Begegnungen mit Mathematik

Begegnungen mit Mathematik 1. Vorlesung: Zahlen 1. Große Zahlen: Million - Milliarde Nach einer weit verbreiteten Meinung hat Mathematik vor allem mit Zahlen zu tun. Mathematiker müssen Leute sein, die viel rechnen. Dem Mathematiker C. F. Gauß (1777-1855) wird sogar der Ausspruch zugeschrieben: Gott rechnet. Ich habe dieses Zitat nirgends bestätigt gefunden. Vielleicht rührt obige Meinung daher, daß Zahlen auch im täglichen Leben vorkommen und somit etwas Vertrautes darstellen, was man am ehesten mit der so wenig bekannten Mathematik assoziieren kann. Darüber hinaus sind Zahlen durchaus beliebt: Der heimliche Traum vieler Menschen sind große Zahlen, besonders wenn sie benannt sind, am besten mit der Währungseinheit Euro. Beispiel 1. Herr Kleinschmidt gewinnt im Lotto eine Million. Er will nur noch von seinem Geld leben und beschließt, pro Monat e10.000,- auszugeben. Wie viele Jahre und Monate reicht sein Geld, wenn man die Zinsen außer Acht lässt? Rechnung: 1.000.000 : 10.000 = 100 Monate = 8 Jahre und 4 Monate Beispiel 2. Frau Großmüller erbt eine Milliarde Euro. Auch sie will nur noch von ihrem Geld leben und beschließt ebenfalls pro Monate10.000,- auszugeben. Rechnung: 1.000.000.000 : 10.000 = 100.000 Monate = 8333 Jahre und 4 Monate. Beispiel 3. Laut Bund der Steuerzahler beträgt die Staatsverschuldung in Deutschland im Jahre 2011 fast zwei Billionen (= 2000 Milliarden = 2 Millionen Millionen) Euro, das ist über dreißigmal soviel wie 1970. Jedes Jahr werden über 50 Milliarden Euro Zinsen dafür fällig. Die Neuverschuldung beträgt derzeit fast 60 Milliarden Euro, das entspricht einer Verschuldungsgeschwindigkeit von ca. 3000 Euro pro Sekunde. Wollte man die Schuldensumme von 2011 (2 Billionen Euro) auf die genannte Weise ausgeben, so brauchte man dafür fast 17 Millionen Jahre. Beispiel 4. Wie man mit großen Zahlen reich werden kann: 12. September 2006: Am 4. September entdecken Dr. Curtis Cooper und Dr. Steven Boone, beide Professoren an der Central Missouri State Universität die 44. bekannte Mersennesche

Primzahl, 2 32.582.657 1. Diese Zahl hat 9 808 358 Dezimalstellen und verpasst damit knapp das Preisgeld von $ 100 000: Der mit $ 100 000 dotierte Electronic Frontier Foundation Preis wird erst bei mehr als 10 Millionen Dezimalstellen gezahlt.... Nun haben wir zur Genüge dargelegt, was Mathematik nicht ist, oder zumindest, welche Zahlen für die Mathematik irrelevant sind. Es gilt nämlich: Satz 1. Mathematik kennt keine benannten Zahlen. 2. Ein Streifzug durch die Zahlen. Mit Zahlen meinen wir zunächst natürliche Zahlen, d. h. die Zahlen der Menge N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. Warum die 0 zu den natürlichen Zahlen gerechnet wird, werden wir in Kürze sehen. Beispiel 1: Kaprekar-Zahlen. Der indische Mathematiker D.R.Kaprekar machte im Jahre 1949 folgende Beobachtung. (1) Man gibt eine vierstellige Zahl mit verschiedenen Ziffern a,b,c,d vor. (2) man ordnet die Ziffern (a < b < c < d). (3) Man bildet die größte und die kleinste Zahl aus diesen vier Ziffern (dcba und abcd). (4) Man bildet die Differenz beider Zahlen. Es kann sein, daß diese Zahl 6174 ist. Ist das nicht der Fall, so bildet man die größte und die kleinste Zahl aus den Ziffern der vierstelligen Differenz und subtrahiert diese Zahlen wiederum. Diese Prozedur wiederholt man eventuell. Am Ende ergibt sich immer 6174, und zwar spätestens nach 7 Schritten. Beispiel 1: Gegeben ist die Zahl 6174. 1.Schritt: 7641-1467 = 6174. Beispiel 2: Gegeben ist die Zahl 5644. 1.Schritt: 6544-4456=2088 2.Schritt: 8820-0288=8532 3.Schritt: 8532-2358=6174. Beispiel 3: Gegeben ist die Zahl 7652. 1.Schritt: 7652-2567=5085 2.Schritt: 8550-0558=7992 3.Schritt: 9972-2799=7173 4.Schritt: 7731-1377=6354 5.Schritt: 6543-3456=3087 6.Schritt: 8730-0378=8352 7.Schritt: 8532-2358=6174. Das Verfahren funktioniert für vierstellige Zahlen, deren Ziffern nicht alle gleich sind. 2

Ebenso kann man das Verfahren auf dreistellige Zahlen anwenden. Dann landet man stets bei der Kaprekar-Zahl 495. Beispiel: Gegeben ist die Zahl 343. 1.Schritt: 433-334=099 2.Schritt: 990-099=891 3.Schritt: 981-189=792 4.Schritt: 972-279=693 5.Schritt: 963-369=594 6.Schritt: 954-459=495. Wir wollen überlegen, warum dies so ist. Die gegebene Zahl wird zunächst in eine absteigende Ziffernfolge geordnet: abc mit a b c. Diese Zahl hat im Dezimalsystem den Wert 100a + 10b + c. Hiervon ziehen wir 100c + 10b + a ab. Es ergibt sich (100a + 10b + c) (100c + 10b + a) = 99(a c). Es bleiben somit nur neun Möglichkeiten: 99 1 = 099 99 2 = 198 99 3 = 297 99 4 = 396 99 5 = 495 99 6 = 594 99 7 = 693 99 8 = 792 99 9 = 891. Erkennen Sie das Muster? Ordnet man diese Zahlen in absteigende Ziffernfolge, so bleiben nur noch 5 Möglichkeiten: 990, 981, 972, 963, 954. Alle diese Möglichkeiten sind in obigem Beispiel bereits vorgekommen. Damit ist bewiesen, daß 495 die einzige dreistellige Kaprekar-Zahl ist. Wie sieht es mit zwei Stellen aus? Hier versagt das Verfahren: 74 47 = 27; 72 27 = 45; 54 45 = 09; 90 09 = 81; 81 18 = 63; 63 36 = 72. Können Sie das beweisen? Beispiel 2: Die Zahl 1089. Ein ähnliches Verfahren sieht so aus: (1) Gegeben ist eine dreistellige Zahl aus nicht gleichen Ziffern (abc). (2) Man bildet die Differenz zur gespiegelten Zahl (cba). (3) Hierzu addiert man die Spiegelzahl und erhält stets: 1089. Das erscheint auf den ersten Blick erstaunlich. Wir werden bald noch Größeres sehen. Beispiel 1: (1) 836 3

(2) 836 638 = 198 (3) 198+891 = 1089 Beispiel 2: (1) 536 (2) 536 635 = 099 (3) 099+990 = 1089 Nun sind wir sicher schon überzeugt, daß immer 1089 herauskommt. In der Tat ist es so. Wir wollen sehen, warum: Beweis. Auch hier ist (100a + 10b + c) (100c + 10b + a) = 99(a c). Anschließend wird 99(a c) zur dazu gespiegelten Zahl addiert. Aus der obigen Tabelle ersieht man, daß die Vielfachen von 99 von der Form 100a + 10 9 + (9 a) sind. Die gespiegelte Zahl hierzu ist also 100(9 a) + 10 9 + a. Als Summe ergibt sich somit (100a + 10 9 + (9 a)) + (100(9 a) + 10 9 + a) = 100 9 + 10 18 + 9 = 1089. Q. e. d. Beispiel 3: Eine Rechenaufgabe. = 123456789. (Es gibt nur eine Lösung!) Das scheint auf den ersten Blick sehr schwierig zu sein: Eine Gleichung mit zehn Unbekannten! Für einen Mathematiker ist das jedoch kein Problem: Wir zerlegen zunächst 123456789 in Primfaktoren. Die Quersumme ist 45, also ist die Zahl durch 9 teilbar: 123456789 : 9 = 13717421. Wenn man nicht viel Geduld hat, hilft nun eine Primzahltabelle. Es ergibt sich dann 123456789 = 3 3 3607 3803 als Zerlegung in Primfaktoren. Damit ist sofort klar, daß die gesuchte Zerlegung nur wie folgt aussehen kann: 123456789 = (3 3607) (3 3803) = 10821 11409. Hierbei sind wir nun, wie kaum zu vermeiden, auf den Begriff der Primzahl gestoßen. Was ist eine Primzahl? Definition. Eine Zahl p aus N heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat. Die Folge der Primzahlen ist: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... Warum ist 1 keine Primzahl? Weil sie nur einen Teiler hat. Man muß sich aber die Frage stellen, ob diese Definition wirklich sinnvoll ist, und warum 1 von den Primzahlen ausgeschlossen wird. Wir holen dazu etwas weiter aus und beginnen mit der Addition. Wir nehmen uns eine Zahl, z. B. 5, und zerlegen sie in Summanden: 5 = 2+3. Dann läßt sich 3 weiter zerlegen: 3 = 2 + 1. Hierbei zerfällt 2 wieder in 1+1. Am Ende gelangt man so zur vollständigen 4

Zerlegung: 5 = 1+1+1+1+1. Weiter geht das nicht mehr. Die 1 ist also hinsichtlich der Addition ein Atom, ein kleinster Bestandteil, der keine weitere Zerlegung mehr zuläßt. Nun wenden wir uns der Multiplikation zu. Hier haben wir z. B. für 30 die Zerlegung: 30 = 2 3 5. Für 60 haben wir 60 = 2 2 3 5. Weiter geht es nicht. Hier stoßen wir also auf die Atome 2, 3 und 5. Es handelt sich dabei offenbar genau um die oben definierten Primzahlen. Die 1 kann aber nicht als Atom auftreten, denn die Abspaltung des Faktors 1 ist immer möglich und führt nicht zu einer echten Zerlegung. Die Definition der Primzahlen ist daher genau richtig: Bei der Zerlegung von 60 ergeben sich vier Primfaktoren; bei 30 sind es drei Primfaktoren; bei 10 sind es zwei, bei 5 nur einer, und bei der 1 sind es null Primfaktoren. Hieran sieht man zugleich, warum die 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt werden sollte: die 1 gehört zweifellos zu N, und sie hat 0 Primfaktoren. Auf die Anzahl 0 kann also nicht verzichtet werden. Fazit: Es ist natürlich, die 0 zu den natürlichen Zahlen zu zählen. Zum Schluß dieser Vorlesung stellen wir uns die Frage, ob es unendlich viele Primzahlen gibt. Euklid hat hierfür den klassischen Beweis geliefert: Satz 2. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, es gäbe nur endlich viele, etwa n Primzahlen: p 1,p 2,p 3,...,p n. Wir bilden das Produkt n = p 1 p 2 p 3 p n. Freilich wäre dann n+1 eine sehr große Zahl. Aber sie müßte sich, wie alle anderen Zahlen, in Primfaktoren zerlegen lassen. Nehmen wir einmal an, p sei ein solcher Primfaktor von n + 1. Da p in der Liste p 1,p 2,p 3,...,p n vorkommt, wäre jedenfalls n durch p teilbar. Und schon geht der Bär in die Falle: Sowohl n als auch n+1 wären durch p teilbar, ein offenbarer Widerspruch! Die Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, ist damit widerlegt. Positiv audgedrückt: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Q. e. d. 5