Dynamische Geometrie 1) Die Mittelsenkrechten, die Seitenhalbierenden, die Höhen und die Winkelhalbierenden eines beliebigen Dreiecks schneiden sich jeweils in einem Punkt. a) Untersuchen Sie die Lage der Schnittpunkte. Lässt sich eine Besonderheit feststellen? b) Überprüfen Sie Ihre Vermutung visuell (zunächst durch manuelle Veränderung des Dreiecks und dann mithilfe einer Animation) und mithilfe einer Tabelle. 2) Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen. a) Wie kann gezeigt werden, dass nicht jedes Viereck ein Sehnenviereck ist? b) Erstellen Sie ein beliebiges Sehnenviereck und versuchen Sie durch Experimentieren und Messen eventuell relevanter Größen eine Regel zu formulieren, wann ein Viereck ein Sehnenviereck ist. 3) Erzeugen Sie die Sinus-Funktion aus der Bewegung eines Punktes auf einem Einheitskreis (Ortskurve) mithilfe von Animationen.
LÖSUNGEN Verwendung des Geometrie-Menüs Zu 1a) Um ein Dreieck zu zeichnen, wird der Befehl zum Zeichnen von Strecken ausgewählt. Zur Bestimmung der Mittelpunkte der Strecken wird der Befehl verwendet. Zur Konstruktion der Mittelsenkrechten Um den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu wird dann der Befehl verwendet. bestimmen, wird der Befehl benutzt.
Zur besseren Übersicht ist es sinnvoll, die Konstruktionslinien wieder auszublenden. Die Linien, die ausgeblendet werden sollen, werden angeklickt und dann wird im Edit- Menü Eigenschaften geöffnet und dann ausgeblendet gewählt. Um dem Punkt einen anderen Namen zu geben, wird der Punkt markiert und im Messfeld wird der gewünschte Name eingegeben. Zur Konstruktion der Winkelhalbierenden: Ausblenden der Konstruktionslinien
Konstruktion der Seitenhalbierenden: Konstruktion der Höhen: Die erhaltenen Schnittpunkte: Manuelles Verändern des Dreiecks durch Markieren und dann Verschieben eines Punktes. Vermutung: Die Punkte M, S und H könnten auf einer Geraden liegen.
Zu 1b) Zum Erstellen einer Animation wird ein Punkt benötigt, der sich auf einem Kreis bewegt. Dazu wird ein Kreis gezeichnet. Dann werden der Punkt des Dreiecks und der Kreis markiert. Im Edit-Menü Animieren aufrufen und Animation hinzufügen auswählen. Der Punkt springt automatisch auf den Kreis. Ablaufen startet dann die Animation. Eine Gerade, auf der die Punkte M, S, und H liegen, wird eingezeichnet und die Animation wiederholt abgespielt.
Eine weitere Möglichkeit die Vermutung zu festigen, bietet das Messfeld. Es kann auch Größen der Skizze während einer Animation ausgeben. Jedoch werden die Werte im Messfeld bei einer Animation nicht automatisch aktualisiert. Die Werte einer sich im Laufe einer Animation ändernden Messgröße können mithilfe einer Tabelle zusammengefasst werden. Dafür werden die Objekte markiert, die gemessen werden sollen und dann wird das Symbol gewählt. Hier wurde zunächst der Abstand des Punktes H von der Geraden (erste Spalte der Tabelle) und dann der Abstand des Punktes W von der Geraden (zweite Spalte) gemessen. Der Punkt H liegt auf der Geraden, der Punkt W jedoch nicht. Der Abstand der anderen Punkte von der Geraden kann genauso gemessen werden. Durch dieses Vorgehen können Beispiele gesammelt werden, bei denen die Vermutung zutrifft. Ein Beweis müsste noch erfolgen.
Verwendung des Geometriemenüs Zu 1a) Es wird ein beliebiges Viereck mithilfe des Befehls Polygon gezeichnet. Um einen Kreis zu erzeugen auf dem drei der vier Punkte liegen, wird eine Diagonale durch das Viereck gezeichnet. Von einem der Dreiecke wird der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten erzeugt (Mittelpunkt für Umkreis des erzeugten Dreiecks). Der Punkt A liegt nicht auf diesem Kreis. Diese Vermutung kann bei Fällen, die nicht so eindeutig sind, auch mithilfe des Messfeldes bestätigt werden. Dafür werden der Kreis und der Punkt A aufgerufen und das Symbol gewählt. Da Nein angezeigt wird, liegt der Punkt nicht auf dem Kreis. Ein Kreis ist jedoch für 3 Punkte festgelegt, deshalb ist nicht jedes Viereck ein Sehnenviereck.
Zu 2b) Um herauszufinden, wann ein Viereck ein Sehnenviereck ist, sollte dieses zunächst erzeugt werden. Die angefertigte Zeichnung kann so verändert werden, dass es ein Sehnenviereck wird. Indem neben dem Messfeld das Häkchen gedrückt wird (Zuweisung, dass der Punkt auf dem Kreis liegen soll), erscheint im Messfeld Ja und die Zeichnung wird so verändert, dass der Punkt auf dem Kreis liegt. Das Viereck kann nun durch Verschieben der Ecken variiert werden. Eine Vermutung könnte sein: Je größer ein Winkel ist, desto kleiner wird der ihm gegenüberliegende Winkel. Beispielsweise wird einem Winkel der Wert 90 zugewiesen und misst den gegenüberliegenden Winkel und ordnet ihn (durch Öffnen des Draw-Menüs Winkel zuordnen) der Zeichnung zu.
Um die Winkelabhängigkeit weiter zu untersuchen, werden alle Winkel gemessen und der Zeichnung zugeordnet. Die Summe der gegenüberliegenden Winkel kann durch Einfügen einer Formel berechnet werden. Dazu wird im Draw-Menü Formelterm ausgewählt. Im Messfeld werden Messgrößen aus der Konstruktion über Variablenreferenzen (@-Zeichen) verwendet. Es zeigt sich, dass die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180 beträgt. Aufgrund der Winkelsumme von 360 im Viereck muss die Summe der beiden übrigen Winkel 180 sein. Auch bei Variation der Sehnenvierecke bleibt die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180.
Zur Überprüfung der gewonnenen Eindrücke, kann die Zuweisung eines Punktes vom Kreis wieder gelöst werden (Edit-Menü Begrenzg. Löschen.). Je näher der Punkt wieder an den Kreis angenähert wird, desto mehr nähert sich die Summe der gegenüberliegenden Winkel wieder 180 an. Der Beweis müsste nun noch erbracht werden. Zu 3) Erzeugen eines Einheitskreises mit dem Mittelpunkt (-2/0). Es wird ein Punkt benötigt, der sich auf dem Kreis bewegen soll. Objekte markieren, dann: Edit Animation hinzufügen.
Durch diesen Punkt wird eine Parallele zur y-achse (die x- und y- Achse sind keine Objekte, damit sie als Konstruktionslinien erkannt werden, müssen sie nachgezeichnet werden) gezeichnet. Zur besseren Übersicht wird nur die Strecke vom animierten Punkt C bis zum Schnittpunkt der Geraden mit der x-achse gezeichnet und dann die Gerade ausgeblendet. Dann wird das Dreieck vervollständigt. Durch den Punkt C wird eine Parallele zur x-achse konstruiert, um den Wert des Sinus zu übertragen.
Nun wird eine weitere Animation benötigt, die die Bewegung des Punktes auf dem Kreisrand in eine lineare Bewegung auf der x-achse überträgt. Dazu wird eine Strecke vom Ursprung zu einem Punkt auf der x-achse konstruiert und dieser Strecke die Länge der Kreisbahn (durch Eingabe von 2π in das Messfeld und Antippen des Häkchens) zugewiesen. Die neue Animation bewegt einen Punkt K auf der zuvor erzeugten Strecke. Wird nun noch eine Parallele durch K zur y-achse konstruiert, dann bildet der Schnittpunkt Q dieser Parallelen mit der zuvor erzeugten Parallele zur x-achse die Punkte des Graphen der Sinus-Funktion. Um eine Ortskurve des Punktes Q zu zeichnen, wird der Punkt markiert und im Edit-Menü Animation: Verfolgen ausgewählt. Wird die Animation gestartet, so wird der
Graph der Sinuskurve gezeichnet. Die Animation kann bearbeitet werden, dafür öffnet sich folgendes Dialogfeld: Die Parameter t0 und t1 sind dabei lokal und nicht temporal zu verstehen.