040571-1 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: WiSe07/08 Wirtschaftsstatistik I [E1] Schwab, Harald 1 harald.schwab@univie.ac.at http://homepage.univie.ac.at/harald.schwab October 7, 2007 1 Sprechstunde: MO 17-18h [3/236] Schwab, Harald harald.schwab@univie.ac.at Wirtschaftsstatistik I [E1]
Zufallsexperiment: Die Wahrscheinlichkeitstheorie dient dazu Vorgänge zu beschreiben, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Kann das Ergebnis eines solchen zufälligen Vorgangs mathematisch beschrieben werden, dann spricht man von einem Zufallsexperioment.
Die Menge aller denkbaren Ausgänge eines Zufallsexperiments nennt man den Stichproben- oder Ereignisraum. Ω
Seine Elemente x - die möglichen Ausgänge - werden Elementarereignisse genannt. x Ω
Die Menge jener Elementarereignisse, die eine eine bestimmte Eigenschaft erfüllt wird als Ereignis (= A) bezeichnet A Ω.
Die Menge jener Elementarereignisse, die eine eine bestimmte Eigenschaft erfüllt wird als Ereignis (= A) bezeichnet A Ω. zum Beispiel Eigenschaft gerade Augenzahl A = {2, 4, 6} eines Würfels Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ein Würfel wird zweimal geworfen:
Ein Würfel wird zweimal geworfen: Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)}
Ein Würfel wird zweimal geworfen: Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} Ω = {(i, j) : i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}}
Ein Würfel wird zweimal geworfen: Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} Ω = {(i, j) : i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}} Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} Produkt von Mengen
Mengenbegriffe: A Ω, B Ω
Mengenbegriffe: Vereinigung: A B = {x Ω : x A x B}
Mengenbegriffe: Durchschnitt: A B = {x Ω : x A x B}
Mengenbegriffe: Kompliment: A = Ω \ A = {x Ω : x / A}
Mengenbegriffe: Ausschliessende Ereignisse: A B = {}
de Morgan sche Regel A B = A B
de Morgan sche Regel A B = A B
Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird.
Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A)
Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A) 0 = P({}) P(E) P(Ω) = 1
Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A) 0 = P({}) P(E) P(Ω) = 1 P(E) = 1 P(E)
Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A) 0 = P({}) P(E) P(Ω) = 1 P(E) = 1 P(E) P(A \ B) = P(A) P(A B)
Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A) 0 = P({}) P(E) P(Ω) = 1 P(E) = 1 P(E) P(A \ B) = P(A) P(A B) A B = {} P(A B) = 0
Wahrscheinlichkeit: : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
Wahrscheinlichkeit: : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ausschliessende Ereignisse: A i A j = {} für i j P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n )
Wahrscheinlichkeit: sche Wahrscheinlichkeit: Sind alle Elemente von Ω gleich wahrscheinlich, dann gilt fuer ein Ereignis A P(A) = A Ω. X... Anzahl der Elemente von Menge X.
: Problem: Bestimmung von A bzw. Ω.
: Problem: Bestimmung von A bzw. Ω. Lösung: = Lehre des Abzählens
: Problem: Bestimmung von A bzw. Ω. Lösung: = Lehre des Abzählens Permutationen Die Anzahl der Anordnungen von N verschiedenen Objekten ist N! = 1 2 (N 1) N
: Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es?
: Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? z.b 6 aus 45 Joker Zwei Fragen müssen dafür beantwortet werden:
: Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? z.b 6 aus 45 Joker Zwei Fragen müssen dafür beantwortet werden: [1] Wird das gewählte Objekt wieder zurückgelegt?... MIT Zurücklegen (das Objekt kann mehrfach vorkommen)... OHNE Zurücklegen (jedes Objekt kann nur einmal vorkommen)
: Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? z.b 6 aus 45 Joker Zwei Fragen müssen dafür beantwortet werden: [2] Ist die Reihenfolge relevant? mbdr... MIT Berücksichtigung der Reihenfolge obdr... OHNE Berücksichtigung der Reihenfolge
: Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? 4 Fälle: 1. mbdr 2. obdr 3. mbdr 4. obdr
: [1] mbdr Beispiel: Medaillenvergabe bei einem Wettkampf.
: [1] mbdr: N (N 1) (N n + 1) = N! (N n)!
: [1] mbdr: N (N 1) (N n + 1) = N! (N n)! [2] obdr Beispiel: 6 aus 45
: [1] mbdr: N (N 1) (N n + 1) = N! (N n)! ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: (3, 6, 25, 32, 37, 43) = (25, 3, 43, 6, 32, 37) = (37, 43, 6, 25, 3, 32) = (25, 32, 3, 37, 6, 43) =... 6! = n! Möglichkeiten der Anordnung
: [1] mbdr: N (N 1) (N n + 1) = N! (N n)! [2] obdr: ( 1 n! N! N (N n)! = n )
: ( ) 45 = 45 44 43 6 1 2 3 ( ) ( ) n n = k n k 42 4 41 40 5 6... 45 über 6
: ( ) 45 = 45 44 43 6 1 2 3 ( ) ( ) n n = k n k 42 4 41 40 5 6... 45 über 6 [3] mbdr Beispiel: Bankomatcode
: ( ) 45 = 45 44 43 6 1 2 3 ( ) ( ) n n = k n k 42 4 41 40 5 6... 45 über 6 [3] mbdr: N n = N N N }{{} n mal
: [4] obdr Beispiel (Buch Seite 65): Bei einer Hochzeit kommen 50 Gäste. Drei Menüs (A,B,C) stehen diesen zur Verfügung.
: [4] obdr Beispiel (Buch Seite 65): Bei einer Hochzeit kommen 50 Gäste. Drei Menüs (A,B,C) stehen diesen zur Verfügung. Der Kellner notiert die Bestellung 12x Menü A, 26x Menü B und 12x Menü C so: 0 0 }{{}}{{}}{{} 12xA 26xB 12xC jede mögliche Bestellung kann so eindeutig notiert werden.
: [4] obdr Beispiel (Buch Seite 65): Bei einer Hochzeit kommen 50 Gäste. Drei Menüs (A,B,C) stehen diesen zur Verfügung. Der Kellner notiert die Bestellung 12x Menü A, 26x Menü B und 12x Menü C so: 0 0 }{{}}{{}}{{} 12xA 26xB 12xC jede mögliche Bestellung kann so eindeutig notiert werden. }{{} 12xA #13 {}}{ 0 }{{} 26xB #40 {}}{ 0 }{{} 12xC } {{ } 52 Plätze
: 50 und 2 0 52 Plätze wo oder 0 stehen kann Das notieren der Bestellungen entsteht so, indem der Kellner ZWEI Plätze (jene der 0 - in unserem Fall 13 und 40) aus den 52 Plätzen auswählt (obdr)
: 50 und 2 0 52 Plätze wo oder 0 stehen kann Das notieren der Bestellungen entsteht so, indem der Kellner ZWEI Plätze (jene der 0 - in unserem Fall 13 und 40) aus den 52 Plätzen auswählt (obdr) ( 52 2 ) = ( 52 50 ) ( ) 50 + 3 1 = 50
: 50 und 2 0 52 Plätze wo oder 0 stehen kann Das notieren der Bestellungen entsteht so, indem der Kellner ZWEI Plätze (jene der 0 - in unserem Fall 13 und 40) aus den 52 Plätzen auswählt (obdr) ( 52 2 ) = ( 52 50 ) ( ) 50 + 3 1 = 50 [4] obdr: ( n + N 1 n )