6.5 Transformator(Versuch 54)

32 6.5 Transformator(Versuch 54) (Fassung 03/205) Physikalische Grundlagen Der ideale Transformator Ein Transformator besteht aus zwei (oder mehr) Spulen meist unterschiedlicher Windungszahl N und N 2. An der Primärseite wird eine sinusförmige Wechselspannung U angelegt. Damit der dadurch erzeugte magnetische Fluss Φ möglichst quantitativ auch die Sekundärspule(n) durchsetzt, verwendet man einen Eisenkern, der den Fluss konzentriert. Im Idealfall ist der Widerstand dieser Spulen rein induktiv, damit wirdu gerade durch eine entgegengesetzt gleich große Selbstinduktionsspannung kompensiert, die ihrerseits gleich der negativen Flussänderung Φ durch allen Windungen ist: U N Φ In der Sekundärspule (über die sog. Gegeninduktivität) induziert dieselbe Flussänderung die Spannung U 2 N 2 Φ Das Vorzeichen hängt jedoch vom Wicklungssinn der Spulenwicklungen ab und soll im Folgenden außer Betracht bleiben. Die Spannungsübersetzung (Übersetzungsverhältnis), d.h. der Quotient aus Primärund Sekundärspannung ist definiert als Ü U U 2 N N 2 (6.49) Im Idealfall (und näherungsweise beim unbelasteten Transformator) ist sie durch das Verhältnis der Windungszahlen von Primär- und Sekundärwicklung gegeben. Anschaulicher aus physikalischer Sicht ist allerdings der KehrwertU 2 /U. Realer Transformator, Ersatzschaltbild Beim einem realen Transformator sind verschiedene Störeffekte zu berücksichtigen. Bei Belastung machen sich die ohmschen WiderständeR Cu, undr Cu,2 der beiden Spulenwicklungen bemerkbar (sog. Kupferverluste), die wie der Innenwiderstand bei jeder anderen Spannungsquelle auch zu einem vom aststrom abhängigen Spannungsabfall am Ausgang führen. Das o.g. ideale Übertragungsverhältnis wird daher allenfalls ohne Belastung des Transformators erreicht. Ebenso behindern Wirbelströme, die im Eisenkern entstehen, sowie die Hysteresis des Eisens den verlustfreien Aufbau eines magnetischen Flusses (sog. Eisenverluste). Aufgrund der Hysteresis bei der Magnetisierung des Eisens (Zusammenhang zwischen Magnetfeldstärke H und magnetischer Flussdichte B) wird ständig eistung verbraucht, die letztlich nur den Eisenkern erwärmt, die aber dennoch eine ständige ast im Stromkreis darstellt und ebenfalls zu einer Reduzierung der Ausgangsspannung führt. Diese Verluste werden im Ersatzschaltbild fiktiv in einem weiteren ohmschen Widerstand zusammengefasst. Schließlich gelingt es auch nicht, den magnetischen Fluss vollkommen auf das Innere der beiden Spulen zu beschränken, ein geringer Anteil durchsetzt den Außenraum (sog. Streufluss, erzeugt in entsprechenden Streuinduktivitäten Streu, bzw. Streu,2 ). Die Eigenschaften eines realen Transformators lassen sich quantitativ sehr schön durch die einzelnen Elemente in einem Ersatzschaltbild (s. Abb. 6.) darstellen. Der ideale Transformator wird dabei nur durch einen idealen Übertrager beschrieben, der keine Nebeneffekte zeigt. Alle übrigen störenden Elemente werden meist auf der Primärseite untergebracht, weil ihr Einfluss formal dann relativ einfach beschrieben werden kann. Dabei muss allerdings von den SekundärgrößenX 2 auf äquivalente PrimärgrößenX 2 umgerechnet werden: Zur Umrechnung verlangt man, dass die in beiden Wicklungen induzierten Spannungen gleich werden und dabei die eistungen erhalten bleiben. Daraus folgt im einzelnen: U 2 N U 2 N Ü, I 2 2 I 2 N N Ü, R 2 N2 2 R 2 N2 2 Ü2 (6.50) Widerstände transformieren sich also mit dem Quadrat des Übertragungsverhältnisses. Das gleiche gilt auch für kapazitive und induktive Widerstände. Daraus folgt, dass sich Induktivitäten und Kapazitäten transformieren wie 2 2 N2 N 2 2 Ü 2 und C 2 C 2 N2 2 N 2 Ü 2 (6.5)

6.5 Transformator(Versuch 54) 33 I RCu, Streu, 'Streu,2 R'Cu,2 I2' I2 U RFe Sp U2' U2 Ü ast Abbildung 6.: Ersatzschaltbild eines Transformators Damit können zunächst die Induktivitäten der beiden Spulen in eine Gesamtinduktivität (Hauptinduktivität) Sp im Primärkreis zusammengefasst werden. Die einzelnen Verlustbeiträge werden zusätzlich durch ohmsche WiderständeR Cu R Cu, +R Cu,2 (Kupferverluste), (Eisenverluste) sowie Streuinduktivitäten Streu beschrieben. Diese Verluste, auch wenn sie teilweise im Sekundärkreis auftreten, werden ersatzschaltungstechnisch ebenfalls alle im Primärkreis untergebracht. Im Ersatzschaltbild taucht der ohmsche Widerstand der Sekundärspule demnach als Serienwiderstand R Cu,2 R Cu,2 N 2 /N2 2 auf. Die Magnetisierungsverluste im Eisen können durch einen zu Sp parallelen Widerstand beschrieben werden und die sekundäre Streuinduktivität äußert sich als zusätzliche serielle Induktivität Streu,2 Streu,2 N 2 /N2 2. Bei höheren Frequenzen muss man im Ersatzschaltbild noch einige Kapazitäten berücksichtigen, z.b. die der Windungen der Primär- und Sekundärwicklungen untereinander sowie die zwischen den beiden Wicklungen. Diese Kapazitäten sind meist klein und wirken sich deshalb bei Netzfrequenz und höheren Strömen meist nicht aus. Durch spezielle Zwischenlagen kann man diese Effekte weiter reduzieren. Das wird bei NF-Übertragern oder HF-Transformatoren wichtig. Generell sollte man sich darüber im klaren sein, dass die Funktion eines Transformators, neben diesen kapazitiven Effekten, grundsätzlich stark von der verwendeten Frequenz abhängt. Insbesondere die Magnetisierbarkeit eines Eisenkerns ist stark frequenzabhängig. Bei höheren Frequenzen muss auf besonders weiches Eisen zurückgegriffen werden, im Radiobereich kommen sog. Ferritkerne zum Einsatz und bei noch höheren Frequenzen verzichtet man schließlich ganz auf magnetisierbare Materialien. In jedem Fall müssen Tranformatoren für den jeweiligen Verwendungsbereich optimiert werden. Einen Netztrafo z.b. im Audiobereich zu verwenden, macht absolut keinen Sinn. Impedanz und Phasenwinkel am belasteten Transformator Im allgemeinen ist die Berechnung des primärseitigen astwiderstands und Phasenwinkels für einen realen Transformator mit einer komplexen sekundärseitigen Belastung (R, und C) aufwändig und wird zweckmäßigerweise komplex durchgeführt. Für einen nahezu idealen Transformator, bei dem nur der Verlustwiderstand des Eisens berücksichtigt werden muss, und der durch eine rein ohmsche ast oder durch eine Reihenschaltung von R und C belastet ist, wird diese Berechnung hier exemplarisch teilweise durchgeführt. Die ohmschen eitungswiderstände der Wicklungen werden dabei vernachlässigt. Ohmsche ast Wir beginnen zur Einstimmung mit der Berechnung für den einfacheren Fall einer rein ohmschen Belastung R. Der Belastungswiderstand erscheint entsprechend Gl. 6.50 umgerechnet auf der Primärseite als ein zusätzlicher WiderstandÜ2 RR parallel zu und, so dass sich der eitwert (im komplexen Fall heißt dies Admittanz Y) dieser Parallelschaltung leicht schreiben lässt als Y,par Z,par iω + + Ü 2 R R +iω(r + ) iω R (6.52)

34 oder iω R Z,par R +iω(r + ) (Dabei haben wir die Streuinduktivitäten sowie die Wicklungswiderstände außer Acht gelassen.) Gem. der komplexen Schreibweise für die Impedanz und die Admittanz Z Z e iϕ Z bzw. Y /Z/ Z e iϕ Z Y e iϕ Y ist der Tangens des primärseitigen Phasenwinkels zwischen Spannung und Strom, also tanϕ, gleich dem Quotienten aus Imaginärteil und Realteil des Ausdrucks für die Impedanz. Schneller lässt sich der Kehrwert berechnen. Dieser Quotioent liefert dann gerade das umgekehrte Vorzeichen für die Phase, d.h. den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung, also ϕ : tanϕ Z tan I(Z) R(Z) tani(y) R(Y) tanϕ Y Im Nenner müssen wir dabei den Faktor i berücksichtigen, damit wir Real- und Imaginärteil korrekt etablieren; der Betrag des Nenners kürzt sich bei der Quotientenbildung. Damit ist tanϕ,y R ω(r + ) oder tanϕ,z R ω(r + ) (6.53) Das ist nichts anderes als der Quotient aus dem ohmschen Anteil des Widerstands und dem induktiven Anteil, so wie man es schon von einem normalen Wechselstromwiderstand her kennt, und der Winkel für Z ist wie bei jeder teilweise induktiven Belastung positiv. Phase, Grenzfälle und qualitativer Verlauf: Man sieht, dass bei unbelastetem Trafo (R ) der primäre Phasenwinkel nur durch das Verhältnis der Eisenverluste zum rein induktiven Widerstand bestimmt wird und, wenn diese klein sind ( groß), nahe bei90 liegt. Ist dagegen die Belastung des Trafos signifikant (R klein), dann geht der Phasenwinkel bis nahe Null zurück, der Trafo verhält sich wie ein ohmscher WiderstandR ; der tatsächliche sekundärseitige astwiderstandrwird dabei mit dem FaktorÜ 2 auf die Primärseite transformiert. Wenn man die Streuinduktivitäten mit berücksichtigt, dann zeigt sich, dass sich diese bei wachsender Belastung zunehmend bemerkbar machen. Das führt dazu, dass statt einem rein ohmschenr wieder ein induktiver Anteil ins Spiel kommt, je nach Größe dieser Streuinduktivitäten. Dieser induktive Anteil nimmt mit wachsender Belastung der Sekundärseite langsam zu, weil dabei der Eisen-Verlustwiderstand eine Parallelschaltung mit dem sinkenden astwiderstand darstellt und damit die reelle Komponente der ImpedanzZ im Vergleich zum Beitrag der Streuinduktivität abnimmt. Der sekundärseitige Phasenwinkel ist bei rein ohmscher Belastung selbstverständlich immer gleich Null. Impedanz, Grenzfälle und qualitativer Verlauf: Der Betrag des primären eitwerts (und damit auch der des Gesamtwiderstands) lässt sich aus der Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil berechnen, was wir hier aber nicht durchführen wollen. Grundsätzlich nimmt die Impedanz von kleinen Strömen zu großen hin dramatisch ab. Die Beiträge der Störkomponenten machen sich hier i. Allg. nur wenig bemerkbar, so dass der Verlauf eher unspektakulär ist. Sinkt die Belastung auf Null (R ), dann verbleibt im Wesentlichen die Prallelschaltung ausund als Restlast, so dass die Impedanz diesen oberen Grenzwert erreicht. Kapazitive ast Bei zusätzlicher kapazitiver ast ist der Gesamtwiderstand auf der Sekundärseite Z ast R i. Dieser Belastungswiderstand erscheint auf der Primärseite wieder entsprechend Gl. 6.50 umgerechnet als ein weiterer Parallelwiderstand zu und, so dass sich der eitwert dieser Parallelschaltung jetzt, etwas erweitert gegenüber dem vorherigen Fall, schreiben lässt als Y,par Z,par iω + + Ü2 R i Ü 2 R i (6.54) +iωü 2 R i +iωrfe iω Ü 2 R i

6.5 Transformator(Versuch 54) 35 Zur Vereinfachung soll hier wieder eine Abkürzung der auf die Primärseite tranformierten astkomponenten eingeführt werden: R Ü2 R und C C/Ü2 (vgl. Gln. 6.50 und 6.5). Dann wird die obige Gleichung ein wenig übersichtlicher: Y,par R Fe R i +iω R i +iωrfe Z,par iω R i (6.55) Um den eitwert in Real- und Imaginärteil zerlegen zu können, muss der Bruch mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitert werden; der Nenner wird dann reell: Y,par RFe R i +iω R i +iωrfe iωrfe R i Z,par iωrfe R i iωrfe R i RFe R i +iω(r Fe +R )+ C C R Fe iω R iωrfe R i iωrfe R i C + R +i ω( +R ) C iω R iωrfe R i iωrfe R i Der Tangens des Phasenwinkels (auch hier wieder zunächst für die Admittanz berechnet, weil es einfacher zu berechnen ist) ist wieder der Quotient aus Imaginärteil und Realteil dieses Ausdrucks. Da der Nenner reell ist und sich bei der Quotientenbildung herauskürzt, genügt es, Real- und Imaginärteil des Zählers zu extrahieren. Der Imaginärteil I des Zählers ist Der RealteilRdes Zählers ist I ωrfer 2 R2 Fe R 2 +ω2 Fe C ωr 2 Fe C R R2 Fe RFe 2 ω C R (6.56) Damit ergibt sich R 2 C +ω 2 2 R +ω 2 2 R 2 FeR 2 C +ω 2 2 R (R + ) 2 C +ω2 R (R + ) tanϕ,y RFe 2 ω C R 2 C +ω2 R (R + ) ω ω R + C R (6.57) C +ω2 R (R + ) C R + ω 2 C R + R + (6.58) ω 2 C R + ω ω 2 C R + (6.59) ω 2 C Dies ist schon eine relativ unübersichtliche Gleichung, egal welche Schreibweise man bevorzugt. Insbesondere die Frequenzabhängigkeit ist nicht so ohne weiteres ersichtlich.

36 Phase, Grenzfälle und Verlauf: Für die hier relevante Anwendung ist aber nur interessant, wie sich die Phasenverschiebung mit der sekundärseitigen Belastung ändert. Ohne ast, d.h. mitr, I eff,2 0 reduziert sich die Gleichung auf tanϕ,y, bzw. tanϕ ω,z, ω wie schon im entsprechenden Grenzfall bei ohmscher Belastung. Hier ergibt sich also wieder ein endlicher positiver Phasenwinkel, dessen Wert vom Verhältnis der Eisenverluste zum induktiven Widerstand abhängt. Mit abnehmendem ohmschen Anteil im astwiderstand wird der Phasenwinkel wieder kleiner. Es macht sich dann aber der kapazitive Anteil der ast immer stärker bemerkbar, der parallel zur Hauptinduktivität auftritt, so dass die Phasenverschiebung irgendwann den Wert 0 kreuzt (sofern der kapazitive astwiderstand hinreichend klein ist) und dann weiter sinkt, bis sie im Grenzfall R 0 einen Wert erreicht, der von allen drei verbleibenden Komponenten abhängt: tanϕ,y,0 / ω / bzw. tanϕ,z,0 / ω / Ist der kapazitive astwiderstand klein, dann wird dieser Quotient groß, die Phasenverschiebung tendiert dann gegen 90 für die Impedanz bzw.+90 für die Admittanz. Der sekundärseitige Phasenwinkel ist wiederum sehr leicht auszurechnen: Hier geht wieder nur der sekundärseitige astwiderstand ein, d.h. tanϕ 2,Y /() R bzw. tanϕ 2,Z /() R (6.60) Impedanz: Noch etwas komplizierter wird es, wenn man den Betrag der den Betrag der Impedanz (des Wechselstromwiderstands) ausrechnen will. Hier muss man wiederum die Summe der Quadrate von Realund Imaginärteil des gesamten Ausdrucks für den Widerstand berechnen. Wir verzichten hier wieder darauf. Übertragungsverhältnis bei Belastung Beim idealen Trafo ist das Übersetzungsverhältnis konstantü N /N 2. Aufgrund des Spannungsabfalls an den ohmschen Widerständen der Spulenwicklungen, die wir hier nicht außer Acht lassen können, reduziert sich jedoch die Ausgangsspannung, so dass das Übersetzungsverhältnis mit wachsendem Strom ansteigt bzw. das SpannungsverhältnisU 2 /U sinkt. Ohmsche ast Der ohmsche eitungswiderstand ist der bedeutendste Beitrag bei kleinen Strömen, hier sollte man daher einen annähernd linearen Verlauf erwarten. (Bei kapazitiver Belastung weicht die Kurve auch bei kleinen Strömen vom linearen Verlauf ab, s.u.) Aus der Steigung kann man den im Sekundärkreis effektiv wirksamen Widerstand R Cu,ges,2 R Cu, /Ü2 +R Cu,2 (6.6) bestimmen. Für kleine Ströme gilt U Ü U /U 2 U 2 (0) R Cu,ges,2 I 2 oder, umgekehrt für das SpannungsverhältnisU 2 /U oder U 2 /U U 2(0) R Cu,ges,2 I 2 U (6.62) d(u 2 /U ) di 2 R Cu,ges,2 U R Cu,ges,2 U (0) R Cu,ges,2 U (0) d(u 2/U ) di 2 (6.63) Die letzte Näherung ist nur gerrechtfertigt, wenn die Primärspannung wirklich nicht oder extrem wenig vom Strom abhängt.

6.5 Transformator(Versuch 54) 37 Einfluss der Primärspannung: Tatsächlich sinkt im vorliegenden Fall auch die Primärspannung mit wachsendem Sekundärstrom deutlich ab (der zur Versorgung dienende Transformator besitzt auch einen endlichen Innenwiderstand), so dass statt U 2 (0) eine miti 2 abnehmende SpannungU 2,0 (I 2 ) verwendet werden muss und die obige Näherung nicht anwendbar ist. Man kannu 2,0 (I 2 ) aber aus dem jeweiligen U (I 2 ) unter Benutzung des idealen Übertragungsverhältnisses berechnen: was dann zu U 2,0 (I 2 )U (I 2 )/Ü (6.64) U 2 /U U (I 2 )/Ü R Cu,ges,2 I 2 U (I 2 ) U 2 /U Ü R Cu,ges,2 I 2 U (I 2 ) bzw. (6.65) führt. Bei relativ geringer Abnahme vonu bleibt dieser Verlauf annähernd linear. Die Steigung ist nach wie vor d(u 2 /U ) di 2 R Cu,ges,2 U (6.66) und hat im GrenzfallI 2 0 den WertR Cu,ges,2 /U (0), nimmt dann aber mit wachsendemi 2 und damit sinkendemu geringfügig zu. Nimmt man an, dassu (I 2 )U (0)( αi 2 ) ist, dann ergibt sich U 2 /U Ü R Cu,ges,2 I 2 U (0)( αi 2 ) Ü R Cu,ges,2 (+αi 2 ) I 2 U (0) so dass man mit wachsendemi 2 eine Abweichung von der inearität beobachten kann. Kapazitive ast Schon bei geringen Strömen macht sich die auf die Primärseite rückwirkende Kapazität bemerkbar, indem sie den anfangs stark induktiven Charakter der Eingangsimpedanz kontinuierlich verringert und, nicht ganz unähnlich zu einem Parallel-Schwingkreis oder Sperrkreis die effektive Belastung reduziert. Wir hatten bereits gesehen, dass die Primärphase das Vorzeichen wechselt, d.h. die Impedanz vom induktiven zum kapazitiven Charakter übergeht. Das führt letztlich dazu, dass die effektive Ausgangsspannung sogar über den nominellen Wert U /Ü hinaus ansteigt. Wie schnell diese Umkehr erreicht wird, hängt wiederum von den ohmschen eitungswiderständen (und natürlich auch von den Streuinduktivitäten) ab. Auf Details soll hier aber nicht genauer eingegangen werden. eistung von Wechselströmen Die eistungp (Wirkleistung) eines Wechselstroms ist durchp U eff I eff cosϕ gegeben, wobeiϕ die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist. Dies ist die eistung, die am astwiderstand wirklich verbraucht (d.h. in Wärme oder eine andere Energieform umgesetzt) wird. Die Wirkleistung wird fürϕ 0 o maximal. Mit wachsendem Betrag der Phasendifferenz wird sie kleiner und verschwindet für Phasenwinkel von ±90 o. Das Produkt U eff I eff nennt man die Scheinleistung. Stellt man sich sich die Scheinleistung als Vektor in der komplexen Zahlenebene vor, dann entspricht die Wirkleistung dem Realteil. Der Imaginärteil, d.h. der Anteil der Scheinleistung, der durch die mit einer Phasendifferenz von ±90 o laufenden Komponenten von Spannung und Strom zustandekommt, ist die sog.blindleistung. Für die Dimensionierung von eitungen, Übertragern und Transformatoren ist dieser Anteil wichtig, weil die zugehörigen Ströme transportiert werden müssen, ohne dass damit jedoch irgend eine Arbeit verrichtet werden kann. eistungen am belasteten Transformator Hier sollen nur die qualitative Charakteristika kurz beschrieben werden. Sowohl Primär- als auch Sekundärleistung steigen zunächst (anfangs linear) mit wachsendem aststrom, wobei die Primärleistung etwas oberhalb der Sekundärleistung verläuft, weil hier zusätzlich die Magnetisierungsverluste aufgebracht werden müssen. Die auf der Sekundärseite verfügbare eistung P 2 biegt dann allerdings nach unten um, denn die ohmschen eitungsverluste (R Cu ) machen sich wie bei jeder Spannungsquelle (vgl. Versuch 44)

38 bemerkbar. Irgendwann bricht die Ausgangsspannung und damitp 2 fast völlig zusammen. Dazwischen erreicht sie ein Maximum. Bei kapazitiver Belastung sind die Verhältnisse komplizierter. Hier geht auch die Primärleistung mit wachsender Belastung zurück. iteratur [Sch] [Ger] Abschnitte 7.2.4 Ferromagnetismus, 7.3.3 Wechselstromwiderstände, 7.3.8 Transformatoren [BeSc2] Abschnitte 4.3 Wechselströme, Abschnitt 4.3.4 Transformatoren [T ip] Kapitel 28.6 Der Transformator [Hal] Kapitel 33. Transformatoren [Dem2] Kapitel 5.6 Transformatoren