Mathematik für Klasse 6 Rechnen mit Dezimalzahlen 16 Trainingseinheiten zum Unterricht Dazu gehört auch eine Einführung in die Anfänge der Prozentrechnung. Datei Nr. 10310 Friedrich W. Buckel Stand: Stand 28. März 2008 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de
Wichtiges Vorwort Dieses Manuskript für die Klassenstufe 6 hat folgende Konzeption: Die Zielgruppe sind in erster Linie die Eltern, die ihren Kindern helfen wollen, sowie Schüler der Klasse 6 selbst, was jedoch problematisch ist, weil die Abstraktionsfähigkeit in diesem Alter noch nicht sehr weit entwickelt ist. Dementsprechend fällt es Kindern der Klasse 6 noch schwer, einen mathematischen Text alleine zu lesen und so den Gedankengängen zu folgen. Daher verzichte ich weitgehend auf Herleitungen, die bestimmte Methoden oder Tatsachen begründen oder erklären sollen. Diese wären für den Lehrer wichtiger, und sie gehören in den Unterricht, damit die Kinder auch lernen, solchen Überlegungen zu folgen. Daher liefere ich hier zu wichtigen Themen die Berechnungsmethoden in so genannten Trainingseinheiten und zeige an Musterbeispielen, wie man bestimmte Aufgaben löst und (was sehr wichtig ist) wie man den Lösungsweg darstellt. Die Prozentrechnung wurde nicht komplett besprochen. Die Aufgaben, den Prozentsatz zu berechnen fehlen beispielsweise. In Klassenstufe 7 wird dieses Thema ausführlich behandelt. Dann steht auch der Taschenrechner zur Verfügung, den man dabei eigentlich haben sollte. Die ausführliche Prozentrechnung kann man im Text mit der Nummer 10551 nachlesen. Friedrich Buckel
Inhalt 1. Training: Zahlen durch Zehnerpotenzen teilen bzw. mit Zehnerpotenzen multiplizieren 1 2. Training: Dezimalzahlen addieren 6 3. Training: Dezimalzahlen subtrahieren 7 4. Training: Schwierige Subtraktionsaufgaben 9 5. Training: Klammeraufgaben lösen 10 6. Training: Multiplikation von Dezimalzahlen 12 7. Training: Periodische Dezimalzahlen 15 8. Training: Periodische Dezimalzahlen in Brüche umrechnen 19 9. Training: Periodische Dezimalzahlen mit Vorziffer in Brüche umrechnen 21 10. Training: Division durch eine natürliche Zahl 23 11. Training: Division durch eine Dezimalzahl 25 12. Training: Alle Kommaregeln im Überblick 28 13. Training: Brüche und Dezimalzahlen gemischt 31 14. Bruchteile von Größen 32 15. Training: Textaufgaben 38 16. Training: Einfaches Prozentrechnen 44 17. Training: Anwendung der Prozentrechnung: Zunahme und Abnahme 47 Lösung aller Aufgaben Seite 54-74
10310 Klasse 6 Dezimalzahlen - Lösungen 1 1. Training: Zahlen durch Zehnerpotenzen teilen oder multiplizieren Dies ist Lesestoff mit Erklärungen zur Einführung der Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Brüche in anderer Schreibweise. Merke: Statt 1 10 Statt 1 Statt 1 0 schreibt man auch 0,1 schreibt man auch 0,01 schreibt man auch 0,001. Dahinter steckt die Tatsache, dass Brüche Divisionsaufgaben sind: 3 71 Etwa = 3 und = 710. 10 Wer diese Schreibweise mit dem Komma besser verstehen will, sollte diese Reihe von Divisionen ansehen: 3000 = 300 300 = 30 30 = 3 3= 0,3 Schematisch sieht das so aus: Bei Division durch 10 rückt die 3 immer weiter nach rechts und dann hinter das Komma. Man kann auch sagen: Das Komme rückt immer weiter nach links. Oder diese: 3000 300 0 300 30 0 30 3 0 3 3= 0,3 7 = 710 710 = 71 71 = 7,1 Bei Division durch 10 rückt die 1 immer weiter nach rechts und dann hinter das Komma bzw. das Komma rückt jeweils um 1 Stelle nach links. 7 710 0 710 71 0 Dividiert man durch, rückt das Komma immer gleich um 2 Stellen nach links: 71 7 1= 7,1 Oder 3000 = 3000 0 = 30 30 = 30 0 = 0,30 0 3000 30 00 0 30 0 30 = 0,30 0 7 71 00 0 71 0 71 = 0,71
10310 Klasse 6 Dezimalzahlen - Lösungen 2 Schaue dazu diese Divisionen an: 205 Also gilt = 0,205. 0 Wir untersuchen jetzt die Bedeutung der Zahl 4,5: 5 45 Man kann 4,5 als gemischten Bruch darstellen: 4,5 = 4 10 = 10 4 94 Oder: 9,4 = 9 10 = 10 6 146 Oder: 14,6 = 14 10 = 10 0 Oder: 7,0 = 7 = 7 Daraus kann man folgendes lernen: 10 1. Man kann eine ganze Zahl mit Komma 0 schreiben, etwa 4 = 4,0, 13 = 13,0 usw. 2. Dividiert man eine ganze Zahl, die keine Zehnerzahl ist (also am Ende keine 0 hat) durch 10, dann rückt das Komma um eine Stelle nach links: 45 = 45 : 10 = 45,0 : 10 = 4,5 0 = 4,5 10 94 = 94,0 = 9,4 usw. 10 Dividiert man durch, rückt das Komma um 2 Stellen nach links: 45 = 45 0 = 45,0 0 = 0,45 = 0,45 173 = 173,0 0 = 1,73. Dazu noch mehr Beispiele: 00 205.000 205 000 00 205 205 = 0,205 236 : 10 = 23,6 236 : = 2,36 236 00 = 0,236 1427 : 10 = 142,7 1427 : = 14,27 1427 : 0 = 1,427 1427 000 = 0,1427 32700 : 10 = 3270, 0 = 3270 32700 : = 327, 00 = 327 32700 : 0 = 32,7 00 = 32,7 32700 : 10.000 = 3,27 00 = 3,27 32700 :.000 = 0,327 00 = 0,327 Hier rückt das Komma immer um so viele Stellen nach links, wie der Divisor (10,, 0 usw.) Nullen hat. Nullen, die hinter dem Komma am Ende stehen, kann man weglassen. Diese habe ich blau markiert. Warum das so ist, zeige ich auf der nächsten Seite.
10310 Klasse 6 Dezimalzahlen - Lösungen 3 Das Weglassen von End-Nullen entspricht dem Kürzen bei Brüchen: 30 3 = 0,30 und = 0,3 10 30 3 Weil aber = ist, gilt auch 0,30 = 0,3!!! 10 Noch ein Beispiel: 310 31 = 0,310 und = 0,31. 0 10 310 31 Weil aber = ist, gilt auch 0,310 = 0,31. 0 10 Also darf man hinter dem Komma an der letzten Stelle Nullen weglassen oder auch anfügen, wenn man sie benötigt. 4,1 = 4,10 = 4, = 4,0 usw. 31,5 = 31,50 = 31,500 usw. 145,800 = 145,80 = 145,8 0,003500 = 0,00350 = 0,0035 Die Nullen links von der 3 müssen stehen bleiben, denn 0,35 ist nicht dasselbe wie 0,0035: 35 0,35 = aber 0,0035 =. 35 Beispiele zur Kommaverschiebung bei Multiplikation mit Zehnerpotenzen a) 2,357 10= 2 3,57 = 23,57 00 Bei dieser Multiplikation mit 10 wird das Komma um 1 Stelle nach rechts verschoben. Wenn man wissen will warum, dann muss man die Dezimalzahl als Bruch schreiben: 2,357 10 2 10 357 2357 10 2357 57 = = 0 0 = = 23 = 23,57 Rest auf CD