Karoline Grandy und Renate Schöfer 1
Lemma 1 (Haruki) In einem Kreis seien zwei sich nicht schneidende Sehnen AB und CD gegeben. Außerdem wähle einen beliebiger Punkt P auf dem Kreisbogen zwischen A und B, gegenüberliegend der Sehne CD. Die Punkte E und F seien die Schnittpunkte der Sehnen PC und AB, bzw PD und AB. Dann ist eine Konstante, unabhängig von P. Bild 1 2
Kreisspiegelung Def. Sei ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r gegeben. Der Bildpunkt P` eines Punktes P wird bestimmt durch: Die Abbildung vertauscht das Innere mit dem Äußeren. Die Abbildung ist winkeltreu. Geraden durch den Mittelpunkt werden auf sich selbst abgebildet. Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt verlaufen, werden auf Kreise durch den Mittelpunkt abgebildet. Kreise werden wieder auf Kreise abgebildet. Bild 2: Kreisspiegelung Bild 3 3
Lemma 2 Es seien in einem Kreis zwei sich nicht schneidende Sehnen AB und CD und ein beliebiger Punkt P auf dem Kreisbogen zwischen A und B, gegenüberliegend von CD, gegeben. E und F seien die Schnittpunkte der Sehnen PC und AB, bzw. PD und AB. Dann gelten folgende zwei Gleichungen: (1) (2) Bild 4: kongruente Dreiecke ACD und DBG Bild 5 : kongruente Dreiecke BCD und ADG 4
Theorem 3 In einem Kreis seien zwei verschiedene Sehnen AB und CD gegeben. Wähle einen Punkt P auf dem Kreisbogen, mit P verschieden von A und B. Weiterhin seinen E und F die Schnittpunkte der Strecke AB mit der Sehne PC, bzw. PD. Dann gelten die Gleichungen (1) und (2). Theorem 3 behandelt den Fall, dass alle vier Punkte A, B, C und D auf einem Kreis liegen. Aber was passiert, wenn diese Punkte nicht auf dem selben Kreis liegen? Kann man dann immer noch einen Punkt P finden, der die Gleichungen (1) oder (2) erfüllt? Problem: Es seien die Punkte A,B,C und D gegeben. Finde den geometrischen Ort, bzw. aller Punkte P, die (1) oder (2) erfüllen, wobei E und F wieder die Schnittpunkte der Sehnen PC, bzw. PD mit AB sind. Um und zu untersuchen, beginnen wir erst mit dem Fall, dass P zu beiden geometrischen Orten und gehört. 5
Lemma 4 Falls es einen Punkt P gibt, der die Gleichungen (1) und (2) erfüllt, dann liegen die Punkte A,B,C und D auf einem Kreis. Eulers Verteilungs-Theorem Wenn die Punkte A,B,C und D in dieser Reihenfolge auf einer Geraden liegen, dann gilt: AB CD + AC DB + AD BC = 0 Ptolemäische Regel In einem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der nicht benachbarten Seiten. AB CD + BC DA = AC BD 6
Lemma 5 Sei P ein Punkt mit homogenen baryzentrischen Koordinaten (x:y:z) und mit Referenz-Dreieck ABC. Die Gerade AP schneidet die Gerade BC in einem Punkt X mit den Koordinaten (0:y:z). Dieser Punkt teilt die Strecke BC im Verhältnis BX:XC = z:y. Ähnlich schneidet die Gerade BP die Strecke CA in Y mit den Koordinaten (x:0:z), so dass CY:YA = x:z, und die gerade CP schneidet die Strecke AB im Punkt Z mit den Koordinaten (x:y:0), so dass AZ:ZB = y:x. Schnittpunkte der Geraden 7
Theorem 6 Es seien die Punkte A,B,C,D und ein Punkt P gegeben. Definiere die Punkte E und F als Schnittpunkte der Geraden PC und AB. a) Der geometrische Ort der Punkte P, die Gleichung (1) erfüllen, ist die Vereinigung zweier Kegelschnitte von ABCD, die gegeben sind durch die Gleichung b) Der geometrische Ort der Punkte P, die Gleichung (2) erfüllen, ist die Vereinigung zweier Kegelschnitte von ABCD, die gegeben sind durch die Gleichung Proposition 7 a) Die vier Schnittpunkte der Winkelhalbierenden der Winkel ABD und ACD und die vier Schnittpunkte der Winkelhalbierenden der Winkel CAB und CDB liegen als Punkte auf. b) Die vier Schnittpunkte der Winkelhalbierenden der Winkel BAD und BCD und die vier Schnittpunkte der Winkelhalbierenden der Winkel ABC und ADC liegen als Punkte auf. 8
Bild 6: L1 Bild 7: L2 Bild 8: A,B,C,D liegen nicht mehr auf einem Kreis 9
Korollar 8 a) Falls alle Punkte A,B,C und D auf einem Kreis liegen, dann ist einer der Kegel von und einer von mit identisch. b) Falls für den Punkt P die Gleichungen (1) und (2) erfüllt sind, dann liegen die Punkte A,B,C und D auf einem Kreis. Theorem 3, Lemma 4 und Korollar 8 geben uns nun die Kriterien, für die die fünf Punkte A,B,C,D und P auf einem Kreis liegen. Quellen : Forum Geometricorum, Volume 8 (2008) Wikepedia 10