Deine Ziele: Du kannst den Begriff "direkte Proportionalität" erklären. Du kannst überprüfen, ob eine Zuordnung direkt proportional ist. Du kannst direkt proportionale Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen. Du kannst mit Hilfe des Dreisatzes der direkten Proportionalität n aus dem Alltag lösen.
Einleitung 1 In diesem Hefter wirst du dich mit einem speziellen Typ von Zuordnungen beschäf- tigen - den direkt proportionalen. Schauen wir uns zunächst zwei Beispiele an, um von ihnen abzuleiten, was direkt proportional bedeutet. Beispiel 1: Im Obst- und Gemüsegeschäft kostet eine Kiwi 0,50. Übernimm die folgende Tabelle auf dein Blatt und fülle sie aus. Übertrage dann die Werte in ein Diagramm. (Empfehlung für die y-achse: 2 cm entsprechen 1 Euro) Anzahl Kiwis 0 1 2 5 10 Preis (in Euro) 0,50 2,00 Beispiel 2: Ein zylinderförmiges Gefäß steht unter einem (gleichmäßig) tropfenden Wasserhahn. Nach 30 Minuten steht das Wasser 6 cm hoch in dem Gefäß. Übertrage die Tabelle auf dein Blatt und fülle sie aus. Trage die Werte dann in ein Diagramm ein. (Empfehlung für die x-achse: 1 cm entspricht 10 Minuten) Zeit (in min) 0 10 20 30 50 Wasserstand (in cm) 6 14 a) Betrachte zuerst die beiden Tabellen. Vervollständige den Satz: "Wenn die x-werte (obere Zeile) größer werden, dann werden die y-werte..." b) Nimm dir nun die beiden Diagramme noch einmal vor. Versuche jeweils eine Gerade durch alle Punkte zu zeichnen. Liegen alle Punkte auf der Geraden? Wo beginnen die Geraden? Wie verlaufen sie?
direkt proportional 2 Statt "direkt proportional" sagt man häufig einfach nur "proportional". Proportional kann man übersetzen als "im gleichen Verhältnis", das heißt, wenn ich im Beispiel 1 die Anzahl der Kiwis verdopple (statt 2 Kiwis nehme ich 4 Kiwis), dann verdoppelt sich auch der Preis (von 1 Euro auf 2 Euro). Wenn ich die Anzahl der Kiwis verdreifache (statt 2 Kiwis nehme ich 6) verdreifacht sich auch der Preis (von 1 Euro auf 3 Euro) usw. a) Wie würdest du "proportional" am Beispiel 2 erklären (tropfender Wasserhahn)? b) Sind diese Zuordnungen proportional? (Tipp: Überprüfe, ob sich auch die zweite Größe verdoppelt, wenn du die erste Größe verdoppelst.) (1) Anzahl von gleichen Cola-Flaschen Preis (2) Körpergröße Schuhgröße (3) Fahrweg Fahrdauer (4) Anzahl gleicher Schokoladenriegel Masse (5) Anzahl von Kindern gleichen Alters Masse (6) Anzahl der Familienmitglieder Anzahl der Kinder in der Familie Bei den Diagrammen zu den beiden Beispielen müsstest du folgendes festgestellt haben: Alle Punkte liegen auf einer Geraden. Die Gerade beginnt im Koordinatenursprung (ist also ein Strahl). Der Strahl verläuft von links unten nach rechts oben. Merksatz Im Diagramm einer proportionalen Zuordnung liegen alle Punkte auf einem Strahl, der im Koordinatenursprung beginnt.
Diagramme 3 In den Diagrammen werden Zuordnungen dargestellt. Sind sie proportional? Begründe deine Antwort. A y B y 0 x 0 x C y D y 0 x 0 x E y F y 0 x 0 x
Diagramme 4 a) Zeichne ein Koordinatensystem mit Zahlen bis 100 auf der x-achse und bis 10 auf der y-achse. (Tipp: 1 cm entspricht 10 Einheiten auf der x-achse) Der Punkt (50 5) gehört zu einer proportionalen Zuordnung. Zeichne ihn ein. Zeichne 5 weitere Punkte ein, die auch zu dieser Zuordnung gehören. Schreibe die Koordinaten der Punkte dazu. b) Zeichne ein Koordinatensystem mit Zahlen bis 10 auf der x-achse und bis 100 auf der y-achse. Der Punkt (3 24) gehört zu einer proportionalen Zuordnung. Zeichne ihn ein. Zeichne 5 weitere Punke ein, die auch zu dieser Zuordnung gehören. Schreibe die Koordinaten der Punkte dazu. c) 100 Masse in g 80 60 Aluminium 40 20 0 5 10 15 20 25 Volumen in cm 3 Das Diagramm zeigt, dass die Masse von Aluminium proportional zum Volumen ist. (1) Ermittle aus dem Diagramm die Masse von 10 cm 3, 25 cm 3 und 2,5 cm 3 Aluminium. Welche Masse erwartest du bei 100 cm 3 Aluminium? (2) Ermittle aus dem Diagramm das Volumen von 20g, 50g und 85 g Aluminium. Welches Volumen erwartest du bei 2 000 g Aluminium?
Proportionalitätsfaktor 5 1 Hier sind zwei Tabellen von proportionalen Zuordnungen: x y 1 2 3 4 5 3 6 9 12 15 3 x 1 2 3 4 5 y 0,4 0,8 1,2 1,6 2 Übertrage die Tabellen auf dein Blatt und fülle jeweils die dritte Zeile aus, indem du für jedes Zahlenpaar den y-wert durch den x-wert teilst. Was stellst du fest? Merksatz Wenn eine Zuordnung proportional ist und man teilt einen y-wert durch den zugehörigen x-wert, so erhält man immer dieselbe Zahl. Diese Zahl heißt Proportionalitätsfaktor. Multipliziert man den x-wert mit dem Proportionalitätsfaktor, so erhält man den y-wert. (Rechenvorschrift: y = x Proportionalitätsfaktor) 2 Suche dir noch einmal die beiden Beispiele von Seite 1 heraus. Bestimme jeweils den Proportionalitätsfaktor und die Rechenvorschrift. (Achtung: durch 0 kannst du nicht dividieren!)
Propotionalitätsfaktor 6 Diese Tabellen gehören zu Zuordnungen. Überprüfe jeweils, ob die Zuordnung proportional ist, indem du für alle Wertepaare den Quotienten () bestimmst (Proportionalitätsfaktor). Schreibe dann für die proportionalen Zuordnungen die Rechenvorschrift auf. A x 1 2 3 4 y 3 6 9 13 5 15 B x 5 4 3 2 1 y 25 20 15 10 5 C x 2 4 6 8 10 y 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 D x 2 4 6 8 10 y 10 8 6 4 2 E x 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 y 3 1 9 6 5 4 8 5 4
Dreisatz 7 Sommercamp Die Teilnahme am einwöchigen Sommercamp im Forest of Dean kostet 125 Pfund. Wir müssen den Preis in Euro herausfinden. Wir wissen, dass man für 2 britische Pfund 3 Euro erhält. Die Zuordnung zwischen den Währungseinheiten ist proportional. 1. Schritt: Ich schreibe die gegebenen Pfund Euro Werte in eine Tabelle. 2 3 2. Schritt: Ich teile beide Werte durch 2, um den : 2 : 2 Eurowert für 1 Pfund zu bekommen. 1 1,50 125 125 3. Schritt: Ich multipliziere auf beiden Seiten mit 125. 125 187,50 Antwort: 125 britische Pfund entsprechen 187,50 Euro. Die oben beschriebene Methode nennt man den Dreisatz für die direkte Proportionalität, weil man mit ihr in drei Schritten rechnet. Im ersten Schritt hat man die gegebenen Werte. Im zweiten Schritt, dem Zwischenschritt, errechnet man den y-wert für x = 1 (also praktisch den Proportionalitätsfaktor). Im dritten Schritt multipliziert man mit der gesuchten Größe und erhält das Endergebnis. Für ein Buch habe ich 4,50 Pfund und für eine Videokassette 6,99 Pfund bezahlt. Wie viel hätten die Dinge jeweils in Euro gekostet? Benutze den oben beschriebenen Dreisatz, um die Frage zu beantworten.
Dreisatz 8 Übernimm die auf dein Blatt und vervollständige die Lösung. 5 Scheren 7,95 Ich brauche 7 Scheren. Wie viel muss ich bezahlen? (Die Zuordnung ist proportional!) 1. Schritt: Wertetabelle Anzahl Scheren 5 Preis in Euro 7,95 2. Schritt: beide Werte durch 5 teilen 3. Schritt: beide Werte mit 7 multiplizieren : 5 : 5 7 7 Antwortsatz:
Dreisatz 9 Löse die folgenden n mit dem Dreisatz. (Das darfst du, weil die Zuordnungen proportional sind.) a) 1 Liter Saft hat 430 kcal. Wie viel kcal haben 300 ml Saft (ein Glas)? Tipp: 1 Liter = 1 000 ml b) 1 kg Gouda (Käse) kostet 15,90. Wie viel kosten 200 g? Tipp: 1 kg = 1 000 g c) Ein menschliches Kopfhaar wächst etwa 3 mm pro Woche. Wie viel wächst es in einem Jahr? Tipp: Schreibe die Zeit in Tagen in deine Tabelle.
Üben, üben, üben 10 Suche dir mindestens drei Nummern aus. Überlege immer als erstes, ob die Zuordnung portional ist. Zuordnung ist... proportional nicht proportional Überlege dir eine zu dieser Zuordnung und löse sie. Begründe, warum die Zuordnung nicht proportional ist. 1) Paul geht mit seiner Familie wandern. Nach zwei Stunden haben sie 10 km zurückgelegt. 2) Ein modernes Auto verbraucht auf 100 km etwa 5 Liter Benzin. 3) Maria bezahlt für 11 SMS 2,09. 4) Uwe lässt Wasser (gleichmäßig) in die Badewanne laufen. Nach 3 min steht das Wasser 15 cm hoch. 5) Eva stapelt Bücher übereinander. Der Turm aus 20 Büchern ist 50 cm hoch. 6) In der Ochselbaude am Sebnitzbach kostet eine Übernachtung für drei Erwachsene 51. Für vier Kinder kostet die Übernachtung 34. 7) Wenn ich ein Blatt Papier zweimal in der Hälfte falte, liegen vier Lagen Papier übereinander. 8) Um 34 Krokantpralinen herzustellen, brauche ich 20 g Butter, 60 g Zucker, 125 g Mandeln, 100 g Schokolade und 5 Esslöffel Sahne.