Portfolioselection Zentrale Frage: Wie stellen rationale Investoren ihr Portfolio zusammen? Investieren in Aktien ist riskant Risiko einer Aktie kann in 2 Teile zerlegt werden: o Unsystematisches Risiko (unternehmensspezifisch) o Systematisches Risiko (Marktrisiko) Lieber eine Aktie oder Aktienportfolio? Durch breit gestreutes (diversifiziertes) Portfolio, lässt sich das unsystematisches Risiko ausschalten (wegdiversifizieren) Je mehr Aktien im Portfolio, desto stärker (i.d.r.) Diversifikationseffekt Annahmen: " 2 Zeitpunkte t 0 und t 1 " Alle Investoren entscheiden nach " Alle Anleger sind risikoavers " Wertpapiere sind beliebig teilbar " Aktienkurs in t 0 bekannt, in t 1 unsicher Risiko = STAB (" ) Ertrag = Erwartungswert ( µ ) µ "# 2 " Prinzip
Erwartete Portfoliorendite = Summe der gewichteten Renditen der beteiligten Aktien (gewichtetes Mittel bzw. Durchschnittsertrag) Gibt an wie viel Prozent des Portfoliokapitals in der Aktie investiert ist Summe der Portfoliogewichte = 1 N # i=1 µ p = x i " µ i N # i=1 x i =1 µ P = erwartete PF - Rendite x i = PF - Gewicht der Aktie i µ i = erwartete Rendite der Aktie i N = Anzahl der Aktien im PF Bsp.: Wie hoch ist die erwartete Portfoliorendite? Investment Anzahl der Aktien Aktienkurs Wert der Position PF- Gewicht Erwartete Aktienrendite Höchst AG 100 40 4.000 0,23 5% Telekom AG 200 35 7.000 0,41 14,29% Dt. Bank AG 100 62 6.200 0,36 12,9% Portfolio 400 17.200 1?? µ p = 0,23" 0,05+ 0,41" 0,1429+ 0,36" 0,129 = 11,65%
S 1 (p 1 =0,3) S 2 (p 2 =0,1) S 3 (p 3 =0,4) S 4 (p 4 =0,2) Microsoft Aktien 2 % -1 % 6 % 20 % SAP Aktien -4% 5 % 7 % 15 % Frage: Wie hoch ist die erwartete Portfoliorendite und die Renditevarianz eines Portfolios, das zu 60% aus Microsoft Aktien und zu 40% aus SAP Aktien besteht? Es ergeben sich folgende Werte: EW VAR STAB Microsoft Aktien 6,9 % 0,004809 0,0694 SAP Vz. Aktien 5,1 % 0,004589 0,0677 " MS = 0,3#(0,02$ 0,069)#($0,04 $ 0,051)+ 0,1#($0,01$ 0,069)#(0,05$ 0,051) + 0,4 #(0,06-0,069) + (0,07-0,051) + 0,2#(0,2-0,069)#(0,15-0,051) = 0,003871 oder alternativ " MS = 0,3# 0,02# ($0,04) + 0,1# ($0,01) # 0,05 + 0,4 # 0,06# 0,07 + 0,2 # 0,2 # 0,15-0,069 # 0,051= 0,003871 µ p = 0,6" 0,069+ 0,4 " 0,051 = 0,0618 # P 2 = 0,6 2 " 0,0694 2 + 0,4 2 " 0,0677 2 + 2" 0,6" 0,4 " 0,003871 = 0,004325 # P = 0,0658 Diversifikationseffekt klar erkennbar PF-Risiko ist kleiner als Risiko der einzelnen Aktien (SAP-Aktie wird vom PF dominiert)
Das Portfoliorisiko - wird durch PF-Varianz " 2 P oder STAB gemessen - Wie bereits erwähnt, wird durch PF-Bildung das unsystematische Risiko diversifiziert; das PF-Risiko wird gesenkt Dabei kommt es auf stochastische Abhängigkeit von Aktein an Statistisches Basiswissen benötigtes Maß, welches statistische Abhängigkeit zweier Aktien misst, ist die Kovarianz: S % j=1 Cov(x, y) = " XY = p j # (x j $ µ X ) # (y j $ µ Y ) p j = Wahrscheinlichkeit des Umweltzustandes j x j = Rendite Aktie X in Umweltzustand j µ X = erwartete Rendite Aktie X µ Y = erwartete Rendite Aktie Y s = Anzahl Umweltzustände alternativ: Cov(x, y) = " XY = E(X #Y) $ µ X # µ Y Interpretation: " XY > 0 : Entwicklung der Aktienrenditen ist gleichgewichtet " XY = 0 : Aktienrendite korrelieren nicht miteinander " XY < 0 : Entwicklung der Aktienrenditen ist gegenläufig Problem: Cov gibt nur Auskunft über Richtung des Zusammenhangs, die Stärke kann durch die Zahlenwerte nicht interpretiert werden
Beachte: Kovarianz einer Aktie mit sich selbst " ii = " i 2 # Cov(x,x) = Var(x) Der Korrelationskoeffizient Normierte Kovarianz, die sowohl Richtung als auch Ausmaß der Korrelation misst: " 12 = Cov(X,Y) Var(X) # Var(Y) = $ XY $ X #$ Y Interpretation " = 1 0 < " <1 ["1 # $ #1] vollständige/perfekte positive Korrelation Aktienrenditen entwickeln sich immer gleich Verdoppelt sich Rendite A so verdoppelt sich Rendite B ebenfalls positive Korrelation Renditen entwickeln sich gleichläufig " = 0 "1 < # < 0 " = #1 unkorrelierte Renditen Kein sichtbarer Zusammenhang zwischen Renditen A und B negative Korrelation Renditen entwickeln sich gegenläufig vollständige/perfekte negative Korrelation Renditen entwickeln sich immer genau gegenläufig. Steigt Rendite A um 50% so sinkt Rendite B entsprechend um 50%
Grafische Darstellung 2 Wertpapiere A und B Für verschiedene PF-Gewichte ergeben sich unterschiedliche µ "# " Kombinationen 1. Fall: " AB = #1 alle durch PF-Bildung erreichbaren mue-sigma- Kombinationen Nur obere Linie effizient Risiko ist komplett wegdiversifizierbar 2. Fall: " AB = +1 Risiko = gewogener Durchschnitt der Einzel- Risiken Alles effizient 3. Fall: "1 < # AB < +1 Keine Diversifikation erzielbar Nur oberer Teil effizient Je kleiner der Korrelationskoeffizient, desto stärker Diversifikationseffekt bzw. desto kleiner ist Sigma (min)
Review: Portfolioselection Ermittlung des präferenzunabhängigen effizienten Randes riskanter Wertpapiere Mit Einführung des Kapitalmarktes Herleitung der KML Tobins Separationstheorem: o Unabhängig von Präferenzen wird Tangentialportfolio P bestimmt o Riskantes PF P wird mit risikoloser Anlage gemischt, Mischungsverhältnis je nach Risikoeinstellung Jeder Investor hält folglich Mischung aus Tangential-PF P und risikoloser Anlage Tangentialportfolio P nennt man auch das Marktportfolio Es beinhaltet alle verfügbaren Anlagemöglichkeiten Als Stellvertreter für Marktportfolio wird häufig DAX oder Dow Jones verwendet (Aktienindex) Alle effizienten Mischportfolios (risikolos+markt-pf) liegen auf der KML µ M " M Geradengleichung der KML: µ a = i f + µ M " i f # M $# a µ a = Erwartete Rendite Mischportfolio a µ M = Erwartete Rendite des Marktportfolios M i f = Einheitszins " a = Rendite - STAB des Mischportfolios a " M = Rendite - STAB des Marktportfolios
Diversifikation Wertpapiere (WP), die nicht perfekt positiv korreliert sind, reduzieren das mit Hilfe von Varianz und STAB gemessene PF-Risiko: Mit steigender WP-Anzahl fällt die STAB eines Portfolio. Sie nähert sich asymptotisch einer Grenze, dem nicht diversifizierbaren systematischen Risiko. Systematisches Risiko Unsystematisches (diversifizierbares) Risiko ist wertpapierspezifisch Demgegenüber ist das systematische Risiko mit der Entwicklung des Marktes verbunden. Perfekt diversifizierte Portfolios weisen nur noch systematisches Risiko auf, ihre Performance ist also mit der Marktentwicklung verbunden. Der Risikobeitrag eines Wertpapiers in einem perfekt diversifizierten Portfolio hängt damit (nur) von seiner Relation zum Markt ab. Frage: Wie kann das systematische Risiko eines WP erfasst werden? Antwort des CAPM: über das Konstrukt des BETA
Capital Asset Pricing Model (CAPM) Intuition: Jeder Investor präferiert hohe Renditen und niedriges Risiko effiziente Portfolios gewähren die höchste Rendite bei gegebener Standartabweichung. Ist Geldanlage und aufnahme zum risikolosen Zins r f möglich, so identifiziert jeder Investor ein Portfolio, das in Realtion zu seiner STAB die höchste Risikoprämie ( r " r f ) aufweist. Haben alle Investoren die gleichen Informationen und ziehen hieraus analoge Schlüsse, so identifizieren und halten alle das gleiche Portfolio: das Marktportfolio Der (Risiko-)Beitrag eines einzelnen WP zum Marktportfolio wird durch seine Reaktion auf dessen Veränderung ermittelt: dem Beta.
CAPM & Kapitalstruktur Erinnere: Für die WACC ( Kapitalitalkosten) gilt: r GK = e " EK V + i " FK V Die korrekten Kapitalkosten eines Unternehmens lassen sich mit der CAPM-Gleichung berechnen: r GK = i f +(µ M " i f )# $ GK r GK = GK - Kosten eines Unternehmen i f = Einheitszins µ M = erwartete Rendite des Marktportfolios " GK = Betafaktor des Unternehmens Erinnere: Bei Erhöhung der Kapitalstruktur l steigt Risiko der Aktionäre " GK = " EK # EK V + " FK # FK V Da FK kein Risiko aufweist (Annahme) gilt β(fk) = 0 " EK = " GK #(1+ l) Für die EK-Kosten des Unternehmens gilt mittels CAPM: e = i f +(µ M " i f )# $ EK