Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation Teleportation mit Photonen und Ionen Stephan Kleinert
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Inhalt: Allgemeines Prinzip der Teleportation Beispiele Teleportation mit Photonen Teleportation mit Ionen 2
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Science-Fiction Beamen : Der Transport einer Person oder eines Gegenstandes von einem Ort zum anderen, ohne dass die dazwischenliegende Strecke zurückgelegt werden muss, d.h. instantan. Abb. 1: Beamen 3
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation So einfach geht das Beamen aber leider nicht! 4
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Szenario: Alice hat einen Quanten - Zustand ψ>, den sie Bob übermitteln möchte Kann aber mit Bob nur klassisch kommunizieren Alice Bob Abb. 2: Alice und Bob 5
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Problem: Alice kennt den Zustand nicht ψ = α 0 + β 1 Sie kann ihn auch nicht exakt beschreiben, da ein quantenmechanischer Zustand unendlich viele klassische Information beinhaltet Alice kann auch keine Kopie des Zustandes ψ> anfertigen (no-cloning theorem) Abb. 3: Bloch-Kugel 6
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Einschub: no-cloning theorem Warum lässt sich ein beliebiger Quanten-Zustand nicht klonen/kopieren? Annahme: Wir nehmen an, dass es möglich ist einen Zustand ψ> bzw. φ> auf einen beliebigen Zustand S> zu kopieren. Durch eine geeignete unitäre Transformation U erhält man somit: ψ> S> U ( ψ> S> ) = ψ ψ > φ> S> U ( φ> S> ) = φ φ > Daraus folgt für das inner product ( U ( ψ> S> ), U ( φ> S> ) ): < ψ ψ φ φ> = < ψ S U + U φ S > = < ψ S φ S > = < ψ φ > 2 < ψ φ > ψ > orthogonal zu φ > oder ψ > = φ > Somit ist das Klonen von beliebigen Zuständen nicht möglich! 7
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Nun wieder zurück zu Alice und Bob. 8
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Was kann Alice tun, um den Zustand zu übermitteln? 9
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Alice erinnert sich daran, dass sie - als sie Bob das letzte Mal gesehen hat ein EPR-Paar (Einstein-Podolski-Rosen-Paar) erzeugte. Anschließend teilten sich Bob und Alice das EPR-Paar, um stets etwas Verbindendes mit sich zu tragen. Alice ist nicht dumm und will dieses ERP-Paar nun zur Übermittlung des Zustandes ψ> nutzen. 10
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Wie soll das gehen? 11
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation Vorgehensweise: Alice lässt den unbekannten Zustand ψ> mit ihrer Hälfte des EPR-Paares interagieren Alice misst ihre beiden Qubits und erhält klassische Messwerte Diese Messwerte schickt sie mittels einer klassischen Nachricht an Bob Bob wendet eine von 4 möglichen Operationen auf seine Hälfte des EPR- Paares an Bob erhält den Ursprünglichen Zustand ψ> 12
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation Alice besitzt den unbekanten Zustand ψ> = α 0> + β 1> (α und β sind unbekannte komplexe Zahlen) Schaltkreis Input ψ0> = ψ> β00> = 2-1/2 [α 0> ( 00> + 11>) + β 1> ( 00> + 11>)] (Die ersten beiden Qubits (links) gehören Alice, das 3. Qubit Bob; Qubit 2 und Qubit 3 stammen aus dem EPR-Paar) 13
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation Alice Qubits gehen durch ein CNOT-Gate (C-NOT-Gate) ψ1> = 2-1/2 { α 0> ( 00> + 11>) + β 1> ( 10> + 01>) } Danach geht Qubit 1 durch ein Hadamard-Gate (Hadamard-Gate) ψ2> = ½ { α ( 0> + 1>) ( 00> + 11>) + β ( 0> - 1>)( 10> + 01>) } Umschreiben liefert ψ2> = ½ { 00> (α 0> + β 1>) + 01>(α 1> + β 0>) + 10>(α 0> -β 1>) + 11>(α 1> + β 0>) } 14
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation Misst nun Alice ihre beiden Qubits 1 und 2, so ist Bobs Qubit auf einen bestimmten Zustand festgelegt. ψ2> = ½* [ 00> (α 0> + β 1>) + 01>(α 1> + β 0>) + 10>(α 0> -β 1>) + 11>(α 1> -β 0>)] Durch geeignete Operationen (I,X, Z und Z*X) erhält Bob nun ψ> 00 ψ3(00)> = {α 0> + β 1>} I ψ> = ψ> 01 ψ3(01)> = {α 1> + β 0>} X ψ3(01)> = ψ> 10 ψ3(10)> = {α 0> - β 1>} Z ψ3(10)> = ψ> 11 ψ3(11)> = {α 1> - β 0>} Z*X ψ3(11)> = ψ> 15
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Somit wurde der unbekannte Zustand ψ> übermittelt, ohne das Alice wissen musste, um welchen Zustand es sich handelt. Dadurch, dass Alice ihre zwei Qubits gemessen hat, wurde Bobs Qubit geändert (egal, wo sich Bobs Qubit 3 gerade befand!) (Nicht-Lokalität der Quantenmechanik) Nun hört sich das alles einwenig seltsam an und wirft womöglich folgende Fragen auf: 16
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Es gilt das no-cloning Theorem. Aber wurde der ursprüngliche Zustand ψ> von Alice nicht geklont? 17
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Die Antwort lautet: NEIN! Nach der erfolgreichen Teleportation existiert nur noch Bobs Zustand und der Ausgangszustand von Alice wurde durch die Teleportation zerstört. 18
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Erlaubt uns somit Quanten-Teleportation eine Informationsübertragung schneller als mit Lichtgeschwindigkeit? 19
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Die Antwort lautet:: NEIN! Nach der Messung durch Alice erfolgt zwar eine instantane Festlegung des Zustandes von Bob, doch weiß Bob erst, um welchen Zustand es sich handelt, wenn Alice ihm eine klassische Nachricht über den Ausgang ihrer Messung übermittelt hat. Diese klassische Nachricht jedoch kann höchstens mit Lichtgeschwindigkeit übermittelt werden. 20
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Was können wir nun aus der Teleportation lernen? 21
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Quanten-Teletportation zeigt die Austauschbarkeit von verschiedenen Ressourcen/Quellen 1 EBIT (entangled-bit) + 2 Bits = 1Qubit Teleportation zur (Fern-)Realisierung von Quanten-Gatter Teleportation zur Quanten-Fehler-Korrektur Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation 22
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen Teleportation mit Photonen Fünf-Photonen-Verschränkung (FPV) Open-destination Teleportation (ODT) 23
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - FPV Für was benötigt man eine Fünf-Photonen-Verschränkung? 24
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - FPV Die Fähigkeit eine Fünf oder Mehr-Photonen-Verschränkung zu manipulieren ist wichtig für eine universelle Quanten-Fehler- Korrektur. Des weiteren führt uns eine Fünf-Photonen-Verschränkung zur open-destination Teleportation. 25
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - FPV Ausgangspunkt bilden zwei polarisationsverschränkte-photonen-paare im Zustand Ф + >. Βell-Zustände: Abb. 5: Präparation einer Fünf-Photonen-Verschränkung Aus jedem EPR-Paar wird ein Photon auf ein Polarisations-Strahlteiler (PBS) gelenkt, sodass beide Photonen an einem PBS gleichzeitig ankommen. PBS reflektier vertikal-polarisiertes Licht (V) und lässt horizontal-reflektiertes Licht (H) hindurch Photon 3 u. 4 sind entweder beide H-polarisiert oder beide V- polarisiert 26
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - FPV Dies projeziert den Vier-Photonen-Zustand auf einen zweidim. Unterraum (aufgespannt durch H> 2 H> 3 H> 4 H> 5 und V> 2 V> 3 V> 4 V> 5 ). Somit erhält man den vier-photonen-verschränkten Zustand: Wird nun noch Photon 1 in den Zustand 2-1/2 ( H>1 + V>1 ) präpariert, so erhält man eine Fünf-Photonen-Verschränkung: 27
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - FPV Bemerkung: 1. Diese FPV gelingt nur, wenn genau ein Photon aus jedem der 5 Ausgangskanäle gelangt. 2. Dieses in Abb.5 gezeigte Schema kann nun zur Realisierung einer opendestination Teleportation verwendet werden. 28
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - ODT open-destination Teleportation: Bei einer open-destination Teleportation wird ein unbekannter Quanten-Zustand eines einzelnen Teilchens auf eine Superposition von N Teilchen teleportiert. Dieser teleportierte Zustand kann zu einem späteren Zeitpunkt an jedem der N-Teilchen ausgelesen werden. 29
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - ODT Realisierung der ODT: Photon 2,3,4,5 Daraus folgt mit einem unbekannten Zustand ψ> 1 = α H> 1 + β V> 1 : 30
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - ODT Abb. 6: Schema zur open-destination Teleportation Mit einer gemeinsamen Bell-Messung an Photon 1 u. 2 erhält man eine Superposition von 3 Teilchen ψ>345. Dadurch wurde der unbekannte Zustand ψ>1 auf eine 3-Teilchen-Superposition teleportiert. 31
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - ODT Beispiel: 1. Projektion auf den Zustand Φ + > durch eine gemeinsame Messung an Teilchen 1 u. 2 in der +/- Basis ( +> = 2-1/2 [ H> + V> ] -> = 2-1/2 [ H> - V> ] ) Photon 3,4,5: ψ> 345 = α H> 3 H> 4 H> 5 + β V> 3 V> 4 V> 5 32
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - ODT Lokale Polarisations-Messung von Photon 4 und 5 in +/- Basis: 1. + > 4 + > 5 oder - > 4 - > 5 2. + > 4 - > 5 oder - > 4 + > 5 ψ> 3 = α H> 3 + β V> 3 ψ> 3 = α H> 3 β V> 3 33
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen - ODT Im 1. Fall befindet sich nun Photon 3 im Ausgangszustand des Photons 1. ( ψ> 3 = α H > 3 + β V > 3 = ψ > 1 ) Im 2. Fall erreicht man den ürsprünglichen Zustand ψ> 1 des Photons 1 durch eine lokale Phasen-Flip-Operation. ( ψ> 3 = α H > 3 β V > 3 ) Natürlich hätte man die lokale Polarisations-Messung auch auf Photon 3 und 5 oder Photon 3 und 4 anwenden können, so dass nun der Anfangszustand ψ>1 auf Photon 4 bzw. Photon 5 teleportiert wäre ( open-destination teleportation ) 34
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Teleportation mit Ionen (Beispiel 40 Ca + ) 35
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Vorbereitung: 40 Ca + Ionen sind in einer linearen Paul-Falle gefangen. (lineare Paul-Falle) Die Ionen befinden sich in einem Abstand von 5 µm. Ein Qubit wird realisiert durch die Superposition des S 1/2 -Grundzustand und dem metastabilen D 5/2 -Zustand (Lebensdauer τ = 1,16 s). Jedes Ion kann individuell durch Laser-Pulse manipuliert werden. (Niveau-Schema) Massenschwerpunkts-Schwingungs-Mode des Ionen-Strangs ist bis zum Grundzustand abgekühlt ( kontrollierte Interaktionen zwischen Ionen möglich) (Bewegung) 36
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Abb. 7: Quantenschaltkreis: Teleportation mit Ionen Ion 2 und Ion 3 werden in den Bell-Zustand ψ + > 23 gebracht ψ + > 23 = 2-1/2 [ 0> 2 1> 3 + 1> 2 0> 3 ] (Lebensdauer > 100 ms) Teleportation-Schritt < 2 ms: U χ 1. Ion 1 beliebiger Zustand χ> 2. Bell-Zustands-Analyse: controlled-phase-gate gefolgt von einem π/2-puls. 37
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Produkt-Zustand in computational Basis {S,D} superpositionierter Zustand control bit target bit 2-Qubitverschränkter Zustand S, S D, D 38
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen 2-Qubitverschränkter Zustand superpositionierter Zustand control bit target bit Produkt-Zustand in computational Basis {S,D} S, S D, D 39
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen prepare gate output detect Abb. 8: Verschränkung 40
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Abb. 7: Quantenschaltkreis: Teleportation mit Ionen Ion 2 und Ion 3 werden in den Bell-Zustand ψ + > 23 gebracht ψ + > 23 = 1/ 2 [ 0> 2 1> 3 + 1> 2 0> 3 ] (Lebensdauer > 100 ms) Teleportation-Schritt < 2 ms: U χ 1. Ion 1 beliebiger Zustand χ> 2. Bell-Zustands-Analyse: controlled-phase-gate gefolgt von einem π/2-puls. 3. Messung des gemeinsamen Zustandes von Ion 1 und 2 durch Bestrahlen des Ions (für 250 µs lang) mit Licht der Wellenlänge 397 nm. 41
Teleportation 3 mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Erhält man Fluoreszenslicht, so befindet sich das Ion im Zustand S 1/2. Ohne Detektion (z.b. mittels eines Photomultipliers) von Fluoreszenslicht befindet sich das Ion im Zustand D 5/2. (Detektion) Um Kohärenz des Qubits 3 zu erhalten, versteckt, man es mithilfe einer Transformation zu einer Superposition von Niveaus, die unabhängig vom Detektionslicht sind (bei Ca + : Zeeman-Niveau H> = D 5/2 (m J = - 5/2) ). (Verstecken) Dieselbe Technik wird auch dazu genutzt, um die einzelnen Ionen 1 und 2 getrennt voneinander zu messen. Man erhält die möglichen Zustände: { 0> 1 0> 2, 0> 1 1> 2, 1> 1 0> 2, 1> 1 1> 2 } Abhängig von dieser Messung führt man eine geeignete unitäre Operation an Ion 3 durch, um den teleportierten Zustand von Ion 1 zu Ion 3 zu vervollständigen. 42
Teleportation mit Photonen und Ionen - Literaturverzeichnis Abbildungsverzeichnis: [Abb.1] Beamen; online unter: http://www.treffmagazin.de/archiv/html/treff_1007/gix/beamen_1.jpg. [Abb.2] Alice und Bob [Abb.3] Bloch-Kugel; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter. [Abb.4] Quantenschaltkreis: Teleportation [Abb.5] Präparation einer Fünf-Photonen-Verschränkung; Nature 429, S.54, 2004. [Abb.6] Schema zur open-destination Teleportation; Nature 429, S.54, 2004. [Abb.7] Quantenschaltkreis: Teleportation mit Ionen; Nature 429, S.735, 2004. [Abb.8] Verschränkung; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter. [Abb.9] Lineare Paul-Falle; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter. [Abb.10] Niveau-Schema von Ca + ; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter. [Abb.11.1-11.4] Zeeman Niveau; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter. [Abb.12] Schwingung der Ionen; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter..3.5.6...12...26...31...37...40...46...47...49...53.. 43
Teleportation mit Photonen und Ionen - Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis: [1] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2001. [2] Nature 429, S.734, 2004. [3] Nature 429, S.737-739, 2004. [4] Nature 430, 2004. [5] New J. Phys. 9, S. 211, 2007. ENDE 44
Teleportation mit Photonen und Ionen Zusatzfolien 45
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Lineare Paul-Falle 1.0mm 5mm ω axial 0.7 2 MHz ω radial 5 MHz Abb. 9: Lineare Paul-Falle 46
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Niveau-Schema von Ca + Superpositions von S 1/2 and D 5/2 Qubit P 3/2 854 nm P 1/2 393 nm 397 nm 866 nm D 5/2 D 3/2 Qubit 1> τ 1s 729 nm S 1/2 0> Abb. 10: Niveau-Schema von Ca + 47
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Niveau-Schema von Ca + Superpositions von S 1/2 and D 5/2 Qubit P 3/2 854 nm P 1/2 393 nm 397 nm 866 nm D 5/2 D 3/2 Qubit 1> τ 1s 729 nm S 1/2 0> Abb. 10: Niveau-Schema von Ca + 48
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen Zeeman Niveau D 5/2 D 5/2 D 5/2 S 1/2 S 1/2 S 1/2 π π S 1/2 Ion 1 Ion 2 Ion 3 Abb. 11.1: Zeeman Niveau Detektion des 1. Ions 49
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen versteckt! Zeeman Niveau D 5/2 D 5/2 D 5/2 S 1/2 S 1/2 S 1/2 Ion 1 Ion 2 Ion 3 Abb. 11.2: Zeeman Niveau Einzel-Detektion des Ions 1 50
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen versteckt! Zeeman Niveau D 5/2 D 5/2 S 1/2 S 1/2 S 1/2 π π D 5/2 S 1/2 Ion 1 Ion 2 Ion 3 Abb. 11.3: Zeeman Niveau Detektion des 2. Ions 51
Zeeman Niveau D 5/2 D 5/2 D 5/2 S 1/2 S 1/2 S 1/2 Ion 1 Ion 2 Ion 3 Abb. 11.4: Zeeman Niveau Einzel-Detektion des 2. Ions 52
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Ionen 2-Niveau-Atom D Harmonische Falle n 1, D n, D n +1, D S Ω ν { n 1, S n, S n +1, S coherent manipulation of the common motional state Abb. 12: Schwingung der Ionen 53
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation C-NOT (controlled NOT) 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 1 > 0 > 1 > 1 > 0 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 0 > control-bit target-bit 54
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation Hadamard Gate 0 > 2-1/2 ( 0 > + 1 > ) 1 > 2-1/2 ( 0 > - 1 > ) 55