Elemente der Mathematik

Friedrich-Schiller-Universität Jena Institut für Mathematik Wintersemester 2013/14 Elemente der Mathematik Lehramt Mathematik Regelschule B.A. Ergänzungsfach Mathematik Simon King Stand 4. Februar 2014

Inhaltsverzeichnis 1 Logik und Beweistechniken 1 1.1 Aussagen................................ 1 1.1.1 Typische Missverständnisse................. 2 1.2 Tautologien.............................. 3 1.3 Beweistechniken............................ 4 1.4 Ausblick auf ein späteres Kapitel.................. 6 2 Mengen 7 2.1 Der Mengenbegriff.......................... 7 2.2 Beispiele von Mengen und Mengenkonstruktionen......... 8 2.3 Aussageformen und Quantoren: Prädikatenlogik.......... 11 2.4 Die Russell Antinomie........................ 12 3 Abbildungen und Relationen 14 3.1 Abbildungen.............................. 14 3.1.1 Das Auswahlaxiom...................... 17 3.2 Binäre Relationen........................... 19 3.2.1 Äquivalenzrelationen..................... 20 3.2.2 Ordnungsrelationen...................... 21 4 Natürliche Zahlen und Induktion 22 4.1 Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen................ 23 4.1.1 Gleichmächtigkeit....................... 23 4.1.2 (Un-)endliche Mengen.................... 24 4.2 Natürliche Zahlen als Ordinalzahlen................. 26 4.3 Die Peano Axiome in Beweisen und Definitionen.......... 27 4.3.1 Vollständige Induktion.................... 27 4.3.2 Rekursive Definitionen.................... 29 5 Elementare Arithmetik 30 5.1 Addition................................ 30 5.1.1 Kommutativität der Addition................ 31 5.1.2 Assoziativität der Addition.................. 32 5.2 Multiplikation............................. 34 5.2.1 Kommutativität der Multiplikation............. 35 5.2.2 Assoziativität der Multiplikation.............. 36 5.3 Die Wohlordnung der natürlichen Zahlen.............. 36 5.4 Die Umkehroperationen....................... 39 5.4.1 Subtraktion.......................... 39 5.4.2 Division mit Rest....................... 40

6 Abstrakte Algebra 41 6.1 Magmen und Monoide........................ 41 6.2 Gruppen................................ 43 6.2.1 Symmetriegruppen...................... 43 6.2.2 Symmetrische Gruppen.................... 44 6.2.3 Anwendungen und einfache Eigenschaften von Gruppen.. 44 6.2.4 Untergruppen......................... 46 6.2.5 Der Satz von Lagrange.................... 48 6.2.6 Die Ordnung eines Elements................. 49 6.2.7 Gruppenhomomorphismen.................. 49 7 Ringe und Körper 51 7.1 Die ganzen Zahlen.......................... 52 7.2 Quotientenkörper und die rationalen Zahlen............ 55 7.3 Restklassenringe............................ 58 7.3.1 Anwendungen......................... 59 7.4 Die reellen Zahlen........................... 61 7.5 Polynome............................... 62 7.5.1 Der größte gemeinsame Teiler................ 65 7.6 Die komplexen Zahlen........................ 67 7.6.1 Die Gaußsche Zahlenebene.................. 68 7.6.2 Komplexe Zahlen und Polynome............... 69 8 Elementare Kombinatorik 71 8.1 Exponentialfunktion......................... 71 8.2 Fakultät................................ 71 8.3 Binomialkoeffizienten......................... 72 8.3.1 Der kleine Satz von Fermat................. 73 8.4 Das Vorzeichen einer Permutation.................. 74 Index 77 ii

1 Logik und Beweistechniken Alle Menschen sind Säugetiere. Aber daraus folgt noch lange nicht, dass jedes Säugetier ein Mensch ist. In diesem Abschnitt geht es darum, welche Schlussfolgerungen zulässig sind. Außerdem wird einiges an Notation eingeführt. Bemerkung 1.1 Logik ist ein eigenständiges Teilgebiet der Mathematik mit entsprechenden Spezialvorlesungen in höheren Semestern. Es geht dabei zum Beispiel um die Frage, ob sich alle wahren Aussagen auch beweisen lassen. Auch nichtzweiwertige Logiken können thematisiert werden. Das alles ist jedoch nicht Gegenstand dieser Vorlesung. 1.1 Aussagen Es geht in diesem Abschnitt um die klassische zweiwertige Aussagenlogik: Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Wir kürzen wahr als W und falsch als F ab und benutzen Großbuchstaben P, Q,... als Platzhalter für Aussagen. Jeder Mensch ist ein Säugetier ist eine wahre Aussage. Die Eins ist eine negative Zahl ist auch eine Aussage, allerdings eine falsche. Dagegen sind Was möchten Sie trinken?, Ein Kännchen Kaffee und Holen Sie den Geschäftsführer! jeweils keine Aussagen im Sinne der Logik, auch wenn sich sprachpragmatisch dahinter zum Teil Aussagen verbergen, etwa Ich möchte ein Kännchen Kaffee trinken. Bemerkung 1.2 In der Sprachwissenschaft unterscheidet man Syntax, Semantik und Pragmatik. In der Pragmatik geht es um den Inhalt konkreter sprachlicher Äußerungen, was jedoch nicht Gegenstand der Aussagenlogik ist. Die Syntax untersucht strukturelle Eigenschaften von (natürlichen oder künstlichen) Sprachen, unabhängig von der Bedeutung. Syntaktische Regeln spielen auch in der Aussagenlogik eine Rolle. Die Semantik befasst sich mit der Bedeutung sprachlicher Ausdrücke, losgelöst von den konkreten sprachlichen Äußerungen. Darum geht es auch in der Aussagenlogik. Verneinung Aussagen können verneint werden: aus Ich mag Schokolade wird etwa Ich mag Schokolade nicht. Bei der Verneinung von komplexen Aussagen, wie etwa Wenn der Koch betrunken ist, dann ist die Suppe versalzen oder die Bohnen sind nicht gar, muss man jedoch vorsichtig sein. Bezeichnung Ist P eine Aussage, so bezeichnet P die verneinte Aussage. 1

Aussagen zusammensetzen Man kann zwei Aussagen zu einer Aussage zusammenfassen, etwa Der Eisverkäufer ist da und ich habe gerade Taschengeld bekommen, oder Wenn du mir einen deiner Lollis gibst, dann bin ich dein bester Freund. Die verschiedenen Wege, Aussagen zusammenzufassen, kann man gut mit Wahrheitstafeln voneinander unterscheiden. Wir betrachten die folgenden vier grundlegenden Arten, zwei Aussagen zu einer neuen Aussage zu verknüpfen: a) Und: Ich mag Schokolade und ich hasse Pilze. Notation: P Q, gesprochen P und Q. b) Oder: Ich werde den Rasen mähen oder Unkraut jäten (oder vielleicht sogar beides). Notation: P Q, gesprochen P oder Q. c) Implikation: Wenn es morgen regnet, dann bleibe ich auf jedem Fall zu Hause (aber vielleicht tue ich das sowieso). Notation: P Q, gesprochen Wenn P, dann Q bzw. Aus P folgt Q. d) Äquivalenz: Wenn du sofort die Spülmaschine leerst, bekommst du einen Kakao sonst aber nicht. Notation: P Q, gesprochen P genau dann wenn Q. Hier sind die zugehörigen Wahrheitstafeln: P Q P P Q P Q P Q P Q F F W F F W W F W W F W W F W F F F W F F W W F W W W W 1.1.1 Typische Missverständnisse Im echten Leben TM kommt es häufig zu Missverständnissen bei der Verwendung zusammengesetzter Aussagen. P Q ist nur falsch, wenn P, Q beide falsch sind. Im Alltag jedoch wird P oder Q bisweilen im Sinne von entweder P oder Q verwendet. In der Mathematik wird zwischen diesen beiden Aussagen deutlich unterschieden. Noch mehr Konfusion herrscht im Umgang mit Implikationen. P Q ist nur falsch, wenn P wahr und Q falsch ist. Im Alltag wird P Q bisweilen mit P Q verwechselt, ist also auch dann falsch, wenn P falsch und Q wahr ist. Darüber hinaus werden Wenn Dann Konstruktionen auch im zeitlichen oder im irrealen Sinne verwendet: Wenn ich groß bin, werde ich Feuerwehrmann wird als Aussage über die Zukunft gebraucht und impliziert, dass ich einmal groß sein werde. 2

Wenn ich reich wäre, würde ich mir eine eigene Insel kaufen wird im irrealen Sinne gebraucht und impliziert, dass ich nicht reich bin. In der Aussagenlogik impliziert P Q jedoch weder die Wahrheit noch die Unwahrheit von P. 1.2 Tautologien Vergleichen wir die Wahrheitstafeln von P ( Q) und (P Q): P Q Q P Q P ( Q) (P Q) ( (P Q)) (P ( Q)) F F W W F F W F W F W F F W W F W F W W W W W F W F F W Aus der Wahrheitstafel erkennen wir: die Verneinung von P Q ist P ( Q); und die Aussage ( (P Q)) (P ( Q)) ist immer wahr, egal welche Aussagen P, Q sind. Eine solche immer wahre Aussage nennt man eine Tautologie. Das Wort Tautologie stammt aus dem Griechischen und bedeutet wörtlich dasselbe Sagendes. Nach dem oben gesagten ist also ( (P Q)) (P ( Q)) eine Tautologie. Weitere Tautologien sind P ( P ) und die de Morgan schen Regeln (P Q) ( P ) ( Q) (P Q) ( P ) ( Q) wie in den Übungsaufgaben nachgewiesen werden soll. Dagegen ist (P Q) (Q P ) keine Tautologie, denn dies ist eine Aussage, die nicht für alle Aussagen P, Q wahr ist: P Q P Q Q P (P Q) (Q P ) F F W W W F W W F F W F F W W W W W W W Das ist gut so, denn mit P : Dieses Tier ist eine Maus und Q: Dieses Tier ist ein Vierbeiner hätten wir sonst gezeigt, dass wenn Mäuse Vierbeiner sind, dann müssen auch Vierbeiner Mäuse sein was natürlich falsch ist. 3

1.3 Beweistechniken Die Aussage (P Q) ( Q P ) eine Tautologie: P Q P Q P Q Q P (P Q) ( Q P ) F F W W W W W F W W F W W W W F F W F F W W W F F W W W Die Aussagen P Q und ( Q) ( P ) haben also die gleichen Wahrheitstafeln und sind daher zueinander bedeutungsgleich. Darüber hinaus ist auch (P Q) F zu P Q bedeutungsgleich. Will man zeigen, dass Aussage Q aus Aussage P folgt, so gibt es drei verschiedene Strategien. Welche der drei am besten passt, hängt vom jeweiligen Problem ab. Der direkte Beweis P Q: Wir nehmen an, dass P wahr ist, und folgern daraus (zum Beispiel durch eine Rechnung), dass Q wahr sein muss. Der Beweis durch Kontraposition Q P : Wir nehmen an, dass Q falsch ist, und folgern daraus, dass P falsch sein muss. Der Widerspruchsbeweis (P Q) F : Wir nehmen an, dass P wahr ist und Q falsch. Hieraus leiten wir einen Widerspruch her. Anwendung in der Praxis Mit Hilfe eines Beweises durch Kontraposition und eines Widerspruchsbeweises beweisen wir eine Aussage, die zuerst im 5. Jhdt. v. Chr. von den Pythagoreern 1 bewiesen wurde: 2 is irrational. Wir folgen im Wesentlichen dem von Euklid 2 überlieferten Beweis. Der Vollständigkeit halber geben wir am Ende des Abschnitts noch ein Beispiel eines direkten Beweises. Wir setzen hier voraus, dass die Grundrechenarten mit natürlichen, rationalen und reellen Zahlen aus der Schule bekannt sind. Der Aufbau des Zahlenbereichs wird später in der Vorlesung systematisch behandelt werden. Wir verwenden hier das für die Mathematik sehr typische Schema Definition Satz Beweis, das Ihnen bestimmt noch oft begegnen wird: Zuerst werden wir einige Begriffe definieren, mit denen die zu beweisende Aussage (der Satz) formuliert wird, der dann schließlich bewiesen wird. Im Beweis des Satzes wird wiederum ein Hilfssatz mit zugehöriger Definition und Beweis verwendet. Einen Hilfssatz nennt man häufig Lemma (Mehrzahl: Lemmata ). Definition 1.3 Eine reelle Zahl x heißt irrational, genau dann wenn es keine ganze Zahlen m und n > 0 gibt, für die x = m gilt. n 1 Pythagoras von Samos, ca. 570 v. Chr. bis nach 510 v. Chr. 2 Euklid lebte im 3. Jhdt. v. Chr vermutlich in Alexandria 4

Bemerkung 1.4 Definitionen sind wahre Aussagen und sind meist aus drei Teilaussagen zusammengesetzt: Der Voraussetzung V (hier: x ist eine reelle Zahl ), dem zu definierenden Begriff B (hier: x heißt irrationale ) und der definierenden Eigenschaft E (hier: Es gibt keine ganzen Zahlen m und n, für die x = m n gilt ). Die Bedeutung von B wird erst durch die Definition festgelegt, und zwar so, dass V (B E) eine Tautologie ist. Bemerkung 1.5 Es kommt vor, dass man einen Begriff definiert und sich dann (möglicherweise erst nach Jahren intensiver Arbeit) herausstellt, dass es kein Beispiel für diesen Begriff gibt. Das macht aber nichts, denn auch ein solches negatives Ergebnis kann interessant sein. Definition 1.6 Es sei y eine positive reelle Zahl. x heißt Quadratwurzel von y (notiert als x = y), genau dann wenn x eine positive reelle Zahl ist mit x 2 = y. Im Lemma benötigen wir noch folgende Definition. Definition 1.7 Eine natürliche Zahl n heißt gerade es gibt eine natürliche Zahl m, so dass n = 2 m. Bemerkung 1.8 Wir verwenden im Beweis die aus der Schule bekannte Tatsache, dass es für jede natürliche Zahl n eine natürliche Zahl m gibt, so dass entweder n = 2 m oder n = 2 m + 1 gilt. Satz 1.9 Wenn x = 2, dann ist x irrational. Wir formulieren und beweisen nun ein Lemma, mit dessen Hilfe wir auch Satz 1.9 beweisen. Das Ende eines Beweises wird in mathematischen Texten meist extra markiert. Klassisch wäre q.e.d für das lateinische quod erat demonstrandum ( was zu beweisen war ). Wir verwenden hier einfach ein schwarzes Kästchen als Beweisendzeichen. Lemma 1.10 Es sei n eine ganze Zahl. Wenn n 2 gerade ist, dann ist n gerade. Beweis. Wie führen einen Beweis durch Kontraposition. Wenn eine ganze Zahl n nicht gerade ist, dann gibt es eine ganze Zahl m mit n = 2m + 1 (siehe Bemerkung 1.8). Damit ist n 2 = (2m + 1) 2 = 4 (m 2 + m) + 1, also ist n 2 nicht gerade. Beweis von Satz 1.9. Diesmal führen wir einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass x = 2 und dass gleichzeitig x nicht irrational ist. Mit anderen Worten, wir nehmen an, der Satz sei falsch. Aus dem zweiten Teil der Annahme folgt, dass es ganze Zahlen m und n > 0 mit x = m gibt. Wie aus der Schule bekannt ist, kann man gemeinsame Teiler n von Zähler und Nenner eines Bruches kürzen, ohne den Wert des Bruches zu 5

verändern. Wir können also (ohne eine zusätzliche Annahme!) erreichen, dass m und n teilerfremd sind. Zusammen mit dem ersten Teil der Annahme und der Definition der Quadratwurzel folgt, dass ( ) 2 m n = m 2 = 2. Daher ist m 2 = 2n 2, also ist m 2 gerade. n 2 Wegen Lemma 1.10 folgt, dass m gerade ist. Nach Definition gibt es also eine ganze Zahl r mit m = 2r. Aus m 2 = 2n 2 folgt dann 4r 2 = 2n 2, also n 2 = 2r 2, also ist n 2 gerade. Wiederum wegen Lemma 1.10 folgt, dass auch n gerade ist. Aber m und n sind teilerfremd, also können sie nicht beide gerade (also durch 2 teilbar) sein. Unsere Annahme, dass der Satz falsch ist, führte zu einem Widerspruch. Der Satz ist also wahr. Der Vollständigkeit halber führen wir noch einen kleinen direkten Beweis. Lemma 1.11 Wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist n 2 eine gerade Zahl. Beweis. Wir führen einen direkten Beweis. n ist gerade. Also gibt es nach Definition eine natürliche Zahl m mit n = 2m. Damit ist n 2 = (2m) 2 = 2 (2m 2 ). Also ist (wieder nach Definition) n 2 eine gerade Zahl. 1.4 Ausblick auf ein späteres Kapitel In einigen der oben verwendeten Aussagen traten bereits so genannte Quantoren auf: Es gibt eine natürliche Zahl m, so dass n = 2 m; jede Maus ist ein Säugetier. Durch Quantoren lassen sich Aussagen über Elemente von Mengen formulieren. Wir werden daher im kommenden Kapitel zunächst auf den Mengenbegriff eingehen, bevor wir uns in Abschnitt 2.3 den Quantoren und damit noch einmal der Logik zuwenden. 6

2 Mengen 2.1 Der Mengenbegriff Wer Mathematik-Vorlesungen besucht, wird mit sehr vielen Definitionen konfrontiert. Eine zufriedenstellende Definition des Mengenbegriffs ist aber in den ersten Semestern nicht dabei, stattdessen wird erwartet, dass man ungefähr weiß, was eine Menge ist. Traditionell gibt man anstelle einer formalen Definition das folgende Zitat von Georg Cantor [1845 1918], dem Begründer der Mengenlehre, wieder: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895) Somit bilden die rationalen Zahlen eine Menge, und die Städte Thüringens mit mehr als 50.000 Einwohnern bilden eine andere. Eine andere informelle Beschreibung des Mengenbegriffs stammt von Felix Hausdorff [1868 1942]: Eine Menge ensteht durch Zusammenfassung von Einzeldingen zu einem Ganzen. Eine Menge ist eine Vielheit, als Einheit gedacht. (F. Hausdorff, 1927) Allerdings sind manche Zusammenfassungen, die man sich vorstellen kann, die Zusammenfassung aller Mengen, zum Beispiel so groß, dass man sie nicht als Mengen durchgehen lassen kann. Zusammenfassungen von Einzeldingen können nur Mengen genannt werden, wenn sie noch weitere Eigenschaften besitzen: Mengen erfüllen die Zermelo 3 Fraenkel 4 Axiome. Aus diesen Axiomen folgt, dass die Gesamtheit aller Mengen keine Menge bildet (Satz 2.13). Diese Axiome haben sich in fast 100 Jahren mathematischer Arbeit bewährt; es traten insbesondere keine Widersprüche zutage. Kurt Gödel [1906 1978] hat allerdings bewiesen, dass man die Widerspruchsfreiheit der Zermelo Fraenkel Mengenlehre nicht beweisen kann. Anstatt die Zermelo Fraenkel Axiome alle aufzulisten, werden wir lediglich einige Grundbeispiele und Konstruktionsmöglichkeiten von Mengen angeben, welche für die normale mathematische Arbeit ausreichen, und benennen meist auch das Axiom, auf dem die jeweilige Konstruktion basiert. Wer an einer genauen Formulierung der Axiome interessiert ist, kann sie anhand des Namens leicht in einem Lexikon nachlesen. 3 Ernst Zermelo [1871 1953] 4 Abraham Fraenkel [1892 1965] 7

2.2 Beispiele von Mengen und Mengenkonstruktionen Mengen bestehen aus Elementen. Ist x ein Element der Menge M, so drückt man diese Tatsache durch die Bezeichung x M aus. Statt (x M) schreibt man x / M. Für die Menge Z der ganzen Zahlen gilt zum Bespiel 1 Z aber 1 2 Z. Wir werden später noch definieren, wann eine Menge unendlich heißt, und dann ist eine endliche Menge einfach eine Menge, die nicht unendlich ist. Aber soweit sind wir noch nicht. Wir verwenden daher zunächst den intuitiven Begriff: Eine Menge M heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält. Deren Anzahl nennt man die Mächtigkeit oder Kardinalität M. Es gibt im wesentlichen drei Methoden, eine Menge anzugeben: a) Man listet alle Elemente auf, etwa M = {1, 3, 4, 6} mit M = 4. Das geht natürlich nur im Falle von endlichen Mengen. b) Man startet mit einer bestehenden Menge und bildet eine neue Menge aus genau den Elementen, die eine bestimmte vorgegebene Eigenschaft erfüllen, zum Beispiel M = {n N n ist durch 3 teilbar und n 2 hat als letzte Ziffer eine 4}. Dies nennt man Aussonderungsaxiom; vgl. Axiom 2.12. c) Man startet mit einer bestehenden Menge und ersetzt nach einem vorgegebenen Bildungsgesetz jedes ihrer Elemente durch ein anderes Object unserer Anschauung oder unseres Denkens. Zum Beispiel kann man für jede natürliche Zahl n die Menge aller regelmäßigen n Ecke bilden; die Gesamtheit dieser Mengen bildet die Menge {{Regelmäßige n Ecke} n N} Dass man auf diese Weise stets wieder eine Menge erhält, besagt das Ersetzungsaxiom. Man beachte, dass im letzten Beispiel die Elemente der Menge selbst wieder Mengen sind. Die letzten beiden Konstruktionsmethoden können wir natürlich nur nutzen, wenn uns bereits Mengen zur Verfügung stehen. Dies sind zum Beispiel die folgenden Mengen: Die leere Menge = {}, die keine Elemente enthält. Dass es die leere Menge gibt, wird im Leermengenaxiom festgelegt. N Die Menge N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} aller natürlichen Zahlen zumindest nach DIN Norm 5473 gehört die Null zu den natürlichen Zahlen. Die Existenz von N folgt aus dem Unendlichkeitsaxiom. 8

N Die Menge N = {1, 2, 3, 4, 5,...} aller positiver natürlicher Zahlen wieder nach DIN-Norm 5473. Z Die Menge Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} aller ganzen Zahlen Q Die Menge der rationalen Zahlen R Die Menge der reellen Zahlen C Die Menge der komplexen Zahlen (kommt noch) Bemerkung 2.1 DIN Norm 5473 wird von vielen Mathematikern ignoriert. Sie sollten also immer auf den Kontext achten, ob 0 N. Wer N = {1, 2, 3, 4,...} verwendet, der schreibt meistens N 0 = {0, 1, 2, 3,...}. Axiom 2.2 (Gleichheit von Mengen, Extensionalitätsaxiom) Zwei Mengen M, N sind genau dann gleich (symbolisch M = N), wenn jedes Element aus M auch ein Element aus N und jedes Element aus N auch ein Element aus M ist. Beachten Sie hierzu: Die Mengen {1, 2, 3} und {1, 2, 2, 3} sind gleich, denn jedes Element der ersten Menge ist Element der zweiten, und auch umgekehrt. Beide Mengen haben auch genau drei Elemente. Es ist unerheblich, auf welche Weise eine Menge beschrieben wird. Es kommt einzig darauf an, welche Elemente sie enthält. Beispiel Die Mengen {x Z x 4 5x 2 + 4 = 0} und { 2, 1, 1, 2} sind trotz der unterschiedlichen Beschreibung gleich. Definition 2.3 (Teilmengen) Eine Menge N heißt eine Teilmenge einer Menge M, wenn jedes Element von N auch ein Element aus M ist. Bezeichnung: N M. Somit gilt: Lemma 2.4 Es ist genau dann M = N, wenn sowohl N M als auch M N gelten. Sind M, N Mengen, so kann man folgende neue Mengen bilden: a) die Vereinigung M N, welche alle Elemente von M und alle Elemente von N enthält; b) den Schnitt M N, welcher aus allen Elementen von M besteht, welche zugleich Elemente von N sind; 9

c) die Differenzmenge M \ N, die aus allen Elementen von M besteht, welche zuglich nicht Elemente von N sind. Das geht bildlich und in Formeln so: M N M N M N M N M N M \ N M N = {x (x M) (x N)} M N = {x (x M) (x N)} M \ N = {x M x N} Dass M N eine Menge ist, folgt aus dem Paarmengen- und dem Vereinigungsaxiom. Für die Mengeneigenschaft von M N und M \ N benötigen wir kein neues Axiom, es genügt das oben erwähnte Aussonderungsaxiom. Bemerkung 2.5 Die obigen bildlichen Veranschaulichungen von Mengen sind Beispiele von Venn Diagrammen (John Venn [1834 1923]). Venn Diagramme gibt es mit beliebig vielen Mengen, doch sind die Diagramme mit mehr als drei Mengen nicht mehr so schön symmetrisch. Definition 2.6 Zwei Mengen M, N sind disjunkt, genau dann wenn M N =. Axiom 2.7 (Potenzmengenaxiom) Es sei M eine Menge. Dann bildet die Gesamtheit aller Teilmengen von M selbst eine Menge, welche die Potenzmenge P(M) von M genannt wird. Symbolisch: P(M) = {N N M} Definition 2.8 Sind A, B zwei Mengen, so definiert man das direkte Produkt A B als die Menge aller geordnete Paare (a, b) mit a A und b B. Das Wort geordnet bedeutet, dass z.b. (1, 2) (2, 1). Allgemeiner definiert man für Mengen A 1, A 2,..., A n das direkte Produkt A 1 A 2 A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i A i für alle i = 1,..., n}. Die Elemente dieses Produkts nennt man (geordnete) n-tupel 5. Für die Bildung des direkten Produkts benötigt man nur die bereits oben genannten Axiome. 5 Wenn man später die Mengenlehre axiomatisieren will, stellt man sich die Frage, was für ein Objekt ein geordnetes Paar sein soll. Die heute allgemein akzeptierte Antwort lautet: das geordnete Paar (a, b) ist die Menge {{a}, {a, b}}. Beachten Sie, dass diese Menge im Fall a = b aus nur einem Element besteht. 10

2.3 Aussageformen und Quantoren: Prädikatenlogik Eine Aussageform ist eine Aussage mit einem oder mehreren freien Variablen. Es hängt vom Wert der Variable(n) ab, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Eine Aussageform mit n Variablen nennt man auch n stelliges Prädikat. Beispiel Schreibt man etwa P (x) für die Aussageform x ist eine reelle Zahl, die x 2 x = 0 erfüllt, so ist P (0) eine wahre und P (3) eine falsche Aussage. Beispiel Schreibt man Q(x, y) für die Aussageform xy + 3x = 2, so ist Q(0, 1) falsch und Q(1, 1) wahr. Dagegen ist Q(1, y) die Aussageform y+3 = 2 mit nur einer Variable. Gerade machten wir das 1 stellige Prädikat P (x) zu einer Aussage, indem wir den Wert x = 3 einsetzten. Man kann aber auch Quantoren 6 benutzen, um aus Aussageformen Aussagen zu machen. Wir benötigen drei Quantoren: für alle Bsp: x: x R x 2 0 ist die (wahre) Aussage, dass Quadrate reeller Zahlen größer oder gleich Null sind. es gibt (mindestens) ein Bsp: x: x Q x 2 = 2 ist die (falsche) Aussage, dass 2 rational ist.! es gibt genau ein Bsp:!x: x Z x 2 = y ist eine Aussageform, die für y = 0 wahr ist, aber für y = 3 bzw. y = 4 falsch ist, denn dort gibt es keine bzw. zwei Möglichkeiten für x. Bemerkung 2.9 Es gibt noch andere Schreibweisen für Quantoren. Die Schreibweise x wurde von Giuseppe Peano [1858 1932] vorgeschlagen, während die Schreibweise x von Gerhard Gentzen [1909 1945] stammt. Statt x findet man auch x bzw. (Ex) und statt x wird auch x bzw. (x) verwendet. Mit Hilfe von Quantoren kann man die Gleichheit von Mengen M und N symbolisch wie folgt aufschreiben: M = N x: (x M x N). Auch N M lässt sich symbolisch definieren: N M x: (x N x M). Die Definition einer geraden Zahl sieht unter Verwendung von Quantoren wie folgt aus. n: (n Z (n ist gerade m: (m Z n = 2 m))) 6 Alternativname: Quantifikatoren. 11

Quantoren beziehen sich auf die Gesamtheit aller Objecte unserer Anschauung oder unseres Denkens. Oft möchte man aber nur etwas über die Elemente einer bestimmten Menge aussagen. Dazu verwendet man die folgenden abkürzenden Schreibweisen. Notation 2.10 Es sei M eine Menge und P (x) eine Aussageform. a) Statt x: (x M P (x)) schreibt man x M : P (x). b) Statt x: (x M P (x)) schreibt man x M : P (x). c) Statt!x: (x M P (x)) schreibt man!x M : P (x). Aussagen mit und werden gemäß der folgenden Beobachtung negiert. Beobachtung 2.11 Es sei P (x) ein 1 stelliges Prädikat. Die Äquivalenz ist eine Tautologie. ( x: P (x)) x: P (x) Wir haben oben schon das Aussonderungsaxiom kennengelernt, das wir mittels Aussageformen nun wie folgt formulieren können. Axiom 2.12 (Aussonderungsaxiom) Es sei M eine Menge und P (x) eine Aussageform. Die Gesamtheit der Elemente x von M, für die P (x) eine wahre Aussage ist, ist selbst wieder eine Menge, die als {x M P (x)} oder notiert wird. {x x M P (x)} 2.4 Die Russell Antinomie Gottlob Frege [1848 1925], der in Jena als Professor tätig war, entwickelte eine Mengenlehre auf Grundlage der Idee, dass es zu jedem Begriff eine Menge gebe, die genau die Objekte enthält, welche unter diesen Begriff fallen. Mit anderen Worten: Frege dachte, dass für jede Aussageform P (x) durch {x P (x)} (die Gesamtheit genau derjenigen Objekte, für die P (x) zu einer wahren Aussage wird) eine Menge beschrieben wird. Dies nennt man das Abstraktionsprinzip. Bertrand Russell [1872 1970] fand jedoch heraus, dass sich aus dem Abstraktionsprinzip ein Widerspruch ergibt: Wählt man für P (x) die Aussageform x ist eine Menge x / x, so wäre {x P (x)} eine Menge, die sich gleichzeitig enthält und nicht enthält. Russell wies Frege 1902 in einem Brief darauf hin und 12

erschütterte damit die Grundlagen eines bereits im Druck befindlichen Buches von Frege. Wir zeigen nun mit Russells Antinomie, dass die Gesamtheit aller Mengen keine Menge bildet, falls man die Gültigkeit des Aussonderungsaxioms akzeptiert. Satz 2.13 Wenn das Aussonderungsaxiom 2.12 gilt, dann ist die Gesamtheit aller Mengen keine Menge. Beweis. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Wir nehmen also an, dass das Aussonderungsaxiom wahr ist und dass die Gesamtheit aller Mengen eine Menge M bildet. Um den Satz zu beweisen, müssen wir aus dieser Annahme einen Widerspruch herleiten. Da M eine Menge ist, folgt aus dem Aussonderungsaxiom, dass auch {x M x / x} eine Menge ist, die wir R nennen. Nach der Definition von R gilt also: x M (x R x / x). Wir setzen nun R für x ein. Da R eine Menge ist, gilt R M (M ist ja die Menge aller Mengen). Daher folgt R R R / R. Das ist ein Widerspruch, und somit ist der Satz bewiesen. 13

3 Abbildungen und Relationen 3.1 Abbildungen Definition 3.1 Es seien X, Y Mengen. Eine Abbildung f : X Y von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem Element x X genau ein Element f(x) Y zuordnet. Man spricht auch von der Abbildung x f(x). Eine äquivalente Definition lautet so: Alternativ-Definition 3.2 Eine Abbildung f : X Y ist eine Teilmenge F X Y mit der folgenden Eigenschaft: zu jedem x X gibt es genau ein Element y Y derart, dass das Paar (x, y) in F liegt. Symbolisch: Man schreibt dann y = f(x). x X :!y Y : (x, y) F Man sieht an der Alternativ-Definition insbesondere, dass die Gesamtheit aller Abbildungen von X nach Y eine Menge bildet (Übungsaufgabe). Notation 3.3 Die Menge aller Abbildungen von X nach Y wird mit Y X Abb(X, Y ) bezeichnet. oder Beispiel 3.4 a) Die Vorschrift f(x) = 2x 3 sin(x) definiert eine Abbildung f : R R. b) Abbildungen müssen aber keineswegs durch schöne Formel definiert werden. So kann man eine Abbildung f : {0, 1, 3, 8, 9} { 1, π, 2, 1} durch 2 f(0) = π, f(1) = 1, f(3) = 1, f(8) = 1 und f(9) = 1 definieren. 2 c) Die Vorschrift f(x) = das y mit y 2 = x definiert aus zwei Gründen keine Abbildung f : R R. Erstens wird zu negativen Zahlen wie z.b. 1 keinen Wert f(x) zugeordnet; und zweitens wird zu positiven Zahlen mehr als einen Wert zugeordnet, z.b. f(1) = 1 und f(1) = 1. Definition 3.5 Sind f : X Y und g : Y Z Abbildungen, so wird deren Verknüpfung g f : X Z so definiert: für jedes x X ist (g f)(x) = g(f(x)). Lemma 3.6 Verknüpfung von Abbildungen ist assoziativ, d.h. sind f : X Y, g : Y Z und h: Z W Abbildungen, so sind die Abbildungen h (g f) und (h g) f : X W gleich. Beweis. Für jedes x X haben beide Abbildungen den Wert h(g(f(x))). 14

Definition 3.7 Sei f : X Y eine Abbildung. a) Sei A X eine Teilmenge. Die eingeschränkte Abbildung f A : A Y wird definiert durch f A (x) = f(x) für jedes x A. b) Ist A X eine Teilmenge, so bezeichnet man mit f(a) die Bildmenge f(a) = {f(x) x A} von A. Insbesondere nennt man f(x) das Bild 7 von f, es ist also Bild(f) = {f(x) x X}. c) Ist B Y, so definiert man die Urbildmenge 8 f 1 (B) X durch f 1 (B) = {x X f(x) B}. Ist B die Teilmenge {b}, die aus einem Element b Y besteht, so schreibt man f 1 (b) statt f 1 ({b}). Beachten Sie aber, dass f 1 (b) kein Element von X ist, sondern eine Teilmenge von X. Beispiel Sei f : R R die Abbildung x x 2. Dann f 1 ({ 2, 0, 9}) = { 3, 0, 3}, f 1 ( 1) = und f 1 (4) = { 2, 2}. Am Beispiel sieht man, dass für eine Abbildung f : X Y nicht unbedingt jedes Element von Y im Bild von f liegt, und dass manche Elemente von Y mehrfach von f getroffen werden. Dies gibt Anlass zur folgenden Definition. Definition 3.8 Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv, genau dann wenn keine zwei Elemente von X das gleiche Bild in Y haben, d.h. wenn jedes y Y höchstens ein Urbild in X hat; symbolisch: x 1 X : x 2 X : f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. surjektiv, genau dann wenn Bild(f) = Y gilt, d.h. wenn es zu jedem y Y mindestens ein x X mit f(x) = y gibt; symbolisch: y Y : x X : f(x) = y. bijektiv oder eine Bijektion, genau dann wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Anders gesagt, wenn es zu jedem y Y genau ein x X gibt mit f(x) = y; sybolisch: y Y :!x X : f(x) = y. Lemma 3.9 Seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen. a) Ist die Verknüpfung g f injektiv, so muss f injektiv sein. b) Ist die Verknüpfung g f surjektiv, so muss g surjektiv sein. 7 Auf Englisch image 8 Auf Englisch preimage. Andere Bezeichnung: Faser, englisch fibre 15

Beweis. S. Übungsblatt. Weder surjektiv noch injektiv Surjektiv aber nicht injektiv Injektiv aber nicht surjektiv Bijektiv Sei X eine Menge. Die Identitätsabbildung Id X : X X wird so definiert: für jedes x X ist Id X (x) = x. Lemma 3.10 Sei f : X Y eine Abbildung. a) Ist f injektiv und X nicht leer, so gibt es eine nach Lemma 3.9 zwangsweise surjektive Abbildung g : Y X mit g f = Id X. b) Ist f surjektiv, so gibt es eine nach Lemma 3.9 zwangsweise injektive Abbildung g : Y X mit f g = Id Y. c) f ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g : Y X gibt mit den beiden Eigenschaften g f = Id X und f g = Id Y. In diesem Fall ist g bereits durch jede einzelne der beiden Eigenschaften charakterisiert. 9 Mit anderen Worten: Wenn f bijektiv ist und h: Y X eine Abbildung ist, für die h f = Id X oder f h = Id Y, dann ist g = h. Definition 3.11 Es sei f : X Y eine bijektive Abbildung. Die nach Lemma 3.10 c) eindeutig bestimmte Abbildung g : Y X mit g f = Id X heißt Umkehrabbildung und wird mit f 1 bezeichnet. Aus dem Kontext wird jeweils klar, ob mit f 1 (y) für y Y das Urbild (also eine Teilmenge von X) oder das Ergebnis der Umkehrabbildung (also ein Element von X) gemeint ist. Hier werden wir uns bemühen, konsequent f 1 ({y}) zu schreiben, wenn wir das Urbild und nicht das Ergebnis der Umkehrabbildung meinen. 9 Das heißt, g ist die einzige Abbildung, die die eine oder die andere Eigenschaft hat. 16

Beweis von Lemma 3.10. a) Da X nicht leer ist, dürfen wir ein Element x 0 X wählen. Sei y Y. Ist y Bild(f), so gibt es wegen Injektivität genau ein x X mit f(x) = y, und wir setzen g(y) = dieses x. Ist y Bild(f), so können wir g(y) = x 0 setzen. Somit ist g überall definiert, und es ist g f = Id X. b) Für jedes y Y ist die Urbildmenge f 1 ({y}) = {x X f(x) = y} nicht leer, weshalb wir zu jedem y Y ein Element x y f 1 ({y}) wählen dürfen (beachte dazu aber Abschnitt 3.1.1). Durch g : y x y ist dann eine Abbildung g : Y X definiert, und es ist (f g)(y) = f(g(y)) = f(x y ) = y. c) : Wenn f bijektiv ist, gibt es zu jedem y Y genau ein Element x y X mit f(x y ) = y. Definieren wir g : Y X durch g(y) = x y, so gilt f g = Id Y sofort, denn f g(y) = f(x y ) = y. Sei jetzt x X und z = g(f(x)). Es ist f(z) = f(g(f(x))) = (f g)(f(x)) = f(x), denn f g = Id Y. Also z = x, denn f ist injektiv. Das heißt, g f = Id X. : Es sei g : Y X eine Abbildung mit den Eigenschaften g f = Id X und f g = Id Y. Identitätsabbildungen sind injektiv und surjektiv. Somit ist g f injektiv, weshalb nach Lemma 3.9 auch f injektiv ist. Außerdem ist f g surjektiv und deshalb auch f surjektiv. Also ist f bijektiv. Eindeutigkeit von g: Sei h: Y X eine Abbildung mit h f = Id X. Für jedes y Y gibt es ein x X mit f(x) = y, denn f ist surjektiv. Also h(y) = h(f(x)) = x = g(f(x)) = g(y). Da dies für jedes y Y gilt, ist g = h. Sei nun f h = Id Y. Für jedes y Y gilt also f(h(y)) = y = f(g(y)). Insbesondere gilt h(y) f 1 ({y}) und g(y) f 1 ({y}). Weil f injektiv ist, sind Urbilder eindeutig, und daher h(y) = g(y). Da dies für jedes y Y gilt, ist g = h. 3.1.1 Das Auswahlaxiom In Teil b) des Beweises von Lemma 3.10 haben wir verwendet, dass wir für alle y Y gleichzeitig jeweils ein beliebiges Urbildelement wählen können. Auf den ersten Blick erscheint dies harmlos, doch es erfordert ein eigens konzipiertes Axiom, das Auswahlaxiom. Es besagt: Wenn M eine Menge paarweise disjunkter nicht-leerer Mengen ist (das heißt, M, N M: M N M = N und M M: M ), dann gibt es eine Auswahlmenge A, so dass M M: A M = 1. In Beweisteil b) betrachtet man die Menge M = {f 1 ({y}) y Y }. Wenn für y 1, y 2 Y gilt, dass x f 1 ({y 1 }) f 1 ({y 2 }), dann folgt nach Definition der Urbildmenge y 1 = f(x) = y 2. Die Urbildmengen von zwei verschiedenen Elementen von Y sind also disjunkt. Da f surjektiv ist, gilt zudem f 1 ({y}) 17

für alle y Y. Nach dem Auswahlaxiom gibt es also eine Menge A, so dass für jedes y Y die Menge A f 1 ({y}) genau ein Element enthält; dieses Element nennen wir x y und definieren dann g : Y X durch g(y) = x y. Die Existenz der Abbildung g (der Auswahlfunktion) und die Existenz der Menge A sind untrennbar verknüpft, denn es gilt A = {g(y) y Y }. Ist A gegeben, so ist dadurch g bestimmt. Ist g gegeben, so ist {g(y) y Y } nach dem Ersetzungsaxiom eine Menge, und durch diese wird die Aussage des Auswahlaxioms erfüllt. Die Abbildung g wird also als Auswahlregel verwendet. Das Auswahlaxiom erscheint einleuchtend und mit ihm lassen sich manche sehr elegante Sätze beweisen. Andererseits lassen sich mit ihm auch Sätze beweisen, die der Intuition eklatant widersprechen. Es wurde daher untersucht, ob das Auswahlaxiom vielleicht den Zermelo Fraenkel Axiomen widerspricht (in diesem Fall dürfte man es natürlich nicht verwenden) oder ob es vielleicht aus den Zermelo Fraenkel Axiomen folgt (in diesem Fall wäre es also kein Axiom, sondern ein Theorem). Es zeigte sich: Wenn M nur endlich viele Mengen enthält, gilt für M das Auswahlaxiom. Der Beweis erfordert vollständige Induktion, die wir noch kennen lernen werden. Wenn die Elemente von M Mengen mit einer besonderen Struktur sind, kann man oft eine Auswahlfunktion explizit angeben, so dass das Auswahlaxiom in diesem Fall gilt: Wenn M P(N) ist, dann kann man aus jedem M M jeweils das kleinste Element wählen. Wenn alle Elemente von M jeweils Dreiecke sind, dann kann man aus diesen Dreiecken jeweils den Schwerpunkt auswählen. Wenn die übrigen Zermelo Fraenkel Axiome widerspruchsfrei sind, dann entstehen durch Hinzunahme des Auswahlaxioms keine Widersprüche. Dies bewies Kurt Gödel [1906 1978] im Jahre 1938. Wenn die übrigen Zermelo Fraenkel Axiome widerspruchsfrei sind, dann entstehen durch Hinzunahme der Negation des Auswahlaxioms ebenfalls keine Widersprüche. Dies bewies Paul Cohen [1934 2007] im Jahre 1963. Dies Ergebnisse von Gödel und Cohen besagen also, dass das Auswahlaxiom von den übrigen Zermelo Fraenkel Axiomen unabhängig ist. Es gilt als guter Stil, in Beweisen das Auswahlaxiom nur zu verwenden, wenn es nicht anders geht. Bemerkung 3.12 Wenn f : X Y eine bijektive Abbildung ist, dann besteht für jedes y Y die Urbildmenge f 1 ({y}) jeweils aus einem einzelnen Element. Bei der Konstruktion der Umkehrabbildung f 1 : Y X müssen wir also nicht 18

wählen. Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung existiert also auch ohne das Auswahlaxiom. 3.2 Binäre Relationen Wir führen Relationen ein. Die wichtigsten Relationen sind Äquivalenzrelationen (etwa Peter und Sabine haben den gleichen Geburtstag ) sowie Ordnungsrelationen (etwa Jena hat weniger Einwohner als Erfurt ). Definition 3.13 Sei X eine Menge. Eine (binäre bzw. zweistellige) Relation auf X ist eine Teilmenge R X X. Sind x, y X, so schreibt man meistens x R y anstelle von (x, y) R. Somit ist x R y eine Aussage, also entweder wahr oder falsch. Eine Relation heißt reflexiv, falls x R x gilt für jedes x X. symmetrisch, falls x R y genau dann gilt, wenn y R x gilt. transitiv, falls x R z aus x R y und y R z folgt. Bemerkung 3.14 Für jedes n N kann man n-stellige (oder n-äre) Relationen als Teilmengen von X X X definieren. Beispielsweise ist x, y, z bilden } {{ } n mal die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks eine 3-stellige Relation of R 2. In dieser Vorlesung spielen aber nur zweistellige Relationen eine Rolle. Beispiel 3.15 a) Die Relation besucht die gleiche Klasse wie, definiert auf der Menge der SchülerInnen einer Schule, ist reflexiv (jedes Kind besucht die gleich Klasse wie es selbst), symmetrisch (wenn Peter die gleiche Klasse wie Sabine besucht, dann besucht Sabine auch die gleiche Klasse wie Peter) und transitiv (wenn Peter die gleiche Klasse wie Sabine besucht und Sabine die gleiche Klasse wie Paul besucht, dann besuchen Peter und Paul die gleiche Klasse). b) Die Relation mag ist nicht notwendig reflexiv (nicht jeder Mensch mag sich selbst), nicht notwendig symmetrisch (vielleicht mag Peter Sabine, aber Sabine mag nicht Peter) und nicht notwendig transitiv (wenn Peter Sabine mag und Sabine Paul mag, dann ist es möglich, dass Peter Paul nicht mag). c) Sei f : X X eine Abbildung. Der Graph von f ist die Teilmenge F X X gegeben durch F = {(x, f(x)) x X}. 19

Wie jede Teilmenge von X X ist auch der Funktionsgraph F eine Relation auf X. Gemäß Alternativ Definition 3.2 ist f durch diese Relation eindeutig bestimmt. 3.2.1 Äquivalenzrelationen Definition 3.16 Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Typischerweise bezeichnet man eine Äquivalenzrelation mit, also x y anstelle von x R y. Beispiele X = alle Städte Deutschlands: Relation liegt im gleichen Bundesland wie ist eine Äquivalenzrelation. X = die Kinder aus der 6b: Relation hat den gleichen Geburtstag wie ist eine Äquivalenzrelation. X = R 3 mit der Relation (u 1, u 2, u 3 ) R (v 1, v 2, v 3 ) stimmen an mindestens zwei Stellen überein : Die Relation ist reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv, denn (1, 1, 1) R (1, 1, 2) und (1, 1, 2) R (1, 2, 2), aber nicht (1, 1, 1) R (1, 2, 2). Also ist es keine Äquivalenzrelation. Definition 3.17 Ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge X, so nennt man die Menge [x] = [x] = {y X y x} die Äquivalenzklasse eines Elements x X. Ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge X, so bezeichnet man mit X/ die Menge der Äquivalenzklassen: X/ = {[x] x X}. Beispiel 3.18 Brüche sind durch Zähler und Nenner gegeben. Zwei Brüche sind gleich, wenn sie nach vollständigem Kürzen den gleichen Zähler und Nenner haben. Dies ist eine Äquivalenzrelation und die Menge Q der rationalen Zahlen kann man also als Menge von Äquivalenzklassen von Brüchen betrachten. Lemma 3.19 Sei eine Äquivalenzrelation auf der Menge X. Dann ist x [x] für jedes x X, wegen Reflexivität. Außerdem sind für x, y X folgende drei Aussagen äquivalent: a) x y b) [x] [y]. c) [x] = [y] Beweis. Wir zeigen a) b) c) a). a) b) Aus x y folgt x [y]. Wegen Reflexivität ist aber auch x [x]. Daher ist x [x] [y], also [x] [y]. 20

b) c) Wenn [x] [y], dann gibt es ein z [x] [y]. Wir wollen nun zeigen, dass [x] [y]; wenn also w [x], so wollen wir zeigen, dass auch w [y]. Aus w [x] folgt w x. Wegen z [x] ist z x, also x z wegen Symmetrie. Aus w x und x z folgt w z wegen Transitivität. Aufgrund von z [y] gilt z y, also aus w z folgt w y wegen Transitivität, also w [y], was zu zeigen war. Analog folgt [y] [x], also [y] = [x], also c). c) a) Wenn [x] = [y], dann x [x] = [y], daher x y. Bemerkung 3.20 Laut des Lemmas stellen die Äquivalenzklassen von eine Partition der Menge X dar, d.h. X ist die Vereinigung von paarweise disjunkten, nichtleeren Äquivalenzklassen. 3.2.2 Ordnungsrelationen Definition 3.21 Eine Relation R auf X heißt antisymmetrisch, genau dann wenn für x, y X aus x R y und y R x folgt, dass x = y. linear, falls für x, y X mindestens eins aus x R y und y R x gelten muss. Definition 3.22 Eine Teilordnung ist eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Eine lineare Ordnung heißt eine Ordnung, Totalordnung oder lineare Ordnung. Beispiel 3.23 Auf X = R ist eine Totalordnung. Vorsicht: streng genommen ist < in diesem Sinne keine Ordnung, da nicht reflexiv. X = Menge aller Menschen: ist Nachkomme von ist eine Teilordnung, aber keine Totalordnung. X eine Menge von Mengen: ist Teilmenge von ist eine Teilordnung, aber keine Totalordnung (Übung). 21

4 Natürliche Zahlen und Induktion Die Fähigkeit, kleine Mengen nach ihrer Größe vergleichen zu können, scheint angeboren zu sein. 10 Für die jeweiligen Größen von kleinen Mengen lernen Kinder Zahlwörter ( eins, zwei, drei, vier, fünf ) und lernen gleichzeitig, dass die Größen und damit auch die Zahlwörter in einer festen Reihenfolge stehen (man nimmt immer ein Ding hinzu): Sie lernen in beschränktem Umfang zu zählen. Um auch für eine größere Menge entscheiden zu können, ob sie gleich groß zu einer anderen Menge ist, kann man eine Anschauungshilfe verwenden. So war gemäß archäologischer Funde (Ishango Knochen, ca. 20000 Jahre alt und damit älter als der Ackerbau) das Kerbholz vermutlich bereits in der Steinzeit bekannt. Dies setzt die Erkenntnis voraus, dass gleich viel herauskommt, wenn man etwa für jedes Tier einer Herde eine Kerbe in ein Stück Holz oder Knochen ritzt oder einen Knoten in eine Schnur knüpft. Das geht auch, wenn man für diese Zahlen keine Zahlwörter zur Verfügung hat. In der Schule soll über kleine Zahlen und über die Verwendung von Anschauungshilfen hinaus gegangen werden. Man lernt, dass man Zahlen statt mit einer Knotenschnur kompakter mit einem Stellenwertsystems darstellen kann. Außerdem lernt man in der Schule das Rechnen mit natürlichen Zahlen: Addition N N N, (m, n) m + n und Multiplikation N N N, (m, n) m n. Man lernt, dass dabei folgende Axiome jeweils für alle l, m, n N gelten: (N1) l + (m + n) = (l + m) + n (Assoziativität der Addition) (N2) m + n = n + m (Kommutativität der Addition) (N3) m + 0 = m (Neutralität der Null in der Addition) (N4) l (m n) = (l m) n (Assoziativität der Multiplikation) (N5) m n = n m (Kommutativität der Multiplikation) (N6) n 1 = n (Neutralität der Eins in der Multiplikation) (N7) l (m + n) = l m + l n (Distributivgesetz). Ferner möchte man mit den Umkehroperationen und rechnen auch dann, wenn dies in N nicht möglich ist. So kommt man auf Z und schließlich auf Q, für die die obigen Axiome immer noch gelten. Da Axiome (N1) (N7) also nicht nur durch die natürlichen Zahlen, sondern auch durch Z und Q und viele weitere mathematische Strukturen erfüllt werden, sind diese Axiome nicht geeignet für eine Definition der natürlichen Zahlen. In dieser Beschreibung werden mehrere Sichtweisen auf die natürlichen Zahlen berührt, die im weiteren Verlauf der Vorlesung thematisiert werden sollen: 10 Sie existiert zum Teil auch bei Tieren. Eine Störung dieser Fähigkeit kann bei Kindern zu Dyskalkulie führen. 22

Kardinalzahlen: Was heißt es für Mengen, gleich groß zu sein? Was sind endliche Mengen? Ordinalzahlen, Induktion: Wie kann man die natürlichen Zahlen durch ihre Abfolge beim Zählen formal beschreiben und dies in Beweisen ausnutzen? Arithmetik: Wie rechnet man mit natürlichen Zahlen? Algebra: In welchen anderen mathematischen Konstruktionen kann man einige der obigen Axiome wiederfinden, und welche Strukturaussagen kann man aus den jeweils geltenden Axiomen herleiten? 4.1 Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen 4.1.1 Gleichmächtigkeit Definition 4.1 Seien A, B Mengen. A und B heißen gleichmächtig, Bezeichnung A = B, genau dann wenn es eine Bijektion f : A B gibt. Gibt es eine injektive Abbildung f : A B, so schreibt man A B. A heißt echte Teilmenge von B, Bezeichnung A B, genau dann wenn A B und A B. Beispiel 4.2 a) Wenn man beim Zählen einer Tierherde für jedes Tier einen Knoten in eine Schnur knüpft, erzeugt man ein bijektive Abbildung von der Herde in die Menge der Knoten. Die Menge der Knoten und die Tierherde sind also gleichmächtig. b) Kerbhölzer wurden früher zur Dokumentierung von Schuldverhältnissen benutzt. Die Anzahl der Kerben (quer über einen Stab) entsprach der Höhe der Schulden. Das Holz wurde dann längs gespalten, so dass jede Kerbe in der Mitte geteilt wurde, und jede Vertragspartei erhielt eine Holzhälfte. Die beiden Hälften wiesen jeweils die gleiche Anzahl von Halb-Kerben auf. Jede Vertragspartei war damit in der Lage, die Höhe der Schulden nachzuweisen, und nachträgliche Manipulationen konnten nachgewiesen werden, indem man die beiden Holzhälften wieder passend aneinander legte. c) Wenn A B, dann ist A B, denn (Id B ) A : A B ist injektiv. Bemerkung 4.3 Da die Gesamtheit aller Mengen keine Menge bildet, kann man Gleichmächtigkeit streng genommen nicht als Relation bezeichnen. Allerdings ist sie reflexiv, symmetrisch und transitiv (Übung!) und damit fast so etwas wie eine Äquivalenzrelation. 23

4.1.2 (Un-)endliche Mengen Intuitiv ist klar: Die Mächtigkeit X einer endlichen Menge X ist eine natürliche Zahl, und für jede natürliche Zahl gibt es eine endlich Menge dieser Mächtigkeit. Man könnte die natürlichen Zahlen also mit den Mächtigkeiten endlicher Mengen identifizieren. Problem: Wie kann man den Begriff einer endlichen Menge definieren, ohne den Begriff der natürlichen Zahl vorauszusetzen? Wir gehen einerseits von einem intuitiven Verständnis des Begriffes endliche Menge aus; dabei gehen wir auch von einem intuitiven Verständnis dafür aus, was natürliche Zahlen sind. Ein Appell an die Intuition ist natürlich kein Ersatz für eine Definition. Daher geben wir auch noch eine von Richard Dedekind [1831 1916] stammende formale Definition dieses Begriffs. Wir zeigen dann Gründe dafür auf, dass beide Begriffe übereinstimmen. Definition 4.4 (intuitiv unendlich) Eine Menge X heißt unendlich, genau dann wenn es eine nicht-endende Folge x 0, x 1, x 2,... von Elementen von X gibt, so dass für jedes n = 0, 1, 2,... gilt: x n+1 X \ {x 0, x 1, x 2,..., x n }. Andernfalls heißt X endlich. Das Problem dieser Begriffsbeschreibung ist, dass wir hier bereits ein intuitives Verständnis der natürlichen Zahlen ( n = 0, 1, 2,..., n + 1 ) verwenden. Streng genommen handelt es sich also nicht um eine Definition, aber trotzdem können wir zeigen, dass dadurch im Wesentlichen der gleiche Begriff wie durch die folgende echte Definition beschrieben wird. Definition 4.5 (Dedekind unendlich) Eine Menge heißt unendlich, genau dann wenn sie gleichmächtig zu einer echten Teilmenge ist. Sonst heißt sie endlich. Bemerkung 4.6 Man kann leicht zeigen (Übung): Eine Menge X ist unendlich, genau dann wenn es eine injektive aber nicht surjektive Abbildung φ: X X gibt. Wenn wir nun zeigen, dass Dedekinds Begriff der unendlichen Menge mit unserem intuitiven Begriff übereinstimmt, so kann das natürlich kein echter Beweis sein, da ja einer der vorkommenden Begriffe nicht echt definiert wurde. Aber zumindest sollte argumentativ klar werden, dass Dedekinds formaler Unendlichkeitsbegriff unserem intuitiven Begriff entspricht. Lemma 4.7 Wenn eine Menge X 0 im Sinne von Definition 4.5 unendlich ist, dann ist sie auch im Sinne von Definition 4.4 unendlich. Beweis. Wenn X 0 unendlich im Sinne von Definition 4.5 ist, dann gibt es eine injektive nicht surjektive Abbildung φ: X 0 X 0. Wir bezeichnen X 1 = φ(x 0 ). Da φ nicht surjektiv ist, ist X 1 eine echte Teilmenge von X 0. 24

Wir definieren weiter X 2 = φ(x 1 ), X 3 = φ(x 2 ) usw. Wegen X 1 X 0 gilt auch φ(x 1 ) φ(x 0 ), also X 2 X 1. Entsprechend gilt X 3 X 2, X 4 X 3 usw. Da X 1 eine echte Teilmenge von X 0 ist, gibt es ein x 0 X 0 \X 1. Wir definieren x 1 = φ(x 0 ), x 2 = φ(x 1 ), usw. Es ist x 1 = φ(x 0 ) φ(x 0 ) = X 1. Wir beweisen nun: x 1 / φ(x 1 ) = X 2. Wäre nämlich x 1 φ(x 1 ) = X 2, so gäbe es ein x X 1 mit x 1 = φ(x) = φ(x 0 ). Da φ injektiv ist, würde daraus x = x 0 folgen. Das wäre ein Widerspruch, denn x 0 X 0 \ X 1, aber x X 1. Also ist x 1 / X 2. Wir haben im vorigen Abschnitt gezeigt, dass x 1 X 1 \ X 2, und in gleicher Weise folgt x 2 X 2 \ X 3, x 3 X 3 \ X 4 und so weiter. Wir wissen bereits, dass X 0 X 1 X 2, und dies impliziert X 0 \ X 1 X 0 \ X 2 X 0 \ X 3 : Wenn wir nämlich von X 0 eine kleinere Menge abziehen (X 2 X 1 ), dann ist die Differenzmenge größer (X 0 \ X 2 X 0 \ X 1 ). Wir zeigen abschließend, dass die x 0, x 1, x 2,... paarweise verschieden sind. Es sei n = 0, 1, 2,... Nach dem vorigen Absatz gilt x 0 X 0 \X 1 X 0 \X 2, x 1 X 1 \ X 2 X 0 \ X 2 X 0 \ X 3 und so weiter. Wir finden also {x 0, x 1, x 2,..., x n } X 0 \ X n+1. Weil aber x n+1 X n+1, muss x n+1 folglich von allen x 0, x 1, x 2,... verschieden sein, denn diese liegen ja gerade nicht in X n+1. Also ist x n+1 X 0 \ {x 0, x 1, x 2,..., x n }. Dies gilt für alle n = 0, 1, 2,..., daher ist X 0 unendlich im Sinne von Definition 4.4. Lemma 4.8 Wenn eine Menge X 0 im Sinne von Definition 4.4 unendlich ist, dann ist sie auch im Sinne von Definition 4.5 unendlich. Beweis. Wenn X 0 im Sinne von Definition 4.4 unendlich ist, dann gibt es eine nicht endende Folge x 0, x 1, x 2,... von Elementen von X 0, so dass für jedes n = 0, 1, 2,... gilt: x n+1 X 0 \{x 0, x 1, x 2,..., x n }. Insbesondere ist stets x n+1 x 0. Wir definieren eine Abbildung φ: X 0 X 0 wie folgt: φ(x n ) = x n+1 für n = 0, 1, 2,... φ(x) = x für x X 0 \ {x 0, x 1, x 2,...} Offensichtlich ist die Abbildung φ nicht surjektiv, denn x 0 / φ(x 0 ). Wir werden nun zeigen, dass φ injektiv ist. Für jedes y X 0 \ {x 0 } ist also zu zeigen, dass das Urbild φ 1 ({y}) aus höchstens einem Element besteht. Hier unterscheiden wir zwei Fälle. a) Wenn y X 0 \ {x 0, x 1, x 2,...}, dann ist φ 1 ({y}) = {y}. b) Wenn y {x 1, x 2, x 3...}, dann ist φ 1 ({y}) {x 0, x 1, x 2,...}, und wenn y = x i dann ist x i 1 φ 1 ({y}). Es bleibt zu zeigen, dass dies das einzige Urbild ist: Wenn x j φ 1 ({x i }), dann müssen wir j = i 1 beweisen. i) Sei j i. Dann folgt φ(x j ) = x j+1 X 0 \ {x 0, x 1, x 2,..., x j } und x i {x 0, x 1, x 2,..., x j }. Also ist φ(x j ) x i, Widerspruch. 25