Lösungen S. 167 Nr. 6 Schätzung: Es können ca. 5000 Haushaltstanks gefüllt werden. Man beachte die Dimensionen der Tanks: Der Haushaltstank passt in ein kleines Zimmer, der große Öltank besitzt jedoch die Grundfläche eines durchschnittlichen Grundstücks und ist 20 m (!!!) hoch. Viele Einfamilienhäuser besitzen eine Höhe von ca.8-10 m. Rechnung: Volumen des zylindrischen Öltanks in m³: V =G h=π r 2 h=π(15) 2 20=4500 π 14137,2 Das Volumen von 1m³ entspricht einem Volumen von 1000 Liter. Also passen in den großen Öltank 14137200 Liter oder genauer 4500000 π Liter. 4500000 π =2250 π 7068,58. 2000 Antwort: Es können ungefähr 7069 Haushaltstanks gefüllt werden. Die Schätzung war also zu niedrig. S. 167 Nr. 8 a) Um das Problem ohne Rechnung zu lösen, könnte man 5 cm³ Flüssigkeit in den Messzylinder füllen und in Höhe der Oberfläche der Flüssigkeit eine Markierung anbringen. Die Höhe der Markierung befindet sich in der Höhe h. Die Flüssigkeit nimmt also die Form eines Zylinders mit dem Durchmesser 36 mm bzw. mit dem Radius 1,8 cm und der Höhe h an. Rechnung (alle Längen werden in cm angegeben!): Volumen in cm³: V =π r 2 h=π (1,8) 2 h=3,24π h. Das Volumen eines Zylinders mit der Höhe h ist also 3,24 π h. Falls h der Höhe der ersten Markierung entspricht ist das Volumen aber auch 5 cm³. Man kann also folgende Gleichung aufschreiben: 5=3,24 π h. Löst man diese Gleichung nach h auf, ergibt sich: h= 5 3,24 π 0,49. Antwort: Die erste Markierung ist in der Höhe von 0,49 cm anzubringen. Die zweite dann in der Höhe von 0,98 cm usw. b) Man kann sich vorstellen, dass der Messzylinder bis zur ersten Markierung gefüllt ist. Die Flüssigkeit nimmt dann die Form eines Zylinders an. Das Volumen ist V=2 cm³, die Höhe h = 0,4 cm. Gesucht ist der Durchmesser des Zylinders. Man kann zunächst den Radius berechnen. Es gilt: V =π r 2 h. Umgestellt nach r ergibt sich r= V π h. Durch Einsetzen der Werte ergibt sich: r= 2 π 0,4 1,26. Antwort: Der Radius ist also ca. 1,26 cm und der Durchmesser 2,52 cm groß. S.167 Nr.9 a) Berechnung der Mantelfläche: M =2 π r h (1) M 75,4 cm² (2) M 75,4 cm² (3) M 150,8 cm² (4) M 150,8 cm² Berechnung des Volumens: V =π r 2 h
(1) V 113,1 cm³ (2) V 75,4 cm³ (3) V 452,4 cm³ (4) V 301,6 cm³ b) Im Fall (3) ist der Radius doppelt so groß wie in Fall (1), in Fall (4) ist der Radius doppelt so groß wie in Fall (2). An der Formel für die Mantelfläche erkennt man, dass sich die Fläche verdoppelt, wenn sich der Radius verdoppelt (oder die Höhe). Somit verdoppeln sich die Flächen in den Fällen (3) und (4). ABER: Beim Volumen ist das nicht so! Wenn der Radius verdoppelt wird, vervierfacht sich das Volumen! S. 168 Nr. 15 Begründung der Formel für das Volumen eines Hohlzylinders Das Volumen des äußeren Zylinders: V 2 =π r 2 2 h Das Volumen des inneren Zylinders: V 1 =π r 1 2 h Das Volumen des Hohlzylinders ergibt sich als Differenz des äußeren und inneren Zylinders: V =V 2 V 1 =π r 2 2 h π r 1 2 h=π(r 2 2 r 1 2 )h Hinweis: Im letzten Term wurde π und h ausgeklammert. Formel für die Oberfläche des Hohlzylinders Die Oberfläche eines Hohlzylinders ergibt sich aus der äußeren Mantelfläche, aus der inneren Mantelfläche und aus zwei Kreisringen. O=M innen +M außen +2A Kreisring =2πr 1 h+2π r 2 h+2 π(r 2 2 r 1 2 )=2π(r 1 +r 2 )h+2π(r 2 2 r 1 2 ) Man kann nun noch 2π ausklammern: O=2 π((r 1 +r 2 )h+r 2 2 r 12 ) Beispiele für Hohlzylinder: Ring, Ohrring, Unterlegscheiben, Rohr, Strohhalm, Schornstein S.168 Nr. 6 a) Man erkennt an dem Plättchenturm, dass sich das Volumen nicht ändert, wenn der Turm schräg verformt wird. Natürlich besteht dieser Turm aus einzelnen Plättchen und entspricht nicht einem schrägen Zylinder. Allerdings kann man sich vorstellen, dass ein schräger Zylinder entsteht, wenn man immer flachere (=dünnere) und dafür mehr Plättchen nimmt. b) Wenn man die Mantelfläche bastelt (Z.B. in dem man aus einem Blatt Papier den Mantel eines Zylinders rollt und dann oben und unten mit einer Schere beschneidet, so dass der Mantel eines schrägen Zylinders entsteht) und anschließend den Mantel wieder ausrollt, erkennt man die entstandene Form. Der Flächeninhalt ergibt sich dann folgendermaßen: M =2 π r h 2 +a 2. In dieser Formel ist a der Versatz der Mittelpunkte der Kreise in horizontaler Richtung (Im Buch sieht man ja, dass sich der Mittelpunkt des oberen Kreises nicht oberhalb des untereren Kreises befindet, sondern horizontal, also nach rechts verschoben. Die Länge dieser Strecke wird in der Formel mit a bezeichnet. Die Kantenlänge, die schräg nach oben verläuft, die auch der Länge der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Kreise entspricht, lässt sich mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Die Kantenlänge ist dann h 2 +a 2. S.169 Nr.18 a) Volumen der kleinen Dose: V =π r 1 2 h 1 =π 3,6 2 10,5 427,5 Volumen der großen Dose: V =π r 2 2 h 2 =π 4,9 2 11,3 852,35 852,5 427,5 1,99. Die große Dose hat in etwa das doppelte Volumen im Vergleich zur kleinen Dose.
b) Oberfläche der kleinen Dose: O=2G+M =2π r 1 2 +2π r 1 h 1 =2 π3,6 2 +2π 3,6 10,5 318,9 Oberfläche der großen Dose: O 498,8 498,8 318,9 1,56. Die große Dose besitzt also den 1,56-fache Oberflächeninhalt der kleinen Dose, besitzt aber doppelt so großes Volumen. Von daher ist es wirtschaftlicher eine große Dose zu benutzen. Verhältnis Durchmesser/Höhe Kleine Dose: Große Dose: 7,2 10,5 0,686 9,8 11,3 0,867 S.169 Nr. 19 Die optimale Dose a) Mögliche Kriterien: Minimaler Materialverbrauch bzw. minimale Produktionskosten / handgerecht (Die Dose von Coca Cola wurde vor ein paar Jahren im Durchmesser verkleinert, damit man sie besser halten kann) / große Mantelfläche, um viel Fläche für das Etikett zu haben / Standstabilität (flache Dose, um Umfallen zu verhindern) /Anpassung der Dose an die Form des Inhalts usw. b) benötigte Formel: Volumen V =π r 2 h, auf gelöst nach h : h= V π r 2 Oberfläche O=2 π r 2 +2 π r h Vorgehen: Für die Radien r=1cm...10cm wird jeweils die Höhe h und die Oberfläche O mit Hilfe der Formeln berechnet. Man erkennt aus der Tabelle, dass eine Dose mit dem Radius r =5cm eine Oberfläche von 497,1 cm² besitzt und damit den kleinsten Wert in der Tabelle. Es kann aber sein, dass ein paar Millimeter größerer bzw. kleinerer Radius eine noch kleinere Oberfläche bewirkt. Das muss dann genauer untersucht werden. r [cm] h[cm] V [cm³] O[cm²] 1 270,6 850 1706,3 2 67,6 850 875,1 3 30,1 850 623,2 4 16,9 850 525,5 5 10,8 850 497,1 6 7,5 850 509,5 7 5,5 850 550,7 8 4,2 850 614,6 9 3,3 850 697,8 10 2,7 850 798,3 c) Berechnung der Oberfläche der großen Dose aus Aufgabe 18 O=2πr 2 +2π r h=2π4,9 2 +2π4,9 11,3 498,759.
498,759 Berechnung der prozentualen Abweichung: 497,1 1,00334. Die große Dose aus Aufgabe 18 besitzt eine um 0,334 % größere Oberfläche als die Dose mit dem minimalsten Materialverbrauch bei einem Volumen von 850 cm³. Die Abweichung könnte daraus resultieren, dass bei der großen Dose noch die Falzungen mit eingerechnet wurden. Das Modell aus Aufgabenteil b) berücksichtigt diese ja gar nicht. Von daher kann es sein, dass die große Dose optimal ist. S.169 Nr. 20 Gute Schätzwerte gesucht a) Die Gesamtkosten sollen geschätzt werden. Dazu muss die Mantelfläche der Litfaßsäule geschätzt werden. Hinter der Litfaßsäule befindet sich ein Fahrrad. Angenommen, das Vorderrad ist ein 28 Rad. Der Durchmesser beträgt dann ungefähr 70 cm. Der Durchmesser der Litfaßsäule ist ca. 3 Mal so groß, also 210 cm bzw. 2,1 m. Die Höhe der Säule ist ca. 7 Mal so groß wie der Durchmesser des Rades, also ca. 4,9m. Also: r= 1,05, h=4,9. Die Werbefläche ist ca. 32 m² groß. M =2 π r h=2π 1,05 4,9 32,3 (Alle Längenangaben in Meter) Die Kosten für 6 Wochen: 6 7 32 32=43008 Die Kosten betragen ca. 43000 Euro. (Hinweis: Nach Recherche im Internet erscheint der Preis von 32 Euro/Tag/m² viel zu hoch, es sei denn, es handelt sich um eine Litfaßsäule, die an besonderer Stelle mit sehr viel Publikumsverkehr steht!) b) Der Riesenbleistift hat in etwa die Form eines Hohlzylinders. Der Umfang beträgt 80cm. Berechnung des Radius: U =2π r. Umgestellt nach r : r= U 2 π = 80 2 π 12,73 Der Radius beträgt also ca. 12,73 cm. Schätzung der Höhe: Die rote Tür ist im Foto ca. 1 cm hoch. 1cm entspricht in dem Foto also ca. 2 m. Der Bleistift ist ca. 4cm lang, also in Wirklichkeit h=800 cm hoch. Berechnung des Volumens: Die Maße des Hohlzylinders lässt sich durch zwei Radien beschreiben. Der Radius des äußeren Kreises beträgt r 2 =12,73 cm. Da die Wandstärke des Rohres/Hohlzylinders 1,2 cm beträgt, ist der Radius des inneren Kreises ca. r 1 =11,53 cm groß. V =π(r 2 2 r 1 2 )h=π (12,73 2 11,53 2 )800 73166,4 Das Volumen beträgt also ca. 73166 cm³ Berechnung der Masse: Um die Masse des Riesenbleistifts zu bestimmen, benötigt man die Dichte von Eisen. 1 cm³ Eisen besitzt eine Masse von 7,874 g. Also hat der Riesenbleistift eine Masse von ca. 576109g. Vergleich mit der Masse eines richtigen Bleistifts: Legt man einen richtigen Bleistift auf einen Küchenwaage, erhält man ein Gewicht von ca. 10g. Der Riesenbleistift ist also ca. 57611 mal schwerer. c) Betrachtet man das Foto genau, so kann man vermuten, dass in der unteren Schicht 8 Heuballen liegen (jeweils zwei hintereinander) und in der oberen nur 3 Heuballen. Insgesamt liegen also 11 Heuballen auf dem Wagen. Berechnung des Volumens eines Ballens: V =π r 2 h=π 60 2 120 1357168 Das Volumen eines Ballens beträgt also 1357168 cm³. 11 Ballen besitzen dann ein Volumen von 14928848 cm³. Berücksichtigt man die Dichte des Heus, so ergibt sich eine Last von ca. 3 bis 4,5 t.
S. 173 Nr.7 Erklärung der Bezeichnungen a: Seitenkante der quadratischen Grundfläche h: Höhe der Pyramide s: Seitenkante (Kante, die von der Spitze der Pyramide zu einer Ecke des quadratischen Grundfläche führt) V: Volumen der Pyramide M: Mantelfläche der Pyramide, die aus vier Dreiecken besteht. O: Oberfläche der Pyramide, bestehend aus Mantelfläche und Grundfläche. a) b) c) d) a 5 cm 11,413 cm 3 cm 6 cm h 6 cm 6 cm 18,85 cm 9,056 cm s 6,964 cm 10 cm 18,969 cm 10 cm V 50 cm³ 256,013 cm³ 56,55 cm³ 108,667 cm³ M 65 cm² 186,598 cm² 113,458 cm² 114,475 cm² O 90 cm² 314,604 cm² 122,458 cm² 150,475 cm² S.173 Nr.9 Einführung von Bezeichnungen: Die Höhe wird h genannt, der Radius der Grundfläche r. Volumen des gründen Kegels: V = 1 3 G h= 1 3 π r 2 h Volumen des orangenen Doppelkegels: V =2 1 3 G h 2 = 2 3 π r2 h 2 =1 3 π r 2 h Die Volumen der Kegel (Einfach- bzw. Doppelkegel) sind gleich! Vergleich der Mantelflächen Grüner Einfachkegel: M =π r s (s ist die Seitenkante!) s 2 =r 2 +h 2 bzw. s= r 2 +h 2. Also gilt M =π r r 2 +h 2 Doppelkegel: h 2 2) M =π r s bzw. s= r2 + h2 4 s 2 =r +( 2. Also gilt M =π r r2 + h2 4 Fazit: Die Mantelflächen von Einfach- und Doppelkegel sind unterschiedlich groß.