Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7 Vincent Blaskowitz Übungsblatt 7 vom 03.06.20 Aufgabe Aufgabenstellung Berechnen Sie die folgenden Logarithmen ohne Taschenrechner: i log 0,008 ii log 2 Lösung Wir schreiben uns die Aufgaben so um, dass das Ergebnis oensichtlich wird: Zu i: 8 log 0,008 = log = log 000 = log 2 3 = log 3 = 3 Zu ii: log 2 = log 3 = log 2 3 = log 6 = 6 Alternative Lösung Als Anreiz für beide Aufgaben noch jeweils ein weiterer Ansatz: Zu i: 8 log 0,008 = log 000 = log = log 2 log 2 = 0 3 = 3
Zu ii: log 2 = x x = 2 = 3 2 x = 3 x 2 = 3 x 2 = 3 x = 6 Letzteres funktioniert, weil x 2 also die Exponenten. und 3 nur dann gleich sind, wenn x 2 und 3 gleich sind Aufgabe 2 Aufgabenstellung Finden Sie den Wert von x R in: a log 9 x = /2 b log 2 x = 3 Lösung Wir müssen uns nur klarmachen, dass das Ergebnis eines Logarithmus der Exponent der Basis ist, den wir benutzen um die Zahl in der Klammer zu errechnen. Übertragen auf die Aufgaben bedeutet das: Zu a: log 9 x = /2 9 2 = x 9 = x x = 3 Zu b: log 2 x = 3 2 3 = x x = 8 2
Aufgabe 3 Aufgabenstellung Für eine n n-matrix A = A ij denieren wir die Spur von A, bezeichnet TrA, durch TrA := n A ii. Zeigen Sie, dass T rab BA = 0 für alle n n - Matrizen A und B. Lösung Machen wir uns erst einmal klar, was die Spur einer Matrix überhaupt be- A ii bezeichnet ja nichts anderes als alle Elemente der Matrix, bei denen die deutet. Spalte und die Zeile identisch ist beides i. Das ist genau auf der Diagonalen der Fall A, A 22, A 33,. Um uns das nochmal bildlich zu veranschaulichen: A A 22 A 33... A nn Schauen wir uns nochmal unsere zu zeigende Gleichung an: T rab BA = 0 n n - Matrizen A und B Wir nutzen die Tatsache, dass die Matrix-Addition komponentenweise funktioniert und deshalb folgendes gilt: T ra + B = A + B ii = A ii + B ii = T ra + T rb Aus diesem Grund können wir unsere Gleichung nun Stück für Stück umformen. Aber Vorsicht: Wir dürfen nicht einfach von einer zu beweisenden Gleichung ausgehen und daraus einfach etwas Wahres herleiten, um sie zu beweisen. Ex falso quodlibet - Aus Falschem folgt Beliebiges! In unserem Fall benutzen wir allerdings Äquivalenzumformungen. Wenn wir damit etwas herleiten ist es genauso wahr wie unsere Ausgangsgleichung letztere lässt sich daraus dann nämlich ebenfalls herleiten. T rab BA = 0 T rab T rba = 0 T rab = T rba Nun setzen wir die Formel für die Spur ein: 3
AB ii = BA ii a ik b ki = k= b ik a ki k= Der Hintergrund dieser Umformung ist der, dass wir bei der Erhöhung von i jeweils die nächste Zeile mit der nächsten Spalte multiplizieren und deshalb nur Ergebnisse auf der Diagonallinie erhalten. Und das ist eben genau die Spur. Jetzt kommt der entscheidende Schritt. Da wird es jetzt nicht mehr mit Matrizen, sondern mit ganz normalen Zahlen aus R zu tun haben, können wir die Kommutativität von R nutzen, um die rechte Seite wie folgt umzuschreiben: a ik b ki = k= a ik b ki k= Da wir bis hierhin nur mit Äquivalenzumformungen gearbeitet haben, gilt: T rab BA = 0 a ik b ki a ik b ki = 0 k= k= Und da letzteres zweifelsohne richtig ist und die zu beweisende Gleichung aus letzterem folgt wegen den Äquivalenzumformungen, haben wir die Annahme bewiesen! q.e.d. 4
Aufgabe 4 Aufgabenstellung Finden Sie eine stetige Funktion f : [0, ] R, so dass f ihr Maximum unendlich abzählbar viele Male annimmt, aber nicht überabzählbar viele Male. Lösung Schauen wir uns mal an, wann der Sinus 0 wird. Das ist immer dann der Fall, wenn er als Eingabe ein ganzzahliges Vielfaches von π erhält 0, π, 2π,. Wie sieht das bei folgender Funktion aus: sin = 0 x Diese Funktion wird 0, wenn x ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. Also können wir sagen: sinx = 0 x = k π, k Z Da k eine ganze Zahl ist und die ganzen Zahlen abzählbar sind, nimmt diese Funktion den Wert 0 abzählbar unendlich viele Male an. Also hätten wir bereits eine Funktion, die den Wert 0 abzählbar unendlich viele Male annimmt. Nun wollen wir allerdings, dass sie ihr Maximum abzählbar unendlich viele Male annimmt. Wir multiplizieren daher einfach den Funktionswert mit x und ziehen ihn von ab: x sin x Jetzt gibt's aber noch ein Problem: Diese Funktion ist in 0 nicht deniert! Aber das können wir ganz einfach durch Festlegen eines Funktionswerts lösen: fx = { x sin x x 0 x = 0 Diese Funktion ist unsere gesuchte Funktion. Wenn sin x 0 wird, haben wir das Maximum erreicht, da wir 0 rechnen. Dass dies abzählbar unendlich viele Male passiert, haben wir oben schon gezeigt. Um einen negativen Wert auszuschlieÿen der nur durch den Sinus kommen könnte, denn x ist ja nur in [0, ] deniert, nehmen wir einfach den Betrag. Sorgen wir jetzt noch für einen vernünftigen Beweis:
ist stetig in [0, ] und nimmt sein Ma- { x sin Behauptung: fx = x x 0 x = 0 ximum abzählbar unendlich oft an. Beweis: i Stetigkeit: Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig. ii Maximum wird abzählbar unendlich oft angenommen: f nimmt an, wenn x = 0 lt. Denition oder sin x = 0. sin x = 0 genau dann wenn x = k π, k Z. Da Z abzählbar ist, nimmt f sein Maximum nur abzählbar unendlich viele Male an. q.e.d. 6