Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen

Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper Die Platonischen und Archimedischen Körper aus dem Tetraeder entwickelt Ausgehend vom Tetraeder ist es möglich mit sieben beweglichen Torsions-Doppelpolyeder- Modellen alle Platonischen und Archimedischen Körper zu durchlaufen, indem jedes folgende Torsionpolyeder die erweiterte Form des vorangehenden übernimmt. Durch diese verzweigte Folge entwickelt sich ein Stammbaum, in dem jeder der 5 Platonischen und die 15 (13) Archimedischen Körper ihren begründeten Platz einnehmen. Inhalt Die einfachen Torsionspolyeder 2 Richard Buckminster Fullers Vectorequilibrium 2 Der Tanz des Jitterbug 3 Eine zweite goldene Stellung 5 Die drei einfachen Torsionspolyeder 6 Anhang: Dualiität, Hülle und Kern 10 Die doppelten Torsionspolyeder 11 Das doppelte Torsionsoktaeder 11 Die Bedingungen für doppelte Torsionspolyeder 13 Die sieben doppelten Torsionspolyeder 13 Die abgestumpften Körper 14 Archimedische Körper mit drei verschiedenen Flächen 15 Zusammenfassung 16 Durchgang durch alle sieben Torsionspolyeder 17 Die Platonischen und Archimedischen Körper aus dem Tetraeder entwickelt, 21 Übersicht Die Entwicklung, kubischer Ast, goldener Ast 21 22 Anhang (Tafel) 23 Der Stammbaum, vereinfachte Darstellung (Tafel) 24 Die Familie der Plotonischen und Archimedischen Körper 24 Das doppelte Torsionskuboktaeder mit verschiebbaren Flächen 25 Die Stabilität der Torsionspolyeder 27 Die Leidenschaft für die Platonischen Körper, Schlusswort 29 Ueli Wittorf 1

geometric design Die einfachen Torsionspolyeder Richard Buckminster Fullers Vectorequilibrium Richard Buckminster Fuller hat mit der Entdeckung der Beweglichkeit des Kuboktaeders, die Geometrie der Polyeder aus ihrer materiellen Erstarrung erlöst. Das Kuboktaeder liess sich durch Drehschwung, er nannte es den Tanz des Jitterbug, über das Ikosaeder zum Oktaeder schliessen, und wieder zum Kuboktaeders öffnen. Ein aus Holzstäben gebildetes räumliches Netz aus acht Dreiecken, die mit Gummischläuchen gelenkig miteinander verbunden waren, nannte er Vectorequilibrium. Abb. 1: Das Vectorequilibrium in kuboktaedrischer und ikosaedrischer Stellung und als Oktaeder. Auch in die Ebene hat Fuller diese Struktur gelegt. Durch Verdrehen zweier sich gegenüber liegender Dreiecke legen sich alle Dreiecke in zwei Lagen genau in ein Hyperdreieck übereinander, und dieses kann schliesslich zu einem Tetraeder aufgefaltet werden. Abb. 2: Durch Verdrehen legt sich das Vectorequilibrium in die Ebene und kann zum Tetraeder aufgefaltet werden. 2 Ueli Wittorf

Der Tanz des Jitterbug Während Fuller diese Prozesse an seiner Skelettstruktur beobachtete, sollen hier die Grundkörper aus Sperrholz-Dreiecken bestehen, deren Flächen geschlossen sind. Beim Zusammendrücken ohne Verdrehung zweier sich gegenüberliegenden Dreiecksflächen (Dreiecke mit Loch) beginnt sich der Gürtelbereich zu drehen und, bei wiederholtem Auseinanderziehen und wieder Drücken, hin und her zu schwingen. Im Zustand des Oktaeders kommt die Bewegung zur Ruhe, um in entgegengesetzter Richtung wieder Schwung aufzunehmen. Abb. 3: Tanz des Jitterbug Diesen Tanz nannte Buckminster Fuller den Jitterbug, einen Tanz, der in den 40ger Jahren des vergangenen Jahrhunderts in den USA in Mode kam. Dabei werden zwei besondere Zustände durchlaufen. Zunächst die Stellung des Ikosaeders (links und rechts oben, neben der Ausgansstellung des Kuboktaeders), wobei diese scheinbar in linkshändiger und rechtshändiger Verdrehung durchlaufen wird. Fasst man zwei andere sich gegenüberliegende Dreiecke ins Auge, so kann die Verdrehungs-Stellung in anderer Richtung erscheinen. Es existieren somit keine zwei verschiedenen Ikosaeder. Ueli Wittorf 3

geometric design In künstlerischer Darstellung im Kreise beginnt der Tanz in der Mitte oben mit dem Kuboktaeder. In beiden Richtungen beginnen sich die sechs offenen Quadrate in zwei verbundene Dreiecke aufzuteilen. Sind diese gleichseitig, so herrscht der Zustand des Ikosaeders. 8 der 20 Dreiecke des Ikosaeders sind geschlossen und 12 Dreiecke sind offen. Das Zusammenschliessen setzt sich fort, bis die Bewegung im geschlossenen Oktaeder zur Ruhe kommt. Virtuell könnte sich die Bewegung fortsetzten, praktisch aber, was hier das Anliegen zu zeigen ist, aber nicht. Die Bewegung muss in entgegengesetzter Richtung neu beginnen und kommt von neuem zur Ruhe, wenn alle Stadien über das Kuboktaeder hinweg bis wieder zum Oktaeder durchlaufen sind. Abb. 4: Torsionskreis des Oktaeder-Kuboktaeder-Oktaedersystems. 4 Ueli Wittorf

Eine zweite goldene Stellung Jede Ecke eines Ikosaeders kann als Spitze einer regelmässigen, fünfseitigen Pyramide aufgefasst werden, deren Grundfläche ein regelmässiges Fünfeck wäre. Da dieses Fünfeck mit seinen Diagonalen die Proportion des Goldenen Schnittes, 1:Φ repräsentiert ist das Ikosaeder ein Körper des Goldenen Schnittes, während Oktaeder und Kuboktaeder auf dem Massverhältnis 1: 2 aufbauen. Die Proportion des Goldenen Schnittes erscheint aber auch im Moment, wenn die zwölf offenen, gleichschenkligen Dreiecke die Winkelöffnung eines Pentagramms haben. Über jedem der 12 offenen, gleichschenkligen Dreiecken aufgesetzte Pentagramme (eines davon rot eingezeichnet) würden ein Pentagondodekaeder (schwarz) aufspannen und über den acht gleichseitigen Dreiecken die fehlenden Körperecken bilden, welche ihrerseits einen Würfel (blau) aufspannen. Abb. 5: Die zweite goldene Stellung des Jitterbugs bildet die Grundstruktur des Pentagondodekaeders, rot (l). Die über den gleichseitigen Dreiecken liegenden Ecken spannen einen Würfel auf, blau (m). Das Kuboktaeder repräsentiert die Massverhältnisse des Würfels und des Oktaeders, rot und grün (r). Das Kuboktaeder ist der Kern der Durchdringung des Dualpaares Oktaeder und Würfel, es lässt sich somit zu beiden Körpern ergänzen, das Oktaeder grün, der Würfel rot. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Strukturen von Oktaeder, Hexaeder (Würfel), Ikosaeder und Pentagondodekaeder in der Schwingbewegung des Jittebug-Tanzes in ganz bestimmten Stellungen durchlaufen werden. Das Tetraeder als fünfter Platonischer Körper ergibt sich erst nach Verdrehung und Faltung, wie ganz oben gezeigt wurde. Angeregt durch die Beweglichkeit von Buckminster Fullers Vectorequilibrium stellt sich die Frage, ob nicht noch andere geometrische Körper aus der Reihe der Platonischen und Archimedischen Körper existieren, in denen eine Beweglichkeit schlummert, und welche als Modell bewegt werden können. Ueli Wittorf 5

geometric design Die drei einfachen Torsionspolyeder Beim Experimentieren ergab sich im Jahre 1999, dass zur Beweglichkeit eines Modells zwei Bedingungen bei einem regelmässigen (Platonischen) oder halbregelmässigen (Archimedischen) Körper zusammenkommen müssen: In allen Körperecken müssen sich vier Flächen treffen. Die übers Kreuz gegenüber liegenden Flächen müssen kongruent sein. Diese Bedingungen sind nur in drei Fällen erfüllt: 1. Wenn übers Kreuz sich zweimal zwei Dreiecke gegenüber liegen, was beim Oktaeder der Fall ist. 2. Wenn sich übers Kreuz zwei Dreiecke und zwei Quadrate gegenüber liegen, was beim Kuboktaeder der Fall ist. 3. Wenn sich übers Kreuz zwei Dreiecke und zwei Fünfecke gegenüberligen, was beim Ikosidodkaeder der Fall ist. Abb. 6: Oktaeder Ikosaeder Kuboktaeder. Abb. 7: Kuboktaeder abgeschrägter Würfel - Rhombenkuboktaeder Abb. 8: Ikosidodekaeder abgeschrägtes Dodekaeder - Rhombenikosidodekaeder Andere Flächenkombinationen würden mit den vorgegebenen Bedingungen den vollen Winkel von 360 füllen oder übersteigen und keine konvexe räumliche Ecke bilden können. 6 Ueli Wittorf

Die drei Mittelkörper entstehen beim Oktaeder-Kuboktaeder-System (Abb. 6) durch Verdrehung des Gürtelbereiches, während sich gegenüberliegende Flächen gegenseitig nicht verdrehen. Wir durchlaufen das Ikosaeder. Im Kuboktaeder-Rhombenkuboktaeder-System (Abb. 7) werden gegenüberliegende Flächen (Dreiecke und Quadrate) gegenseitig verdreht, und es werden die beiden abgeschrägten Würfel (cubus simus), als Archimedische Körper linkshändig und rechtshändig drehend durchlaufen. Und auch im Ikosidodekaeder-Rhombenikosidodekaeder System (Abb. 8) werden gegenüberliegende Flächen (Dreiecke und Fünfecke) gegenseitig verdreht, und es werden die beiden abgeschrägten Dodekaeder (dodecaedron simum) als Archimedische Körper linkshändig und rechtshändig drehend durchlaufen. Während die Ikosaederstelluingen durch Veränderung ihrer Lage im Raum zur Deckung gebracht werden können, ist das für die beiden cubus simus und die beiden dodecaedron simum nicht möglich, es sind zwei verschiedenen Körper. Die drei angeführten Körper sind im Zusammenhang der Archimedischen und Platonischen Körper die einzigen, die durch Torsion fliessend von einer Form in die andere verändert werden können. Wir nennen sie, da sie durch Verdrehung ihre Form verändern einfache Torsionspolyeder. Ueli Wittorf 7

geometric design In künstlerischer Darstellung seien auch das Kuboktaeder-Rhombenkuboktaeder-Systems und das Ikosidodekaeder-Rhombenikosidodekaeder-Systems in einem Torsionskreis als Verwandlungskreise angefügt. Abb. 9: Torsionskreis des Kuboktaeder - cubus simus - Rhombenkuboktaeder-Systems 8 Ueli Wittorf

Abb. 10: Torsionskreis des Ikosidodekaeder dodecaedron simuns Rhombendodokaeder- Systems In den Verwandlungskreisen der drei einfachen Torsionspolyeder haben wir angetroffen: zwei Platonische Körper: vier Archimedische Körper: Durch Verdrehung werden zwei weitere Archimedische Körper generiert: Oktaeder und Ikosaeder Kuboktaeder Ikosidodekaeder Rhombenkuboktaeder Rhombenikosidodekaeder abgesschrägter Würfel und abgeschrägtes Dodekaeder Letztere können auch als zwei verschiedene gezählt werden, da verschieden verdrehte nicht zur Deckung gebracht werden können. Ueli Wittorf 9

geometric design Anhang Dualität, Hülle und Kern Oktaeder, Kuboktaeder und Ikosidodekaeder sind die drei Körper, die bei der Durchdringung der dualen Platonischen Körper (Tetraeder-Tetraeder, Oktaeder-Hexaeder und Ikosaeder- Pentagondodekaeder) als Kerne eingeschlossen werden, somit eine besondere Stellung im Zusammenhang der Platonischen und Archimedischen Körper einnehmen. Die sich in ausgeglichener Grösse durchdringenden Dualpaare spannen anderseits mit ihren Ecken ihre entsprechenden Rhombenkörper auf. Es sind das Hexaeder (Würfel als Spezialfall), Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder (Rhomben30flächner). Dualpaare der Platonischen Körper Tetraeder- Tetraeder Oktaeder- Hexaeder Rhombendodekaeder Ikosaeder- Dodekaeder Geschlossene Torsionskörper Kerne Drallkörper, rechts- und linkshändig Offene Torsionskörper Durch Ecken aufgespannte Hüllkörper Oktaeder Ikosaeder Kuboktaeder Hexaeder Ikosidodekaeder Dodecaedron simum Kuboktaeder Cubus simus Rhombenkuboktaeder Rhombenikosidodekaeder Rhombentriakontaeder In der unteren Reihe durchdringen sich die dualen Platonischen Körper. Ihre gemeinsamen Kerne sind eingerfärbt, die gemeinsam aufgespannten Hüllen in der oberen Reihe dargestellt. Abb. 11: Hüll- und Kernkörper der Platonischen Dualpaare 10 Ueli Wittorf

Die doppelten Torsionspolyeder Das doppelte Torsionsoktaeder Ist ein einfaches Torsionspolyeder geschlossen, so ist es durch seine Mechanik festgelegt, in welche Richtung es geöffnet werden kann, nämlich in jene Richtung aus der es geschlossen wurde. Der Atmungsprozess ist zur Ruhe gekommen und muss in umgekehrter Richtung neu beginnen. Denken wir uns nun zwei gleich grosse Torsionsoktaeder ineinander gebaut, das eine rechtsdrehend, das andere linksdrehend, und lassen wir sie sich gleichzeitig öffnen. Der Torsionskreisprozess wird vom Oktaeder ausgehend auf beiden Seiten gleichzeitig begonnen und durchlaufen, bis sich die Flächen der beiden Torsionspolyeder wieder decken. Man verfolge von unten nach oben die Drehbewegungen des nach vorne gerichteten, äusseren Dreiecks und ebenso des inneren Dreiecks. Wir haben auf diese Weise das doppelte Torsionsoktaeder, oder Torsions-Doppeloktaeder eingeführt. Technisch wird man die aufeinander liegenden Dreiecke in ihren Schwerpunkten gegenseitig drehbar mit einer diskreten Achse verbinden und jede aussenliegende Flächenecke mit einer benachbarten innen liegenden Flächenecke gelenkig verbinden, so dass die beiden Körper ineinander verflochten sind und nicht auseinander fallen könne. Der Bewegungsablauf des Öffnens und Schliessens ist bei den Torsions-Doppelpolyedern kurzatmiger, da sowohl bei grösster (Kuboktaeder), wie bei kleinster Ausdehnung (Oktaeder) der Prozess aus mechanischen Gründen umkehren muss. Abb. 12: Das doppelte Torsionsoktaeder, von unten nach oben sich öffnend. Die beiden Oktaeder öffnen sich durch gegenläufige Drehung. In allen Stadien durchringen sich zwei kongruente Körper, d. h. Zwillinge. Sie umschliessen jeweils einen gemeinsamen Kern und spannen einen gemeinsamen Hüllkörper auf. Im Stadium, in dem regelässige Sechssterne erscheinen, spannen die Ecken einen Oktaederstumpf auf. Ueli Wittorf 11

geometric design Abgestumpftes Oktaeder Die aufeinander liegenden Dreiecke werden beim Öffnen in entgegengesetzten Richtungen gedreht, so dass sie zusammengeschaut, sternförmige Flächen bilden, welche Vielecke mit der doppelter Eckenzahl aufspannen. An den Körperecken des Oktaeders öffnen sich wachsende Quadrate, und wenn die Sterne eine regelmässige Form angenommen haben, sind alle Kanten des aufgespannten Körpers gleich lang. Aus den acht Dreiecken sind Sechsecke geworden, und aus den Oktaederecken sind sechs offene Quadrate entstanden. Der so aufgespannte Körper ist in diesem Moment ein abgestumpftes Oktaeder, ein Archimedischer Körper. Abb. 13: Oktaederstumpf, aufgespannt durch die Sechssternecken. Zwillinge Öffnen wir das Torsions-Doppelpolyeder noch etwas mehr, und betrachten wir das bewegliche Modell als zwei unabhängig ineinander liegende Körper, so erkennen wir in einem bestimmten Moment zwei Ikosaeder, die sich gegenseitig durchdringen, einen Ikosaeder-Zwilling. Eigentlich kann man jede Stellung als zwei ineinander liegende, Körper betrachten, welche um 90 verdreht sich gegenseitig durchdringen. Die Diagonalen der mehr oder weniger offenen Quadrate gehören jeweils zwei verschiedenen Körpern an. Als Papiermodell durchdringen sich ein weisses und ein violettes Ikosaeder; farblostransparent sind die gemeinsamen Flächen ausgeführt. Abb. 14: Ikosaeder rechts- und linksdrehend und als Durchdringungskörper violett und weiss dargestellt. In grösster Ausdehnung liegen die Dreiecksflächen wieder deckend übereinander, so dass das Modell aus dieser Stellung des Kuboktaeders wie ein einfaches Torsionspolyeder bewegt werden könnte. 12 Ueli Wittorf

Die Bedingungen für doppelte Torsionspolyeder Welche Bedingungen müssen nun für das Funktionieren eines Torsions-Doppelpolyeder- Modells zutreffen, das ganz geöffnet und geschlossen werden kann? Es genügen offenbar die Bedingungen zu den einfachen Torsionspolyedern, was am Kuboktaeder-Okteder- System bereits gezeigt wurde: In allen Ecken müssen sich vier Flächen treffen. Die übers Kreuz gegenüber liegenden Flächen müssen kongruent sein (es sind dies gleichseitige Dreiecke, Quadrate oder regelmässige Fünfecke. Empirisch zeigt sich aber, dass neben dem Oktaeder auch alle anderen Platonischen Körper, also auch Tetraeder, Würfel, Ikosaeder und Pentagondodekaeder als Doppelkörper beweglich sind. In jeder Ecke treffen sich gleich viele, regelmässige und kongruente Vielecke. Damit ergibt sich, dass sieben verschiedene Polyeder als Torsions-Doppelpolyeder bewegt werden können: die fünf Platonischen Körper, sowie das Kuboktaeder und das Ikosidodekaeder. Die sieben doppelten Torsionspolyeder Abb. 15: Rechts übereinander, von unten nach oben: die drei einfachen Torsionspolyeder in ausgedehnter Stellung: Kuboktaeder (B. Fullers Vectorequilibrium); Rhombenkuboktaeder und Rhombenikosidodekaeder. Links die doppelten Torsionspolyeder: Tetraeder (rot); Oktaeder (gelb); Hexaeder (grün); Kuboktaeder (grün-gelb); Ikosaeder (blau); Pentagondodekaeder (golden) und Ikosidodekaeder (blau-gold). Ueli Wittorf 13

geometric design In Anlehnung an Platons Lehre der Naturelemente wurden für die regelmässigen Polyeder die Farben Rot (Feuer), Gelb (Luft), Blau (Wasser) und Grün (Erde), und für das All Gold gewählt. Es stellt sich das Problem, ob die beweglichen Polyeder ihre Namen nach ihrer kleinsten oder grössten Ausdehnung erhalten sollen. Fuller benannte sein Vectorequilibrium nach der grössten Ausdehnung seines Stab(trag)werkes, dem Kuboktaeder. Bei den doppelten Torsionspolyedern bietet sich eher die geschlossene Stellung an, wie sie oben verwendet wurde. Die abgestumpften Körper von Oktaeder, Kuboktaeder und Ikosidodekaeder Die Generierung des abgestumpften Oktaeders kennen wir bereits. Es sei hier noch neben das abgestumpfte Kuboktaeder und das abgestumpfte Ikosidodekaeder gestellt, die aus den zwei anderen, verdoppelten Torsionspolyeder entstehen. Kuboktaeder Rhombenkuboktaeder Rhombenikosidodekaeder Oktaederstumpf Kuboktaederstumpf Ikosidodekaederstumpf Oktaeder Kuboktaeder Ikosidodekaeder Abb. 16: Die drei einfachen Torsionspolyeder als doppelte Polyeder in geschlossener, halb geöffneter und ausgedehnter Stellung. Die Rechteckigen Öffnungen sind beim Stumpf des Kuboktaeders und des Ikosaeders keine! Quadrate. Es ist anzumerken, dass die sich an den Ecken öffnenden Vierecke nur beim Oktaeder Quadrate sind. Im Fall des Kuboktaeders haben sie im ersten Moment der Öffnung die 14 Ueli Wittorf

Proportion von 1: 2, um erst in grösster Ausdehnung des Rhombenkuboktaeder zu Quadraten zu werden. Analog öffnen sich die Vierecke als Rechtecke am Ikosidodekaeder mit der Proportion 1: Φ (Goldener Schnitt) und werden erst in grösster Ausdehnung des Rhombenikosidodekaeders zu Quadraten. Der archimedische Zustand wird also nicht exakt durchlaufen. Archimedische Körper mit drei verschiedenen Flächen Die Oberflächen der abgestumpften Formen von Kuboktaeder und Ikosidodekaeder, wie auch von Rhombenkuboktaeder und Rhombenikosidodekaeder bestehen aus drei verschiedenen Flächen. Kuboktaederstumpf und Ikosidodekaederstmpf können nicht mit den Torsionskörpern erreicht weren. Alle vier sind auch nicht durch Eckenabschneiden zu bilden. An ihrer Form sind jeweils drei Hüllkörper beteiligt. Abb. 17: Kuboktaederstumpf (oben) und Rhombenkuboktaeder (unten). Ihre Hüllkörper sind Oktaeder (gelb), Würfel (grün) und Rhombendodekaeder (violett) Ueli Wittorf 15

geometric design Abb. 18: Ikosidodekaederstumpf (oben) und Rhombenikosidodekaeder (unten) Ihre Hüllkörper sind Ikosaeder (blau), Pentagondodekaeder (gelb) und Rhomben30flächner (lila). Zusammenfassung Das Gemeinsame an diesen drei besprochenen doppelten Torsionspolyeder die auch als einfach funktionieren ist, dass in allen ihrer Ecken sich vier Flächen treffen: vier Dreiecke beim Oktaeder, zwei Dreiecke und zwei Quadrate übers Kreuz beim Kuboktaeder, und zwei Dreiecke und zwei Fünfecke übers Kreuz beim Ikosidodekaeder. Bei den noch unbesprochenen vier Körpern treffen sich entweder drei (Tetraeder, Hexaeder und Pentagondodekaeder) oder fünf (Ikosaeder) Flächen in einer Ecke, also eine ungerade Anzahl, deshalb können diese nicht als einfache Bewegliche funktionieren. 16 Ueli Wittorf

Durchgang durch alle sieben doppelten Torsionspolyeder Vom Oktaeder zum Tetraeder Wenn am Oktaeder (gelb) vier der acht Seiten geöffnen werden (rot, links), wird es in zusammenziehender Richtung seines Volumens beweglich und kann geschlossen werden. Über den Tetraederstumpf gelangen wir zum Tetraeder. Abb. 19: Oktaeder, Tetraederstumpf und Tetraeder Vom Oktaeder zum Kuboktaeder und vom Kuboktaeder zum Würfel Wir gehen vom gefüllten Oktaeders aus und öffnen zum doppelte Torsionskuboktaeder. In halber Öffnung spannt es mit seinen Ecken den Oktaederstumpf auf, und wird zum Kuboktaeder mit sechs offenen Quadraten (gelb). Füllen wir die Quadrate des Kuboktaeders und öffnen die Dreiecke, so lässt sich der Körper durch Verdrehen, über den Würfelstumpf zum Würfel schliessen (grün). Abb. 20: Aufsteigend: Oktaeder, Oktaederstumpf und Kuboktaeder mit offenen Quadraten (gelb). Absteigend: Kuboktaeder mit offenen Dreiecken, Würfelstumpf und Würfel (grün). Ueli Wittorf 17

geometric design Vom Kuboktaeder zum Rhombenkuboktaeder Von unten nach oben: Werden am Kuboktaeder alle Flächen gefüllt, so kann er über den Kuboktaederstumpf zum Rhombenkuboktaeder erweitert und geöffnet werden. Die gelben Dreiecke stammen vom Oktaeder, die grünen Quadrate vom Würfel. Eine weitere Erweiterung nach Schliessung der offenen Quadrate ist nicht mehr möglich, da an den Ecken sich Dreiecke und Quadrate gegenüber stehen. Abb. 21: Von untern nach oben: Kuboktaeder, Kuboktaederstumpf und Rhombenkuboktaeder. Der Kuboktaederstumpf ist allerdings nicht archimedisch, da die rechtwinkligen Öffnungen keine Quadrate sind. Es zeigt sich, dass die geometrischen Körper fliessend auseinander entwickelt werden können. Um eine Fortsetzung anzuknüpfen, können wir auf die Mittelstellung des einfachen Torsionsoktaeders zurückgreifen, in der das Ikosaeder (gelb) erscheint (siehe auch Abb. 3 und 4). Die zwölf offenen Dreiecke werden mit doppelten Dreiecken aufgefüllt (blau). Abb. 22: Ikosaederstellung im Oktaeder-Kuboktaeder-System (gelb) und doppeltes Ikosaeder (blau). 18 Ueli Wittorf

Vom Ikosaeder zum Ikosidodekaeder und vom Ikosidodekaeder zum Pentagondodekaeder Das Ikosaeder öffnet sich zum Ikosaederstumpf, dem Fussball und wird zum Ikosidodekaeder, mit offenen Fünfecken. In diesem Zustand würde das Modell seine Stabilität ganz verlieren, deshalb ist es im Bild nicht ganz vollständig geöffnet (blau). Werden die Fünfecköffnungen aufgefüllt und die Dreiecke geöffnet, so kann sich der Körper über den Zustand des Dodekaederstumpfes zum Pentagondodekaeder zusammenziehen (golden). Abb. 23: Aufsteigend links: Ikosaeder Ikosaederstumpf (die Sechssternecken spannen den Fussball auf, schwarz liniert) Ikosidodekaeder mit offenen Fünfecken, nicht ganz geöffnet (blau). Absteigend rechts: Ikosidodekaeder mit offenen Dreiecken Dodekaederstumpf (rot liniert) Pentagondodekaeder (golden). Ueli Wittorf 19

geometric design Vom Ikosidodekaeder zum Rhombenikosidodekaeder Von unten nach oben: Werden am Ikosidodekaeder alle Flächen geschlossen, so kann es über den Ikosidodekaederstumpf zum Rhombenikosidodekaeder anwachsen. An ihm vereinigen sich: 20 Dreiecke, vom Ikosaeder stammend (blau) 30 Quadrate, entsprechend den Kanten von Ikosaeder und Dodekaeder (offene Quadrate) 12 Fünfecke, vom Dodekaeder stammend (golden). Die Ecken des Ikosidodekaeders öffnen sich im ersten Moment zum Rechteck im Goldenen Schnitt und werden erst in grösster Erweiterung zu Quadraten. Abb. 24: Rhombenikosidodekaeder (oben) Ikosidodekaederstumpf, rot liniert (Mitte) Ikosidodekaeder (unten) 20 Ueli Wittorf

Die Platonischen und Archimedischen Körper aus dem Tetraeder entwickelt, Übersicht Alle vorgestellten Abläufe der drei einfachen Torsionspolyeder und der vier doppelten Torsionspolyeder lassen sich in einer Übersicht verbinden. Es ergibt sich ein Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper, in dem jeder Körper seinen begründeten Platz in einem grossen Zusammenhang erhält. Abb. 25: Der Stammbaum der doppelten Torsionspolyeder Die Entwicklung, von unten beginnend Der kubische Ast Die beiden Tetraeder (als doppelwandige Modelle) öffnen sich über den Tetraederstumpf zu den roten Oktaedern, an denen nur jede zweite Fläche geschlossen ist. Zusammen genommen füllen sie alle Flächen des Oktaeders aus (gelb). Das gebildete Oktaeder öffnet sich über den Oktaederstumpf zum Kuboktaeder. Jede Stellung auf diesem Wege ist eine Durchdringung von Zwillingen, die durch die gleichzeitige Verdrehung rechtshändig und linkshändig zustande kommen, (was der Schwingkreis als einfache Torsionspolyeder-Bewegung zeigt. Vergl. Abb. 20). Das Ikosaeder erscheint hier gleichzeitig in zwei Formen. Die offenen Quadrate am gelben Kuboktaeder werden geschlossen und dafür die Dreiecke geöffnet. Dieses grüne Kuboktaeder schliesst sich über den Zustand des Würfelstumpfes zum Würfel (Hexaeder). Das ist ein Endpunkt. Ueli Wittorf 21

geometric design Werden am Kuboktaeder alle Flächen verdoppelt geschlossen (gelbe Dreiecke und grüne Quadrate), so öffnet es sich (annähernd) über den Kuboktaederstumpf zum Rhombenkuboktaeder, wobei hier die beiden abgesschrägten Würfel als Zwillinge erscheinen, (oder im Schwingkreis aufgegliedert, links- und rechtshändig durchlaufen werden. Vergl. Abb. 20). Ein weiteres Öffnen ist jetzt nicht mehr möglich, da sich übers Kreuz an den Ecken keine gleichen Flächen gegenüberstehen. Der goldene Ast Ausgehend von einem der beiden Ikosaedern (blau) ist eine weitere Entwicklung möglich. Das doppelwandige Ikosaeder öffnet sich über den Ikosaederstumpf (Fussball) zum Ikosidodekaeder. Das ist die stärkste Volumenvergrösserung in der Stammbaumentwicklung, da sich an den Ecken Fünfecke öffnen. Das Modell verliert in grösster Ausdehnung auch seinen Halt. Am Ikosidodekaeder werden die Fünfecke geschlossen (golden) und die Dreiecke geöffnet. Dieses Modell lässt sich über den Dodekaederstumpf zum Pentagondodekaeder schliessen. Das ist ein zweiter Endpunkt. Das an allen Seiten doppelflächig geschlossene Ikosidodekaeder; öffnet sich (annähernd) über den Ikosidodekaederstumpf zum Rhombenikosidodekaeder, an dem wir als einzigen Körper Dreieck, Quadrat und Fünfeck vereint finden. Die Dreiecke vom Ikosaeder, blau, die offenen Quadrate von den Kanten des Ikosaeders oder Dodekaeders stammend, und die goldenen Fünfecke vom Dodekaeder stammend. In der folgenden, künstlerischen Darstellung des Stammbaumes sind die Schwingkreise der drei einfachen Torsionspolyeder integriert und weitere Zwischenstufen der Bewegungsabläufe berücksichtigt. Dadurch wird die Generierung des Stammbaumes ohne weitere Erklärung verständlich. Das Bild des Stammbaumes zeigt drei zweibeinige Figuren mit Kreisen über den Beinen. Die Füsse jedes Beinpaares sind Dualpaare der Platonischen Körper, wobei dual bedeutet, die beiden Körper haben gleich viele Kanten, und der eine Körper hat so viele Flächen wie der andere Ecken aufweist: Tetraeder Tetraeder; Hexaeder Oktaeder; Ikosaeder Pentagondodekaeder. Die Schwingkreise zeigen die Beweglichkeit der drei einfachen Torsionspolyeder: Oktaeder; Kuboktaeder und Ikosidodekaeder. Der Schwingkreis des Oktaeders ist etwas geneigt dargestellt; er unterscheidet sich von den beiden anderen dadurch, dass beim Bewegen sich gegenüber liegende Flächen nicht verdrehen. Die aufsteigenden Äste in den Schwingkreisen können einerseits als Körper aufgefasst werden, deren Flächen sich beim Ausdehnen ihre Ecken verdoppeln und im Endstadium wieder vereinen; andererseits sich durchdringende Zwillinge mit entgegengesetzter Verdrehung. Die beiden zweibeinigen Figuren links bauen auf dem Dreieck und dem Quadrat auf. Die beherrschenden Proportionen sind die des Dreieck, 1: 3 und des Quadrates, 1: 2. Das Massverhältnis des Goldenen Schnittes, 1 : Ф erscheint nur für einen Moment im Schwingkreis des Oktaeder-Kuboktaeders in der Stellung des Ikosaeders. Aus ihm erwächst der ganze rechte Ast mit dem Endpunkt des Pentagondodekaeders und als grösste Ausdehnung, im Rhombenikosidodekaeder. Man kann ihn deshalb den Goldenen Ast nennen, im Unterschied zum linken, dem Mineralischen Ast. 22 Ueli Wittorf

Abb. 26: Ueli Wittorf 23

geometric design Die Familie der Platonischen und Archimedischen Körper Die Torsionspolyeder, einer aus dem anderen entwickelt, führen zwingend zu einem ganz bestimmten Zusammenhang, und zu einer eindeutigen Einteilung. Überspringt man alle nicht archimedischen Formen und stellt man nur die regelmässigen und halbregelmässigen Körper zusammenhängend dar, so zeigt sich das untenstehende Bild des reduzierten Stammbaumes als Übersicht. Das Verständnis des logischen Zusammenhangs geht dabei allerdings teilweise verloren. Abb. 27: Die Familie der Platonischen und Archimedische Körper, wie sie sich aus der Entwicklungreihe der sieben doppelten Torsionspolyeder ergibt. 24 Ueli Wittorf

Anhang Das doppelte Torsionskuboktaeder mit verschiebbaren Flächen Ein räumliches Netz aus 16 doppelschichtig verflochtenen Dreiecken. Die grössten Möglichkeiten der Veränderbarkeit zeigen sich am Modell des doppelten Torsionskuboktaeder, dessen Flächen auch verschiebbar sind. Es funktioniert als einfaches Torsionkuboktaeder im Sinne Buckminster Fulles Vectorequilibrium, wie auch als doppeltes Modell, und durch die Verschiebbarkeit der Flächen aus ihren Achsen ergibt sich noch eine weitere, überraschende Stellung. Es wurde erstmals an der Tagung der Deutschen Gesellschaft für Geometrie und Grafik 2013 vorgeführt. Abb. 29: Das Modell besteht aus zweimal 8 Dreiecken und 6 Abstandhalter. Die 16 Dreieck werden zu einem kuboktaedrischen Netz von 8 doppelten Dreiecken gelenkig, verwoben zusammengefügt, wie es hier in der Ebene liegt. Ausgelegt als Hyperdreieck; und aufgefaltet zum Tetraeder. Vom Hyperdreieck zum einfachen Torsionsoktaeder Durch Verdrehen des mittleren Dreiecks richtet sich das Modell zum abgestumpften Tetraeder und schliesslich zum Oktaeder auf. Abb. 30: Hyperdreieck, abgestumpftes Tetraeder und Oktaeder Zwei Goldene Stellungen Durch Anheben des oberen Dreiecks beginnt sich der mittlere Bereich des Modells weg zu schwenken und es werden zwei goldene Stellungen durchlaufen bis es zum Kuboktaeder erweitert ist. (vergl.seiten 3 und 5). Abb. 31: Die beiden goldenen Stellungen, dodekaedrisch und ikosaedrisch, und die Kuboktaederstellung. Abb. 32: Ueli Wittorf 25

geometric design Ein stabiles Ikosaeder Die im mittleren Bereich doppelschichtig liegenden Dreiecke werden auseinandergeschoben. So entstehen das rechts- und linksdrehende Ikosaeder zugleich. Ihre Deck- und Bodenflächen bleiben unverändert und als Modell ist es stabil. Abb. 33: Ein stabiles Ikosaeder, gewonnen durch gegenseitiges Verschieben der Dreiecke des Mittelbereiches. Verdoppelung der Dreiecksflächen Beim gegenseitigen Verdrehen aller übereinander liegenden Dreiecke entstehen sich durchdringende ikosaedrische Zwillinge. Abb. 34: Rechts und links drehendes Ikosaeder und ihre Durchdringung, farbig. Die gemeinsamen Flächen sind schwarz. (Die Lage des farbigen Modells stimmt nicht mit den beweglichen Modellen überein). Abb. 35: Ikosaedrische Zwillinge: 8 gleichseitige und 12 gleichschenklige Dreiecke und ihre Durchdringung farbig. (Die Lage des farbigen Modells stimmt nicht mit den beweglichen Modellen überein). Abb. 36: 26 Ueli Wittorf

Der Oktaederstumpf Alle Durchdringungsstellungen spannen mit ihren Ecken auch abgestumpfte Oktaeder auf. Wenn die übereinander liegenden Dreiecke einen regelmässigen Sechstern bilden sind alle aufgespannten Kannten gleich lang. Dann haben wir einen Archimedischen Körper vor uns. Abb. 37: Der Oktaederstumpf, aufgespannt durch regelmässige Sechssterne. Die Stabilität der Torsionspolyeder Drei Flächen in einer Körperecke Die Stabilität der sieben Torsionspolyeder ist in geöffneten Stellung sehr unterschiedlich. Die (doppelflächigen) Modelle von Tetraeder, Würfel und Dodekaeder öffnen an ihren Ecken Dreiecke, da dort drei Flächen, d.h. Dreiecke, Quadrate resp. Fünfecke zusammentreffen. Sie sind in ihrer Beweglichkeit zwangläufig und in grösster Ausdehnung stabil. Abb. 38: Tetraeder, Würfel und Dodekaeder (oben), sind als offene Torsionspolyeder stabil, da ihre offenen Flächen Dreiecke sind: Okteder, Kuboktaeder und Ikosidodekaeder (unten). Ueli Wittorf 27

geometric design Vier Flächen in einer Körperecke Beim Oktaeder, Kuboktaeder und Ikosidodekaeder treffen in den Ecken jeweils vier Flächen zusammen, nämlich zwei Dreiecke mit zwei Dreiecken übers Kreuz, oder zwei Quadraten resp. zwei Fünfecken übers Kreuz mit zwei Dreiecken. Beim Öffnen bilden sich Quadrate oder Rechtecke, die zu Quadraten werden. In grösster Ausdehnung sind sie nicht mehr stabil, aber nur das Oktaeder als Kuboktaeder ausgedehnt lässt sich in die Ebene legen. Abb. 39: Okteder-, Kuboktaeder- und Ikosidodekaedermodell (oben) sind im offenen Zustand als Kuboktaeder, Rhombenkuboktaeder und Rhombenikosidodekaeder nicht stabil (mitte) Das Netz des Oktaeders lässt sich in die Ebene legen, die anderen nicht (unten) 28 Ueli Wittorf

Fünf Flächen in einer Ecke Beim (doppelten) Ikosaeder treffen in einer Ecke fünf Flächen zusammen. Beim Öffnen bleibt die Bewegung zwangläufig, aber in grösster Ausdehnung fällt das Modell zusammen und kann in einer ganz bestimmten Anordnung in die Ebene ausgelegt werden. Abb. 40: Das Ikosaeder als doppeltes Torsionspolyeder fällt in grösster Ausdehnung als Ikosidodekaeder mit offenen Fünfecken zusammen und kann in eine vorbestimmte Anordnung eben ausgelegt werden (links). Die beiden Gebilde in der Mitte und rechts sind dreidimensionale Ringformen. Die Leidenschaft für die Platonischen Körper, Schlusswort Die Beschäftigung mit den Platonischen Körpern hat ihren Ursprung wahrscheinlich in der 7. Klasse der Rudolf Steiner Schule Zürich, als der Lehrer davon sprach, dass die Platonischen Körper den (Natur-) Elementen entsprechen, was Ärger auslöste. Als Lehrer ab 1985 erwiesen sich die Platonischen Körper für die Schulung des räumlichen Vorstellens im Geometrisches Zeichnen als ausserordentlich wertvoll. Die wesentlichen Entdeckungen an den beweglichen Körpern wurden in der Folge eines Besuches der Ausstellung im Züricher Museum für Gestaltung vom Juni bis Oktober 1999 Your Privat Sky R. Buckminster Fuller, Design als Kunst einer Wissenschaft gemacht. An einer ersten Ausstellung an der Treichlerstrasse in Zürich wurde anlässlich der Vernissage vom 14. April 2000 die Folge der Torsionspolyeder erstmals vorgeführt. Die Erforschung der Platonischen Körper und deren Torsionspolyeder spielte sich rein empierisch an Hand von Modellen ab. Eine Systematik wurde gesucht und eingehalten, soweit sie sich ergab. Der Verfasser ist Architekt und ist nicht im Stande mathematische Beweise zu erbringen. Der Weg zu der und durch die Geometrie der Platonischen Körper ergab sich aus Begeisterung. Zürich, Im Jahre 2012 Ueli Wittorf Ueli Wittorf 29