4. Differentialgleichungen Prof. Dr. Erich Walter Farkas 10.11.2011 Seite 1
Einleitung Viele in der Natur stattfindende Vorgänge können durch sogenannte Differentialgleichungen beschrieben werden. Unter einer Differentialgleichung versteht man - ganz grob gesagt - eine Gleichung, in der unbekannte Funktionen, ihre Variablen und ihre Ableitungen vorkommen. Die Lösung einer solchen Gleichung sind Funktionen, welche die durch die Gleichung gegebenen Bedingungen erfüllen. 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 2
Beispiel: Wachstum von Populationen N(t) = Grösse der Population zur Zeit t. Wachstumsgeschwindigkeit: N N (t) = lim t 0 t Wachstumsrate: N (t) N(t) = 1 dn N dt Das Wachstumsverhalten von Populationen lässt sich mit Hilfe von Differentialgleichungen darstellen. 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 3
Unbeschränktes Wachstum Gegeben: N 0 = N(0), λ > 0 Wachstumsverhalten: N (t) = λn(t) > 0 Mit Hilfe der Wachstumsrate erhält man: N N N = dn = λn dn dt λn = d dn 1 λn = dt N dn = λ N = e λt+c = e c e λt ec =K = Ke λt dt = λt ln(n) = λt + c Die Anfangsbedingung für t = 0 ist erfüllt, falls N(0) = K. 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 4
Unbeschränktes Wachstum exponentielle Wachstumsfunktion: N(t) = N 0 e λt ; (λ > 0) N N(t) N 0 t Die Population wächst immer schneller unbegrenzt weiter. Verdoppelungszeit: T = ln(2) λ N(t + T ) = 2N(t) 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 5
Einfach Beschränktes Wachstum Gegeben: N 0 = N(0), λ, B > 0 Wachstumsverhalten: N (t) = λ(b N(t)) > 0 Mit Hilfe der Wachstumsrate erhält man: N N = dn dn = λ(b N) dt λ(b N) = dt dn λ(b N) = 1 dt B N dn = λ dt = λt N ln(b N) = λt + c ln(b N) = (λt + c) N = B e (λt+c) = B Ke λt Die Anfangsbedingung für t = 0 ist erfüllt, falls K = B N(0). 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 6
Einfach Beschränktes Wachstum einfach beschränkte Wachstumsfunktion: N(t) = B (B N 0 )e λt ; (λ, B > 0) N B N(t) N 0 lim t N(t) = lim t (B (B N 0 )e λt ) = B B = Endgrösse der Population t 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 7
Logistisches Wachstum Gegeben: N 0 = N(0), λ, B > 0 Wachstumsverhalten: N (t) = λn(t)(b N(t)) > 0 Mit Hilfe der Wachstumsrate erhält man: N N = dn dn = λn(b N) dt λn(b N) = dt dn λn(b N) = 1 dt N(B N) dn = λ N dt = λt Der Bruch lässt sich vereinfachen: 1 N(B N) = 1 (B N) + N = 1 B N(B N) B ( 1 N + 1 ) B N 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 8
Logistisches Wachstum Berechnet man das Integral, so erhält man: ( 1 1 B N + 1 ) dn = λt 1 (ln(n) ln(b N)) = λt + c B N B ( ) N ln = λbt + c N B N B N = eλbt+ c N = Be λbt+ c Ne λbt+ c N = = B BeλBt+ c Be c 1 + e = e λbt c e =K λbt+ c 1 + e c e λbt 1+Ke λbt Ke λbt = B 1 K e λbt + 1 N(1 + e λbt+ c ) = Be λbt+ c 1/K =L = = BKeλBt B 1 + Le λbt 1 + Ke λbt Die Bedingung für t = 0 ist erfüllt, falls N(0) = B L = B N(0). 1+L N(0) 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 9
Logistisches Wachstum logistische Wachstumsfunktion: B N N(t) = BN 0 N 0 + (B N 0 )e λbt ; (λ, B > 0) B/2 N(t) N 0 t lim t N(t) = B B = Endgrösse der Population Wendepunkt in N = B/2 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 10
Explizite Differentialgleichung erster Ordnung F : R 2 R (stetige) Funktion in zwei Variablen. Gesucht: Gesamtheit aller differenzierbaren Funktionen y = y(x) so, dass y = F(x, y). explizit : y direkt durch x und y ausgedrückt. erster Ordnung : Es kommen höchstens erste Ableitungen vor. Lösung der Differentialgleichung: Funktion y = y(x), welche der Gleichung y = F(x, y) genügt. Spezialfälle: y = F(x), y = F(y) 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 11
Beispiele von Differentialgleichungen Am Beispiel des Wachstumsverhaltens von Populationen haben wir bereits verschiedene Differentialgleichungen gelöst. In einfachen Fällen lässt sich eine Differentialgleichung auch durch Erraten lösen: Differentialgleichung Lösung y = 2x y = 2xy y = x 2 + c y = ce x2 Sehr wichtig ist die Feststellung, dass die Lösung einer Differentialgleichung (1. Ordnung) nie eindeutig bestimmt ist, sondern noch eine Konstante (c) enthält. Jeder Wert von c liefert eine Lösung der Differentialgleichung. 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 12
Richtungsfeld zu einer Differentialgleichung Gegeben ist die Differentialgleichung: y = F(x, y) y = y(x) ist die Lösung dieser Gleichung. Wir wissen, dass die Steigung der Lösungskurve, die durch (x 0, y 0 ) läuft, an der Stelle (x 0, y 0 ) durch F(x 0, y 0 ) gegeben ist. Somit können wir die Steigung der Lösungskurve an bestimmten Punkten berechnen, ohne die Lösungsfunktion f (x) zu kennen. Mit Hilfe eines Richtungsfelds lässt sich der Verlauf der Lösungskurven näherungsweise erkennen. 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 13
Richtungsfeld zu einer Differentialgleichung Richtungsfeld: In (x, y) wird eine kleine Strecke mit Steigung F(x, y) eingetragen. Lösungen: Kurven, die dem Richtungsfeld folgen. 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 14
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung Definition: Eine Differentialgleichung erster Ordnung heisst linear, wenn sie die Form y = p(x)y + q(x) hat, wobei p und q Funktionen von x sind. Es werden zwei Fälle unterschieden: Eine lineare Differentialgleichung heisst homogen, wenn q(x) = 0 ist, andernfalls nennt man sie inhomogen. 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 15
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung P(x) = beliebige Stammfunktion von p(x) ( p(x)dx = P(x)) K = eine beliebige Konstante Lösung der homogenen Gleichung: y = Ke p(x)dx = Ke P(x) Kontrolle: y = Ke P(x) P (x) = Ke P(x) p(x) = p(x)y 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 16
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung Lösung der inhomogenen Gleichung: Ansatz: Variation der Konstanten: K K (x) y (x) = K (x)e P(x) + K (x)p (x)e P(x) y = K (x)e P(x) = K (x)e P(x) + p(x)k (x)e P(x) = K (x)e P(x) + p(x)y(x) K (x)e P(x) + p(x)y(x) = p(x)y(x) + q(x) K (x)e P(x) = q(x) K (x) = q(x)e P(x) K (x) = q(x)e P(x) dx ( y = ) q(x)e P(x) dx e P(x) 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 17
Lösungsverfahren für lineare Dgl. 1. Ordnung Zu lösen: y = p(x)y + q(x) (1) 1. Löse die zugehörige homogene Dgl. erster Ordnung, nämlich y = p(x)y. (2) Lösung: y = Ke P(x) ; (K R ; P(x) = p(x)dx) 2. Mache den Ansatz Variation der Konstanten : y = K (x)e P(x) (3) 3. Setze (3) in (1) ein. Dies führt zu einer Dgl. für K (x). 4. Löse diese neue Dgl. nach K (x) auf. 5. Setze die gefundene Lösung für K (x) in (2) ein. Nun erhält man die Lösung von (1). 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 18
Allgemeine und spezielle Lösungen Allgemeine Lösung : Gesamtheit aller Lösungen der Dgl. Spezielle Lösung : einzelne Lösung Eine spezielle Lösung der Dgl. y = p(x)y + q(x) ist festgelegt durch eine Anfangsbedingung y(x 0 ) = y 0 y spezielle Lösung mit y(x 0 ) = y 0 Lösungskurve durch (x 0, y 0 ) y 0 weitere Lösungen x 0 x 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 19
Allgemeine und spezielle Lösungen Form der allgemeinen Lösung von y = p(x)y + q(x) : y = y i + c y h y i = spezielle Lösung von y = p(x)y + q(x) = Lösung der inhomogenen Gleichung y h = spezielle Lösung von y = p(x)y ; y h 0 = Lösung der homogenen Gleichung c = eine beliebige Konstante 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 20
Separation der Variablen - Lösungsmethode Zu lösen: y = r(x)s(y) 1. Schreibe die Differentialgleichung in der Form dy dx = r(x)s(y). 2. Separiere y links von =, x rechts von = dy s(y) = r(x)dx. 3. Bilde auf beiden Seiten das unbestimmte Integral dy s(y) = r(x)dx S(y) = R(x) + c. S(y) = Stammfunktion von 1/s(y), R(x) = Stammfunktion von r(x) 4. Löse (wenn möglich) die Gleichung nach y auf. Dies liefert y = y(x). 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 21
Singuläre Lösungen Singuläre Lösungen der Differentialgleichung y = r(x)s(y) können auftreten, wenn die Funktion s(y) nicht linear ist. Diese Lösungen sind nicht in der durch S(y) = R(x) + c bestimmten Lösungsschar enthalten. Es handelt sich um konstante Funktionen y mit s(y) = 0. 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 22
Singuläre Lösungen - Beispiel Zu lösen: y = 2x(y 1) 2 Durch die Separation der Variablen erhalten wir: dy dx = 2x(y 1)2 dy (y 1) = 2xdx dy 2 (y 1) = 2 1 y 1 = x2 + c y = 1 1 x 2 + c Allgemeine Lösung: Singuläre Lösung: y = 1 1 x 2 + c y 1 Für keine Wahl von c erscheint y = 1! 2xdx 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 23
Singuläre Lösungen:.. anschaulich y c = 1 c = 2 c = 1 c = 2 y = 1 x c = 0.5 c = 0 Singuläre Lösung y 1 Grenzkurve der allgemeinen Lösungsschar für c ± 10.11.2011 4. Differentialgleichungen Seite 24