R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6..00 edingte Wahrscheinlichkeit ei mehrmaligem Würfeln hängt die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zwischen und 6 zu werfen nicht von dem vorherigen Ergebnis ab. Jeder Wurf geschieht unabhängig von dem vorigen. Werden hingegen aus einer Urne, die z.. mehrere Kugeln mit zwei unterschiedlichen Farben enthält nacheinander Kugeln gezogen, ohne sie wieder zurückzulegen, dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis oft von dem vorigen Ergebnis abhängig. In diesem Fall spricht man von einer bedingten Wahrscheinlichkeit. Einführungsbeispiel: Eine Urne enthält 00 Kugeln. 70 Kugeln bestehen aus dem Material Holz und 0 Kugeln sind aus Kunststoff. 5 der Holzkugeln sind mit der Farbe rot gestrichen und 45 sind grün. 0 der Kunststoffkugeln sind rot und 0 sind grün. Folgende Ereignisse werden definiert: : Die Kugel ist aus Holz : Die Kugel ist aus Kunststoff : Die Kugel ist rot : Die Kugel ist grün Die Kugeln tragen zwei Merkmale mit jeweils zwei usprägungen. Merkmal I usprägung Merkmal II usprägung Material : Holz : rot Farbe : Kunststoff : grün Dieser Sachverhalt kann in einer Vierfeldtafel dargestellt werden: Merkmal II (Farbe) : rot : grün Summe Merkmal I Material : Holz : Kunststoff 5 45 0 0 70 0 Summe 5 65 00 Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6..00 us der Urne wird eine Kugel zufällig gezogen. Mit den Daten der Tafel lassen sich direkt folgende Wahrscheinlichkeiten berechnen: 70 7 0 0,7 0, 00 0 00 0 5 7 65 0,5 0,65 00 0 00 0 5 45 9 0,5 0,45 00 4 00 0 0 0 0, 0, 00 0 00 0 Die zugehörige Vierfeldtafel: Summe 0,5 0,45 0,7 0, 0, 0, Summe 0,5 0,65 Jemand zieht eine Kugel und spürt mit der Hand, dass es sich um eine Kunststoffkugel handelt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel in seiner Hand grün ist? Das ist nicht die Wahrscheinlichkeit, mit der man eine grüne Kunststoffkugel zieht. us der Vierfeldtafel lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht ablesen. Mit einem Ereignisbaum soll diese Frage nun geklärt werden. 7 0?? 5 5 0,5 00 0 45 9 0,45 00 0 0?? 0 0, 00 0 0 4 0, 00 0 Die ezeichnung bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit von unter der edingung, dass bereits eingetreten ist. Diese Wahrscheinlichkeit heißt bedingte Wahrscheinlichkeit. Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6..00 In ezug auf die Fragestellung wird also gesucht. In Worten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine grüne Kugel gezogen zu haben, wenn man weiß, das die gezogene Kugel aus Kunststoff ist. Es wird nach einer Wahrscheinlichkeit gesucht, die von einer edingung abhängt. In diesem Fall lautet die edingung: Die gezogene Kugel ist aus Kunststoff. Um die im aumdiagramm noch fehlenden bedingten Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, verwendet man die fadmultiplikationsregel: ( ) ( ) Die Regel, nach der die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet wird, geht auf den englischen Mathematiker Thomas ayes (70-76) zurück und wird daher auch ayes'sche Regel oder auch Satz von ayes genannt. Sind und Ereignisse mit 0 dann gilt: 5 7 5 0 5 ( ) : 0,6 0 0 7 0 4 9 7 9 0 9 ( ) : 0,64 0 0 7 0 4 0 ( ) : 0, 0 0 0 4 4 0 ( ) : 0,6 0 0 0 ( ) Wenn man also weiß, dass die gezogene Kugel aus Kunststoff besteht, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie die Farbe grün hat: /. Die Wahrscheinlichkeit eine grüne Kunststoffkugel zu ziehen ist hingegen 0,. Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 4 6..00 Ein etwas anderer Zugang: Eine Urne enthält grüne und rote Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Es werden vier Ereignisse definiert: : Grün wird im. Zug gezogen : Grün wird im. Zug gezogen. C: Grün wird im ersten und zweiten Zug gezogen. D: Grün im zweiten Zug unter der edingung, dass grün bereits im ersten Zug gezogen wurde. Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse. Ein aumdiagramm mit den fadwahrscheinlichkeiten veranschaulicht den Zusammenhang.. /. ( gg) 0, 5 0 /5 / ( gr) 0, 5 0 /5 /4. rg 0, 5 4 0 /4 rr 0, 5 4 0 Dem aumdiagramm sind folgende Ergebnisse zu entnehmen: Grün im. Zug: 5 0,6 und 6 Grün im. Zug: + 0,6 0 0 0 5 Für grün im. Zug und grün im. Zug erhält man mit der fadmultiplikationsregel ( C) ( ) 5 0 ( D ) wird abgelesen. Der Wert von (D) wurde wie folgt ermittelt: Unter der Voraussetzung (edingung) dass im. Zug grün gezogen wurde weiß man, dass noch grüne und rote Kugeln in der Urne sind. Die Wahrscheinlichkeit für grün im. Zug ist dann /. Für die Wahrscheinlichkeit von D (grün im. Zug) unter der Voraussetzung dass (grün im. Zug) schon eingetreten ist, wählt man die ezeichnung (D) (). Im dargestellten Fall gilt: ( ) 5 Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 4 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5 6..00 Für eine weitere Untersuchung dient der usschnitt aus dem faddiagramm, in dem () vorkommt. /5 (). /. 0 () fadmultiplikationsregel: Ist nach der Wahrscheinlichkeit () gefragt, so kann obige Gleichung wie folgt umgeformt werden: ( ) ( ) für 0 () ist die Wahrscheinlichkeit von unter der edingung, dass bereits eingetreten ist. Wir überprüfen dieses Gesetz mit den vorliegenden Ergebnissen: 0 ( ) 5 0 0 5 5 us dem Urnenversuch (mehrfaches ziehen ohne zurücklegen) geht klar hervor, das die Wahrscheinlichkeiten für die jeweils nächste Ziehung von der vorigen abhängt. In einem solchen Fall sagt man, die Ereignisse sind voneinander abhängig. Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 5 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6 6..00 Unabhängigkeit von Ereignissen ei einem Urnenversuch (mehrfaches ziehen mit Zurücklegen), wird die nfangsbedingung immer wieder hergestellt, so dass die Wahrscheinlichkeit für die jeweils nächste Ziehung gleich ist, wie bei der ersten. In einem solchen Fall sagt man, die Ereignisse sind voneinander unabhängig. Eine Urne enthält grüne und rote Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander mit Zurücklegen gezogen. Es werden vier Ereignisse definiert: : Grün wird im. Zug gezogen : Grün wird im. Zug gezogen. C: Grün wird im ersten und zweiten Zug gezogen. D: Grün im zweiten Zug unter der edingung, dass grün bereits im ersten Zug gezogen wurde. Das aumdiagramm mit den zugehörigen fadwahrscheinlichkeiten:. /5. 9 ( gg) 0,6 5 5 5 /5 /5 6 ( gr) 0,4 5 5 5 /5 /5. 6 rg 0,4 5 5 5 /5 4 rr 0,6 5 5 5 Dem aumdiagramm ist zu entnehmen: Grün im. Zug: 5 0,6 9 6 5 Grün im. Zug: + 0,6 5 5 5 5 Für Grün im. Zug und grün im. Zug erhält man mit der 9 fadmultiplikationsregel ( C) 5 5 5 D wird abgelesen. 5 Die Wahrscheinlichkeit eine grüne Kugel zu ziehen bleibt immer gleich, da nach jedem Zug durch Zurücklegen der Kugel, die usgangssituation wieder hergestellt wird. Die Wahrscheinlichkeit für grün im. Zug unter der edingung, das grün im. Zug bereits gezogen wurde ist (D) (). Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 6 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 7 6..00 Ein usschnitt aus dem aumdiagramm: /5.. /5 () () fadmultiplikationsregel: 9 5 Eine uflistung der Ergebnisse ergibt: 5 ( ) es ist also 5 5 Damit gilt mit der fadmultiplikationsregel: Gilt () (), so beeinflusst das Eintreten des Ereignisses die Wahrscheinlichkeit von nicht. Man sagt, die Ereignisse und sind unabhängig voneinander. Unabhängige Ereignisse Das Ereignis heißt unabhängig vom Ereignis, wenn das Eintreten von die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von nicht beeinflusst. ( ) Es gilt: mit eispiel: Urnenziehung mit Zurücklegen. Merke: Für den Nachweis der Unabhängigkeit zweier Ereignisse und geht man wie folgt vor: ( ) Man berechnet ; und Gilt: mit, ( ) dann sind die Ereignisse und voneinander unabhängig, anderenfalls sind die Ereignisse und voneinander abhängig. Im aumdiagramm erkennt man die Unabhängigkeit von Ereignissen daran, dass in der. Stufe die Teilbäume gleich sind. Sind sie hingegen verschieden, dann sind die Ereignisse voneinander abhängig. Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 7 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 8 6..00 eispiel Die Seitenflächen eines idealen Würfels werden wie folgt eingefärbt. Zwei Seitenflächen mit der Farbe rot und zwei mit der Farbe grün. Eine Seitenfläche mit der Farbe schwarz und eine mit der Farbe blau. Der Würfel wird zweimal geworfen. Folgende Ereignisse werden definiert: : eim ersten Wurf erscheint die Farbe rot oder schwarz. : eim zweiten Wurf erscheint die Farbe grün oder blau. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse und voneinander unabhängig sind. Vorüberlegung: () r ( g ) und ( s) ( b) 6 6 erechnung von ( ); ( ) und ( ) {( rx ); ( sx )} mit x beliebig ( r) + ( s) + 6 {( xg ); ( xb )} mit x beliebig ( g) + ( b) + 6 ( rg ); ( rb ); ( sg ); ( sb) rg + rb + sg + sb 4 9 + + + + + + 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 Ergebnisse: ( ) ; ( ) ; ( ) 4 Zwei Ereignisse und sind unabhängig voneinander, wenn gilt: ( ) 4 Unabhängigkeit Die Ereignisse und sind unabhängig voneinander. { } Die Zusammenhänge sollen nun an einer 4- Feldtafel und dem zugehörigen aumdiagramm näher betrachtet werden. ekannt sind: ( ) ; ( ) ; 4 Daraus lassen sich die restlichen Werte für die 4- Feldtafel berechnen. Summe 4 4 4 4 ( ) Summe Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 8 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 9 6..00 Für das aumdiagramm werden nun alle bedingten Wahrscheinlichkeiten benötigt, die sich leicht mit den Werten der 4- Feldtafel berechnen lassen. ( ) ( ) : 4 4 4 ( ) ( ) : 4 4 4 ( ) ( ) : 4 4 4 ( ) ( ) : 4 4 4 Der Vergleich mit der 4- Feldtafel zeigt, dass alle Ereignisse unabhängig voneinander sind, denn es gilt. ; ; Man erkennt die Unabhängigkeit der Ereignisse voneinander auch daran, dass in der. Stufe des aumdiagramms die Teilbäume gleich sind. eispiel Ein Würfel in Form einer dreieckigen yramide hat 4 gleich große Flächen mit den Zahlen ; ; ; 4 (4rer- Würfel). Der Würfel wird zweimal geworfen. Folgende Ereignisse werden definiert: : eim. Wurf erscheint die Zahl oder und beim. Wurf die Zahl ; oder 4. : Die Zahl beim. Wurf ist eine andere als beim. Wurf. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse und voneinander unabhängig sind. 4 ( ) { } Vorüberlegung: 4 erechnung von ; und ; ; 4 ; ; ; 4 6 4 4 8 ; ; 4 ; ; ; 4 ; ; ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 4 4 4 {( ); ( 4 ); ( ); ( 4) } ( ) 4 6 4 Ergebnisse: ( ) ; ( ) ; ( ) 8 4 4 { } Zwei Ereignisse und sind unabhängig voneinander, wenn gilt: Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 9 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0 6..00 ( ) 4 4 8 bhängigkeit 4 Die Ereignisse und sind voneinander abhängig. Die Zusammenhänge sollen nun an einer 4- Feldtafel und dem zugehörigen aumdiagramm näher betrachtet werden. ekannt sind: ( ) ; ( ) 6 ; 8 4 8 4 8 Daraus lassen sich die restlichen Werte für die 4- Feldtafel berechnen. Summe 8 8 8 4 5 8 8 8 ( ) 6 Summe 8 8 Für das aumdiagramm werden nun alle bedingten Wahrscheinlichkeiten benötigt, die sich leicht mit den Werten der 4- Feldtafel berechnen lassen lassen. ( ) 8 ( ) : 8 8 8 8 ( ) 8 ( ) : 8 8 8 8 8 ( ) 4 5 4 8 4 4 ( ) : 4 8 8 5 8 5 5 5 8 8 ( ) 5 8 ( ) : 8 8 5 8 5 8 5 Der Vergleich mit der 4- Feldtafel zeigt, dass alle Ereignisse abhängig voneinander sind, denn es gilt. 6 4 6 ; 8 5 8 ; 8 5 8 Man erkennt die bhängigkeit der Ereignisse voneinander auch daran, dass in der. Stufe des aumdiagramms die Teilbäume ungleich sind. Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 0 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6..00 eispiel Eine Umfrage an Schulen über die Essgewohnheiten der Schüler hat ergeben, dass 45% aller Schüler gerne Schokolade essen. 55% aller Schüler ziehen andere Süßigkeiten vor. 60% aller Schüler gaben an Geschwister zu haben. 7% der Schüler haben Geschwister und essen gerne Schokolade. Ein Schokoladenhersteller interessiert sich dafür, ob Schüler mit Geschwister eine besondere Vorliebe für Schokolade haben. nders ausgedrückt: Hat die Tatsache, das ein Schüler Geschwister hat, einen Einfluss auf seine Vorliebe für Schokolade? Die Erhebungsdaten lassen sich in einer Vierfeldtafel darstellen: Summe 0,7 0, 0,6 0,8 0, 0,4 Summe 0,45 0,55 Die zugehörigen Ereignisse sind: : Der Schüler hat Geschwister. : Der Schüler isst gerne Schokolade. Überprüfung auf bhängigkeit: 0,6 ( ) 0,7 0, 45 0, 45 0,6 0,7 Die Ereignisse sind unabhängig voneinander. Das edeutet, ob ein Schüler Geschwister hat oder nicht, hat keinen Einfluss auf seine Vorliebe für Schokolade. Die Zusammenhänge sollen nun an dem zugehörigen aumdiagramm näher betrachtet werden. Für das aumdiagramm werden nun alle bedingten Wahrscheinlichkeiten benötigt, die sich leicht mit den Werten der 4- Feldtafel berechnen lassen lassen. 0,7 0,45 0,6 0, 0,55 0,6 0,8 0,45 0,4 0, 0,55 0,4 0,6 0,4 0,45 0,55 0,45 0,55 0,7 0, 0,8 0, Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6..00 Der Vergleich mit der 4- Feldtafel zeigt, dass alle Ereignisse unabhängig voneinander sind, denn es gilt. 0,45 ; 0,45 0,55 ; 0,55 Man erkennt die Unabhängigkeit der Ereignisse voneinander auch daran, dass in der. Stufe des aumdiagramms die Teilbäume gleich sind. eispiel mit inversen aum Ein erufskolleg hat 000 Schüler. Die folgende Vierfeldtafel gibt ufschluss darüber, wie die Handys auf die Schüler verteilt sind. : Weiblich : Männlich Summe : besitzt ein Handy 40 97 807 : besitzt kein Handy 4 79 9 Summe 54 476 000 a) erechnen Sie die relativen Häufigkeiten und tragen sie diese in eine neue Vierfeldtafel ein. b) enutzen Sie den Zusammenhang zwischen einer Vierfeldtafel und den aumdiagrammen um die äume zu zeichnen. c) erechnen Sie alle bedingten Wahrscheinlichkeiten und tragen Sie diese in die aumdiagramme ein. d) us der Gesamtheit aller Schüler wird einer zufällig ausgewählt.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die erson kein Handy?. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die erson weiblich?. Falls eine ausgewählte erson kein Handy hat, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie männlich? 4. Falls eine ausgewählte erson weiblich ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie ein Handy? 5. esteht ein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Handybesitz? a) :Weiblich : Männlich Summe : besitzt ein Handy 0,40 0,97 0,807 : besitzt kein Handy 0,4 0,079 0,9 Summe 0,54 0,476 Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6..00 b) : Schüler besitzt ein Handy : Schüler ist weiblich 0,40 0,807 0,97 0,9 0,4 0,079 0,54 0,476 : Schüler besitzt kein Handy : Schüler ist männlich 0,40 0,4 0,97 0,079. Merkmal: Handybesitz. Merkmal: Geschlecht fadwahrscheinlichkeiten. Merkmal: Geschlecht. Merkmal: Handybesitz fadwahrscheinlichkeiten c) erechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten Summe ( ) 0,40 ( ) 0,4 Summe 0,54 ( ) 0,97 ( ) 0,079 0,476 0,807 0,9 0, 40 0,508 0,807 0,97 0,49 0,807 0,4 0,59 0,9 0,079 0,409 0,9 : Schüler besitzt ein Handy : Schüler ist weiblich 0,508 0,40 0,807 0,49 0,97 0, 40 0,78 0,54 0,4 0,8 0,54 0,97 0,84 0, 476 0,079 0,66 0, 476 : Schüler besitzt kein Handy : Schüler ist männlich 0,54 0,78 0,8 0,40 0,4 0,9 0,59 0,409 0,4 0,079 0,476 0,84 0,66 0,97 0,079. Merkmal: Handybesitz. Merkmal: Geschlecht. Merkmal: Geschlecht. Merkmal: Handybesitz fadwahrscheinlichkeiten fadwahrscheinlichkeiten Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 4 6..00 d) Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten können nun direkt aus den aumdiagrammen abgelesen werden.. 0,9 Eine zufällig ausgewählte erson hat mit einer. 0,54 Wahrscheinlichkeit von 0,9 kein Handy. Eine zufällig ausgewählte erson ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,54 weiblich.. 0,409 Eine zufällig ausgewählte erson, von der man weiß, dass sie kein Handy hat, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,409 männlich. Eine zufällig ausgewählte erson, von der man weiß, dass sie weiblich ist, hat mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,78 ein Handy. 5. Überprüfung auf bhängigkeit. (Zusammenhang zwischen Geschlecht und Handybesitz) 4. 0,78 Das Ereignis ist unabhängig vom Ereignis falls gilt: nderenfalls sind die Ereignisse voneinander abhängig. Mit den bereits vorliegenden Ergebnissen lässt sich zeigen: 0,78 0,807 0,84 0,807 0,8 0,9 0,66 0,9 Das bedeutet, in allen Fällen besteht eine bhängigkeit zwischen Geschlecht und dem Handybesitz. us den aumdiagrammen lässt sich die bhängigkeit der Ereignisse direkt ablesen, denn die Teilbäume der. Stufe sind verschieden. Hat man den Zusammenhang einer Vierfeldtafel mit den aumdiagrammen begriffen, dann lassen sich solche ufgaben auch mit weniger ufwand lösen. Das soll nun folgendes eispiel zeigen. eispiel: Viele Internetnutzer klagen über Spam- Mails. Nehmen wir an, in % der guten und 40% der Spam- Mails komme das Wort Viagra vor. ußerdem seien 0% der Mails gut und 90% Spam. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mail, von der man weiß, das in ihr das Wort Viagra vorkommt, eine Spam- Mail ist.? Ereignisse : : Mail enthält das Wort Viagra : Mail enthält nicht das Wort Viagra : Spam-Mail : gute Mail. ufstellen der Vierfeldtafel mit den vorgegebenen Daten. Die % Werte entsprechen relativen Häufigkeiten (Wahrscheinlichkeiten) 90 % Spam bedutet Summe Spam 0,9 0% gute Mails bedeutet Summe gute Mails 0, 40% der Spam-Mails mit Viagra bedeutet 0,9 x 0,4 0,6 % der guten Mails mit Viagra bedeutet 0, x 0,0 0,00 Die restliche Werte kann man ausrechnen, da die Summen bekannt sind. Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 4 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5 6..00 : Spam-Mail : Gute Mail Summe : mit Viagra 0,6 0,00 : ohne Viagra Summe 0,9 0, Spam ohne Viagra: 0,9 0,6 0,54 Gute Mail ohne Viagra: 0, 0,00 0,099 Summe aller Mails mit Viagra: 0,6 + 0,00 0,6 Summe aller Mails ohne Viagra: 0,54 + 0,099 0,69 Mit diesen Werten wird die Vierfeldtafel nun vervollständigt. : Spam-Mail : Gute Mail Summe : mit Viagra 0,6 0,00 0,6 : ohne Viagra 0,54 0,099 0,69 Summe 0,9 0, Die ufgabenstellung lautete: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mail, in der Viagra steht, Spam ist? Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit von unter der edingung, dass eingetreten ist. ( ) 0,6 mit ( ) 0,6 und 0,6 ist 0,997 0,6 Das bedeutet, in 99,7% aller Fälle ist eine Mail, von der man weiß, das in ihr das Wort Viagra steht, eine Spam- Mail. Übung: Die Tabelle zeigt Frauen und Männer einer Firma, unterteilt nach Raucher und Nichtraucher. : Frauen : Männer Summe : Raucher 00 800 000 : Nichtraucher 00 00 500 Summe 500 000 500 a) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine erson anzutreffen, die Raucher ist. b) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Frau anzutreffen. c) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Raucherin anzutreffen. d) Sie Treffen eine Frau an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie Raucherin? e) Überprüfen Sie, ob die Ereignisse und voneinander abhängig sind. Lösung: Um die Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können, benötigen wir die relativen Häufigkeiten der Ereignisse. Im vorigen eispiel gab es Rundungsfehler. Um diese möglicht zu vermeiden, sollte man die relativen Häufigkeiten und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten in ruchform darstellen. Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 5 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6 6..00 : Frauen : Männer Summe :Raucher 00 800 8 000 0 500 5 500 5 500 5 : Nichtraucher 00 00 500 5 500 5 500 5 500 5 Summe 500 5 000 0 500 5 500 5 500 5 500 5 a) Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine erson anzutreffen, die Raucher ist, beträgt 0,666 b) Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Frau anzutreffen, beträgt 5 0, 5 c) Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Raucherin anzutreffen, beträgt 0, 5 d) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine angetroffene Frau Raucherin ist, beträgt 5 0,4 5 5 5 e) Zwei Ereignisse und sind unabhängig voneinander, wenn gilt: ( ) 5 5 5 bhängigkeit Die Ereignisse und sind voneinander abhängig. Zusammenfassung: edingte Wahrscheinlichkeit Der Satz Von ayes Unabhängige Ereignisse Für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses unter der edingung, dass das Ereignis bereits eingetreten ( ) ist, gilt: Das Ereignis heißt unabhängig vom Ereignis, wenn das Eintreten von die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von nicht beeinflusst. ( ) Es gilt: mit Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 6 von 7
R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 7 6..00 Zusammenhang zwischen Vierfeldtafel und aumdiagramm Vierfeldtafel ( ) ( ) ( ) aumdiagramm ( ) Vertauscht man bei einem aumdiagramm die Reihenfolge der betrachteten Ereignisse, dann erhält man das umgekehrte oder inverse aumdiagramm. Die Wahrscheinlichkeiten an den fadenden stimmen in beiden aumdiagrammen bis auf die Reihenfolge überein. Die fadwahrscheinlichkeiten und damit auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich im llgemeinen voneinander. Sie beziehen sich auf verschiedene Ereignisse und daher auch auf verschiedene Teilgesamtheiten. Es gilt stets. eachten Sie aber: Umgekehrte Vierfeldtafel ( ) ( ) Umgekehrtes aumdiagramm Vierfeldtafel und aumdiagramm bei stochastischer Unabhängigkeit ei stochastisch unabhängigen Ereignissen und steht im ersten Feld der Vierfeldtafel für ( ) das rodukt. Für die weiteren Felder gilt entsprechend einer Multiplikationstabelle ähnliches. Im aumdiagramm erkennt man die Unabhängigkeit von Ereignissen daran, dass in der. Stufe die Teilbäume gleich sind. Vierfeldtafel ( ) ( ) ( ) ( ) aumdiagramm Erstellt von Rudolf rinkmann p9_w_rechnung_08.doc 6..0 :55 Seite: 7 von 7