Grundwissen Mathematik 6/ Formveränderung von Brüchen Erweitern heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit der selben Zahl multiplizieren. a ac = b bc Kürzen heißt Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl dividieren. a a:c = b b:c Beachte: Man darf mit weder erweitern noch kürzen. Ü:. Kürze soweit wie möglich: a) 8 b) c) 8 d) 9436 54 5 67. Erweitere auf den Nenner in der Klammer: a) 3 ; 7 4 ; 8 5 ; () b) 9 ; 7 ; 3 ; (54) Addition und Subtraktion gemeiner Brüche Man bestimmt den Hauptnenner und macht die Brüche gleichnamig. Man addiert bzw. subtrahiert die Zähler. Man behält den gemeinsamen Nenner bei. 3 5 9 6 9 6 3 z. B.: = = = = 4 3 Ü: a) 7 = b) 3 3 = c) 3 4 8 3 Multiplikation gemeiner Brüche 9 4 = 5 5 4 4 d) 5 3 9 = 5 5 5 Regeln: Bruch mal Bruch Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Gemischte Zahlen werden vorher in unechte Brüche umgewandelt. a c a c 3 4 34 = z. B.: = = = b d bd 8 8 7 4 Bruch mal ganze Zahl Man verwandelt die ganze Zahl in einen Bruch mit dem Nenner und verfährt a a c a c nach obiger Regel. c = = b b b Ü: 3a) 5 8 4 = b) 3 5 = c) 4 7 4 Division gemeiner Brüche 8 = d) 3 4 4 = 3 Man bildet den Kehrwert des zweiten Bruches und multipliziert anschließend die beiden Brüche. a c a d a d 4 5 4 3 43 4 4 : = = z. B.: : = = = = b d b c bc 9 3 9 5 95 35 5 Ü: 4a) 4 : 33 = b) 7 : 3 8 = c) 5 : 9 3 = d) 6 : 7 3 =
5 Umwandlung von gemeinen Brüchen in Dezimalbrüche Ü: 5a) 8 5 Grundwissen Mathematik 6/ Man wandelt einen gemeinen Bruch in einen Dezimalbruch um, indem man den Bruchstrich durch ein Divisionszeichen ersetzt und den Zähler durch den Nenner dividiert. z. B.: 7 7:8,875 8 = = 5 4 = =,5555... =,5 9 9 b) 9 6 c) 3 8 d) 5 e) 3 6 Umwandlung von Dezimalbrüchen in gemeine Brüche 6. Endliche Dezimalbrüche f) 8 5 Im Zähler steht die Zahl aus allen Dezimalen. Im Nenner steht die entsprechende Stufenzahl. Die Ganzen werden gesondert umgewandelt. z. B.: 6 4,6 = = 5 4 34 3,4= 3 = Ü: 6.a),5 b),5 c),35 d) 3,58 e) 4, f),35 6. Unendlich periodische Dezimalbrüche Im Zähler steht die Periode. Im Nenner steht eine Zahl, die aus so vielen Ziffern 9 besteht wie die Länge der Periode vorgibt. 3 z. B.:,3= =, = 9 3 999 (Die Regel gilt nur, wenn die Periode sofort nach dem Komma beginnt!) Ü: 6.a), b),6 c), d) 3,43 e),9 f),4 7 Runden von Dezimalbrüchen Bei sehr langen oder unendlichen Dezimalbrüchen genügt häufig ein gerundeter Näherungswert der Zahl. Dafür gilt folgendes: Abrunden: Die zu rundende Ziffer bleibt unverändert, wenn eine der Ziffern - 4 folgt. Aufrunden: Die zu rundende Ziffer wird um erhöht, wenn eine der Ziffern 5-9 folgt. Vor dem Runden ist festzustellen, auf welche Stelle gerundet werden soll und die folgende Ziffer ist die entscheidende. z. B.: 3,8 (G) = 4 6,983 (h) = 6,98,57 (z) =, Ü: 7 Runde auf die angegebene Stelle nach dem Komma: a) 67,345 (h) b) 7,987 (z) c) 3,354 (G) d),9 (z)
8 Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Grundwissen Mathematik 6/ 3 Man bringt die Dezimalbrüche durch Anhängen von Endnullen auf gleich viele Dezimalen. Man addiert bzw. subtrahiert Ziffern mit gleichem Stellenwert. z. B.: 3,4,345,7= 3,4,345,7= 5,35 Ü: 8a) 4,8 3,4 8,5673 = b),98 4,8 3,,56 = c) (45,3 4,97) (34,564 6,) = 9 Multiplikation von Dezimalbrüchen Man multipliziert die beiden Dezimalbrüche zunächst ohne Komma. Man setzt das Komma so, dass das Ergebnis so viele Dezimalen besitzt wie beide Faktoren zusammen. z. B.: 4,5,3=,35 Ü: 9a) 3,4 = b) 8,6 6, = c),5 = d),,3= Division von Dezimalbrüchen Man verschiebt das Komma bei Dividend und Divisor um gleich viele Stellen soweit nach rechts bis der Divisor kommafrei ist. Man dividiert wie in IN. Man setzt das Komma im Ergebnis beim Überschreiten der Kommastelle beim Dividenden. z. B.: 4,97:3,5= 49,7:35=,4 35 4 7 4 7 7 Ü: a) 3,88:,4= b) 5,66:3,6 = c) 64:,6 =
Grundwissen Mathematik 6/ Terme Definition Jede Zahl z. B.: 5;,; 7 ;... Jede Variable z. B.: a; x; y;... Jede sinnvolle Verknüpfung aus Zahlen, z.b.: 5,3,4; 3x 7; x 5 ;... Variablen und Rechenzeichen bezeichnet man als Term. Jeder Term, der eine Variable enthält, besitzt eine Grundmenge GI für die Variable. Darstellungsarten von Termen Wenn man für die Variable des Terms Zahlen der Grundmenge einsetzt, erhält man jeweils den dazugehörigen Termwert. Terme kann man in numerischen und graphischen Wertetabellen darstellen: Beispiel: T(x) =,5 x G I = {;;;3;4;5;6}. Numerische Wertetabelle x 3 4 5 6,5 x,5 3 3,5 4 4,5 5. Graphische Wertetabelle T(x) 5 4 3 3 Äquivalente Terme O 3 4 5 6 x Terme sind äquivalent (gleichwertig), wenn sie bei allen Einsetzungen aus der Grundmenge GI jeweils die gleichen Termwerte haben. Beispiele:. T(x) = 4x und T(x) = (5 x) 4 G I = {;;3} für x = T () = 4 T () = 4 für x = T () = 8 T () = 8 für x = 3 T (3) = 3 T (3) = 3 Da die Termwerte für alle Einsetzungen gleich sind, sind die Terme äquivalent T (x) = T (x). T(x) = x x und T(x) = x G I = {;;} für x = T () = T () = für x = T () = T () = für x = T () = 4 T () = 4 Da die Termwerte nicht für alle Einsetzungen nicht gleich sind, sind die Terme nicht äquivalent T (x) T (x)
Grundwissen Mathematik 6/ Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen Äquivalenz von Gleichungen Gleichungen (Ungleichungen), die bei gleicher Grundmenge dieselbe Lösungsmenge besitzen, heißen äquivalent. Beispiel: (5 x) 4= 8 ist äquivalent zu 4x = 8 in GI = Q I, da beide Gleichungen die Lösungsmenge IL = {5} haben. Äquivalenzumformungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert oder subtrahiert beide Seiten mit der gleichen von Null verschiedenen Zahl multipliziert oder dividiert. Eine derartige Umformung heißt Äquivalenzumformung. Beispiele: GI = Q I. x = 5. x = 4 : x 5 3 = 5 x = 7 3 3 x = x = IL = {} IL = {} Zur Probe setzt man das Lösungselement ein und überzeugt sich, dass eine wahre Aussage entsteht! = 5 (wahre Aussage) 5 3 = (wahre Aussage) Ü: Löse durch Äquivalenzumformungen die Gleichungen mit GI = Q I a) x = 4 4 b) x = 3 5 c) x 3= 8 d),y,3= 4,5 e) (7 3) x 6= f) 3 x = 4 4 3 g) z:,6=,4 9