Hauptseminar Technische Informationssysteme

Hauptseminar Technische Informationssysteme Thema: Vergleich verschiedener Prognosestrategien von Tobias Fochtmann Betreuer: Dr. Ribbecke 24.01.2008

Gliederung I. Einleitung II. Prognose allgemein und am Beispiel A. Trendschätzung durch Wachstumsfunktionen B. Trendextrapolation C. Trend- und Saisonbereinigung D. ARIMA-Prognose III. Bewertung und Vergleich A. Bewertung der Modelle B. Zusammenfassung 24.01.2008 2

I.Einleitung Erläuterung des Themas: Vorstellung verschiedener Prognoseverfahren Vergleich verschiedener Prognoseverfahren an einer Zeitreihe eher untypisch, da Modell das entsprechende Verfahren bedingt Grundbegriffe: stationär: konstanter Mittelwert Zeitreihe: zeitabhängige Folge von Datenpunkten (hier nur äquidistant) AR(p)-Modell (autoregressives Modell): Linearkombination aus p vorangegangenen Werten [Y t = α 0 + α 1 Y t-1 +...+ α p Y t-p ] MA(q)-Modell (moving average Modell): Linearkombination aus q vorangegangenen Störungen [Y t =ε t - β 1 ε t-1 -... - β q ε t-q ] ARMA(p,q) Verknüpfung von AR und MA ARIMA(p,d,q) für integrierende Prozesse; d-te Differenzbildung, zur Beseitigung der Instationarität 24.01.2008 3

I.Einleitung von der Zeitreihe zur Prognose y k Struktur- Parameter- ŷ k ŷ k+h schätzung schätzung Prognose h-prognosehorizont Modell AR,MA, ARIMA, Trend, Saison,.. s E = N-1 (y k ŷ k )²=min k=0! 24.01.2008 4

II.Prognose allgemein und am Beispiel II.Prognose allgemein und am Beispiel 4 ausgewählte Prognoseverfahren Beispiel Zeitreihe: Verbraucherpreisindex Nahrung (01.01.1991 01.10.2006) misst die durchschnittliche Preisentwicklung aller Waren und Dienstleistungen, die von privaten Haushalten für Konsumzwecke gekauft werden VPI_Nahr 24.01.2008 5

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> A.Trendschätzung durch Wachstumsfunktionen A.Trendschätzung durch Wachstumsfunktionen Logistische Funktion (Mitscherlich-, Gompertzfunktion) nach oben und unten beschränkte Funktionen y k ŷ k = 1 / ( 1 + exp(-(k+1)t)) konkrete Funktion Prognose einfach y k ŷ k = stationärer Rest Anwendung auf VPI_Nahr nicht sinnvoll! 24.01.2008 6

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> B.Trendextrapolation B.Trendextrapolation finden einer passenden Funktion verlängern der Trendlinie ergibt Prognosewerte Man unterscheidet: lineare parabolische und exponentielle... Trends Prognoseanforderung prüfen 24.01.2008 7

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> B.Trendextrapolation 109,7 2009 VIP_Nahr 24.01.2008 8

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> C.Trend- und Saisonbereinigung C.Trend- und Saisonbereinigung Komponentenmodell Y t = T t + S t + R t T t Trend entfernen S t Saisonaler Anteil R t Rest (Schwankung, Störung) Idealfall: R t White Noise Prozess mit R t ~ N(0,σ R ²) Prognose: Y t+1 = T t+1 + S t+1 24.01.2008 9

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> C.Trend- und Saisonbereinigung Komponentenzerlegung mit BV4.1 24.01.2008 10

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> C.Trend- und Saisonbereinigung Komponentenzerlegung mit BV4.1 3 0-3 24.01.2008 13

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> D. ARIMA Prognose D. ARIMA Prognose wie kommt man zum ARIMA Modell? betrachten der ACF und PACF ACF PACF AR(p) klingt ab bricht nach dem Lag p ab MA(q) bricht nach dem Lag q ab klingt ab ARMA(p,q) klingt ab klingt ab typische ACF eines integrierenden ARMA Prozesses (ARIMA) 24.01.2008 16

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> D. ARIMA Prognose zur Prognose: optimale Prognose wird erreicht, wenn für h=2,3,... die Fortsetzung der Prognose unter dem ermittelten Wert für h=1 rekursiv stattfindet bei Unterstellung einer Normalverteilung kann man Prognoseintervalle angeben z.bsp. Prognose +5% und -5% 24.01.2008 17

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> D. ARIMA Prognose VPI_Nahr Autokorrelationsfunktion 24.01.2008 18

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> D. ARIMA Prognose VPI_Nahr partielle Autokorrelationsfunktion 24.01.2008 19

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> D. ARIMA Prognose ACF und PACF lassen auf ARIMA schließen - ARIMA(5,1,5) Modell 24.01.2008 20

II.Prognose allgemein und am Beispiel>> D. ARIMA Prognose ARIMA Prognose mit Hilfe von JMulti 24.01.2008 21

III. Bewertung und Vergleich>>A.Bewertung der Modelle linearer Trend Residuenplot Standardabweichung: B =1,59 Varianz: ² B =2,53 24.01.2008 22

III. Bewertung und Vergleich>>A.Bewertung der Modelle Komponentenmodell Residuenplot Standardabweichung: C =0,55 Varianz: ² C =0,30 24.01.2008 23

III. Bewertung und Vergleich>>A.Bewertung der Modelle ARIMA Residuenplot Standardabweichung: D =0,53 Varianz: ² D =0,28 24.01.2008 24

III. Bewertung und Vergleich>>B.Zusammenfassung Standardabweichung: i Varianz: ² i Aufwand* linear 1,59 2,53 ++ Komponentenmod. 0,55 0,30 - ARIMA 0,53 0,28 -- Bewertung: Komponentenmodell nahezu gleiche Standardabweichung einfacher nachzuvollziehen linearer Trend zu grob *mit den zur Verfügung stehenden Mitteln 24.01.2008 25

III. Bewertung und Vergleich>>B.Zusammenfassung 24.01.2008 26

Quellen Quellen: [1] Angewandte Zeitreihenanalyse Dr. Schlittgen [2] Mitschrift Quantitative Methoden der Signalanalyse Dr. Ribbecke [3] Prognoseverfahren Dr. Rudolph, Universität der Bundeswehr München [4] Wikipedia 24.01.2008 27

Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 24.01.2008 28