Physikalisches Praktikum Versuch 8: Messung der Schallgeschwindigkeit in Gasen Daniel Heißelmann Michael Beimforde Gruppe 1 Versuchsleiterin: Frau Wesner 48 / 50 Punkte 15. Januar 2003
Beimforde,Heißelmann 2 Inhaltsverzeichnis 1 Ziele 3 2 Messung der Schallgeschwindigkeit in Gasen 3 2.1 Berechnung der Schallgeschwindigkeiten............ 4 2.2 Kundtsches Rohr......................... 5 2.3 Ultraschallanordnung....................... 8 2.3.1 Resonanzfrequenz des Senders.............. 8 2.3.2 Wellenlängenbestimmung................. 9 2.3.3 Schallgeschwindigkeit(Weg/Zeitmessung)........ 10 3 Anhang 13
Beimforde,Heißelmann 3 1 Ziele Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft, Helium und CO 2 mit dem Kundtschen Rohr Laufzeitmessungen mit Ultraschall in Luft 2 Messung der Schallgeschwindigkeit in Gasen In dieser Versuchsreihe sollen die Schallwellen und deren Geschwindigkeiten in verschiedenen Gasen vermessen werden. Schallwellen sind longitudinale Druckschwankungen in einem Medium. Dieses Medium kann hierbei sowohl gasförmig, flüssig oder fest sein. Der Abstand von zwei periodischen Druckschwankungen, also einer Periode wird mit λ bezeichnet. Die Geschwindigkeit der Wellen c ergibt sich zu: c = λ ν (1) ν = Frequenz der Druckschwankung Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt dabei von dem Medium ab. Bei Gasen gilt: Je höher die Molarität M des Gases, desto geringer ist die Schallgeschwindigkeit: 1 c = (2) αϱ ϱ α = nm V = 1 V dv dp p V κ = const.; κ = c p c v α = 1 pκ Ideales Gas Gesetz: pv = nrt V c = κp nm κrt c = (3) M Im ersten Teil der Versuchsreihe werden Wellenlängen mit Hilfe eines Kundtschen Rohres gemessen und so mit Hilfe von Gleichung (1) und den
Beimforde,Heißelmann 4 bekannten Frequenzen die dazugehörigen Geschwindigkeiten bestimmt. Im zweiten Teil wird dann mittels einer Radaranordnung die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Ultraschallwellen gemessen. 2.1 Berechnung der Schallgeschwindigkeiten Zunächst soll die theoretische Bestimmung der Schallgeschwindigkeit durchgeführt werden, um eine Vorstellung von den im nächsten Teil gemessenen Größen und deren Größenordnungen zu erhalten. Dies geschieht nach Gleichung(3): κrt c = M wobei: κ = c p c v Die Werte für c p und c v lassen sich aus den Molekülstrukturen der Gase berechnen: c p = f + 2 R 2 c v = f 2 R Beide hängen ab von der Anzahl der Freiheitgrade f der Moleküle. Einatomige Molküle besitzen lediglich die drei Freiheitsgrade der Translation. Lineare Moleküle besitzen ebenfalls die drei Freiheitsgrade der Translation, zusätzlich rotieren sie um zwei Achsen - die Längsachse und eine Achse, die auf dieser senkrecht steht. Insgesamt besitzen lineare Moleküle also fünf Freiheitsgrade. Nun werden die unterschiedlichen Schallgeschwindigkeiten für Luft (20% Sauerstoff [linear], 80 %Stickstoff [linear]), Helium (einatomig) und Kohlenstoffdioxid (linear) berechnet. Da die Luft ein Gemisch von (hier zwei) Gasen ist, die beide linear sind, wird die mittlere Molarität berechnet und in die Formel eingesetzt. M Luft = 80%M N 2 + 20%M O2 100% = 28, 80 g mol Für die einzelnen Geschwindigkeiten ergibt sich also: f+2 f c = RT M (4) c Luft = 344 m s
Beimforde,Heißelmann 5 c He = 1007 m s c CO2 = 278 m s 2.2 Kundtsches Rohr Abbildung 1: Aufbau des Kundtschen Rohres In diesem Teilversuch sollen die Schallwellen in Gasen mit Hilfe des sog. Kundtschen Rohres (vgl. Abb.(1)) sichtbar gemacht und vermessen werden. Das Kundtsche Rohr besteht aus einer durchsichtigen Glasröhre (ca. 1m lang, 5cm Innendurchmesser), welche auf einer Seite durch eine Membran beschallt wird. Auf der anderen Seite ist sie mit einem Stempel so abgedichtet, dass die Länge des Resonanzkörpers duch Verschieben des Stempels variiert werden kann. Gefüllt ist das Kundtsche Rohr mit möglichst trockenem Korkmehl. Wird nun über einen Sinusgenerator eine Druckschwankung im Rohr erzeugt, so fangen die Partikel des Korkmehls an zu schwingen. Durch Variation der Rohrlänge durch den Stempel, kann eine stehende Welle erzeugt werden (Rohrlänge ist ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge). In diesem Fall werden die Schwingungen des Korkmehls im Bereich der Knotenpunkte der sich überlagerten Wellen sehr gering, während sie im Bereich der Wellenbäuche stark zunehmen. Hier richtet sich das Korkmehl so aus, wie die Wellenbäuche. Bei nicht so deutlichen Ausrichtungen kann das Rohr etwas gedreht werden, so dass das Korkmehl nicht genau im tiefsten Punkt des Rohres liegt. Nun reichen kleine Vibrationen des Mehl aus, um die Reibung mit dem Glasboden sehr zu verringern. Die Schwerkraft sorgt dann im Bereich der Wellenbäuche dafür, dass sich das Korkmehl wieder an den Tiefsten Punkt des Rohres bewegt. Anhand der Muster, die bei diesem Versuch entstehen, kann nun der Abstand von zwei Wellenknoten und daraus die Wellenlänge bestimmt werden. Dies wird nun für zehn verschiedenen Anregerfrequenzen durchgeführt. So kann mit Gleichung (1) die Schallgeschwindigkeit in der Luft betimmt werden.
Beimforde,Heißelmann 6 Anregerfrequenz ν / s 1 Wellenlänge λ / cm 674 50,0 901 37,5 1385 18,5 2535 13,5 2802 12,0 3208 10,6 3821 9,0 4344 7,8 4882 6,9 5527 6,2 Tabelle 1: Gemessene Wellenlängen bei untersch. Frequenzen Nun wird das Kundtsche Rohr mit Helium bzw. Kohlenstoffdioxid aus Druckflaschen befüllt und es werden erneut für je fünf Frequenzen die dazugehörigen Wellenlängen bestimmt. Gas Anregerfrequenz ν / s 1 Wellenlänge λ / cm He 2538 15,7 3117 14,0 3884 11,4 4469 10,8 5353 11,1 5501 10,6 5951 14,5 CO 2 2296 11,8 2633 10,5 2935 9,3 3760 7,4 4498 6,2 5337 4,9 Tabelle 2: Gemessene Wellenlängen bei untersch. Frequenzen Die gemessenen Werte für das mit Helium befüllte Kundtsche Rohr sind sehr wahrscheinlich nicht richtig, da die Wellenlänge in unserem Fall bei steigender Frequenz ebenfalls steigt. Das bedeutet, dass die Schallgeschwindigkeit nicht konstant ist. Die ist auf das während des Versuches zu Neige gegangenen Heliums zurückzuführen. Obwohl diese Werte nicht besonders
Beimforde,Heißelmann 7 aussagekräftig sind, wird trotzdem eine Schallgeschwindigkeit im Helium berechnet. Aus diesen gemessenen Werten können nun die Schallgeschwindigkeiten in den jeweiligen Gasen berechnet werden. c = 1 λ n ν n n n c Luft = 331 m s c He = 543 m s c CO2 = 273 m s Zur Fehlerberechnung wird angenommen, dass die Wellenlänge mit einem Maßstab auf 0,5cm genau bestimmt werden kann, da gleich mehrere Maxima vermessen werden. c = c λ = ν λ c Luft = 28 m s c He = 30 m s c CO2 = 27 m s Für den relativen Größtfehler rel. c bei Helium und dem Kohlenstoffdioxid ergibt sich: rel. c = c c rel. c He = 5, 2% rel. c CO2 = 10, 3% Wie erwartet weicht der Wert für die Schallgeschwindigkeit im Helium sehr stark von dem theoretischen Wert ab. Auch die Fehlergrenze von 30 ms 1 bringt den gemessenen Wert nicht in die Nähe des theoretischen. Der Grund hierfür ist wie oben schon erläutert die unzureichende Zufuhr von Helium während des Versuches. Der gemessene Wert für das Kohlenstoffdioxid liegt im Rahmen des Größtfehlers.
Beimforde,Heißelmann 8 2.3 Ultraschallanordnung Als Nächstes sollen die Wellenlänge und Schallgeschwindigkeit von Ultraschallwellen bestimmt werden. Hierzu stehen ein Ultraschallresonanzsender und -empfänger zur Verfügung. Der Sender besitzt eine Kristallplatte, welche, durch Strom angeregt, anfängt zu schwingen. Diese Schwingungen erzeugen Dichteschwnkungen in der Luft, die auf Grund der hohen Frequenz nicht durch das menschliche Gehör wahrgenommen werden können. Solche Dichteschawnkungen werden Ultraschallwellen genannt. Da es sich um einen Resonanzsender handelt, besitzt er eine Eigenfrequenz (Resonanzfrequenz). Der Empfänger ist an ein Oszilloskop angeschlossen, welches die Auswertung von Amplitude und Frequenz ermöglicht. 2.3.1 Resonanzfrequenz des Senders Wie oben schon beschrieben, besitzt der Sender eine Resonanzfrequenz. Diese soll nun ermittelt werden. Hierzu werden Sender und Empfänger zueinander gewandt. Mit Hilfe des am Senders angeschlossenen Sinusgenerators, wird nun die auszusendende Frequenz variiert. Das am Empfänger angeschlossene Oszilloskop zeigt dann bei korrekter Einstellung den Amplitudenverlauf an, sodass Frequenz und Amplitude ermittelt werden können. Es wird nun die Frequenz in einem kleinen Bereich um 40kHz variiert und jeweils die Amplitude abgelesen. Die Frequenz, bei welcher die maximale Amplitude erzeugt wird, ist die Resonanzfrequenz des Senders. Frequenz ν / khz Amplitude A / V 40,0 0,7 40,1 1,4 40,2 2,0 40,3 2,5 40,4 3,1 40,5 2,4 40,6 1,3 40,7 0,8 40,8 0,4 40,9 0,3 41,0 0,3 Tabelle 3: Bestimmung der Resonanzfrequenz des Ultraschallsenders Graphische Auswertung:
Beimforde,Heißelmann 9 3,5 Frequenzabhängige Amplitue 3,0 2,5 Amplitude / V 2,0 1,5 1,0 0,5 40000 40200 40400 40600 40800 41000 Frequenz / Hz Abbildung 2: Verlauf der Amplitude Aus der Tabelle und dem Graphen (Abb. (2)) kann nun die Resonanzfrequenz zu 40,4kHz bestimmt werden. 2.3.2 Wellenlängenbestimmung In diesem Teilversuch soll nun die Wellenlänge bei eingestellter Resonanzfrequenz ermittelt werden. Die geschieht, indem die Amplitude bei unterschiedlichen Abständen zwischen Sender und Empfänger beobachtet wird. Wie im vorhergehenden Versuch werden Sender und Empfänger zueinander gerichtet. Diesmal werden beide auf einer Schiene befestigt, sodass sie in Richtung der logitudinalen Wellenausbreitung voneinander entfernt werden können. Bei der Veränderung des Abstandes schwangt die Amplitude auf dem Osziloskop. Die Ursache hierfür ist, dass mal ein Wellenbauch und mal ein Wellenknoten beim Empfänger registriert wird. Mit diesen Kenntnissen kann nun der Abstand um einen bestimmten Betrag verändert und die dabei durchlaufenen Maxima gezählt werden, um hieraus die Wellenlänge zu bestimmen. Es wird eine Wegdifferenz gewählt, bei der viele Maxima und Minima durchlaufen werden, um ein möglichst genaues Ergebnis zu erzielen. Außerdem wird die Messung aus gleichem Grund mehrfach wiederholt:
Beimforde,Heißelmann 10 Wegdifferenz /cm durchlaufene Maxima Wellenlänge λ / cm 25cm 57 0,88 58 0,86 55 0,90 57 0,88 59 0,84 58 0,86 58 0,86 57 0,88 55 0,90 56 0,90 59 0,84 57 0,88 Mittelwert: 57,2 0,87 Tabelle 4: Gemessene Wellenlängen bei untersch. Frequenzen Durch Auswertung der Tabellen erhalten wir eine mittlere Wellenlänge von 0,44cm. Nun soll der Größtfehler abgeschätzt werden. Hierzu muss zunächst eine Gleichung aufgestellt werden, mit welcher die Wellenlänge als Funktion von der Weglängendifferenz und der Durchlaufenen Maxima bestimmt werden kann: λ = 2 s n (5) wobei: s = Weglängendifferenz, n = Anzahl der Durchlaufenen Maxima Der konstante Koeffizient 2 kommt dadurch zu stande, dass jeweils zwei Maxima pro Periode durchlaufen werden, da sich eine stehende Welle zwischen Sender und Empfänger ausbildet. Für den Größtfehler gilt somit ( n = 2, s = 1mm): 2 λ = n s + 2 s n n 2 = 0, 035cm 2.3.3 Schallgeschwindigkeit(Weg/Zeitmessung) Im letzten Teil der Versuchsreihe soll nun die Schallgeschwindigkeit des Ultraschalls in Luft gemessen werden. Hierzu werden Sender und Empfänger in der sogenannten Radaranordnung aufgestellt (vgl. Abb(3)).
Beimforde,Heißelmann 11 Abbildung 3: Radaranordnung Das Prinzip hinter dieser Anordnung ist, dass von dem Sender in regelmäßigen Abständen ein Ultraschallimpuls ausgesandt wird. Der Sender ist hierbei mit dem Oszilloskop verbunden, sodass unmittelbar bei Aussendung des Signales ein Bild dieses Impulses auf dem Oszilloskop zu sehen ist. Die Form der Impulse kommt durch die physikalischen Eigenschaften der Resonanzplatte zustande. Diese wird durch einen Strom angeregt und beginnt, zu schwingen. Da die Platte eine gewisse träge Masse besitzt, dauert es einen kurzen Moment, bis die maximale Amplitude erreicht ist. Nach der Anregung dauert es wiederum ein (diesmal etwas längere) Zeit bis die Platte wieder aufhört, zu schwingen. Zusätzlich wird der ausgesandte Impuls an dem aufgestellten Schirm (Abb.(3)) reflektiert und zu dem Empfänger zurückgeworfen. Da auch der Empfänger an dem Oszilloskop angeschlossen ist, zeigt dieses einen zweiten Impuls auf dem Display an. Da der Impuls aber eine gewisse Zeit vom Zeitpunkt des Aussendens bis zur Ankunft am Empfänger gebraucht hat, ist die Flanke des zweiten Impulses auf der Zeit-Achse leicht verschoben. Wird nun die Distanz zwischen Reflektionsschirm und der Radaranordnung verändert, so verschiebt sich auch die Flanke des zweiten Impulses auf dem Oszilloskop. Dies liegt trivialer Weise daran, dass der sich Impuls mit konstanter Geschwindigkeit ausbreitet und so für längere Distanzen mehr Zeit braucht. Da die Zeitdifferenz zwischen Aussendung und Empfang des Impulses gerade
Beimforde,Heißelmann 12 durch den Abstand der Flanken dargestellt wird, liegt es auf der Hand, dass sich die Flanken verschieben, wenn der Reflektorschirm verschoben wird. Aus der Weg- und der Zeitdifferenz ( s und t) ergibt sich die Geschwindigkeit des Impulses: v = s t Diese Geschwindigkeitberechnung wird nun für sechs verschiedene Wegstrecken durchgeführt: Wegdifferenz s/cm Zeitdifferenz t/ms Geschwindigkeit v/m s 1 20 0,62 322,6 40 1,25 320,0 60 1,87 320,9 80 2,50 320,0 100 3,12 320,5 120 3,91 306,9 Mittelwert: 318,5 (6) Tabelle 5: Schallgeschwindigkeit des Ultraschallimpulses Berechnung des dazugehörigen Größtfehlers nach Glg. (6)( s = 2cm, t = 0, 1ms): 1 v = t s + s t t 2 = 84, 3 m s Dieser Größtfehler wird für die erste Messung bestimmt, da hier die größten Ungenauigkeiten entstehen. Der relative Größtfehler beträgt: v rel = v v = 26, 5%
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