Lichtgeschwindigkeit Versuchsvorbereitung

Versuche P1-42,44 Lichtgeschwindigkeit Versuchsvorbereitung Thomas Keck, Gruppe: Mo-3 Karlsruhe Institut für Technologie, Bachelor Physik Versuchstag: 29.11.2010 1

Inhaltsverzeichnis 1 Drehspiegelmethode 3 1.1 Allgemeines.................................... 3 1.2 Strahlengang................................... 3 1.3 Aufbau...................................... 4 1.4 Durchführung................................... 5 1.5 Berechnung der Lichtgeschwindigkeit...................... 5 2 Phasenvergleichsmethode 6 2.1 Allgemeines.................................... 6 2.2 Vorbereitende Rechnungen............................ 6 2.3 Aufbau und Durchführung............................ 6 2.4 Modulation des Signals.............................. 6 2.5 Durchführung................................... 7 Literatur 8 2

1 Drehspiegelmethode 1.1 Allgemeines Bei diesem Versuch wird die Gruppengeschwindigkeit des Lichts in Luft bestimmt. 1.2 Strahlengang Abbildung 1: Schematischer Aufbau der Drehspiegelmethode Als Lichtquelle dient ein He-Ne-Laser (Strahlleistung 1mW, Strahldurchmesser etwa 0.8mm, Strahlivergenz etwa 1mrad; unpolarisiert [Aufgabenstellung]), der Kondensor K wird nicht benötigt, der Spalt A ist die Laseraustrittsöffnung. Der Laserstrahl durchläuft einen Strahlenteiler G, der transmitierte Strahl fällt das erste Mal auf den Drehspiegel D, dabei wird je nach Stellung von D der Strahl über den Strahlenteiler auf den Beobachtungsschirm M in M 1 abgebildet pder er wird von hier aus Richtung Umlenkspiegel U gelenkt und durchläuft dabei eine Sammellinse B (mit f = 5m [Aufgabenstellung]), welche den Strahl, der von U wiederum umgelenkt wird, auf den Endspiegel E fokussiert. Der Endspiegel E reflektiert den Strahl senkrecht zurück zum Umlenkspiegel U, wieder durch die Sammellinse B und zum zweiten Mal auf den Drehspiegel D, dieser ist während das Licht 3

den Weg s = 2 (d EU + d UD ) in der Zeit T durchlaufen hat, um den Winkel ɛ weiterrotiert. Der Laserstrahl wird daher unter dem Winkel ϕ = 2 ɛ, zum ursprünglichen Strahlengang beim ersten Auftreffen auf den Drehspiegel, reflektiert. Über den Strahlenteiler G wird der ankommende Strahl auf den Beobachtungsschirm M in Punkt M 2 abgebildet. Die beiden Laserpunkte bei M 1 und M 2 ruhen. Für M 1 passiert dies, da nur für einen bestimmten Ablenkwinkel der Strahl wieder direkt zum Strahlenteiler zurückgeworfen wird. Für M 2 muss in Betracht gezogen werden, dass die Projektion auf den Beobachtungsschirm nur bei einem bestimmten Winkel, der den Strahl gerade über de Umlenk-, auf den Endspiegel ablenkt, stattfindet. Die Linse dient offensichtlicherweise zur Fokussierung des Strahles der sonst über die Gesamtlaufstrecke von über 20 Metern stark divergieren würde. Die Strecke r = M 2 M 1 kann nun gemessen werden. 1.3 Aufbau d EU (Endspiegel - Umlenkspiegel) d UD (Umlenkspiegel - Drehspiegel) max(d DL ) (Drehspiegel - Laseraustrittsöffnung) (6.57 ± 0.005)m (7.23 ± 0.005)m (6.80 ± 0.005)m Tabelle 1: Fest vorgegebene Versuchsbedingungen Linsenposition f = 5m In der Literatur findet man verschiedene Angaben zur Linsenposition, ich halte es für sinnvoll die Linse so zu positionieren, dass sie die Laseraustrittsöffnung, gerade auf den Endspiegel abbildet. Eine andere Möglichkeit ist es die Linse im Abstand ihrer Brennweite vom Drehspiegel aufzustellen, M.A. Harrendorf, hat diese Möglichkeit in seiner Vorbereitung durchgerechnet, ich werde mich an dieser Stelle dem ersten Fall zuwenden. Die Gegenstandsweite ist gegeben durch g = d DL +x die Bildweite durch b = d UD x+d EU. Dabei ist x der Abstand der Linse vom Drehspiegel D. Es gilt: 1 f = 1 b + 1 g = g + b b g = Hieraus ergibt sich eine Bestimmungsgleichung für x: d DL + d UD + d EU (d DL + x) (d UD x + d EU ) x 2 + x (d DL d UD d EU ) + f (d DL + d UD + d EU ) d DL d UD d DL d EU = 0 (2) Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Lösung: x = 1 (± 2 d UD + d DL + d EU d ) UD 4 f + d DL + d EU + d UD d DL + d EU Der Abstand d DL wird nun so bestimmt, dass die Wurzel gerade 0 ergibt, es folgt dann für x: d DL = 4 f d UD d EU = 6.2m (4) x = 1 2 (d UD d DL + d EU ) = 3.8m (5) (1) (3) 4

Der Abstand vom Strahlenteiler zum Beobachtungsschirm sollte gerade dem Abstand vom Strahlenteiler zur Laseraustrittsöffnung entsprechen, damit das Bild hier scharf abgebildet wird. Ansonsten muss mit der Beobachtungslupe nachgeholfen werden, um das Bild scharf zu stellen. 1.4 Durchführung Wie in der Aufgabenstellung angegeben wird die Apperatur justiert. In Abhängigkeit von der Rotationsfrequenz wird der Lichtmarkenort M 2 gemessen. Die elektronische Frequenzanzeige die über eine Photodiode in der Nähe des Drehspiegels getriggert wird, wird mithilfe einer Stimmgabel und deren Schwebung mit dem Motorgeräusch überprüft. Der Motor läuft hierbei mit der Frequenz der Stimmgabel, sobald keine Schwebung mehr zu hören ist. 1.5 Berechnung der Lichtgeschwindigkeit Bekannt ist die Strecke r = M 2 M 1, die Drehfrequenz des Spiegels f, und der Lichtweg s = 2 (d EU + d UD ). 1. Zuerst wird über die Strecke r der Drehwinkel ɛ des Drehspiegels zwischen erstem und zweitem Auftreffen des Strahl berechnet, hierzu benötigt man die Strecke h vom Drehspiegel über den Strahlenteiler zum Punkt M 1. Idealerweise ist dies gerade, der Abstand zwischen Laseraustrittsöffnung und Drehspiegel, wie oben beschrieben wird für diese Strecke der Laser scharf auf dem Beobachtungschirm abgebildet. Es gilt: ɛ = 1 2 arctan ( r h ) (6) 2. Zur Drehung um den Winkel ɛ benötigt der Spiegel die Zeit T bei einer Umdrehungsfrequenz von f: 1 T = f 2 P i (7) ɛ 3. In der Zeit T legt das Licht die Strecke s = 2 (d EU + d UD ) zurück. Es folgt für die Lichgeschwindigkeit c: c = s (8) T 4. Für die oben festgelegten Abstände und eine Drehfrequenz von 500 Hz, sowie für die Abschätzung von c = 300000000 m s ergibt sich eine erwartete Ablenkung von: r = 3.58mm. 5

2 Phasenvergleichsmethode 2.1 Allgemeines Bei diesem Versuch wird die Phasengeschwindigkeit des Lichtes in Luft, Plexiglas und Wasser bestimmt. Hieraus kann man die Brechzahl für rotes Licht in den einzelnen Medien bestimmen unter der Annahme von n Luft 1. 2.2 Vorbereitende Rechnungen Um bei einem Lichtweg von d = 1 Meter eine Verschiebung von 1 erreichen, muss das Licht mit folgender Frequenz moduliert werden. 10 der Periodendauer T zu f = 1 T = 1 10 t = 1 10 d c 30MHz (9) Um auf dem Oszilloskop eine sichtbare Ablenkung von d = 0.5cm zu erreichen. Benötigt das Oszilloskop eine Ablenkgeschwindigkeit von: v ag = d t = 150cm µs (10) 2.3 Aufbau und Durchführung Ein Lichtsender sendet eine mit einer Frequenz von f 1 = 60MHz modulierte Lichtwelle zu einem Empfänger, über einen beweglichen Kondensor am Sendegehäuse wird das Licht zu einem Parallelstrahl fokussiert, über eine Linse vor dem Empfänger wird dieser Strahl wiederrum auf die Photodiode des Empfängers fokussiert. Die Strecke s zwischen Sender und Empfänger ist dabei variabel einstellbar. Mithilfe eines Oszilloskops kann die Phasenverschiebung ϕ zwischen Sender und Empfänger, und damit die Laufzeit t des Lichts für die Strecke s, bestimmt werden. Um weitere Verzögerungen beim erzeugen des Signals, beim Verarbeiten im Oszilloskop etc, auszuschalten, wird die Laufzeitdifferenz für 2 verschiedene Strecken s = s 1 s 2 bestimmt. 2.4 Modulation des Signals Da dass im Versuch verwendete Oszilloskop hierfür zu träge ist, wird die Frequenz des Senders weitermoduliert mit einer Frequenz von f 2 = 59.9MHz,es entsteht eine Schwebung mit der Frequenz f s = 100kHz. Die Phasenverschiebung der Schwebung entspricht natürlich der Phasenverschiebung des gesamten Signals. Aufgrund der um Faktor 600 kleineren Frequenz, kann das Oszilloskop diese Phasenverschiebung jedoch zeitlich auflösen. Die hochfrequenten Anteile des Signals werden dabei durch einen Tiefpass herausgefiltert. Es gilt: Ursprüngliches Signal a cos (ω t + ϕ) ω = 2 π60mhz (11) Modulations Signal A cos (Ω t) Ω = 2 π59.9mhz (12) Resultierendes Signal A a cos (ω t + ϕ) cos (Ω t) (13) 6

Über die Additionstheoreme ergibt sich durch Addition von 14 mit umgekehrten Vorzeichen. cos (ω ± Ω) = cos ω cos Ω sin ω sin Ω (14) A a cos (ω t + ϕ) cos (Ω t) = A a (cos ((ω Ω) t + ϕ) + cos ((ω + Ω) t + ϕ)) 2 (15) Die Zeitdifferenz t die zur Phasenverschiebung ϕ gehört, ist beim niederfrequentigen Anteil ω um den Zeitdehnungskoeffizienten ω Ω höher, dies ergibt sich einfach als Verhältnis von ursprünglicher zur resultierenden Winkelgeschwindigkeit der Welle. Dies entspricht in der obigen Beispielrechnung einem Faktor γ = 600. Die benötigte Ablenkgeschwindigkeit reicht hierfür bei normalen Osilloskopen aus: v = v ag γ = 0.25cm µs (16) 2.5 Durchführung Die Apperatur wird wie in der Aufgabenstellung beschrieben justiert und die entsprechenden Eichmessungen durchgeführt. Anschließend wird die Zeitdifferenz t in Abhängigkeit zum Sender- Empfänger Abstand s gemessen. Hieraus ergibt sich direkt die Lichtgeschwindigkeit c, als Steigung der Geraden: s = c t (17) Es ist bekannt das die Phasengeschwindigkeit des Lichts vom Brechungsindex n des Medium abhängt, es gilt unter der Annahme das im Material µ 1 gilt und mit der Definition n = ɛ: c m = 1 ɛɛ0 µ 0 = c 0 ɛ = c 0 n (18) Aus der Laufzeitdifferenz t zwischen einer Messung mit Luft (n 1) auf dem gesamten Lichtweg, und einer Messung mit einer Strecke d innerhalb eines weiteren Mediums, folgt der Brechungsindex über: n = c 0 c m = c 0 c 0 c = c 0 c 0 t d Diese Art der Messung wird für Plexiglas und Luft vorgenommen werden. Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung des Brechungsindexes ist der Einsatz von Lissajous Figuren. Hierzu wird das Empfängersignal über dem Sendersignal im x-y-betrieb des Oszilloskops angezeigt. Für Geraden als Lissajous-Figuren befinden sich die beiden Signale gerade in Phase. Der Abstand zwischen 2 dieser Geraden ist gerade λ 2. (19) 7

Literatur [Aufgabenstellung] Aufgabenstellung der Versuche P1-42,44 [Vorbereitungshilfe] Vorbereitungshilfe zu den Versuchen P1-42,44 8