3.35 = -.94 1.0 % E( V p ) -.33 3.63 -.33 3.35 = -4.18 0.5 % E( V p ) -.58 3.63 -.58 3.35 = -5.01 0.1 % E( V p ) - 3.09 3.63-3.09 3.35 = -6.7 Thema V: Ermittlung des Value at Risk für Kreditportfolios 15.11.1999, Folie - 19 -