Übersicht Teil : Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen : Diskrete Sequentielle Spiele (Kapitel 3) Teil Diskrete () Reine Simultane Spiele Stetige (Kapitel 5) Gemischte (Kapitle 7 & 8) Kapitel 6 Übersicht Teil Übersicht Einleitung Darstellung simultaner Spiele Nash-Gleichgewicht Dominante Strategie Dominierte Strategie Sukzessive Elimination dominierter Untersuchung Zelle für Zelle Multiple Gleichgewichte in reinen Nicht-Existenz Einleitung Übersicht 3 Einleitung 4 In einem Spiel mit simultanen Zügen müssen die Spieler ihre Handlungen ohne jede Kenntnis der Handlungen der anderen Spieler wählen. Dieses Modell ist relevant falls die Züge tatsächlich gleichzeitig sind die Spieler zwar zu unterschiedlichen Zeitpunkten handeln, dabei aber nicht beobachten können, was die anderen Spieler getan haben, bzw. nicht genug Zeit für eine Reaktion verbleibt. Es handelt sich also um Spiele mit nicht perfekter Information. In dieser Vorlesung behandeln wir Spiele mit ausschliesslich simultanen Zügen. Es gibt also nur eine Runde der Interaktion, in der jeder Spieler eine Handlung wählt, die dann das Ergebnis bestimmt. Einleitung 5 Einleitung 6
Beispiele simultaner Spiele Abstimmungen Submissionswettbewerb Entwicklung eines Produkts Doping Elfmeter Welche Handlung für einen Spieler optimal ist, hängt (im Allgemeinen) davon ab, was seine Mitspieler tun. Was seine Mitspieler tun, kann ein Spieler aber nicht beobachten. Er kann darüber aber Vermutungen anstellen und auf diese optimal reagieren. Einleitung 7 Einleitung 8 Um Vermutungen zu bilden, sollte man darüber nachdenken, was die besten Handlungen der Mitspieler sind. Diese hängen aber wiederum von deren Vermutungen ab. Dieser Ansatz führt zur Analyse von Denkprozessen der Art Wenn sie denkt, dass ich denke, dass sie denkt, dass ich denke, dass sie denkt,... Darstellung simultaner Spiele mit diskreten Einleitung 9 Darstellung simultaner Spiele 0 Definition Ein Spiel in strategischer Form wird durch folgende Informationen beschrieben: Die Menge der Spieler. Die Strategiemenge jedes Spielers (die möglichen Handlungsalternativen). Die Auszahlungen für die Spieler (als Funktion aller möglichen Handlungskombinationen). Reine Strategie: Eine bestimmte Handlung wird mit Sicherheit gewählt. Gemischte Strategie: Die Handlung wird zufällig gewählt. Bsp. Schere-Stein-Papier Bsp. Elfmeter Darstellung simultaner Spiele Darstellung simultaner Spiele
Was wissen die Spieler? Darstellung Die Spieler kennen die Struktur des Spiels (Anzahl Spieler, Handlungsalternativen, Auszahlungen). Sie wissen, dass ihre Mitspieler rational sind. Sie wissen, dass Ihre Mitspieler diese Informationen haben. Sie wissen, dass ihre Mitspieler wissen, dass ihre Mitspieler diese Informationen haben.... Gemeinsames Wissen (Common knowledge) Jedes strategische Spiel kann in einer Spielmatrix dargestellt werden. Diese Matrix wird Normalform oder strategische Form des Spiels genannt. Darstellung simultaner Spiele 3 Darstellung simultaner Spiele 4 Spieler a b c Beispiel: Schere-Stein-Papier Spieler A B C u( Aa, ), u( a, A) Auszahlungen Jeder Spieler hat drei reine zur Verfügung: Schere, Stein, Papier Papier siegt über Stein, Stein siegt über Schere und Schere siegt über Papier. Darstellung simultaner Spiele 5 Darstellung simultaner Spiele 6 SPIELER R P S Das Schere-Stein-Papier Spiel ist ein sogenanntes Nullsummenspiel. SPIELER R P S T, T L, W W, L T, T L, W W, L W, L L, W T, T In einem Nullsummenspiel addieren sich die Auszahlungen immer zu Null. W: Sieg L: Niederlage T: Unentschieden Was der eine gewinnt, verliert der andere. Darstellung simultaner Spiele 7 Darstellung simultaner Spiele 8 3
(a) Alle Auszahlungen (b) Nullsummen shorthand SPIELER SPIELER R P S R P S SPIELER R P S T, T L, W W, L T, T L, W W, L W, L L, W T, T SPIELER R P S T W L L T W W L T Nash-Gleichgewicht W: Sieg L: Niederlage T: Unentschieden Darstellung simultaner Spiele 9 0 Welche Handlungen wählen rationale Spieler in einem Spiel? Welches Ergebnis wird erzielt? Antwort der Spieltheorie NASH-GLEICHGEWICHT In einem Nash-Gleichgewicht ist die Strategie eines jeden Spielers optimal gegeben der der anderen Spieler. Intuitiver Weg um zu prüfen, ob eine Strategiekombination ein Nash-Gleichgewicht ist: Kann sich irgendein Spieler besser stellen, wenn er eine andere Strategie wählen würde, falls alle anderen Spieler an ihren festhalten? Nein Nash-Gleichgewicht Das Nash-Gleichgewichtskonzept beruht auf der Idee, dass jeder Spieler jeweils eine beste Antwort auf die erwarteten der Mitspieler wählt. Die beste Antwort eines Spielers ist diejenige Strategie, welche seine Auszahlung maximiert gegeben der der anderen Spieler. 3 4 4
Ein NG ist eine Strategiekombination, so dass jeder Spieler () korrekte Erwartungen bezüglich der Strategiewahl aller Mitspieler hat und () eine beste Antwort auf die erwarteten der Mitspieler wählt. Nur Nash-Gleichgewichte haben diese Eigenschaft. Ist eine Strategiekombination kein Nash- Gleichgewicht, wählt ein Spieler entweder keine beste Antwort, gegeben seinen Erwartungen, oder eine beste Antwort, aber seine Erwartungen sind falsch. 5 6 Die Annahme, dass Spieler eine beste Antwort auf ihre Vermutungen wählen, scheint plausibel. Unklar ist hingegen, welcher Prozess dafür sorgen sollte, dass die Spieler korrekte Vermutungen haben. Kurzbiographie John F. Nash wurde 98 in Bluefield/West Virginia geboren. Entwickelte das zentrale Gleichgewichtskonzept der Spieltheorie. 994 erhielt er für sein Werk Non- Cooperative Games den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. 7 00 erschien der Film A Beautiful Mind (USA) mit John F. Nash als Hauptfigur. Nash-Gleichgewicht 8 Es gibt Nash-Gleichgewichte in reinen und Nash-Gleichgewichte in gemischten. Wie finden wir diese Nash-Gleichgewichte? Der Rest des Kapitels bespricht verschiedene Verfahren um Nash-Gleichgewichte in reinen zu finden. Dominante 9 Dominante 30 5
Beispiel: Gefangenendilemma Dominante Strategie: Eine Strategie ist dominant für einen Spieler wenn sie für jede Strategiewahl seiner Mitspieler eine strikt grössere Auszahlung als alle seine anderen liefert. Dominante Strategie BONNY Gestehen (Abweichen) Leugnen (Kooperieren) Gestehen (Abweichen) 0 j, 0 j 5 j, j CLYDE Leugnen (Kooperieren) j, 5 j 3 j, 3 j Dominante 3 Dominante 3 Beide Spieler haben dominante Strategie Verfügt ein Spieler über eine dominante Strategie, besteht für ihn keine strategische Unsicherheit im Spiel. Die dominante Strategie ist eine beste Antwort egal wie sich die anderen Spieler verhalten. Die Spieltheorie macht Aussagen darüber, wie rationale Spieler ein gegebenes Spiel spielen. Eine dieser Aussagen ist die folgende: Wenn alle Spieler rational sind und je über eine dominante Strategie verfügen, dann stellt sich immer ein Gleichgewicht in dominanten ein. Dominante 33 Dominante 34 Ein Gleichgewicht in dominanten ist immer ein Nash-Gleichgewicht. Besitzt in einem Spiel jeder Spieler eine dominante Strategie, so ist das einzige Nash- Gleichgewicht des Spiels die Strategiekombination, in der jeder Spieler seine dominante Strategie wählt. Beispiel: Gefangenendilemma Dominante Strategie BONNY Gestehen (Abweichen) Leugnen (Kooperieren) Dominante Strategie Gestehen (Abweichen) 0 j, 0 j 5 j, j CLYDE Leugnen (Kooperieren) j, 5 j 3 j, 3 j Gleichgewicht: Beide Spieler wählen ihre dominante Strategie (Auszahlungen im GG: je 0j) Dominante 35 Dominante 36 6
Nur ein Spieler hat dominante Strategie Was geschieht, wenn nur ein Spieler eine dominante Strategie hat? Dominante Strategie Beste Antwort auf B SPIELER A B Spieler ohne dominante Strategie kann folgern, was Spieler mit dominanter Strategie tun wird. SPIELER A B, 3, 3,, Gleichgewicht: Beide Spieler wählen B Auszahlungen im GG: je Dominante 37 Dominante 38 Die meisten Spiele haben keine dominanten. Dominierte Die beste Antwort eines Spielers hängt dann von der Strategiewahl seiner Mitspieler ab. Es gibt aber manchmal, die offenkundig schlecht sind und in der Analyse ignoriert werden können. Dominierte 39 Dominierte 40 Dominierte Strategie: Eine Strategie ist dominiert für einen Spieler wenn er eine andere Strategie besitzt, die für jede Strategiewahl der anderen Spieler eine strikt höhere Auszahlung liefert. Dominierte Strategie A B A 3 3-4 B 6 - C 3 3 Beispiel ACHTUNG Spieler hat keine dominante Strategie. Er hat aber eine strikt dominierte Strategie (Strategie A). Dominierte 4 Dominierte 4 7
Unterscheidung (Strikt) dominiert: < andere Strategie Schwach dominiert: andere Strategie Eine dominierte Strategie ist niemals eine beste Antwort. niemals heisst: für keine Strategiewahl der Mitspieler. Eine dominierte Strategie kann also nicht Bestandteil eines Nash-Gleichgewichtes sein. Dominierte 43 Dominierte 44, die nur auf dominierte eine beste Antwort sind, können daher auch nicht Bestandteil eines Nash-Gleichgewichtes sein. Dominierte können daher bei der Bestimmung von Nash-Gleichgewichten eliminiert werden. Sukzessive Elimination dominierter Dominierte 45 46 Unterscheidet sich ein Spiel von einem anderen nur dadurch, dass dominierte eliminiert wurden, so besitzen die Spiele die gleichen Nash-Gleichgewichte. Dieses Ergebnis kann man wiederholt anwenden. Ein solcher Prozess der sukzessiven Elimination dominierter muss nach einer endlichen Anzahl von Schritten stoppen. stoppen heisst: es gibt keine dominierten in dem verbliebenen Spiel. Verbleibt am Ende der sukzessiven Elimination nur eine Strategiekombination, so nennt man diese eine Dominanzlösung. 47 48 8
Besitzt ein Spiel eine Dominanzlösung, so ist diese das einzige Nash-Gleichgewicht des Spieles. Nash-Gleichgewichte, die Dominanzlösungen sind, lassen sich auf verschiedene Weise rechtfertigen: Als Ergebnis eines Denkprozesses rationaler Spieler, die über gemeinsames Wissen der Spielstruktur und ihrer Rationalität verfügen: Keiner der Spieler wird eine dominierte Strategie verwenden. Da das jeder weiss, wird auch keiner eine Strategie verwenden, die in dem verbliebenden Spiel dominiert ist. Da das jeder weiss... 49 50 Beispiele Als Ergebnis eines Lern- oder Evolutionsprozess: dominierte sterben aus. Sind sie ausgestorben, sterben als nächstes aus, die in dem verbliebenen Spiel dominiert sind, usw. A B A 3 3-4 B 6 - C 3 3 A B B 6 - C 3 3 A B 6 C 3 5 5 Beispiele Beispiele E F G E F G A 3,, 3 0, A 3,, 3 0, B 4, 5 3, 0 6, 4 C, 5, 4, 3 C, 5, 4, 3 D 5, 6 4, 5 9, 7 D 5, 6 4, 5 9, 7 B wird dominiert von D E wird dominiert von G 53 54 9
Beispiele F G A, 3 0, C 5, 4, 3 D 4, 5 9, 7 F ist die beste Antwort auf C Auch in Spielen, in denen es keine Dominanzlösung gibt, ist es sinnvoll zunächst dominierte (sukzessive) zu eliminieren, um die Suche nach Nash- Gleichgewichten auf das resultierende, kleinere Spiel beschränken zu können. C ist eine dominante Strategie 55 56 Es ist verlockend auch solche zu eliminieren, die nur schwach dominiert sind schwach dominiert heisst: es gibt eine andere Strategie, die für jede Strategiewahl der Mitspieler mindestens so gut wie die betrachtete Strategie ist, aber nicht zu identischen Auszahlungen führt. Die Elimination schwach dominierter kann jedoch zu Problemen führen. Dieses gilt insbesondere für die sukzessive Elimination. Untersuchung Zelle für Zelle 57 Untersuchung Zelle für Zelle 58 Die meisten Spiele haben weder dominante noch dominierte und die Nash- Gleichgewichte lassen sich nicht mit den gezeigten Verfahren finden. In diesem Fall muss Zelle für Zelle untersucht werden, um ein Nash-Gleichgewicht zu finden. Intuitiv: Gehe zu jeder Zelle und prüfe die Nash Bedingung. Gibt es einen Spieler, welcher ein Ergebnis vorziehen würde, welches er durch eine andere Strategie erreichen könnte? Ja fahre fort Nein Nash-Gleichgewicht (Achtung: mehrere Nash-Gleichgewichte möglich) Untersuchung Zelle für Zelle 59 Untersuchung Zelle für Zelle 60 0
Bestimmung der besten Antworten Hoch Hoch 60, 60 Spieler Mittel 36, 70 Tief 36, 35 Multiple Gleichgewichte in reinen Spieler Mittel 70, 36 50, 50 30, 35 Tief 35, 36 35, 30 5, 5 Untersuchung Zelle für Zelle 6 Multiple Gleichgewichte 6 Oftmals gibt es in einem Spiel mehr als ein Nash- Gleichgewicht. Beispiele Kampf der Geschlechter Chicken-Spiel Dieses tritt insbesondere dann auf, wenn die strategische Interaktion ein Koordinationsproblem beinhaltet. In solchen Spielen beschreiben Nash- Gleichgewichte Zustände, in denen es den Spielern gelungen ist, ihr Koordinationsproblem zu lösen. 63 64 Vertrauensspiel: Rüstungswettkampf Auf die Frage warum und unter welchen Umständen es den Spielern gelingen sollte, ihr Koordinationsproblem zu lösen, liefert die Analyse der Nash-Gleichgewichte in einem Spiel mit simultanen Zügen keine Antwort. USA Unterlassen Aufrüsten U.S.S.R. Unterlassen Aufrüsten 4, 4, 3 3,, 65 66
Chicken-Spiel Kampf der Geschlechter DEAN Ausweichen (Chicken) Geradeausfahren (Draufgänger) EHEFRAU Fussball Theater JAMES Ausweichen (Chicken) Geradeausfahren (Draufgänger) 0, 0 -,, - -, - EHEMANN Fussball Theater, 0, 0 0, 0, 67 68 Reines Koordinationsspiel EHEFRAU Fussball Theater Fokaler Punkt: Der gemeinsame kulturelle Hintergrund der Beteiligten kann es ermöglichen, dass die Koordination auf ein Nash- Gleichgewicht in einem reinen Koordinationsspiel gelingt. EHEMANN Fussball Theater, 0, 0 0, 0, Thomas Schelling erhielt 005 den Nobelpreis für seine Beiträge zur Spieltheorie, insbesondere die Theorie der fokalen Punkte ( focal points ). 69 70 Kommunikation: Können die Spieler sich vorweg absprechen, so sollte es in einem reinen Koordinationsspiel nicht schwer fallen, sich auf eine Aktion zu einigen und diese dann auch zu wählen. Evolution und Lernen: Sobald eine der Aktionen überdurchschnittlich populär ist, wird sie sich auf Grund ihres überdurchschnittlichen Erfolgs ausbreiten. Im Endpunkt eines solchen Prozesses gelingt die Koordination. Kein Gleichgewicht in reinen 7 Kein Gleichgewicht in reinen 7
Es existiert nicht immer ein Nash-Gleichgewicht in reinen KAHN Es gibt dann aber immer eines in gemischten. RONALDO Links Rechts Links Rechts -,, -, - -, Thema der Kapitel 7 und 8. Kein Gleichgewicht in reinen 73 Kein Gleichgewicht in reinen 74 3