Dr. M. Weimar 06.06.2016 Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 9. Übungsblatt Aufgabe 1 (2+2+2+2+1=9 Punkte) In einer Urne befinden sich sieben Lose, darunter genau ein Gewinnlos. Diese Lose werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. a) Berechnen sie die W-keit, bei der siebten Losziehung eine Niete zu erhalten. b) Berechnen sie die W-keit, bei der vierten Losziehung eine Niete zu erhalten. c) Berechnen sie die W-keit, sowohl bei der vierten als auch der fünften Losziehung jeweils eine Niete zu erhalten. d) Wie groß ist P (N 4 N 5 ), wenn N k := Niete bei der k-ten Losziehung? Zeichnen sie außerdem ein Baumdiagramm, dass die Situationen vollständig beschreibt! Aufgabe 2 (2+2=4 Punkte) Aus einer Urne mit drei blauen und vier roten Kugeln wird zweimal eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen. a) Man zeichne ein Baumdiagramm, welches dieses zweistufige Zufallsexperiment vollständig beschreibt und alle bedingten W-keiten (als Formeln) beinhaltet. b) Die erste Kugel wird gezogen und beiseite gelegt, ohne deren Farbe zu beachten. Als zweites wird eine rote Kugel gezogen. Wie groß ist die W-keit dafür, dass auch die erste gezogene Kugel rot war? Aufgabe 3 (2+2+2=6 Punkte) Zwei Kaltfließpressen stellen Schrauben her. Presse Nr.1 produziert pro Minute 500 Schrauben, bei Presse Nr.2 sind es 750 Schrauben. Der Anteil der nicht der Norm entsprechenden Schrauben liegt für die erste Presse bei 3%. Bei der zweiten Presse sind es 2%. Nun wird eine Schraube zufällig (unter Annahme der Gleichverteilung) der Gesamtproduktion entnommen. Für dieses Experiment seien folgende Ereignisse gegeben: N := Schraube entspricht der Norm, K 1 := Schraube wurde von Presse Nr.1 hergestellt, K 2 := Schraube wurde von Presse Nr.2 hergestellt. a) Zeichnen sie ein zweistufiges Baumdiagramm, welches die Ereignisse N, N, K 1, sowie K 2 vollständig beschreibt. b) Berechnen sie die W-keit dafür, dass die zufällig der Produktion entnommene Schraube nicht der Norm entspricht. c) Berechnen sie die W-keit dafür, dass eine zufällig der Produktion entnommene defekte Schraube aus Presse Nr.2 stammt. Abgabe (freiwillig): In den Tutorien während der 11. Vorlesungswoche (20. 24.06.2016)
Musterlösung zum 9. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016) Aufgabe 1. Wir nehmen für jeden Zug die Gleichverteilung auf allen noch verbleibenden Losen an. Wurde das Gewinnerlos (G) bereits gezogen, so muss mit W-keit 1 eine Niete folgen. Ist G noch dabei, so beträgt die W-keit dafür im betrachteten Auswahlschritt folglich 1 1 + Anzahl verbleibende Nieten. Ein vollständiges Baumdiagramm kann dann so aussehen a) Laut Diagramm gibt es sechs Pfade die zu einer Niete im siebten Zug (N 7 ) führen und deren W-keiten addiert werden müssen. Dabei ist die W-keit eines jeden Pfades gegeben durch das Produkt der (bedingten) W-keiten entlang dieses Pfades. Also folgt P ( Niete im siebten Zug ) = P (N 7 ) = 1 7 1 1 1 1 1 1 Alternativ (eleganter und kürzer!): + 6 7 1 6 1 1 1 1 1 6 1 5 1 1 1 1 5 1 4 1 1 1 4 1 3 1 1 4 2 3 1 2 1 = 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 = 6 7. P ( Niete im siebten Zug ) = 1 P ( Gewinn im siebten Zug ) ( 6 = 1 7 5 4 2 3 1 ) 2 1 = 1 1 7 = 6 7.
b) Analog, wobei es reicht nur Pfade bis N 4 zu betrachten, da alle dort startenden Teilbäume W-keit 1 besitzen (prüfe das nach!): P ( Niete im vierten Zug ) = 1 7 1 1 1 + 6 7 1 6 1 1 6 1 5 1 4 = 1 7 + 1 7 + 1 7 + 3 7 = 6 7. Alternative: P ( Niete im vierten Zug ) = 1 P ( Gewinn im vierten Zug ) =... = 6/7. c) Summiere über alle vier Pfade (bis zum fünften Schritt) die N 4 und N 5 enthalten: P ( Niete im vierten und fünften Zug ) = 1 7 1 1 1 1 + 6 7 1 6 1 1 1 6 1 5 1 1 4 2 3 = 1 7 + 1 7 + 1 7 + 2 7 = 5 7. d) N 4 N 5 bedeutet Ziehung Nr.4 oder Nr.5 (oder beide) liefern eine Niete. Da es nur ein Gewinnlos gibt kann das Gegenteil ( Nr.4 und Nr.5 sind Gewinnerlose ) nicht auftreten. D.h. P (N 4 N 5 ) = 1. Aufgabe 2. Steht B für blau und R für rot, so stellt sich die Situation zunächst so dar, wenn in jedem Zug gleichverteilt aus den (noch) vorhanden Kugeln gezogen wird: a) Um ein Baumdiagramm mit bedingten W-keiten darzustellen sind folgende Ereignis-Bezeichnungen nötig: Man erhält: B 1 := blaue Kugel in erster Ziehung, R 1 := rote Kugel in erster Ziehung, B 2 := blaue Kugel in zweiter Ziehung, R 2 := rote Kugel in zweiter Ziehung.
(Fehler im Diagramm: S 1 sollte R 1 lauten!) b) Mit obigen Bezeichnungen suchen wir P (R 1 R 2 ) = P (R 1 R 2 ) P (R 2 ) = P (R 1 ) P (R 2 R 1 ) P (B 1 ) P (R 2 B 1 ) + P (R 1 ) P (R 2 R 1 ). Hier wurde zunächst die Definition der bedingten W-keit verwendet. Die zweite Gleichheit folgt dann durch Abschreiten der entsprechenden Pfade, oder Folg 7.9 (Multiplikationsregel) im Zähler und Folg. 7.17 (Spezialfall des Satzes der totalen W-keit) im Nenner, oder direkt mit Satz 7.21 (Satz von Bayes). Einsetzen der Zahlen aus dem Diagramm liefert: P (R 1 R 2 ) = 4/7 1/2 3/7 2/3 + 4/7 1/2 = 2 2 + 2 = 1 2. Aufgabe 3. a) Ein entsprechendes Baumdiagramm kann so aussehen: denn Insgesamt werden 500 + 750 = 1 250 Schrauben pro Stunde produziert und P (K 1 ) = 500/1 250 = 2/5 bzw. P (K 2 ) = 750/1 250 = 3/5 N ist das Gegenereignis zu N, also Schraube entspricht nicht der Norm P (N K 1 ) sowie P (N K 2 ) wurden der Aufgabenstellung entnommen und die P (N...) sind die jeweiligen Gegen-W-keiten dazu Die W-keiten ganz rechts ergeben sich durch Multiplikation entlang des entsprechenden Pfades
b) Gesucht ist P (N). Folg 7.17 (Spezialfall vom Satz von der totalen W-keit) und die Zahlen aus dem Baum liefern P (N) = P (K 1 ) P (N K 1 ) + P (K 2 ) P (N K 2 ) = 2 5 0.03 + 3 0.02 = 0.024 = 2.4%. 5 Alternativ (Addition aller Pfade die zu N führen): P (N) = P (K 1 N) + P (K 2 N) = 0.012 + 0.012 = 0.024 = 2.4%. c) Gesucht ist P (K 2 N). Lemma 7.19 (Bayes sche Formel) liefert P (K 2 N) = P (K 2) P (N K 2 ) P (N) = 3/5 0.02 0.024 = 0.5 = 50%. Alternativ (Def. der bedingten W-keit): P (K 2 N) = P (K 2 N) P (N) = 0.012 = 0.5 = 50%. 0.024
Vorschläge für die Tutorien zum 9. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016) Aufgabe 4 Man betrachte folgende (deutsche) Variante des Ziegenproblems (vgl. Bsp. 7.23 im Skript): Es gibt m Tore (m N, m 3). Hinter einem Tor befindet sich eine moderne Waschmaschine, hinter den m 1 anderen Toren befindet sich jeweils ein sogenannter Zonk : Die Kandidatin wählt ein Tor aus, welches aber verschlossen bleibt. Aus den m 1 verbleibenden Toren wählt der Showmaster daraufhin m 2 Tore aus, hinter denen sich jeweils ein Zonk befindet. Diese werden geöffnet. Die Kandidatin kann sich nun entscheiden, welches der beiden noch geschlossenen Tore geöffnet werden soll. Sie gewinnt die Waschmaschine, falls diese sich hinter dem von ihr gewählten Tor befindet. Befindet sich dort ein Zonk, so bekommt sie diesen als Trostpreis. Wir betrachten den Fall, dass die Kandidatin Tor Nr. 1 auswählt und der Showmaster dieses, sowie Tor Nr. 2 geschlossen lässt. Soll die Kandidatin dann noch einmal wechseln oder nicht? Was sind die jeweiligen Gewinnwahrscheinlichkeiten? LÖSUNG: Ereignisse: W k := Waschmaschine steht hinter Tor Nr. k, S k := Showmaster hält Tor Nr. k geschlossen, jeweils für k = 1, 2,..., m. (So herum ist es diesmal einfacher!) Dann gilt: P (W k ) = 1 m für k = 1, 2,..., m, denn die Waschmaschine kann als zufällig gleichverteilt angenommen werden. P (S 2 W 1 ) = 1 m 1, denn er darf gleichverteilt aus m 1 Stück wählen (Tore Nr. 2 bis m). P (S 2 W 2 ) = 1, denn das Tor mit der Waschmaschine muss er verschlossen halten. P (S 2 W j ) = 0 für j = 3, 4,..., m, denn ist die Maschine hinter Tor j, so darf er Tor Nr. 2 nicht verschlossen halten (er müsste außer Nr. 1 und 2 ja alle anderen öffnen!).
Satz 7.15 (von der totalen W-keit) liefert m P (S 2 ) = P (W j ) P (S 2 W j ) = m 1 m P (S 2 W j ) = 1 1 m m m 1 + 1 + 0 = m 1 m m 1 = 1 m 1, j=1 j=1 da die W j, j = 1,..., m, die Ergebnismenge disjunkt zerlegen (hinter einem Tor muss die Maschine sein!). Aus Lemma 7.19 (Bayes sche Formel) folgt dann j=3 P (W 1 S 2 ) = P (W 1) P (S 2 W 1 ) P (S 2 ) = 1/m 1/(m 1) 1/(m 1) = 1 m und P (W 2 S 2 ) = P (W 2) P (S 2 W 2 ) P (S 2 ) = 1/m 1 1/(m 1) = m 1 m = 1 1 m. Wechseln liefert also die tolle Waschmaschine mit W-keit 1 1/m, nicht wechseln dagegen nur mit W-keit 1/m. Beachte: m = 3 entspricht dem Fall im Skript (2/3 vs. 1/3) für m > 3 verstärkt sich der Effekt eine vollständige Analyse (wie im Skript) zeigt, dass die Einschränkung auf die Tore Nr. 1 und 2 aus Symmetriegründen wieder o.b.d.a. ist