Übungsblatt 2 PHYS4 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de) 2. 4. 25 22. 4. 25 Aufgaben. Das Plancksche Strahlungsgesetz als Funktion der Frequenz ν lautet: ϱ (ν,t ) dν = 8πhν3 c 3 e hν/k BT dν Geben Sie das Gesetz ϱ (λ,t ) in Abhängigkeit von der Wellenlänge λ an. 2. Wie würde die Energieverteilung der schwarzen Strahlung aussehen, wenn es keine erzwungene Emission gäbe? Entspricht das einer bekannten Strahlungsformel? Wie sieht man anschaulich, dass es nicht so sein kann? 3. Berechnen Sie für beliebige ν und T das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit einer spontanen und einer induzierten Emission. Skizzieren Sie den Verlauf von spontaner und induzierter Emission in Funktion von hν/(k B T ). Berechnen Sie die Frequenz, bei der spontane und induzierte Emission gleich wahrscheinlich sind und skizzieren Sie den Verlauf für das Temperaturintervall [K... K]. 4. Welche Temperatur hat eine schwarze Kugel von.m Durchmesser, die insgesamt 23W thermisch abstrahlt? Wie gross ist der Masseverlust pro Jahr? 5. Berechnen Sie die Temperatur der Sonne und die Energiedichte der Strahlung im Inneren unter der Annahme, dass die Sonne ein sphärischer schwarzer Körper mit dem bekannten Sonnenradius ist. Die Intensität der Strahlung auf der Erde ist D E =.4kW m 2. Nehmen Sie zur Rechnung an, dass die Energiedichte im Inneren homogen sei. Ist das realistisch? Übungsblatt vom 2. 4. 25 22. 4. 25 c 25 University of Ulm, Othmar Marti
2 PHYS 4 Grundkurs IV SH 25 Übungsblatt 2 2 Lösungen. Das Plancksche Gesetz lautet: Um nach λ umzurechnen müssen wir ϱ(ν,t ) = 8πhν3 c 3 e hν/(kt ) dν λ = c ν verwenden. Dann gilt auch mit ν = c/λ dν = c λ 2 dλ also bekommt man ϱ(λ,t ) = 8πhc λ 5 e hc/(kt λ) dλ 2. Ohne erzwungene Emission wäre die Einsteinsche Photonenbilanz anzusetzen: Absorbierte Photonen/(cm3s) spontan emittierte Photonen/(cm3s) Daraus folgt αϱ(ν,t )n dν = βn ϱ(ν,t ) = βn = 4πhν3 αn c 3 e hν/k BT Das ist das Wiensche Strahlungsgesetz. Es liefert maximale Strahlungsdichte für die Frequenz ν m mit hν m = 3k B T. Das ist noch kein sehr grosser Unterschied gegen das richtige Planck-Gesetz mit seinem Maximum bei hν m = 2.82k B T zwar würde das Wien-Gesetz eine fast um 4 höhere Sonnentemperatur ergeben, aber wir wissen ja nicht a priori, wie heiss die Sonne ist). Schlimmer wird es bei kleineren Frequenzen höheren Temperaturen: Bei hν k B T ergibt Wien ϱ ν 3, Planck ϱ ν 2. Ein 2 K-Strahler z. B. würde nach Wien im Sichtbaren kaum /3 der Helligkeit haben wie in Wirklichkeit. 3. Wir bezeichnen die Anzahl Prozesse pro Volumen und Zeit mit n S spontane Emission n E erzwungene Emission n A Absorption S Strahlungsgleichgewicht: n A = n E + n S Übungsblatt vom 2. 4. 25 22. 4. 25 2 c 25 University of Ulm, Othmar Marti
Übungsblatt 2 PHYS 4 Grundkurs IV SH 25 3 Wir haben weiter für die Anzahl der angeregten Atome n und die Anzahl der Grundzustandsatome n nach Boltzmann ( n = exp hν ) n k B T Aus der Vorlesung folgt mit den Einstein-Koeffizienten n A = Bϱ(ν,T )n n S = An = An e hν/k BT n E = Bϱ(ν,T )n = Bϱ(ν,T )n e hν/k BT Wir wollen n E /n S, das Verhältnis zwischen stimulierter und spontaner Emission berechnen n E = Bϱ(ν,T ) n S A Die rechte Seite können wir aus einem Zwischenschritt der Ableitung des Planck-Gesetzes berechnen. Aus bekommt man Bϱ(ν,T )n = An e hν/k BT + Bn e hν/k BT Bϱ(ν,T ) A = e hν/k BT = n E n S Verwenden wir die reduzierte Variable x = hν/k B T, so bekommen wir die Darstellung und berechnen n S /(n S + n E ) sowie n E /(n S + n E ) Spontane und induzierte Emission.8 n S n i / (n S +n E ).6.4.2 n E.5.5 2 2.5 3 3.5 4 x Kleines x bedeutet kleine Frequenz, und bei kleinen Frequenzen ist die Emission vorwiegend stimuliert. Der Übergang ist bei n E = n S bei e x = e x Übungsblatt vom 2. 4. 25 22. 4. 25 3 c 25 University of Ulm, Othmar Marti
4 PHYS 4 Grundkurs IV SH 25 Übungsblatt 2 und damit die Grenze bei e x = 2 x = hν k B T = ln(2) ν G (T ) = ln(2) k BT h Grenze: spontane und induzierte Emission λ/µm induziert spontan T/K 4. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz liefert P = πr 2 σt 4 wobei r der Radius der Kugel und σ die Stefan-Boltzmann-Konstante ist. P = π (.m) 2 5.67 8 W m 2 K 4 T 4 =.78 9 W K 4 = 23W Der Masseverlust ist m = E c 2 = P t c 2 T 4 = 6953597K 4 T = 52K 23W 365.24T ag 864s/T ag = = 4.3 8 kg = 43µg 9 6m 2 s 2 5. Wir setzen den Sonnenradius R = 7 8 m und den abstand Erde-Sonne r se =.5 m Der gesamte Strahlungsfluss von der Sonne ist konstant. Er beträgt Φ = D E 4π r 2 se = D S 4πR 2 wobei D S die Intensität der Strahlung auf der Sonnenoberfläche ist. Aus Stefan-Boltzmann folgt P = σ A T 4 = σ 4πR 2 T 4 = D S 4π R 2 Übungsblatt vom 2. 4. 25 22. 4. 25 4 c 25 University of Ulm, Othmar Marti
Übungsblatt 2 PHYS 4 Grundkurs IV SH 25 5 und T = 4 DS σ = 4 DE rse 2 σ R = 582K 2 Durch die Integration der spektralen Energiedichte ϱ(ν,t ) über die Frequenz ergibt die Energiedichte. ω = ϱ(ν,t )dν = 8πhν 3 c 3 e hν/kt dν = 8π5 k 4 5c 3 h 3 T 4 =.854 J m 2 D E ist im Sonneninneren nicht konstant, da die Energie nicht punktförmig im Inneren erzeugt wird. Übungsblatt vom 2. 4. 25 22. 4. 25 5 c 25 University of Ulm, Othmar Marti