E Wheatstonesche Brücke Versuchsprotokoll von Thomas Bauer und Patrick Fritzsch Münster, den 7..000
INHALTSVEZEICHNIS. Einleitung. Theoretische Grundlagen. Die Wheatstonesche Brücke. Gleichstrombrücke zur Bestimmung ohmscher Widerstände. Wechselstrombrücke zur Bestimmung der Kapazität C. Wechselstrombrücke zur Bestimmung von und C.5 MAWELL-Brücke zur Bestimmung von Induktivitäten L.6 Wien-obinson-Brücke zur Bestimmung von C. Versuchsaufbau. Zubehör. Versuchbeschreibung. Versuchsdurchführung. Messung der unbekannten Widerstände. Messung der unbekannten Kapazitäten. Messung verschiedener -C-Kombinationen. Messung mit der MAWELL-Brücke.5 Messungen mit der Wien-obinson-Brücke 5. Meßauswertung 5. Bestimmung der unbekannten Widerstände 5. Bestimmung der unbekannten Kapazitäten 5. Berechnung der -C-Kombinationen 5. Berechnung der MAWELL-Brücke.5 Berechnung der Wien-obinson-Brücke 6. Diskussion 7. Anlagen Original Meßprotokoll
. Einleitung Bei der Wheatstoneschen Brücke handelt es sich um einen speziellen Schaltkreis, über den sich durch bekannte Schaltelemente ein gesuchter Widerstand bestimmen lässt. Dieser Widerstand kann auch ein Wechselstromwiderstand (komplexe Widerstände) sein, wozu die Wheatstonesche Brücke noch leicht zu einer Wechselstrombrücke zu modifizieren ist. Bei einer solchen Brücke muß, um zeitunabhängige Werte ermitteln zu können, jedoch ein Abgleich von Amplitude und Phase des Stromes erfolgen. Dadurch erhält man bei verschiedensten Kombinationen von Schaltungen für einen gesuchten Gesamtwechselstromwiderstand meist zwei elationen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Um letztendlich den gesuchten Widerstand ermitteln zu können, muß der Strom über eine Brücke zu Null reguliert werden. Bei einer solchen Schaltung ist die Messempfindlichkeit proportional zu angelegten Versorgungsspannung. Bei dieser Methode ist zu beachten, dass sich die Werte für die gesuchten Widerstände durch Erwärmung verändern.
. Theoretische Grundlagen. Die Wheatstonesche Brücke In Abbildung wird die Schaltung einer Wheatstoneschen Brücke aufgezeigt. Meistens wird der unbekannte Widerstand anstelle von geschaltet. Über die anderen bekannten Widerstände ( bis ) kann dann der unbekannte Widerstand bestimmt werden. Anstelle des Brückenwiderstandes M ist meistens ein Messgerät geschaltet, so dass M den Innenwiderstand dieses Messgerätes darstellt. Um nun eine Beziehung Abbildung : Schaltbild der Wheatstoneschen Brücke zwischen den drei bekannten Widerständen und dem zu ermittelnden Widerstand herzustellen werden die Kirchhoffschen egeln herangezogen. Nach der Knotenregel ergibt sich für A : I I + I M B : I I + I C : I I + I M Die Maschenregel liefert für die drei Maschen weitere Beziehungen I : I + I I 0 M M II : I I I M 0 M III : I I U + Die Widerstände bis sind des weiteren variabel gestaltet, so dass man den Stromfluß durch das Messgerät M variieren kann. Sie werden dann so eingestellt, dass der Strom durch das Messgerät Null ist. Die Knotenpunkte A und C haben dann das selbe Potential und es gilt nach den bekannten Gleichungen: I und I I I
Formt man die Beziehung für die Masche (II) nach I I I I um und setzt diese in die der Masche (I) ein erhält man die elation: I I 0. Aus dieser ergibt sich dann der gesuchte Widerstand zu: () Ist ein Wechselspannung angelegt und sind die Schaltelemente Wechselstromwiderstände (Z bis Z ), so gilt formal die gleiche Beziehung wie oben: Z Z Z () Z Der so entstandene Schaltkreis wird Wechselstrombrücke genannt, wegen dem angelegten Wechselstrom und dem dann erfolgenden Abgleich am Brückenwiderstand Z M.. Gleichstrombrücke zur Bestimmung ohmscher Widerstände Die Widerstände und sind oft als Potentiometer (Schiebewiderstand) zusammengefasst. Es besteht aus einem langen Draht mit einem verstellbaren Abnehmer. Für den Gesamtwiderstand des Potentiometers ergibt sich dann mit der Gesamtlänge L, dem spezifischen Widerstand ρ und der L Querschnittsfläche A des Drahtes: ρ. A Der Widerstand hat dann die Länge l<l und der Widerstand Abbildung : Gleichstrombrücke die verbleibende Länge L-l bei jeweils gleichem ρ und A (siehe Abbildung ). Für das Verhältnis von zu erhält man dann l ( L ) und somit für l l L l.
. Wechselstrombrücke zur Bestimmung der Kapazität C Für kapazitive Widerstände Z C gilt: Z C Setzt man diese elation in () für Impedanzen ein, erhält man: l L l C C L l l Abbildung : Wechselstrombrücke zur C- Bestimmung. Wechselstrombrücke zur Bestimmung von und C Auch hier kommt die schon mehrfach angewendete Beziehung für Impedanzen Z ins Spiel und es gilt offensichtlich nach Abbildung : ( l + ) ( + ) L l In dieser Gleichung sind nun erstmals zwei Bedingungen untergebracht (eal- und Imaginärteil). Es müssen also gleichzeitig beide Bedingungen erfüllt sein, woraus folgt: l und L l C C L l l Abbildung : Wechselstrombrücke zur Bestimmung von und C.5 MAWELL-Brücke zur Bestimmung von Induktivitäten L Das Schaltbild der MAWELL-Brücke ist in Abbildung 5 dargestellt. Nach bekannten egeln gilt für den Wechselstromwiderstand Z : Z + Abbildung 5: MAWELL-Brücke
Einsetzen der Größen in Gleichung () liefert hier: ( + iωl ) ( + ) Durch die Trennung von eal- und Imaginärteil erhält man dann: sowie L C Der unbekannte Widerstand ist der OHMsche Innenwiderstand der Spule mit der Induktivität L. Er kann auch durch eine Gleichstrombrücke ermittelt werden, denn wie man sieht entspricht die Gleichung für den ealteil der Gleichung () der Wheatstoneschen Brücke..6 WIEN-OBINSON-Brücke zur Bestimmung von C Bei einer WIEN-OBINSON-Brücke (siehe Abbildung 6) liegt eine Variable Spannung an, die durch einen Frequenzgenerator erzeugt wird. Es gilt: Z + und Z + Nach Gleichung () für Impedanzen gilt hier: Abbildung 6: WIEN-OBINSON-Brücke Z + + Bei dieser Brücke ist durch die Gleichheit von und außerdem und somit ( + i, oder umgeformt ωc )( + ) ( + i. ωc + ω C C ) Sortieren nach eal- und Imaginärteil ergibt die Gleichungen
C ω C C und + C Aus der ersten Gleichung ergibt sich für die Winkelfrequenz ω ein minimaler Wert, der vom Maximalwert der beiden ohmschen Widerstände max und max (hier je kω) abhängt und dann berechnet wird zu ω min C C max max Über die erste Gleichung wird auch praktisch der Wert für C bestimmt, denn für die Kapazität gilt : C C oder C ω C ω Führt man an der Brücke diesmal für verschiedene Frequenzen ω einen Abgleich durch und trägt die Werte von ω gegen die ermittelten von C auf, so stellt die Steigung der erhaltenen Geraden die gesuchte Kapazität in der Form / C dar. Die zweite Gleichung macht Aussagen über die Größe von C bzw. C. Es gilt immer: C < C
. Versuchsuchsaufbau. Zubehör Frequenzgenerator Klingeltrafo 6V~ Netzgerät V Oszillograph Schleifdraht,Ω (Lm) Potentiometer k Ω Widerstand 70 Ω Kapazität, µf unbekannte Widerstände unbekannte Kapazitäten unbekannte Induktivität mit ohmschen Innenwiderstand Widerstände 70 Ω. Versuchsbeschreibung.. Mit Hilfe der Gleichstrombrücke (siehe Abb.) soll der ohmsche Widerstand zweier unbekannter Widerstände und einer Spule bestimmt werden. Danach soll der Gesamtwiderstand beider Widerstände, in eihe und parallel geschaltet, bestimmt werden. Man geht immer so vor, daß man den Schleifdraht so einstellt, daß kein Strom fließt... Man macht sich mit dem Oszillographen vertraut. Folgendes ist dabei zu beachten: Der Oszillograph wird eingesetzt, um zu überprüfen, wann der Wechselstrom auf null abgeglichen ist. Ein normales Drehspulmeßgerät würde an dieser Stelle immer null anzeigen... Mit Hilfe der Wechselstrombrücke (siehe Abb.) soll die Kapazität zweier unbekannter Kondensatoren bestimmt werden. Danach soll die Gesamtkapazität beider Kondensatoren, in eihe und parallel geschaltet, bestimmt werden. In allen vier Fällen wird der Schleifwiderstand wieder so eingestellt, daß kein Strom mehr fließt. Dies ist erreicht, wenn der Oszillograph den Stromfluß als Gerade durch den Nullpunkt darstellt.
.. Aus den zwei unbekannten Widerständen und den zwei unbekannten Kapazitäten soll nun eine kombinierte Schaltung entworfen werden. Mit Hilfe der Wechselstrombrücke (siehe Abb.) werden jeweils die Gesamtkapazität und der Gesamtwiderstand bestimmt. Es wird für diese Schaltung fünf mal abgeglichen. Dieser Versuch wird für verschiedene Kombinationen durchgeführt. Um den Stromfluss auf null zu senken, wird der Schleifwiderstand und das Potentiometer so eingestellt, daß der Oszillograph den Strom als ebene Linie durch den Nullpunkt darstellt..5 Mit Hilfe der Maxwell-Brücke (siehe Abb.5) wird der ohmsche Widerstand und die Induktivität einer Spule bestimmt. Das Prinzip der Abgleichung ist wieder dasselbe wie in.., nur daß man jetzt anstatt des Schleifwiderstandes ein Potentiometer hat...6 Mit Hilfe der Wien-obinson-Brücke soll nun die Kapazität einer der unbekannten Kondensatoren bestimmt werden. Es wird hierzu der Strom für 0 verschiedene Frequenzen mit den zwei Potentiometern auf Null abgeglichen (wie in..5). Zu beachten ist, daß man anhand des Oszillographen die genaue Periodendauer des Wechselstromes abliest. So erhält man eine genauere Frequenz, als auf dem Frequenzgenerator angegeben.
. Versuchsdurchführung Für die Stellung des Schleifwiderstandes l wird immer ein absoluter Fehler von 0,0cm geschätzt. Für die Potentiometer wird ein absoluter Fehler von 0,Ω geschätzt.. Messung der unbekannten Widerstände Gemessen werden die beiden Widerstände E/ und E/ 7 und der Widerstand der Spule mit der in.. beschriebenen Methode. Die Messungen ergeben folgende Werte: Name / [Ω] l / [cm] einzeln E/: 70 6,9( ± 0,0%) E/7 70 6,8( ± 0,0%) in eihe E/+E/7 70 79,( ± 0,0%) parallel E/+E/7 90 6,7( ± 0,06%) einzeln Spule 70 6,( ± 0,0%) Tabelle : Messung von x. Messung der unbekannten Kapazitäten Gemessen werden die beiden Kondensatoren E/ und E/ 0 mit der in.. beschriebenen Methode. Die Messungen ergeben folgende Werte: Name l / [cm] C / [µf] E/ 5,6 ( ± 0,0%), einzeln E/0 77,8 ( ± 0,0%), in eihe E/+E/0 8, ( ± 0,0%), parallel E/+E/0,8 ( ± 0,0%), Tabelle : Messung von Cx
. Messung verschiedener -C-Kombinationen.. Widerstand E/ 7 und Kondensator E/0 in eihe Die Messungen ergeben folgende Werte: Name / [Ω] C / [µf] l / [cm] 80,56,9 ( ± 0,0%) 80,6,9 ( ± 0,0%) In eihe E/7+E/0 00( ± 0,05%), 80,6,9 ( ± 0,0%) 80,56,9 ( ± 0,0%) 80,6,9 ( ± 0,0%) Tabelle : Messung von x und Cx für E/7 und E/0.. Widerstand E/ und Kondensator E/0 in eihe Die Messungen ergeben folgende Werte: Name / [Ω] C / [µf] l / [cm] 80, ( ± 0,0%) 80,0 ( ± 0,0%) in eihe E/+E/0 65( ± 0,5%), 80, ( ± 0,0%) 80,6 ( ± 0,0%) 80, ( ± 0,0%) Tabelle : Messung von x und Cx für E/ und E/0.. Alle vier unbekannten Komponenten in eihe Die Messungen ergeben folgende Werte: Name / [Ω] C / [µf] l / [cm] 8,8 ( ± 0,0%) 8,6 ( ± 0,0%) in eihe E/+E/7+E/+E/0 ( ± 0,08%), 8, ( ± 0,0%) 8,8 ( ± 0,0%) 8,9 ( ± 0,0%) Tabelle 5: Messung von x und Cx für E/, E/7, E/ und E/0
.. Die beiden unbekannten Widerstände und der Kondensator E/ parallel Die Messungen ergaben folgende Werte: Name / [Ω] C / [µf] l / [cm] 7,8 ( ± 0,%) 6,9 ( ± 0,%) parallel E/+E/7+E/ 000( ± 0,0%), 7, ( ± 0,%) 6,8 ( ± 0,5%) 7,9 ( ± 0,%) Tabelle 6: Messung von x und Cx für E/, E/7 und E/. Messung mit der MAWELL-Brücke Bei folgenden Einstellungen wird der Stromfluß mit der in..5 beschriebenen Methode auf Null gesenkt: / [Ω] / [Ω] / [Ω] C / [µf] 70 5( ± 0,0%) 00( ± 0,05%), Tabelle 7: Messung der Spule.5 Messungen mit der Wien-obinson-Brücke Gemessen wird der Kondensator E/. Durch die in..6 beschriebene Methode erhält man folgende Meßdaten: (Für T wird ein absoluter Fehler von 0,ms geschätzt) Name T / [ms] f / [Hz] / [Ω] / [Ω] 0,0 ( ±,0%) 00,00 ( ±,0%) 6( ± 0,0%) 808( ± 0,0%),6 ( ±,%) 7,9 ( ±,%) 6( ± 0,06%) 68( ± 0,0%),6 ( ±,8%) 8,6 ( ±,8%) 9( ± 0,%) 0( ± 0,05%), ( ± 7,%) 7,9 ( ± 7,%) 8( ± 0,%) 06( ± 0,09%) E/ 6,6 ( ±,5%) 5,5 ( ±,5%) ( ± 0,0%) 55( ± 0,0%),7 ( ±,7%) 70,7 ( ±,7%) ( ± 0,08%) 97( ± 0,0%) 5,0 ( ±,0%) 00,00 ( ±,0%) 77( ± 0,06%) 0( ± 0,0%) 7, ( ±,%) 5, ( ±,%) 58( ± 0,0%) 58( ± 0,0%),0 ( ±,5%) 50,00 ( ±,5%) ( ± 0,07%) 9( ± 0,0%) 9,8 ( ±,0%) 0,0 ( ±,0%) 8( ± 0,0%) 800( ± 0,0%) Tabelle 8: Messung eines unbekannten Kondensators Die Frequenz wurde direkt nach dem Gesetz f / T berechnet.
5. Meßauswertung 5. Bestimmung der unbekannten Widerstände Die beiden unbekannten Widerstände lassen sich aus dem bekannten Widerstand l und der Stellung l des Schleifwiderstandes zu x berechnen. Daraus folgt mit den L l Meßwerten aus.: E/ 8,5Ω ( ± 0,0%) E/7 79,Ω ( ± 0,0%) Schaltet man die beiden Widerstände in eihe ergibt sich für den Gesamtwiderstand nach den Meßwerten aus.: 08,Ω ( ± 0,0%) Wendet man das Kirchhoffsche Gesetz mit den vorher berechneten Werten für die beiden Widerstände E/ und E/7 an, um den Gesamtwiderstand zu berechnen, ergibt sich für : 0,9Ω ( ± 0,08%) Schaltet man die beiden Widerstände parallel ergibt sich für den Gesamtwiderstand P nach den Meßwerten aus.: P 88,5Ω ( ± 0,0%) Wendet man das Kirchhoffsche Gesetz mit den vorher berechneten Werten für die beiden Widerstände E/ und E/7 an, um den Gesamtwiderstand zu berechnen, ergibt sich für P : P 8,Ω ( ± 0,%) Die Serienschaltung und die Parallelschaltung aus den beiden Widerständen stimmt gut mit den direkt gemessenen Werten für die Widerstände überein Für den ohmschen Widerstand der Spule ergibt sich L 0,9Ω ( ± 0,0%)
5. Bestimmung der unbekannten Kapazitäten Die beiden unbekannten Kapazitäten lassen sich durch den bekannten Widerstand L l und der Position l des Schleifwiderstandes zu C C berechnen. Daraus folgt mit l den Meßwerten aus.: C E/,0µF( ± 0,06%) C E/0 0,6µF( ± 0,0%) Schaltet man die beiden Kondensatoren in eihe, so ergibt sich für die Gesamtkapazität C mit den Meßwerten aus.: C 0,5µF( ± 0,0%) Wendet man das Kirchhoffsche Gesetz mit den vorher berechneten Werten für die beiden Kapazitäten C E/ und C E/0 an, um die Gesamtkapazität zu berechnen, ergibt sich für C : C 0,5µF( ± 0,%) Schaltet man die beiden Kondensatoren parallel ergibt sich für die Gesamtkapazität C P nach den Meßwerten aus.: C P,5µF( ± 0,0%) Wendet man das Kirchhoffsche Gesetz mit den vorher berechneten Werten für die beiden Kapazitäten C E/ und C E/0 an, um die Gesamtkapazität zu berechnen, ergibt sich für C P : C P,6µF( ± 0,05%) Da diese Werte alle gut übereinstimmen, kann man das Gesetz für eihen- und Parallelschaltungen von Kondensatoren als bekräftigt ansehen. 5. Berechnung der L-C-Kombinationen Da l jedesmal fünfmal gemessen wurde, bildet man den Mittelwert aus diesen Werten und berechnet über die Standardabweichung den relativen bzw. absoluten Fehler von l. Der unbekannte Widerstand x und die unbekannte Kapazität C x lassen sich mit den in. bestimmten Werten für die Position des Schleifwiderstandes und die Einstellung des Potentiometers bestimmen.
5.. Widerstand E/ 7 und Kondensator E/0 in eihe Für l ergibt sich 80,cm ( ± 0,05%). Mit den bereits in 5. und 5. benutzten Beziehungen ergeben sich: E/7 8,5Ω ( ± 0,5%) C /0 0,5µF ( ± 0,%) 5.. Widerstand E/ und Kondensator E/0 in eihe Für l ergibt sich 80,cm ( ± 0,%). Mit den bereits in 5. und 5. benutzten Beziehungen ergeben sich: E/ 6,6Ω ( ± 0,%) C E/0 0,5µF ( ± 0,6%) 5.. Alle vier unbekannten Komponenten in eihe Für l ergibt sich 8,cm ( ± 0,7%). Mit den bereits in 5. und 5. benutzten Beziehungen ergeben sich: E/7+E/ 568,7Ω ( ± 0,6%) C E/0+E/ 0,5µF( ± 0,5%) 5.. Die beiden unbekannten Widerstände und der Kondensator E/ parallel Für l ergibt sich 7,cm ( ±,0%). Mit den bereits in 5. und 5. benutzten Beziehungen ergeben sich: E/7+E/ 79,0Ω ( ± 6,%) C E/ 7,9µF( ± 6,0%) 5. Berechnung der MAWELL-Brücke Mit den Meßwerten aus. läßt sich die Induktivität zu L C und der ohmsche Widerstand zu L berechnen. Somit ergibt sich für die Induktivität L 0,9H ( ± 0,09%) und für den ohmschen Widerstand L 9,8Ω ( ± 0,09%) Der ohmsche Widerstand der Spule wurde bereits in 5. zu L 0,9Ω ( ± 0,0%) berechnet. Diese beiden Ergebnisse liegen zwar sehr eng beieinander, jedoch nicht innerhalb des Vertrauensbereiches.
5.5 Berechnung der Wien-obinson-Brücke Da die Beziehung C x gilt, läßt sich C x direkt aus der Steigung der Geraden in ω C dem Diagramm ω gegen /C ablesen: Aus der Steigung liest man für C x,98 µf ab.
6. Diskussion Die auf verschiedenen Wegen ermittelten Widerstände und Kapazitäten gleichen sich, bis auf die zwei -C-Kombinationen.. und... Bei Versuchsdurchführung fiel jedoch bereits auf, daß sich der Strom nicht wie in den vorangegangenen Versuchen relativ einfach abgleichen ließ. Jedoch steht diese Auffälligkeit in keinem Verhältnis zu der extremen Abweichung. Schön hingegen ist zu sehen, wie sich die Widerstände nach längerer Nutzungsdauer durch ihre Erwärmung erhöhen (vgl. 5. mit 5.., 5..).