A Grundlegende Begriffe 6. 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10

Inhalt A Grundlegende Begriffe 6 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10 2 Relative Häufigkeit und abstrakter Wahrscheinlichkeitsbegriff 13 Aufgaben 16 3 Laplace scher Wahrscheinlichkeitsbegriff 17 Aufgaben 18 B Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 19 1 Pfadregeln für Wahrscheinlichkeiten 19 Aufgaben 22 2 Abzählverfahren (Kombinatorik) 27 Aufgaben 33 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 39 Augaben 44 C Beschreibende Statistik 50 1 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung 50 Aufgaben 54 2 Maßzahlen von Zufallsgrößen 55 Aufgaben 58 D Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen 60 1 Bernoulli-Kette und Binomialverteilung 60 Aufgaben 65 2 Grenzwertsätze von Moivre-Laplace und Normalverteilung 69 Aufgaben 75

E Beurteilende Statistik 77 1 Alternativtests 77 2 Signifikanztests 80 Aufgaben 84 en 88 Stichwortverzeichnis 155

A Grundlegende Begriffe 1 Zufallsexperimente und Ereignisse Ein Zufallsexperiment besteht aus der wiederholten Durchführung eines Zufallsversuchs. Bei einem Zufallsversuch können verschiedene Ergebnisse (Schreibweise: kleines Omega z 1, z 2, z 3 ) auftreten, die alle vom Zufall abhängen. Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bilden zusammen den Ergebnisraum bzw. die Ergebnismenge des Zufallsexperiments. Schreibweise: großes Omega Ð, 1Ð1 = Anzahl der Elemente, d.h. Mächtigkeit des Ergebnisraums. Fasst man mehrere einzelne Ergebnisse zu einer Teilmenge E von Ð zusammen, spricht man von einem Ereignis E. Das Ereignis E tritt ein, falls ein Ergebnis z mit z * E auftritt. Die Menge aller Ereignisse von Ð heißt Ereignisraum. Der Ereignisraum besteht aus 2 1Ð1 Ereignissen, es handelt sich um eine Menge aus Mengen. Sonderfälle von Ereignissen: Das Ereignis \ heißt unmögliches Ereignis, das Ereignis Ð heißt sicheres Ereignis. Ereignisse erfordern oft eine Umsetzung umgangssprachlicher Aussagen in die Mengenschreibweise. Hier einige gängige Formulierungen: Umgangssprache / Ereignissprache Mengenschreibweise Mengen-(Venn-)Diagramm Alle Ergebnisse aus V, die nicht in A sind: Gegenereignis zu A oder Komplement von A. A = V \ A A V Sowohl Ereignis A als auch Ereignis B tritt ein. A > B A B V Mindestens eines der Ereignisse A oder B tritt ein. A < B A B V 6

1 Zufallsexperimente und Ereignisse Keines der beiden Ereignisse A oder B tritt ein. Höchstens eines der beiden Ereignisse A oder B tritt ein; nicht beide gleichzeitig. Genau eines von beiden Ereignissen tritt ein. A < B = = A > B (Gesetze von De Morgan) A > B = = A < B (Gesetze von De Morgan) (A > B ) < ( A > B) A A A B B B V V V Außerdem werden die Gesetze der Mengenalgebra angewendet. Beispiele 1. Eines der bekanntesten und einfachsten Zufallsexperimente ist das Werfen einer Münze, bei dem nur die beiden Ergebnisse v 1 : = Wappen oder v 2 : = Zahl auftreten können. Dabei schließt man aus, dass die Münze auf dem Rand stehen bleibt. Dieser Zufallsversuch ist beliebig oft wiederholbar. Gefragt sind Ergebnis- und Ereignisraum sowie deren Mächtigkeit. Ergebnisraum: V = {v 1; v 2 oder mit W: = Wappen und Z: = Zahl : V = {W; Z Mächtigkeit des Ergebnisraumes: V = 2 Anzahl der Ereignisse: 2 V = 2 2 = 4 Ereignisraum: {\ ;{W; {Z;{W; Z 2. In einem zweistufigen Zufallsexperiment werden zunächst eine Münze und danach ein Würfel geworfen. Gesucht sind alle möglichen Ergebnisse und die Mächtigkeit von Ergebnis- und Ereignisraum. Zum übersichtlichen Erfassen aller Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments eignet sich besonders gut ein Baumdiagramm bzw. Ergebnisbaum: 7

A Grundlegende Begriffe W 1 2 3 4 5 6 Z 1 2 3 4 5 6 Werfen einer Münze Werfen eines Würfels Entspricht dem Ergebnis (W, 2). Ein mögliches Ergebnis wäre z 1 = (W, 1), d.h. die Münze zeigt Wappen, der Würfel die Augenzahl 1. Ergebnisraum: V = {(W,1); (W,2); (W,3); (W,4); (W,5); (W,6); (Z,1); (Z,2); (Z,3); (Z,4); (Z,5); (Z,6) = = {(a,b) a [ {W,Z ` b [ {1; 2; 3; 4; 5; 6 Mächtigkeit: V = 12; Mächtigkeit des Ergebnisraums: 2 12 = 4096 Hinweis: Falls Missverständnisse nicht zu erwarten sind, wird künftig z.b. anstelle von (W, 5) nur noch kurz W5 geschrieben. 3. In einer Urne befinden sich drei gleichartige Kugeln in den Farben rot (r), grün (g) und blau (b). Gesucht ist der Ergebnisraum und seine Mächtigkeit, falls a) zwei Kugeln hintereinander mit Zurücklegen, b) zwei Kugeln hintereinander ohne Zurücklegen, c) zwei Kugeln gleichzeitig gezogen werden. a) Falls Kugeln hintereinander gezogen werden, wird in der Regel auch deren Reihenfolge berücksichtigt. Damit ist etwa rg (es wird zunächst eine rote und dann eine grüne Kugel gezogen) ein von gr (es wird zunächst eine grüne und dann eine rote Kugel gezogen) zu unterscheidendes Ergebnis. Für den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit ergeben sich damit: V = {rr; rg; rb; gg; gr; gb; bb; br; bg; V = 9 b) Da die Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, kann dieselbe Kugel kein zweites Mal gezogen werden. Für den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit ergeben sich damit: V = {rg; rb; gr; gb; br; bg; V = 6 8

1 Zufallsexperimente und Ereignisse c) Bei gleichzeitigem Ziehen von zwei Kugeln kann jede Kugel nur einmal gezogen werden. Dabei wird die Reihenfolge nicht beachtet, womit z.b. br und rb dasselbe Ergebnis darstellen. Für den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit ergeben sich damit: V = {{r; g; {r; b; {g; b; V = 3 4. Die Mengen E, F und G seien Ereignisse. Gesucht ist eine möglichst kurze Mengenschreibweise für folgende Aussagen: a) Höchstens zwei der drei Ereignisse treten ein. b) Genau zwei der drei Ereignisse treten ein. a) Die Aussage ist erfüllt, falls keins, eins oder zwei von den drei Ereignissen E, F oder G eintreten. Dies umfasst alle Möglichkeiten außer der Situation, in der alle drei Ereignisse eintreten. Eine gleichwertige Aussage wäre demnach: Es treten nicht alle drei Ereignisse gleichzeitig ein. In der Mengenschreibweise: E " F " G = E : F : G. b) Es gibt drei Möglichkeiten für die Erfüllung der Aussage: Es treten nur E und F ein (und nicht gleichzeitig G) oder E und G (F nicht) oder F und G (E nicht). In der Mengenschreibweise: (E " F " G ) : (E " F " G) : ( E " F " G). 5. Vereinfache ( X " Y " Z) : ( X : Y : Z ) soweit wie möglich und formuliere die durch die Mengenschreibweise festgelegte Aussage vor und nach der Vereinfachung in der Umgangssprache. ( X " Y " Z) bedeutet, dass nur Z eintritt. ( X : Y : Z ) bedeutet, dass keines der drei Ereignisse X, Y oder Z eintritt. Insgesamt erhält man damit die Aussage: Nur Z oder keines der drei Ereignisse tritt ein. Vereinfachung: ( X " Y " Z) : ( X : Y : Z ) = ( X " Y " Z) : ( X " Y " Z ) = ( X " Y ) " (Z : Z ) = ( X " Y ) " V = X " Y = X : Y Der Ausdruck X : Y bedeutet: Keines der beiden Ereignisse X oder Y tritt ein. Da zum Ereignis Z keine Aussage getroffen wird, kann Z eintreten oder auch nicht. Damit ist diese Aussage insgesamt gleichwertig mit der eingangs formulierten. 9

A Grundlegende Begriffe Aufgaben 1. Es soll das Geschlecht von neugeborenen Drillingen registriert werden, dabei wird die Reihenfolge während der Geburt festgehalten. Finden Sie einen geeigneten Ergebnisraum und geben Sie seine Mächtigkeit an. 2. In einer Urne befinden sich 1 rote, 2 schwarze und 1 grüne Kugel. a) Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und geben Sie den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an. b) Geben Sie den Ergebnisraum an, wenn alle 3 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. 3. Start L R L L 1 2 3 Ziel 4 5 Eine Kugel rollt in dem dargestellten Wegenetz auf dem kürzesten Weg vom Start in eines der fünf Ziele. An jedem Verzweigungspunkt wird die eingeschlagene Richtung mit L für den linken Weg und mit R für den rechten Weg bezeichnet. Ein möglicher Kugellauf zum Ziel 2 kann mit dem 4-Tupel LRLL beschrieben werden. Geben Sie die Menge der 4-Tupel an, die zu folgenden Ereignissen führen: A i : = Die Kugel rollt in das Ziel i. i [ {1; 2; 3; 4; 5 4. Maria und Thomas gehen auf den Rummelplatz. Bei zwei Würfelbuden W 1 und W 2 sind die Spielregeln unterschiedlich. Es wird jeweils mit zwei idealen Würfeln geworfen. Bei W 1 gewinnt man, wenn die Augensumme größer als 8 ist. Bei W 2 gewinnt man, wenn die Augensumme durch 3 teilbar ist. Man betrachtet folgende Ereignisse: W 1 : = Man gewinnt bei Würfelbude W 1. W 2 : = Man gewinnt bei Würfelbude W 2. Untersuchen Sie, ob eine Würfelbude der anderen vorzuziehen ist, indem Sie jeweils alle Ergebnisse angeben, die zu den Ereignissen W 1 und W 2 gehören. 10

1 Zufallsexperimente und Ereignisse 5. Eine Urne enthalte 1 gelbe (g), 1 weiße (w) und 2 blaue (b) Kugeln. Ein Zufallsexperiment liefert folgenden Ergebnisraum V: V = {g; bg; wg; bbg; bwg; wbg; bbwg; bwbg; wbbg Welches Zufallsexperiment führt zu diesem Ergebnisraum? 6. Geben Sie für das Zufallsexperiment Zweimaliges Werfen einer Münze Ergebnisraum, Mächtigkeit des Ergebnisraums, Anzahl der Ereignisse und den Ereignisraum an. 7. A, B und C seien Ereignisse. Geben Sie eine möglichst kurze Mengenschreibweise für folgende umgangssprachlichen Aussagen: a) Keines der drei Ereignisse tritt ein. b) Nur A tritt ein. c) Nur A und B treten ein. d) Alle drei Ereignisse treten ein. e) Mindestens eines der drei Ereignisse tritt ein. f) Mindestens zwei der drei Ereignisse treten ein. g) Höchstens eines der drei Ereignisse tritt ein. h) Genau zwei der drei Ereignisse treten ein und zwar entweder A und C oder B und C. 8. Interpretieren Sie folgende Ereignisse in der Umgangssprache: a) A < B < C b) A < B < C c) (A > B > C ) < ( A > B > C ) < ( A > B > C) 9. Vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) A < ( A > B ) b) ( A > B) < A c) (A < B ) > (A < B) d) (A > B) < ( A > B) e) A > [(A > B) < (A > B )] f) (A > B > C ) < (A > B > C) 10. In einer Urne befinden sich 4 weiße, 5 schwarze und 3 gelbe Kugeln. Bei einem Zufallsexperiment wird eine Kugel gezogen. Ihre Farbe wird notiert (w, s oder g) und die Kugel wird nicht in die Urne zurückgelegt. Anschließend wird eine zweite Kugel gezogen und deren Farbe notiert. a) Bestimmen Sie für dieses Experiment einen geeigneten Ergebnisraum. Stellen Sie alle möglichen Ergebnisse in einem Baumdiagramm dar. b) Gegeben ist das Ergebnis E = {ww; ss; gg. Formulieren Sie E und E in der Umgangssprache. 11

A Grundlegende Begriffe c) Weiter sind folgende Ereignisse gegeben: A: Die zuerst gezogene Kugel ist schwarz. B: Die als zweite gezogene Kugel ist gelb. Formulieren Sie die Ereignisse A > B und A < B in der Umgangssprache und geben Sie die zugehörigen Ergebnisse an. 11. Ein Würfel trägt auf seinen sechs Flächen die Zahlen 1; 1; 4; 4; 6; 6. Der Würfel wird dreimal hintereinander geworfen. a) Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum V an. b) Folgende Ereignisse sind gegeben: A: = Es wird mindestens eine 1 geworfen. B: = Es wird höchstens eine 1 geworfen. Beschreiben Sie folgende Verknüpfungen von Ereignissen mit Worten und geben Sie die dazugehörigen Einzelergebnisse an: A > B; A > B ; A > B. 12

2 Relative Häufigkeit und abstrakter Wahr schein lichkeitsbegriff Für einen beliebig oft wiederholbaren Zufallsversuch wird das Eintreten des Ereignisses A betrachtet: Tritt ein Ereignis A bei n Versuchen k - mal ein, dann heißt h n (A) : = n k relative Häufigkeit von A. Eigenschaften der relativen Häufigkeit: a) 0 ª h n (A) ª 1 b) h n (\) = 0 c) h n (V) = 1 d) h n (A) + h n ( A) = 1 e) h n (A : B) = h n (A) + h n (B) h n (A " B), wobei h n (A " B) = 0, falls A und B unver ein bar; A und B sind unvereinbar A " B = \ Die Erfahrungen haben gezeigt, dass sich bei zunehmender Anzahl von Versuchen die relative Häufigkeit um einen festen Wert stabilisiert. Diese Erfahrungstatsache nennt man Das empirische Gesetz der großen Zahlen. Der Wert der Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A lässt sich allerdings nicht über P(A) := lim hn(a) definieren, da es sich nicht um einen mathematischen Grenzwertprozess n ` handelt. Aus den Erfahrungen über die relative Häufigkeit hat der russische Mathematiker Kolmogorow ein mathematisches Modell für den abstrakten Wahrscheinlichkeitsbegriff konstruiert. Es wird vorausgesetzt, dass für jedes Ereignis A die Wahrscheinlichkeit P(A) existiert. Dazu werden grundlegend erscheinende Eigenschaften und Beziehungen der Wahrscheinlichkeit als gültig postuliert, die so genannten Axiome der Wahr scheinlichkeitsrechnung: Axiom I: P(A) º 0 Axiom II: P(V) = 1 Axiom III: P(A : B) = P(A) + P(B), falls A und B unvereinbar sind. Folgerungen (Sie ergeben sich analog zu den Eigenschaften der relativen Häufigkeit.) a) P(\) = 0 b) P(A) + P( A) = 1 c) P(A : B) = P(A) + P(B) P(A " B) ( Formel von Sylvester ). 13

A Grundlegende Begriffe Beispiele 1. Auf einer Maschine werden Bolzen gefertigt, deren Länge und Dicke innerhalb bestimmter Toleranzgrenzen liegen darf. Von 400 Bolzen sind 380 in Bezug auf ihre Länge innerhalb der Toleranzgrenzen, bezüglich der Dicke erfüllen 36 nicht die gesetzte Norm. 352 Bolzen erfüllen sowohl bei der Länge als auch bei der Dicke die Normen. Wie groß ist die relative Häufigkeit für Bolzen, die a) bzgl. der Dicke ihre Norm erfüllen, b) mindestens eine der beiden Normen erfüllen, c) weder bzgl. Länge noch bzgl. Dicke die Norm erfüllen, d) bzgl. der Länge die Norm erfüllen, nicht aber bzgl. der Dicke? Folgende Ereignisse werden verwendet: L: Ein Bolzen erfüllt die Längenkriterien. D: Ein Bolzen erfüllt die Kriterien bzgl. der Dicke. a) h 400 (D) = 1 h 400 ( D ) = 1 36 400 = 400 364 = 91%. b) h 400 (D : L) = h 400 (D) + h 400 (L) h 400 (L " D) = 364 400 + 400 380 400 352 = 400 392 = 98%. c) h 400 ( D " L ) = h 400 ( D : L ) = 1 h 400 (D : L) = 1 392 400 = 8 = 2%. 400 d) h 400 (L " D ) = h 400 ( D ) h n ( D " L ) = 36 400 8 = 28 = 7%. 400 400 Alle Teilaufgaben können auch mit einer sogenannten Vierfeldertafel gelöst bzw. verifiziert werden: L L D D L > D 352 400 = 88% L > D 7% L > D LL > D 3% 2% 380 = 95% 400 5% 91% 36 = 9% 100% 400 Die farbig gedruckten Werte erhält man folgendermaßen aus den gegebenen Werten: Die Werte von zwei nebeneinander bzw. untereinander liegenden Feldern ergeben jeweils addiert den außen stehenden Wert. Die Werte aller vier Felder zusammen oder auch die zwei Werte an je einer Außenseite ergeben jeweils 100%. 14

2 Relative Häufigkeit und abstrakter Wahrscheinlichkeitsbegriff 2. Für zwei Ereignisse A und B ist gegeben: P(B) = 0,7; P( A ) = 0,65; P(A " B ) = 0,2. Mithilfe einer Vierfeldertafel sollen die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(A " B), P( A " B), P( A " B ), P( B), P(A : B) und P(A : B ) berechnet werden. Die letzten beiden Wahrscheinlichkeiten sind zusätzlich durch die Formel von Sylvester zu bestätigen. A A B P(A > B) P( A > B) P(B) = 0,7 B P(A " B ) = P( A > B ) P( B ) 0,2 P(A) P( A ) = 0,65 Die gegebenen Wahrscheinlichkeiten sind in der Vierfeldertafel fett eingetragen. Daraus ergeben sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten: P(A) = 1 P( A ) = 1 0,65 = 0,35 P(A " B) = P(A) P(A " B ) = 0,35 0,2 = 0,15 P( A " B) = P(B) P(A " B) = 0,7 0,15 = 0,55 P( A " B ) = P( A ) P( A " B) = 0,65 0,55 = 0,1 P( B ) = 1 P(B) = 1 0,7 = 0,3 P(A : B) = P(A) + P( A " B) = 0,35 + 0,55 = 0,9 Bestätigung durch Sylvester-Formel: P(A : B) = P(A) + P(B) P(A " B) = 0,35 + 0,7 0,15 = 0,9 P(A : B ) = P(A) + P( A " B ) = 0,35 + 0,1 = 0,45 Bestätigung durch Sylvester-Formel: P(A : B ) = P(A) + P( B ) P(A " B ) = 0,35 + 0,3 0,2 = 0,45 15

A Grundlegende Begriffe Aufgaben 12. Von 100 Touristen sprechen 85 Englisch, 23 Italienisch und 93 mindestens eine der beiden Sprachen. Wie groß ist die relative Häufigkeit der Touristen, die a) beide Sprachen sprechen, b) keine der beiden Sprachen sprechen, c) Englisch, aber nicht italienisch sprechen? 13. Bei einem Spielautomaten tritt eine sogenannte Glückszahl mit der Wahrscheinlichkeit 12% auf. An einem Abend wird der Spielautomat 1998-mal betätigt. Welche Werte darf die Anzahl der Glückszahlen nur annehmen, wenn ihre relative Häufigkeit um weniger als 0,02 von der Eintrittswahrscheinlichkeit abweichen soll? 14. In einem Klub mit 200 Mitgliedern (davon 128 Männer) sind 24 Frauen, die Sport treiben. Insgesamt treiben 80 Personen keinen Sport. Die Ereignisse werden folgendermaßen definiert: M: = Die betreffende Person ist ein Mann F: = Die betreffende Person ist eine Frau S: = Die betreffende Person treibt Sport Formulieren Sie die folgenden Ereignisse in der Umgangssprache und berechnen Sie ihre relative Häufigkeit (zunächst allgemein). a) M > S b) M < S c) S < F 15. Gegeben seien die Ereignisse A und B sowie die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B) und P(A > B). Betrachtet werden folgende Ereignisse: A > B A < B (A < B ) > ( A < B) A < B A > B (A > B) < ( A > B ) a) Veranschaulichen Sie die Ereignisse in Vierfelderdiagrammen! b) Drücken Sie ihre Wahrscheinlichkeiten durch die gegebenen aus! 16

3 Laplace scher Wahrscheinlichkeitsbegriff Im Gegensatz zu dem abstrakten Wahrscheinlichkeitsbegriff von Kolmogorow liefert die Laplace-Wahrscheinlichkeit konkrete Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse. Es gilt die Laplace Annahme : Alle Elementarereignisse (Ereignisse, die aus nur einem Ergebnis bestehen) haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Sei A ein Ereignis des Ergebnisraums V und A die Mächtigkeit von A, dann gilt: Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt P(A) = lal = lvll Anzahl aller möglichen, gleichwahrscheinlichen Elementarereignisse Beispiele 1. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A: Beim einmaligen Würfelwurf erscheint die Zahl 6 : A = {6; V = {1; 2; 3; 4; 5; 6 P(A) = lal lvl = 1 6 2. Bei einem regulären Ikosaeder sind die 20 kongruenten Dreiecksflächen mit den Zahlen von 1 bis 20 versehen. Jede dieser Zahlen wird also mit derselben Wahrscheinlichkeit geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: A: Beim einmaligen Wurf mit dem Ikosaeder erscheint eine durch 3 teilbare Zahl B: Beim einmaligen Wurf mit dem Ikosaeder erscheint eine Primzahl V = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 lvl = 20 A = {3; 6; 9; 12; 15; 18 P(A) = lal lvl = 6 20 = 3 = 0,3 = 30% 10 B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 P(B) = lbl lvl = 8 20 = 2 = 0,4 = 40% 5 17

A Grundlegende Begriffe Aufgaben 16. Aus der Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 50 wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Zahl a) durch 4 teilbar ist, b) durch 6 teilbar ist, c) durch 9 teilbar ist, d) durch 4 und 6 teilbar ist, e) durch 6 oder 9 teilbar ist? 17. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Geben Sie V an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Der erste Wurf hat mindestens die Augenzahl 5, die Augenzahl des zweiten Wurfes ist gerade. B: Genau ein Wurf hat die Augenzahl 6. C: Die Augensumme ist durch 4 teilbar. D: Es werden zwei gleiche Augenzahlen geworfen. 18. Ein Tetraeder trägt auf seinen Begrenzungsflächen die Zahlen 1, 2, 3 und 4. Es gilt die Zahl als geworfen, die auf der unten liegenden Fläche steht. Es wird angenommen, dass jede Zahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit geworfen wird. Man wirft zweimal nacheinander; dabei sind folgende Ereignisse definiert: A: Das Ergebnis des 1. Wurfs ist kleiner als 3 und der 2. Wurf liefert eine ungerade Zahl. B: Die Summe der beiden Würfe ist gerade. Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten. 18

Stichwortverzeichnis A Ablehnungsbereich 77 abstrakter Wahrscheinlichkeitsbegriff 13 Alternativhypothese 77 Alternativtest 77 Annahmebereich 77 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung 13 B Bayes-Formel 40 bedingte Wahrscheinlichkeit 39 Bernoulli-Experiment 60 Bernoulli-Kette 60 Binomialverteilung 61 E Ereignis 6 Ereignisraum 6 Ergebnismenge 6 Ergebnisraum 6 Ergebnisse 6 Erwartungswert 55 G Gaußsche Funktion 69 Gaußsche Integralfunktion 70 Gaußsches Integral 70 geordnete Stichprobe 27 H Hypothesen 77 I integrale Näherungsformel von Moivre-Laplace 69 Irrtumswahrscheinlichkeit 77 L Laplace-Wahrscheinlichkeit 17 lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace 69 M Mengenalgebra 7 N normal verteilt 71 Nullhypothese 77, 80 P Pfadregeln 19 Produktregel 19, 40 Produktsatz 39 R relative Häufigkeit 13 Risiko 1. Art 77 Risiko 2. Art 77 S Sicherheitswahrscheinlichkeit 77 Signifikanzniveau 80 Signifikanztest 77 Standardabweichung 55 Statistik beschreibende 50 beurteilende 77 Stichprobe 27 stochastisch abhängig 40 stochastisch unabhängig 40 Streuung 55 Summenregel 19 T Testen von Hypothesen 77 Testverfahren 77 U Unabhängigkeit 39 ungeordnete Stichprobe 27 V Varianz 55 Verteilungsfunktion 50 W Wahrscheinlichkeitsfunktion 50 Wahrscheinlichkeitsverteilung 50 Z Zählprinzip 27 Zufallsexperiment 6 Zufallsgröße 50, 55 Zufallsvariable 50 155