Hans Walser, Studie [ a] Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon

Hans Walser, Studie [20040320a] Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon 1 Spielregeln 1.1 Gleichschenklige Dreiecke Regelmäßiges Zwölfeck Das regelmäßige Zwölfeck soll in gleichschenklige Dreiecke mit den Spitzenwinkeln 30, 60 (gleichseitiges Dreieck), 90 (halbes Quadrat), 120 oder 150 zerlegt werden. Die Größe der Dreiecke spielt keine Rolle. Die Bauteile

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 2 1.2 Erweitertes Sortiment Aus zwei kongruenten gleichschenkligen Dreiecken können wir einen Rhombus zusammensetzen. Es ist daher sinnvoll, auch diese Rhomben als direkte Bauteile zuzulassen. Wir haben dann Rhomben mit den spitzen Winkeln 30 und 60 sowie das Quadrat. Dreiecke mit γ = 30 und γ =150 ergeben Rhomben derselben Form, ebenso Dreiecke mit γ = 60 und γ =120. Rhomben Aus sechs gleichseitigen Dreiecken lässt sich das regelmäßige Sechseck zusammensetzen. Auch dieses soll ein zulässiger Bauteil sein. Sechseck

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 3 2 Beispiele

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 4

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 27 3 Kommentierte Beispiele 3.1 Sonderformen 3.1.1 Spezielles Parallelogramm Wie steht es mit den Parallelogrammen? Wir erhalten Parallelogramme mit dem Seitenverhältnis 2 :1 und dem spitzen Winkel 75. Ein solches Parallelogramm lässt sich aus unseren Bauteilen zusammensetzen. Zusammensetzung des Parallelogramms

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 28 3.1.2 Konkaves Viereck Wie ist es mit den weißen konkaven Vierecken? Das konkave Vierreck lässt sich aus unseren Bauteilen zusammensetzen. Zusammensetzung des konkaven Viereckes

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 29 3.1.3 45-60 -75 -Dreieck Zerlegung der weißen Dreiecke? Die ausgesparten weißen Dreiecke haben Winkel von 45, 60 und 75 und können zerlegt werden: Zerlegung eines 45-60 -75 -Dreieckes

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 30 3.1.4 30-45 -105 -Dreieck Zerlegung der weißen Dreiecke? Die ausgesparten weißen Dreiecke haben Winkel von 30, 45 und 105 und können zerlegt werden: Zerlegung eines 30-45 -105 -Dreieckes

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 31 3.2 Zwölfeck mit Diagonalen Zwölfeck mit sämtlichen Diagonalen Im regelmäßigen Zwölfeck zeichnen wir alle Diagonalen ein. Lassen sich alle Teile durch unsere Bauteile zusammensetzen?

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 32 3.3 Bild des 6D-Würfels 6-D-Würfel in isometrischer Darstellung Der Umriss der isometrischen Darstellung des sechsdimensionalen Würfels ist ein regelmäßiges Zwölfeck. Lassen sich alle Teile durch unsere Bauteile zusammensetzen?

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 33 3.4 Unendliche Folgen 3.4.1 Häufungspunkt bei 12 Uhr Häufungspunkt im Uhrpunkt 12 In der oberen Hälfte lässt sich ein halb so großes regelmäßiges Zwölfeck aussparen und mit einer farblich veränderten halb so großen Kopie des ursprünglichen Zwölfeckes füllen. Der Prozess kann theoretisch ad infinitum iteriert werden. Wir erhalten eine Ausschöpfung des Zwölfeckes mit unendlich vielen Teilen.

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 34 3.4.2 Häufungspunkt im Zentrum 3.4.2.1 Schönes Beispiel Häufungspunkt im Zentrum Hier genügt es, einen den äußersten Kranz mit zwölf Dreiecken zu zeichnen und dann eine verkleinerte Kopie im Loch einzusetzen. Der Verkleinerungsfaktor c ist c = 2 0.70711. Die ausgesparten weißen Dreiecke sind gleichseitig. Die sichtbaren 2 Spiralen sind diskretisierte logarithmische Spiralen.

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 35 3.4.2.2 Subtiles Beispiel Wie steht es mit dem ausgesparten weißen Dreieck? In diesem Beispiel ist das ausgesparte weiße Dreieck zu studieren. Es hat zunächst die Seiten a =1 und b = 2 sowie den Winkel γ =15. Mit Hilfe des Kosinussatzes erhalten wir c = 2 3 1 2 ( )= ( 2 3) 0.5176; c ist die positive Lösung der quadratischen Gleichung c 2 + 2c 1= 0. Dies ist auch der Verkleinerungsfaktor von einem Kranz zum nächst inneren Kranz. Für die Winkel erhalten wir, was die Zeichnung suggeriert, nämlich α = 30 und β =145. Dieses 30-145 -15 -Dreieck lässt sich aus unseren Bauteilen zusammensetzen. Zusammensetzung eines weißen Deieckes

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 36 3.5 Fraktal Beginn eines Fraktales Wenn wir an mehreren Orten aussparen und verkleinerte Kopien einsetzen, entsteht ein Fraktal. In der Praxis ergeben sich Speicherprobleme. 4 Das Zwölfeck 4.1 Einfache Konstruktion In einem Karoraster zeichnen wir einen Kreis mit geradzahligem Radius. Damit erhalten wir die Uhrpunkte 3, 6, 9 und 12. Der Schnitt des Kreises mit den Mittelsenkrechten der waagerechten und senkrechten Radien liefert die restlichen Uhrpunkte 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 und 11.

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 37 4.2 Flächeninhalt Konstruktion Ein Zwölfeck mit dem Umkreisradius r hat den Flächeninhalt 3r 2. Dies kann mit Zerlegungsgleichheit gezeigt werden. Zerlegungsgleichheit Bei dieser Zerlegung werden 30-60 -90 -Dreiecke und 15-75 -90 -Dreiecke verwendet. Diese können aber auch aus unseren Bauteilen zusammengesetzt werden. 5 Zeichentechnik Zusammensetzung aus Bauteilen Die Figuren können mit dynamischer Geometrie-Software gezeichnet werden. Mit Vorteil generiert man für die Bauteile Makros in mehreren Farben.

Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 38 Inhalt Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon... 1 1 Spielregeln... 1 1.1 Gleichschenklige Dreiecke... 1 1.2 Erweitertes Sortiment... 2 2 Beispiele... 3 3 Kommentierte Beispiele... 27 3.1 Sonderformen... 27 3.1.1 Spezielles Parallelogramm... 27 3.1.2 Konkaves Viereck... 28 3.1.3 45-60 -75 -Dreieck... 29 3.1.4 30-45 -105 -Dreieck... 30 3.2 Zwölfeck mit Diagonalen... 31 3.3 Bild des 6D-Würfels... 32 3.4 Unendliche Folgen... 33 3.4.1 Häufungspunkt bei 12 Uhr... 33 3.4.2 Häufungspunkt im Zentrum... 34 3.5 Fraktal... 36 4 Das Zwölfeck... 36 4.1 Einfache Konstruktion... 36 4.2 Flächeninhalt... 37 5 Zeichentechnik... 37 Inhalt...38