Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 3 Hausaufgaben Aufgabe 3.1 E Gegeben seien die folgenden Zahlen zur Basis 16 (also im Hexadezimalsystem). Berechnen Sie jeweils die Dezimaldarstellung der Zahlen. a) Z 0 := (F 3E4D5) 16 b) Z 1 := (ABC0) 16 c) Z 2 := (7D9) 16 Lösung zu Aufgabe 3.1 a) (F 3E4D5) 16 = 5 16 0 + 13 16 1 + 4 16 2 + 14 16 3 + 3 16 4 + 15 16 5 = (15 983 829) 10 b) (ABC0) 16 = 0 16 0 + 12 16 1 + 11 16 2 + 10 16 3 = (43 968) 10 c) (7D9) 16 = 9 16 0 + 13 16 1 + 7 16 2 = (2009) 10 Aufgabe 3.2 E Betrachten Sie die folgenden Abbildungen und geben Sie jeweils an, ob diese injektiv, surjektiv und/oder bijektiv sind. a) f 1 : R R, x 2x + 3 b) f 2 : Z R +, x 1 x 2 +1 c) f 3 : Q + R +, x x d) f 4 : Q Q +, x x 2 e) f 5 : {1, 4, 9, 16, 25} N 0, x (x 1) 2 Lösung zu Aufgabe 3.2 a) f 1 ist injektiv und surjektiv, damit also auch bijektiv: Angenommen, es gäbe x 1 x 2 R mit f 1 (x 1 ) = f 1 (x 2 ). Dann gälte 2x 1 + 3 = 2x 2 + 3, daraus folgt sofort x 1 = x 2, ein Widerspruch. Also ist f 1 injektiv. Sei y R beliebig, dann gilt mit x := y 3, dass 2 f 1 (x) = y, also ist f 1 auch surjektiv. b) f 2 ist weder injektiv noch surjektiv. Beispielsweise ist f 2 ( 1) = f 2 (1) (also nicht injektiv) und es gibt kein x Z mit f 2 (x) = 0 (also nicht surjektiv). 1
c) f 3 ist injektiv: Angenommen, es gäbe x 1 x 2 Q + mit f 3 (x 1 ) = f 3 (x 2 ), also x 1 = x2. Damit wäre aber x 1 = x 2 (wegen Q +!), ein Widerspruch, also ist f 3 injektiv. Die Abbildung ist aber nicht surjektiv, da z. B. 2 kein Urbild hat: Es käme nur 2 als Urbild in Frage, das liegt aber nicht in Q +. d) f 4 ist nicht injektiv, da z. B. f 4 ( 1) = f 4 (1). Die Funktion ist auch nicht surjektiv, da z. B. 2 Q + kein Urbild in Q besitzt. e) f 5 ist injektiv, da f 5 ({1, 4, 9, 16, 25}) = {0, 9, 64, 225, 576}, das Bild besitzt also die gleiche Kardinalität wie die endliche(!) Definitionsmenge. f 5 ist aber nicht surjektiv, da z. B. 1 N 0 kein Urbild in {1, 4, 9, 16, 25} besitzt. Aufgabe 3.3 E Sind die folgenden Aussagen logisch wahr oder logisch falsch? a) 1 ist eine natürliche Zahl. b) 2 {2, 3, 6} und 7 / {2, 3, 6} c) 2 {2, 3, 6} oder 6 / {2, 3, 6} d) x {1, 2, 3} x 2 {1, 4, 9} e) x 2 {1, 4, 9} x {1, 2, 3} f) x 2 = x x 0 g) (x R und x 2 = 1) x = 42 h) 2 = 5 π = 3 Lösung zu Aufgabe 3.3 a) wahr b) wahr c) wahr d) wahr e) falsch (Es könnte z. B. x = 1 sein, dann wäre die linke Aussage wahr, die rechte aber nicht. Damit ist die Gesamtaussage falsch.) f) wahr (wenn man sich auf reelle Zahlen beschränkt) g) wahr (Da die linke Aussage nie erfüllt ist, ist die Gesamtaussage wahr.) h) wahr (Da die linke Aussage nie erfüllt ist, gilt immer, da die rechte Aussage nie erfüllt ist, gilt auch immer.) Übrigens: Zu π = 3 siehe auch 1. Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23, die Erklärung dafür liefert wohl der folgende Vers 26 rechnen Sie mal aus, wie breit die Hand des Bronzeschmieds gewesen sein muss. Aufgabe 3.4 Ein Münchner Nummernschild besteht aus dem Buchstaben M, ein oder zwei Buchstaben aus {A, B, C,..., Z} (keine Umlaute) sowie einer ein-, zwei-, drei- oder vierstelligen Zahl mit 2
Ziffern aus {0, 1,..., 9}, wobei führende Nullen nicht erlaubt sind. Wie viele verschiedene Münchner Nummernschilder könnte die Zulassungsstelle maximal ausgeben? Lösung zu Aufgabe 3.4 Für die abschließende Zahl gibt es insgesamt 9999 Möglichkeiten (0 ist nicht erlaubt), für Schilder mit einem (von 26) Buchstaben also 26 9999 Möglichkeiten. Analog gibt es 26 2 9999 Schilder mit zwei Buchstaben. Damit könnte die Zulassungsstelle maximal 7 019 928 Schilder ausgeben. Jeder Einwohner Münchens könnte also gut 5 Fahrzeuge zulassen. Aufgabe 3.5 Sei M := {m 1,..., m n } eine beliebige Menge mit n N Elementen. Ein 0, 1-Wort der Länge n ist eine Folge der Form x 1,..., x n mit x i {0, 1} für alle i {1, 2,..., n}. Finden Sie eine Bijektion von der Menge aller Teilmengen von M in die Menge aller 0, 1-Worte der Länge n. Lösung zu Aufgabe 3.5 vergleiche Mitschrift aus der Zentralübung Aufgabe 3.6 Der Direktor des Grand Hotel Hilbert hat vor seiner Karriere als Hotelier ein Mathematik- Studium absolviert und führt daher ein etwas ungewöhnliches Haus. Im Hotel Hilbert gibt es nämlich unendlich viele Zimmer, für jede natürliche Zahl n existiert ein Zimmer mit Zimmernummer n. Weil Sie sich während der Semesterferien etwas Geld dazuverdienen wollen, haben Sie einen Ferienjob als Rezeptionist im Hotel Hilbert angenommen. Ihre erste Bewährungsprobe haben Sie bereits gemeistert: Am Nachmittag war ein Bus mit japanischen Touristen vor dem Hotel angekommen, und erstaunlicherweise hatten auch in diesem Bus unendlich viele Fahrgäste Platz: Für jede natürliche Zahl gab es eine Sitzplatznummer. Das machte es einfach, jedem Gast ein bequemes Einzelzimmer zuzuteilen, Sie haben einfach jeden in das Zimmer geschickt, das seiner Sitzplatznummer im Bus entsprach. Jetzt stehen sie aber vor einem Problem: Sie haben den Busfahrer übersehen, der gerade vom Tanken zurückkommt, und dessen Sitz als einziger keine Nummer trägt. a) Wie schaffen Sie es, dem Busfahrer ein Einzelzimmer zu geben? Wenn nötig, dürfen Sie die bereits anwesenden Gäste bitten, von Ihrem Zimmer in ein anderes zu wechseln, Sie müssen aber jedem Gast eine eindeutige Zimmernummer zuteilen. b) Nachdem Sie diese Aufgabe gemeistert haben, erwartet Sie schon das nächste Problem: Vor der Tür steht ein zweiter Bus, genau wie der erste mit unendlich vielen (durchnummerierten) Fahrgästen besetzt. Eigentlich ist das Hotel ja voll schaffen Sie es trotzdem, auch diesen Gästen jeweils ein Zimmer zuzuteilen? Glücklicherweise sind Japaner sehr geduldige Menschen, Sie können die anwesenden Gäste also notfalls abermals bitten, in ein anderes Zimmer zu wechseln. Lösung zu Aufgabe 3.6 vergleiche Mitschrift aus der Zentralübung Ausführliche Besprechungen zu dieser Aufgabe und einige weitere Varianten finden Sie übrigens auch im Internet suchen Sie einfach mal nach Hilberts Hotel. 3
Aufgaben für die Tutorübung Aufgabe 3.7 Wir verteilen n identische Bälle auf k Körbe, die von 1 bis k durchnummeriert sind. a) Sei n k. Wie viele Verteilungen gibt es dann, bei denen in jedem Korb höchstens ein Ball landet? b) Sei nun n k. Wie viele Verteilungen gibt es dann, bei denen in jedem Korb mindestens ein Ball landet? Lösung zu Aufgabe 3.7 a) Wenn in jedem Korb höchstens ein Ball landen soll und wir höchstens so viele Bälle wie Körbe haben, müssen wir von den k Körben diejenigen auswählen, die einen Ball enthalten sollen. Davon brauchen wir genau n Stück. Es gibt ( ) k n Möglichkeiten, n Körbe aus den insgesamt k Körben zu wählen, und da die Bälle nicht unterscheidbar sind, müssen wir nur zwischen Korb mit Ball und Korb ohne Ball unterscheiden. b) Wir stellen uns die Aufteilung ein bisschen anders vor, um die Aufgabe einfacher zu machen: Die n Bälle legen wir in eine Reihe und schreiten diese ab. Dabei ziehen wir immer dann eine Markierung auf dem Boden, wenn ein neuer Korb beginnen soll. Die Bälle vom Beginn der Reihe bis zur ersten Markierung kommen also in Korb 1, die Bälle zwischen der ersten und zweiten Markierung in Korb 2, und so weiter. Die Anzahl der Möglichkeiten, die Bälle auf Körbe zu verteilen, ist also gleich der Anzahl der Möglichkeiten, Markierungen zwischen die Bälle zu setzen. Bei n Bällen gibt es n 1 mögliche Positionen für Markierungen zwischen je zwei benachbarten Bällen. Am Anfang und am Ende der Reihe darf keine Markierung gemacht werden (sonst blieben der erste bzw. letzte Korb ja leer), und jeder Zwischenraum enthält höchstens eine Markierung (sonst gäbe es leere Körbe). Weil wir k Körbe zur Verfügung haben, müssen wir k 1 Trenn-Markierungen setzen. Das geht auf ( ) n 1 k 1 verschiedene Arten, also ist das die gesuchte Anzahl möglicher Verteilungen. Alternative Lösung (Idee von Annika Rempe): Jeder Korb muss mindestens einen Ball enthalten, also nehmen wir zunächst k Bälle weg und verteilen sie auf die k Körbe. Wir müssen dann nur noch die Möglichkeiten zählen, n k Bälle beliebig auf k Körbe zu verteilen. Dazu stellen wir uns die n k Bälle in einer Reihe aufgereiht vor, daneben reihen wir k 1 Trennstriche auf. Eine beliebige Verteilung der Bälle auf die k Körbe entspricht (ähnlich wie oben) einer Permutation der Bälle und Trennstriche. Achtung: Anders als oben lassen wir jetzt eine beliebige Permutation zu, es können also auch mehrere Trennstriche direkt nebeneinander zu liegen kommen (oben war das verboten, jetzt müssen wir es aber erlauben, da in den Körben ja bereits ein Ball liegt). Diese insgesamt (n k) + (k 1) = n 1 Gegenstände (Bälle und Trennstriche) lassen sich auf (n 1)! Arten anordnen. Allerdings sind Bälle untereinander und Trennstriche untereinander ja nicht unterscheidbar, jede Permutation der Trennstriche untereinander 4
wie auch der Bälle untereinander führt also zu einer äquivalenten Konfiguration. Diese Konfigurationen haben wir damit in (n 1)! mehrfach gezählt, wir müssen sie daher (n 1)! wieder herausdividieren und erhalten verschiedene mögliche Anordnungen. (k 1)!(n k)! (Das entspricht natürlich genau der Lösung von oben.) Aufgabe 3.8 Sie möchten die vier Wände eines quadratischen Zimmers streichen, jede einzelne Wand in einer Farbe. Hierzu stehen Ihnen fünf verschiedene Farben zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten gibt es, das Zimmer farblich zu gestalten, wenn man annimmt, dass die Wände unterscheidbar sind (d. h. die Kombinationen rot-grün-blau-gelb und grün-blau-gelb-rot sollen unterscheidbar sein), falls a) vier verschiedene Farben verwendet werden sollen. b) die Farbe gegenüberliegender Wände gleich sein soll. c) zwei der fünf Farben nicht verwendet werden sollen. Lösung zu Aufgabe 3.8 a) Die Wände sind unterscheidbar, d. h. man kann von einer ersten, zweiten, usw. Wand sprechen (wenn es Ihnen lieber ist, sagen Sie Ost-, West-, Süd- und Nordwand ). Für die erste Wand stehen 5 Farben zur Auswahl, für die zweite noch 4 Farben, usw. Die Anzahl der möglichen Färbungen ist also 5 4 3 2 = 120. b) Da die Farbe an gegenüberliegenden Wänden gleich sein soll, kann man entweder zwei Farben ( ) oder nur eine Farbe für das ganze Zimmer auswählen. Für die Auswahl gibt es 5 2 Möglichkeiten, zwei verschiedene Farben zu wählen bzw. 5 Möglichkeiten, eine Farbe zu wählen. Bei zwei Farben gibt es dann noch zwei verschiedene Kombinationen, da die Wände wieder unterscheidbar sind. Die Zahl der Färbungen ist daher ( ) 5 2 2 + 5 = 25. c) Es gibt insgesamt 5 4 Möglichkeiten die Wände zu färben (man wählt für jede Wand eine Farbe aus den 5 verfügbaren aus). Davon sind nach a) 120 Möglichkeiten solche Färbungen, die vier verschiedene Farben verwenden. Es bleiben also 5 4 120 = 625 120 = 505 Färbungen mit höchstens 3 Farben. Alternative Lösung (Addieren statt Abziehen): mit nur einer Farbe: 5 Möglichkeiten (Wahl der Farbe) mit genau zwei Farben: 5 4 Möglichkeiten für die Farbwahl. Dann kann man eine Wand in der ersten und die restlichen drei Wände in der zweiten Farbe streichen, das ergibt 4 Kombinationsmöglichkeiten (Auswahl der ersten Wand). Alternativ kann man je zwei Wände mit jeder Farbe streichen, dafür gibt es ( ) 4 2 = 6 Möglichkeiten (Auswahl der Wände für erste Farbe). Da aber die Reihenfolge der Farben irrelevant ist (die haben wir schon in der Auswahl der Farben berücksichtigt), müssen 5
wir diese Zahl noch durch die Anzahl der Farben teilen, also bleiben 3 Kombinationsmöglichkeiten. Zusammen mit der Farbauswahl ergeben sich Möglichkeiten. 5 4 (4 + 3) = 140 mit genau drei Farben: Zwei Wände muss man in der gleichen Farbe streichen, für die Auswahl dieser Wände gibt es ( ) 4 2 = 6 Möglichkeiten. Für diese beiden Wände stehen uns noch alle 5 Farben zur Verfügung, für die dritte Wand können wir noch unter 4 Farben wählen, für die verbleibende vierte Wand unter 3. Insgesamt gibt es also ( ) 4 5 4 3 = 360 2 Möglichkeiten. Zusammengenommen haben wir somit 5 + 140 + 360 = 505 Möglichkeiten, das Zimmer mit höchstens drei der fünf Farben zu streichen. Aufgabe 3.9 In den Supermärkten der Kette WalMath herrschen etwas merkwürdige Gewohnheiten: Keines der Produkte ist mit einem Preisschild versehen, auch die Angestellten kennen die Einzelpreise nicht. An der Kasse ziehen die Kassierer jeweils den kompletten Einkauf über den Scanner, erst ganz zum Schluss erscheint dann der Gesamtpreis. Dafür hat der Markt aber von allen Produkten beliebig große Zahlen zur Verfügung, und in die Einkaufswagen passt soviel hinein, wie Sie sich nur wünschen können. Sie haben sich zum Ziel gesetzt, die Preise jedes einzelnen Produkts herauszufinden. Weil Sie nicht sehr viel Zeit haben (Sie wollen schließlich lernen, nicht shoppen gehen) wollen Sie das mit möglichst wenigen Einkäufen erledigen (bei jedem Einkauf können Sie aber beliebig viele Produkte in beliebig hoher Zahl kaufen). Von einem Bekannten mit Kontakten in die Geschäftsleitung von WalMath haben Sie außerdem erfahren, dass alle Produktpreise auf volle Euro lauten. Wie viele Einkäufe brauchen Sie und wie gehen Sie vor? Hinweis: Wenn n die Anzahl der verschiedenen Produkte ist, die WalMath führt, geht es natürlich mit n Einkäufen. Da WalMath aber mehrere hundert verschiedene Waren im Sortiment hat, sollten Sie überlegen, wie Sie mit deutlich weniger Einkäufen ans Ziel kommen. Lösung zu Aufgabe 3.9 Wir nummerieren die n Produkte willkürlich durch, der gesuchte Preis für das i-te Produkt sei p i. Mit n Einkäufen geht es natürlich, indem man sich jedesmal genau ein Produkt in den Einkaufswagen legt und so nach und nach die Preise aller n Produkte herausbekommt. Wir nehmen jetzt zur Vereinfachung mal an (Tutoren: ggf. als Tipp geben), dass alle Produkte zwischen 1 und 9 Euro kosten. Dann lassen sich alle Preise p 1, p 2,..., p n mit einem einzigen Einkauf bestimmen: Wir füllen unseren Einkaufswagen mit einem Produkt 1, zehn Produkten 6
2, hundert Produkten 3 usw., vom i-ten Produkt nehmen wir also 10 i 1. Damit beträgt der Gesamtpreis genau n P = p i 10 i 1. i=1 Weil 1 p i 9 für alle i gilt, bildet jeder Produktpreis p i damit eine Stelle der Dezimaldarstellung von P, die wäre dann nämlich p n p n 1... p 2 p 1. Damit lässt sich jeder Produktpreis ganz bequem aus P ablesen (und weil die Darstellung einer Zahl in jedem Zahlensystem eindeutig ist, kann es dabei auch nicht zu Unklarheiten kommen). Uns genügt also ein einziger (wenn auch sehr großer) Einkauf, um alle Preise zu bestimmen. Was ist nun, wenn die Preise nicht zwischen 1 und 9 Euro liegen, sondern z. B. zwischen 1 und 15 Euro? Dann könnte man natürlich genau das gleiche Verfahren zur Basis 16 anwenden. Man legt also jeweils 16 i 1 Exemplare des i-ten Produkts in den Wagen, rechnet den Endpreis P am Schluss in eine Darstellung zur Basis 16 um und liest aus den Stellen dann wieder die Einzelpreise ab (natürlich auch zur Basis 16, das würde man anschließend wieder auf Dezimalzahlen umrechnen). Analog funktioniert das Verfahren für jede beliebige Basis B, wenn alle Einzelpreise kleiner als B sind. Leider kennen wir keine obere Schranke für den Preis eines einzelnen Produkts. Wie bekommen wir diesen Maximalpreis heraus? Dafür brauchen wir einen zweiten Einkauf: In der ersten Runde legen wir jedes Produkt genau einmal in unseren Einkaufswagen. Der Gesamtpreis B, den wir dafür bezahlen, ist mit Sicherheit eine obere Schranke für jeden Einzelpreis. Im zweiten Einkauf führen wir dann unser obiges Verfahren zur Basis B durch und können so jeden Einzelpreis bestimmen. Es genügen also selbst im allgemeinen Fall zwei Einkäufe. 7