Dario Sacco E-mail: dario.sacco@soi.uzh.ch Thema: Theorie der Firma (Skript, Kapitel 2) 1. Kostenkonzepte. (Tirole, 1988). Die Kostenfunktion einer Firma sei gegeben durch Z q F + C C(q) = 0 (x)dx q > 0, 0 0 q =0 wobei C(q) 2-mal stetig differenzierbar ist für q>0, undf 0 die Fixkosten der Produktion angeben. Hinweis: Die Grenzkosten sind strikt fallend, wenn Folgendes gilt: C 0 (q) <C 0 (x), x (0,q). Die Durchschnittskosten AC(q) sind strikt fallend, wenn für alle q 1 und q 2 mit 0 <q 1 <q 2 Folgendes gilt: C(q 2 ) q 2 < C(q 1) q 1. (a) Beweisen Sie folgende Aussage: Strikt fallende Grenzkosten implizieren strikt fallende Durchschnittskosten. (b) Beweisen Sie folgende Aussage: Strikt fallende Durchschnittskosten implizieren eine strikt subadditive Kostenfunktion. 2. Hold-Up Problem. (Tirole, 1988). Gegeben sei ein 2-Stufen Spiel. In der ersten Stufe (t =1)entscheidet der Verkäufer eines bestimmten Gutes über eine Investition I, welche die Kosten der Produktion senkt. Die Kostenfunktion c erfüllt folgende Eigenschaften: c 0 (I) < 0, c 00 (I) > 0. Der Wert, den der Käufer dem Gut beimisst, ist fix undbeträgtv. In der zweiten Stufe (t =2)verhandeln Käufer und Verkäufer über den Preis p(i), und führen eventuell den Handel durch. (a) Geben Sie die Bedingung für das sozial optimale Investitionsniveau an. 1
(b) Nehmen Sie an, es besteht ex-ante (t =1)kein Vertrag und die Parteien handeln ex-post (t = 2) einen Preis aus, welcher der Nash-Verhandlungslösung entspricht. Seien c und v ex-post common knowledge. i. Wie lautet der Preis? ii. Geben Sie die Bedingung für das optimale Investitionsniveau in diesem Fall an. iii. Wieso kommt es zu Abweichungen zum sozial optimalen Investitionsniveau? (c) Nehmen Sie an, es können vollständige Verträge geschlossen werden. Der Kaufpreis kann ex-ante festgelegt werden. i. Welches Investitionsniveau ergibt sich in dieser Situation? 3. Kostenkonzepte. (APS-Prüfung 2006). Die Kostenfunktion eines Einprodukt-Monopolisten ist gegeben durch C(q 1 )=αq 2 1 +2(1+2α)q 1 +3, wobei α>0. Geben Sie die hinreichende Bedingung bezüglich q 1 dafür an, dass strikte Subadditivität vorliegt. Begründen Sie Ihre Antwort. Thema: Monopoltheorie (Skript, Kapitel 3) 4. Preissetzungsverhalten des Monopolisten. (Wolfstetter, 1999). Gegeben sei ein Monopolist mit linearer Preisfunktion, welche für alle Konsumenten identisch ist. Die inverse Nachfragefunktion ist gegeben durch P (q) = a bq, a, b > 0, die Kostenfunktion durch C(q) = 1/2q 2,q [0,a/b] und die Erlösfunktion durch R(q) =P (q)q. (a) Leiten Sie die Gewinnfunktion Π(q) her und zeigen Sie, dass diese Funktion strikt konkav ist. Intuition: WennΠ(q) eine strikt konkave Funktion ist, so ist die Bedingung erster Ordnung hinreichend für das Vorliegen eines eindeutigen Gewinnmaximums. (b) Zeigen Sie, dass die Koordinaten des Cournot-Punktes gegeben sind durch (q M = a/(1 + 2b), p M = a(1 + b)/(1 + 2b)). (c) Stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. 2
5. Wohlfahrtsverlust im Monopol. (Tirole, 1988). In einer monopolisierten Industrie sei die Nachfragefunktion gegeben durch q = D(p) =p ε ; ε>1, wobei ε die Nachfrageelastizität bezeichnet. Die Grenzkosten des Anbieters sind konstant und gleich c>0. (a) Zeigen Sie, dass die Nachfragefunktion isoelastisch ist. (b) Bestimmen Sie den gewinnmaximierenden Preis des Monopolisten, wenn er einen linearen Tarif (oder eine lineare Preisfunktion) von der Form T (q) =pq, p > 0, anwendet. (c) Geben Sie die Wohlfahrt als Summe von Konsumenten- und Produzentenrente an und bestimmen Sie den wohlfahrtsmaximierenden Preis. (d) Zeigen Sie, dass i. die Wohlfahrt W c in einer kompetitiven Industrie gegeben ist durch W c = c1 ε ε 1 ; ii. die Wohlfahrt W m in einer monopolistischen Industrie gegeben ist durch µ ε W m 1 ε (2ε 1) ε = c. (ε 1) 2 ε 1 (e) Berechnen Sie den Wohlfahrtsverlust W L := W c W m und zeigen Sie, dass W L > 0 gilt. 6. Optimaler Mark-Up im Monopol. Der optimale Monopolpreis p M liegt über den Grenzkosten aber wieviel? Die Antwort auf diese Frage hängt davon ab, wie stark die Nachfrage auf eine Änderung des Preises reagiert. Betrachten Sie nun die Preiselastizität der Nachfrage als Sensitivitätsmass bezüglich einer Preisänderung: ε(p) =D 0 p (p) D(p). (a) Zeigen Sie, dass folgende Beziehung zwischen Grenzerlös und Preiselastizität der Nachfrage besteht: 1+ε(P (q)) R 0 (q) =P (q). (1) ε(p (q)) 3
(b) Setzen Sie in die Bedingung erster Ordnung, Π 0 (q) =R 0 (q) C 0 (q) =0, (2) R 0 (q) aus Beziehung (1) ein und zeigen Sie, dass der optimale Mark-Up gegeben ist durch P (q) = ε(p (q)) 1+ε(P (q)) C0 (q). (3) Bei welchem Typ von Nachfragefunktion ist der Mark-Up über die Grenzkosten eine Konstante? (c) Leiten Sie aus Beziehung (3) den Lerner-Index P (q) C 0 (q) P (q) = 1 ε(p (q)) her. (d) Wie lässt sich der Lerner-Index intuitiv interpretieren? Warum liegt der Cournot-Punkt stets im Bereich der Nachfragefunktion, in dem die Preiselastizität der Nachfrage < 1 ist? 7. Komparative Statik: Variation der Grenzkosten. Wir wollen nun zeigen, wie sich das optimale Angebot des Monopolisten bei einer Variation der Grenzkosten ändert. Diese Analyse ist nur sinnvoll, wenn die Eindeutigkeit des Cournot-Punktes über die strikte Konkavität der Gewinnfunktion (Π 00 (q) < 0) angenommen wird. 1 Nehmen Sie weiter an, dass die Kostenfunktion zweimal stetig differenzierbar ist und von einem Kostenparameter k abhängt, wobei C kq (q, k) = 2 C(q,k) > 0 gilt. k q D.h., dass ein höheres k höhere Grenzkosten impliziert. Zeigen Sie, dass unter diesen Annahmen das optimale Angebot des Monopolisten q (k) in k fällt: q 0 (k) < 0. 8. Preisdiskriminierung. (Tirole, 1988). Gegeben sei ein Intervall, auf dem sich ein Monopolist befindet, welcher ein Gut produziert und verkauft. Die Konsumenten sind gleichmässig auf diesem Intervall verteilt und ihre Distanz zum Monopolisten variiert zwischen x =0und x =1. Die Nachfragefunktion sei gegeben durch q = a b(p + tx), wobei p den 1 Hinreichende Bedingungen dafür sind die Konkavität der Erlösfunktion (R 00 (q) 0) und die Konvexität der Kostenfunktion (C 00 (q) 0), wobei mindestens eine Ungleichung strikt erfüllt sein muss. 4
Preis des Gutes darstellt. Die Transportkosten, die zu Lasten der Konsumenten gehen, sind proportional zur Distanz. Für eine Distanz von x betragen die Transportkosten tx. Daraus ergibt sich ein Gesamtpreis von p + tx. (a) Bestimmen Sie den optimalen Preis (mit und ohne Transportkosten), wenn Preisdiskriminierung zugelassen ist. (b) Ermitteln Sie den optimalen uniformen (nicht-diskriminierenden) Preis des Gutes sowie den Gesamtpreis unter der Annahme, dass der gesamte Markt bedient wird. Werden im nicht-diskriminierenden Fall gewisse Konsumenten durch andere subventioniert? 9. Doppelte Marginalisierung. (APS-Prüfung 2006). Ein monopolistischer Produzent mit Kostenfunktion C(q) =cq 2 /2 verkauft ein Gut zum Preis p A an einen monopolistischen Einzelhändler, der ohne weitere Kosten das Gut zum Preis p B an die Konsumenten verkauft. Die Nachfrage ist gegeben durch D(p) =a p. (a) BestimmenSiedenEndverkaufspreissowiedenaggregiertenGewinn bei vertikaler Separation. (b) Ermitteln Sie den Endverkaufspreis sowie den Gewinn bei vertikaler Integration. (c) Vergleichen Sie die Ergebnisse unter (a) mit denjenigen unter (b). 10. Händlerwettbewerb. (Motta, 2004). Betrachten Sie eine Situation mit einem Upstream -Produzenten U und zwei Downstream -Firmen D 1 und D 2 (Händlern). Letztere wählen den Effort (Dienstleistung), den sie für den Verkauf des Produktes leisten möchten, und dann konkurrieren à la Bertrand. Die wahrgenommene Produktqualität seitens der Konsumenten ist gegeben durch u = u + e, wobeie = e 1 + e 2 die Summe der von den Händlern geleisteten Effortniveaus darstellt. Die Nachfrage sei gegeben durch q =(v + e) p. Die Grenzkosten des Produzenten seien durch c u gegeben, wobei 0 <c u <v. Die Kosten der Händler seien durch c d = wq + μe 2 i /2 gegeben, wobei w>0 und μ>1. (a) Betrachten Sie zunächst den Fall, in dem der Upstream -Produzent und die Downstream -Firmen vertikal separiert sind. i. Bestimmen Sie die gleichgewichtigen Preise sowie die gleichgewichtigen Effortniveaus der beiden Händler. 5
ii. Berechnen Sie die Konsumentenrente, die Produzentenrente sowie die Wohlfahrt. (b) Betrachten Sie nun den Fall, in dem der Upstream -Produzent und die Downstream -Firmen vertikal integriert sind. i. Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und die gleichgewichtigen Effortniveaus der beiden Händler. ii. Berechnen Sie die Konsumentenrente, die Produzentenrente sowie die Wohlfahrt. (c) Welcher Fall führt zu einer höheren Wohlfahrt? Thema: Wettbewerb um den Markt (Skript, Kapitel 4.3) 11. Erst-Preis Auktion. (Mas-Colell/Whinston/Green, 1995). Betrachten Sie folgende Auktion: Ein Objekt wird an zwei Bieter versteigert. Beide Bieter machen ein (nichtnegatives) Angebot und reichen dieses in einem Umschlag ein. Die Umschläge werden zusammen geöffnet. Das höchste Gebot bekommt den Zuschlag und der siegreiche Bieter bezahlt den Betrag seines Angebots. Jeder Bieter kennt nur die eigene maximale Zahlungsbereitschaft v i. Die Zahlungsbereitschaften beider Bieter sind unabhängig und gleichmässig auf dem Intervall [0, v] verteilt. (a) Leiten Sie ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien für diese Auktion her. Hinweis: Betrachten Sie ein Gleichgewicht, in welchem das Angebot der Spieler eine lineare Funktion ihrer Zahlungsbereitschaft ist, d.h. die Bietfunktion nimmt die Form b i (v i )=a i + c i v i an. (b) Es nehmen nun I Bieter an der Versteigerung teil. Beantworten Sie (a) unter dieser Annahme. Was passiert mit der gleichgewichtigen Gebotsfunktion b i (v i ) wenn I grösser wird? Hinweis: Sie können zur Vereinfachung von einem symmetrischen Gleichgewicht ausgehen, d.h. dass im Gleichgewicht die Angebotsfunktionen dieselbe lineare Form haben, also a i = a und c i = c i. 12. Zweit-Preis Auktion (Vickrey-Auktion). (Mas-Colell/Whinston/ Green, 1995). Betrachten Sie folgende Auktion: Ein Objekt wird versteigert. Es gibt I Bieter. Bieter i misst dem Objekt einen Wert von v i zu. Alle Bieter machen ein (nichtnegatives) Angebot b i, welches in 6
einem Briefumschlag eingereicht wird. Der Bieter mit dem höchsten Angebot bekommt den Zuschlag, bezahlt aber nur den Betrag des zweithöchsten Angebotes. Falls es mehrere Anbieter mit dem höchsten Angebot gibt, erhalten diese das Objekt mit derselben Wahrscheinlichkeit. (a) Zeigen Sie, dass ein Angebot von b i = v i eine schwach dominante Strategie von Bieter i ist. (b) Zeigen Sie, dass ein Angebot von b i = v i die einzige schwach dominante Strategie von Bieter i ist. Thema: Statische Oligopoltheorie (Skript, Kapitel 5) 13. Bertrand-Wettbewerb mit heterogener Kostenstruktur. (Bester, 2000). In einem Markt mit der Nachfrage D(p) =1 p konkurrieren zwei Firmen (i =1, 2) als Bertrand-Wettbewerber miteinander. Ihre Stückkosten betragen c 1 =0bzw. c 2 > 0. (a) Zeigen Sie, dass Firma 2 im Bertrand-Gleichgewicht den Output q 2 =0produziert. (b) Berechnen Sie die Gleichgewichtspreise p 1 c 1 und p 2 c 2,falls c 2 > 1/2. (c) Welches Gleichgewicht ergibt sich, wenn c 2 1/2? 14. Zwei-Stufen Bertrand-Spiel. Betrachten Sie ein statisches 2-Stufen Spiel, in dem die Firmen zunächst in F&E investieren und danach à la Bertrand konkurrieren. Gegeben seien 2 Firmen (i =1, 2) mit identischen Stückkosten c, die homogene Güter produzieren. Die Nachfragefunktion sei gegeben durch D(p) =a p. In der ersten Stufe des Spiels investieren die zwei Firmen simultan in F&E, was zu einer linearen Senkung der Grenzkosten führt. Jede Firma ist durch die Grenzkosten c i = c Y i charakterisiert, wobei Y i die F&E-Investition von Firma i repräsentiert. Die Investitionskosten seien gegeben durch kyi 2,wobei k>0den Kostenparameter darstellt. In der zweiten Stufe, in der Produktmarktwettbewerb stattfindet, wählen die zwei Firmen simultan die Preise. (a) Stellen Sie die Netto-Payoff Funktion von Firma i auf. (b) Nehmen Sie an, es gebe 3 Investitionsniveaus Y i = {0, 1, 2}. i. Geben Sie anhand einer Auszahlungsmatrix die Netto-Payoffs der beiden Firmen bzgl. aller Investitionskombinationen an. 7
ii. Zeigen Sie, dass sich das Gleichgewicht (1, 0) bzw. (0, 1) genau dann einstellt, wenn k < α < 3k und α<4k 1, wobei α a c > 0 den Nachfrageparameter darstellt. iii. Zeigen Sie, dass sich das Gleichgewicht (2, 0) bzw. (0, 2) genau dann einstellt, wenn α>3k. 15. Homogenes Cournot mit 3 Firmen. (Tirole, 1988). Betrachten Sie einen Markt mit 3 Firmen (i =1, 2, 3), welche identische Grenzkosten c 1 = c 2 = c 3 =0aufweisen. Die inverse Nachfragefunktion sei gegeben durch p =1 Q, wobeiq = q 1 + q 2 + q 3. (a) Bestimmen Sie das Cournot-Gleichgewicht. (b) Nehmen Sie an, dass zwei der drei Firmen fusionieren. Zeigen Sie, dass der Gewinn der fusionierenden Firmen abnimmt. (c) Was geschiet, wenn alle drei Firmen fusionieren? 16. Endogene Marktstruktur. (Bühler/Jäger, 2002). Betrachten Sie folgendes zwei-stufen Spiel: In der ersten Stufe entscheidet eine Vielzahl von Unternehmen über den Eintritt in einen Markt. Die Unternehmen wissen, welche Art von Produktmarktwettbewerb in der zweiten Stufe gespielt wird. Tritt ein Unternehmen nicht in den Markt ein, so erzielt es einen Gewinn von null; tritt es hingegen ein, so muss es die Sunk Costs f aufwenden. In der zweiten Stufe produzieren die Unternehmen mit identischen und konstanten Grenzkosten c. Die Marktnachfrage ist gegeben durch D(p) =S/p, wobei S die Marktgrösse bezeichnet. (a) Zeigen Sie, dass die Marktnachfrage isoelastisch ist. (b) Nehmen Sie an, in der zweiten Stufe des Spiels wird Cournot- Wettbewerb gespielt. i. Bestimmen Sie durch Rückwärtsinduktion den aggregierten Output, den Marktpreis, und die Gewinne für eine gegebene Anzahl Unternehmen n. ii. Bestimmen Sie die Anzahl Unternehmen n, die im teilspielperfekten Nash-Gleichgewicht in den Markt eintreten. (c) Nehmen Sie an, in der zweiten Stufe des Spiels wird Bertrand- Wettbewerb gespielt. Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht nicht mehr als ein Unternehmen in den Markt eintritt. 8
(d) Nehmen Sie schliesslich an, die Unternehmen maximieren in der zweiten Stufe des Spiels den gemeinsamen Gewinn und teilen diesen gleichmässig auf. Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht die Anzahl Unternehmen der Bedingung n = R K /f genügt, wobei R K den Kartellerlös bezeichnet. Thema: Wiederholte Oligopolspiele (Skript, Kapitel 6) 17. Endlich wiederholter Bertrand- bzw. Cournot-Wettbewerb. (Bühler/Jäger, 2002). Gegeben seien zwei Unternehmen i =1, 2, mit identischen Kostenfunktionen C i (q) =cq. Die inverse Nachfragefunktion sei gegeben durch P (Q) =1 q 1 q 2. Die Unternehmen spielen dreimal nacheinander Cournot-Wettbewerb. Der Diskontfaktor sei δ =1. (a) Ermitteln Sie den Gesamtgewinn von Unternehmen 1 am Ende des Spiels. (b) Wie gross ist der Gesamtgewinn von Unternehmen 1 am Ende des Spiels, wenn die Unternehmen Bertrand-Wettbewerb spielen? 18. Unendlich wiederholter Bertrand-Wettbewerb. (Bühler/Jäger, 2002). Gegeben sei das Modell aus Aufgabe 17. Die Unternehmen spielen nun Bertrand-Wettbewerb und der Zeithorizont umfasst nicht mehr drei, sondern unendlich viele Perioden (T = ). Der Diskontfaktor ist nicht mehr fest vorgegeben, sondern genügt folgender Bedingung: 1 δ<1. 2 (a) Zeigen Sie, dass das Spielen der Triggerstrategie Wähle in der ersten Periode den Monopolpreis. Wähle in jeder weiteren Periode den Monopolpreis, sofern auch das andere Unternehmen in allen vorangehenden Perioden den Monopolpreis gesetzt hat. Ist dies nicht der Fall, so setze den Preis gleich den Grenzkosten eine Gleichgewichtsstrategie ist. Überlegen Sie, welche Bedingungen in jeder (und damit einer repräsentativen) Periode gelten muss, und zeigen Sie, dass diese Bedingung für δ 1 erfüllt ist. 2 (b) Ist dies das einzige Gleichgewicht? (c) Nehmen Sie an, es bestehe eine Zeitverzögerung in der Reaktion eines Unternehmens auf die Preissetzung des anderen. Diese ZeitverzögerungbetrageeinePeriode.WelcheAuswirkunghatdies auf die Stabilität der Kollusion? Was passiert, wenn die Zeitverzögerung zunimmt (gegen unendlich geht)? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. 9
19. Unendlich wiederholtes Cournot. (APS-Prüfung 2006). Betrachten Sie ein unendlich wiederholtes, symmetrisches Cournot-Duopol. Die inverse Nachfragefunktion ist in jeder Periode gegeben durch P (Q) = 1 Q, wobeiq q 1 + q 2. Beide Firmen weisen konstante Grenzkosten c =0und denselben Diskontfaktor δ auf. Anstatt sich als Cournot- Duopolisten zu verhalten, maximieren die beiden Anbieter den gemeinsamen Gewinn und teilen den Monopol-Output gleichmässig auf. Das Kartell wird durch das Spielen der folgenden Trigger-Strategie aufrecht erhalten: Wenn eine der beiden Firmen vom Kartell-Output abweicht, setzen beide in allen zukünftigen Perioden die nicht-kooperative Cournot-Menge. (a) Berechnen Sie die Outputs qi K und die Gewinne π K i (i =1, 2) der beiden Firmen in einer beliebigen Periode, wenn sie den gemeinsamen Gewinn maximieren. (b) Zeigen Sie, dass der Gewinn, den eine unilateral abweichende Firma in der Abweichungsperiode erzielen kann, π A = 9 beträgt. 64 (c) Welche Bedingung muss δ erfüllen, damit das Kartell durch das Spielen der Trigger-Strategie gestützt werden kann? (d) Gehen Sie nun davon aus, drei symmetrische Firmen mit c =0 maximieren den gemeinsamen Gewinn. Jede dieser Firmen produziert einen Drittel des Monopol-Outputs und weist denselben Diskontfaktor δ auf. i. Welche Bedingung muss δ nun erfüllen, damit das Kartell durch das Spielen der Trigger-Strategie gestützt werden kann? ii. Erläutern Sie verbal, weshalb δ mit drei Firmen grösser [bzw. kleiner] sein muss als mit zwei Firmen. Thema: Markteintrittsbarrieren (Skript, Kapitel 7) 20. Marktstruktur bei freiem Zutritt. Betrachten Sie einen Markt für ein homogenes Gut, in dem n symmetrische Firmen konkurrieren. Bezeichnen Sie mit q i den Output einer beliebigen Firma i, i =1,..., n; daraus ergibt sich für den aggregierten Output Q = P n i=1 q i. Die inverse Nachfragefunktion sei gegeben durch P (Q) = a Q, und die Kostenfunktion für eine beliebige Firma i durch C(q i )=cq i + F ; c, F > 0, i=1,..., n. Betrachten Sie folgende Spielstruktur: In der ersten Stufe des Spiels entscheiden alle potentiellen Anbieter darüber, ob sie bei gegebenen 10
Sunk Costs F indenmarkteintretenwollenodernicht.inderzweiten Spielstufe findet Produktmarktwettbewerb à la Cournot statt. (a) Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht Folgendes gilt: q = a c n +1 und p = c + a c n +1. (b) Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht der Gewinn der Firmen gegeben ist durch π (a c)2 (n) = (n +1) F. 2 (c) Zeigen Sie, dass die Anzahl Markteintritte n FE bei freiem Marktzutritt in der ersten Stufe des Spiels gegeben ist durch n FE = 1 (a c) 1. F 21. Marktzutrittsbeschränkung. Betrachten Sie einen Regulator, welcher im Modellrahmen von Aufgabe 20 versucht, die Anzahl Firmen im Markt so zu regulieren, dass die Wohlfahrt maximiert wird. W (n) := Z nq 0 P (t)dt ncq nf (4) (a) Zeigen Sie, dass sich für das Integral in (4) unter Verwendung von P (Q) =a Q Z nq 0 P (t)dt = anq 1 2 (nq)2 (5) ergibt. (b) Substituieren Sie (5) in (4) und maximieren Sie W (n) bezüglich n. Zeigen Sie, dass die Bedingung erster Ordnung dieses Optimierungsproblems gegeben ist durch dw (n) dn = aq(n)+anq 0 (n) n [q(n)] 2 n 2 q(n)q 0 (n) (6) cq(n) ncq 0 (n) F = 0. Hinweis: Beachten Sie, dass q = q(n) gilt. Vgl. Aufgabe 20 (a). 11
(c) Setzen Sie in Gleichung (6) für q(n) und q 0 (n) ein, wobei q(n) = (a c) / (n +1). Verifizieren Sie, dass die wohlfahrtsmaximierende Anzahl Firmen n der Bedingung (n +1) 3 (a c)2 = F genügt. (d) Zeigen Sie, dass unter der Annahme (a c) 2 F>0Folgendes gilt: n FE n > 0. 22. Stackelberg-Modell. (Bühler/Jäger, 2002). Zwei Firmen mit konstanten Grenzkosten c 1 = c 2 =3bedienen einen Markt mit der inversen Nachfrage P (q) =15 Q. Berechnen Sie die individuellen Angebotsmengen q 1 und q 2, die aggregierte Menge Q = q 1 + q 2, den Marktpreis p, die individuellen Gewinne π 1 und π 2 sowie den aggregierten Gewinn Π = π 1 + π 2, wenn Firma 1 der Stackelbergführer und Firma 2 der Mengenanpasser ist. 12