Arbeitsplan Mathematik für die BOS/FOS 12 In der Fach- und Berufsoberschule sollen die Schülerinnen und Schüler Handlungskompetenz und Studierfähigkeit erwerben. Hierbei versteht man unter Handlungskompetenz die Bereitschaft und Fähigkeit des Menschen die Komplexität seiner Umwelt zu erkennen und durch eigenverantwortliches und reflektiertes Handeln fachgerecht und verantwortungsbewusst zu gestalten. Handlungskompetenz erschließt sich in den Dimensionen Fachkompetenz, Humankompetenz und Sozialkompetenz. Die Studierfähigkeit der Schülerinnen und Schüler umfasst die Beherrschung von Grundsätzen und Formen selbstständigen Arbeitens, das Einüben und die systematische Anwendung grundlegender wissenschaftlicher Verfahrens- und Erkenntnisweisen, die Fähigkeit wissenschaftliche Erkenntnisse anzuwenden und sprachlich darzustellen sowie die Fähigkeit, die gesellschaftlichen Bezüge von wissenschaftlicher Theorie und beruflicher Praxis zu erkennen und zu bewerten. Details entnehme man dem Berliner Rahmenlehrplan Mathematik für die Fachoberschule und Berufsoberschule Damit die Schülerinnen und Schüler mit dem Schwerpunkt Technik Handlungskompetenz und Studierfähigkeit erwerben können, werden folgende Inhalte im Unterricht behandelt. Analysis Grundlagen wie Zahlensysteme, lineare Gleichungen, Regeln zur Potenzrechnung etc. werden nicht isoliert, sondern innerhalb der folgenden Lernabschnitte behandelt. Funktionen Ganzrationale Funktionen 1 Definition, Definitionsbereich Einschränkungen des Definitionsbereichs bei Anwendungen aus Technik, Wirtschaft, etc. Nullstellen und der Fundamentalsatz der Algebra (ca. ) Regel vom Nullprodukt, p-q-formel, Linearfaktoren, Polynomdivision Skizzieren des Funktionsgraphen anhand der Linearfaktoren der Funktionsgleichung Rekonstruktion einer Funktionsgleichung anhand eines vorgegebenen (Funktions-)Graphen nebst Bewertung des jeweiligen Ergebnisses Anwendungen aus Technik, Wirtschaft, etc. Parameter Einfluss von Parametern im Funktionsterm auf den Verlauf des Funktionsgraphen Symmetrie Definition von geraden und ungraden Funktionen Achsensymmetrie zur Abszisse, Punktsymmetrie zum Ursprung (ca. ) (ca. ) Umkehrfunktionen Definitionen, graphische Herleitung algebraische Herleitung Kurvenscharen Summe Grundlagen und Funktionen Σ 2 Sinus-, Kosinus-, Quadratwurzel-, Exponential- u. Logarithmusfunktionen 1 Dieses Thema lässt sich auch gut nach oder während der Behandlung der Differentialrechnung absolvieren Definitionen, Definitionsbereiche Einfache Verkettungen mit linearen Funktionen Verlauf der Funktionsgraphen, Nullstellen (Wiederholung und Anwendung vieler algebraischer Rechenregeln) Anwendungen aus Technik, Wirtschaft, etc. mabosfos12ap.doc - 1 -
Folgen Dieses Thema wird bei Zeitmangel innerhalb des Lernabschnitts zur Differentialrechnung exemplarisch behandelt und zwar bei der Herleitung der Ableitungsfunktion einfacher Funktionen über Grenzwertbetrachtungen von Differenzenquotienten. Geometrische und arithmetische Folgen Konvergenz und Divergenz Grenzwertsätze und Grenzwertbestimmung Grenzwerte von Funktionswerten Summe Grundlagen und Folgen Σ Differentialrechnung Einführung Steigung von Tangenten, Änderungsraten, Beispiele aus Technik, Wirtschaft, qualitatives graphisches Differenzieren vom Differenzenquotienten zum Differentialquotient Definition der Ableitungsfunktion Bestimmung von Ableitungsfunktionen über den Differentialquotienten Tangentenfunktion und Normalenfunktion Ableitungsregeln Herleitung und Anwendung der Faktor-, Summen- und Produktregel Anwendung der Differentialrechnung Kurvendiskussion Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Relative und absolute Extrema Rekonstruktion einer Funktionsgleichung anhand eines vorgegebenen (Funktions-)Graphen aufgrund vorgegebener Bedingungen nebst Bewertung des jeweiligen Ergebnisses Lineare Gleichungssysteme Näherungsverfahren Newtonsches Tangentenverfahren Parameter Eigenschaften der Parameter so bestimmen, dass die Funktionsgraphen bestimmte Vorgaben erfüllen: - die Existenz genau eines lokalen Extrempunktes - die Existenz von mindestens zwei Nullstellen etc. 1 Summe Grundlagen und Differentialrechnung Σ 60 Stunden Grenzwerte mit L Hospital Ableitungsregeln Herleitung und Anwendung der Kettenregel Kurvenscharen Integralrechnung Flächen I Flächeninhalt von krummlinig begrenzten Flächen, die im 1. und 2.Quadranten liegen -Näherungsweise Bestimmen durch Auszählen von Einheitsquadraten - Flächeninhaltsfunktion - Stammfunktion und unbestimmtes Integral qualitatives graphisches Integrieren mabosfos12ap.doc - 2 -
Integrationsregeln Potenz-, Faktor- und Summenregel (innerhalb der Flächenproblematik) Flächen II Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Begriff des bestimmten Integrals Flächeninhalte von Flächen... - deren Hüllkurve die Abszisse schneidet - deren Rand nur aus Funktionsgraphen besteht - in Abhängigkeit von Parametern aus dem Funktionsterm der Hüllfunktion Parameter als Integrationsgrenzen Anwendungen der Integralrechnung in der Technik Kraft-Dehnungs-Diagramm Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm Kraft-Zeit-Diagramm Summe Grundlagen und Integralrechnung Σ 3 Grundintegrale und Integrationsverfahren Integration durch Substitution, partielle Integration (innerhalb der Flächenproblematik) Rotationsvolumina Rotation um die Abszisse Rotation um die Ordinate Flächenausschöpfungsverfahren Flächenschwerpunkte Länge einer Kurve Gesamtsumme Analysis Σ 130 Stunden Aus den Wahlthemenfeldern wird momentan folgendes Thema behandelt: 1. Einführung in die Vektorrechnung Grundlagen Kartesisches Koordinatensystem Punkte, Abstand zweier Punkte, Komponentendarstellung Vektoren Definition Vektor, Betrag, Addition und Subtraktion, Nullvektor, Parallelogrammregel Skalare Multiplikation Kollinearität und Komplanarität Gleichungssystem Geraden im Raum Vektorielle Geradengleichung Parameterform Koordinatenform Punkte auf einer Geraden Schnittpunkte von Geraden mabosfos12ap.doc - 3 -
Skalarprodukt Komponentendarstellung des Skalarproduktes Berechnung von Längen, Abständen und Winkeln Gesamtsumme Vektorrechnung Σ 20 Stunden Die folgenden Wahlpflichtthemen werden momentan nicht unterrichtet 2. Lineare Gleichungssysteme 3. Komplexe Zahlen 4. Beschreibende Statistik 5. Kombinatorik 6. Ökonomische Funktionen Folgendes Buch unterstützt neben vielen kopierten Arbeits- und Informationsblättern den Lehrer und die Schüler: MATHEMATIK zur Fachhochschulreife, Juliane Brüggemann u. a., 1. Auflage 1998, Cornelsen Verlag, Berlin Verplant sind also 150 Stunden von 240 Stunden. Durch Integration von Wahlpflichtstunden in den Mathematikunterricht wurden die im Rahmenplan vorgesehenen 200 Stunden für das Fach Mathematik auf 240 Stunden erhöht. Es ist also genug Zeit für Klausuren, den Ausgleich für möglichen Unterrichtsausfall, für Stofferweiterungen, für Präsentationen durch Schülergruppen aber für auch Wiederholungen kurz vor der schriftlichen Prüfung vorhanden. Achtung: Die schriftliche Abschlussprüfung zur Erlangung der Fachhochschulreife findet ca. 8 Wochen vor Ende des Schuljahres statt. Deshalb können die Inhalte aus den behandelten Wahlpflichtthemen und aus den jeweiligen Berufsfeldern (siehe mögliche Erweiterungen) nur innerhalb der Halbjahre in Tests, Klausuren oder in der mündlichen Abschlussprüfung als Themen behandelt und zur Leitungsüberprüfung herangezogen werden. Schriftliche Prüfung ( à 60 Minuten) Vereinbarung zur zentralen Prüfungsklausur bezüglich der Erlangung der Fachhochschulreife im Fach Mathematik: Form der Prüfungsklausur a) Umfang und Inhalt der Aufgaben 40% aus dem Thema: Kurvendiskussion nicht unbedingt komplett, sondern eventuell teilweise bezüglich ausgewählter Aspekte Tangentenfunktion, Differentialquotient, Schnittwinkel von Tangenten, Regeln zum Differenzieren ganzrationaler Terme qualitatives graphisches Ableiten 15% aus dem Thema: Rekonstruktion einer Funktionsgleichung Bedingungen aus Text entnehmen Bedingungen aus einer Skizze entnehmen und die Lösung bewerten 15% aus dem Thema: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen Zielfunktion nebst Betrachtung des Definitionsbereichs erstellen Zielfunktion auf lokale Extrempunkte untersuchen Zielfunktion mit absoluten Extremum am Rand des Definitionsbereichs 30% aus dem Thema: Integralrechnung Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen Flächenteilungen von krummlinig begrenzten Flächen Regeln zum Integrieren ganzrationaler Terme qualitatives graphisches Integrieren mabosfos12ap.doc - 4 -
b) Art der Aufgaben Fragen nach Begründungen, Erläuterungen bestimmter mathematischer Sachverhalte sind mit in die Problemstellungen einzubeziehen. Von den Schülern sollten unter anderem - Skizzen von Funktionsgraphen, von geeigneten Koordinatensystemen etc. - Kommentierungen der Lösungsschritte - schrittweise nachvollziehbare Aufzeichnungen - bei der Darstellung der Lösungen verlangt werden. c) Problemstellungsformulierungen bei Teilaufgaben sind stets so zu gestalten, dass ein Teilproblem auch ohne die korrekte Lösung eines vorangestellten Problems zu lösen ist. d) Bewertungseinheiten stehen an jeder Aufgabe. e) Erwartungshorizonte (nur für den Lehrer) sind vollständig und mit grober Verteilung der Bewertungseinheiten versehen. Bewertungskriterien a) Folgefehler sind nicht zu berücksichtigen, können aber dazu führen, wenn durch sie die (vermutlich falsche) Lösung erheblich leichter wird, dass nicht mehr alle weiteren vorgesehenen Bewertungseinheiten erreicht werden. b) Malusregelung: Grobe Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder Unleserlichkeit, Unübersichtlichkeit und Sauberkeit können in der gesamten Leistungsbeurteilung zu einem Abzug bis zu 1 Punkt führen. Hilfsmittel zur Prüfungsklausur a) Formelsammlungen ohne gelöste Musteraufgaben b) Tabellenbücher c) Rechner ohne Graphikdisplay und mit gelöschtem Programmierteil Mündliche Prüfung (ca. 15 Minuten) Wenn eine mündliche Prüfung erfolgen soll, ist es ratsam mit dem prüfenden Lehrer ein Schwerpunktthema aus dem aktuellen Schuljahr zu vereinbaren. Dieses Schwerpunktthema wird dann ungefähr 50 % der Inhalte und Problemstellungen im mündlichen Prüfungsgespräch darstellen. Es wird kein stummes Lösen von Aufgaben an der Tafel erwartet, sondern in einem Prüfungsgespräch sollen anhand von geeigneten Problemstellungen mathematische Zusammenhänge und Lösungswege erkannt, erläutert und dargestellt werden. Nach der Bekanntgabe der konkreten Problemstellungen hat der zu prüfende Schüler ca. 15 Minuten Zeit, um sich auf das mündliche Prüfungsgespräch vorzubereiten. mabosfos12ap.doc - 5 -