Kap. 4: Einige Grundtatsachen der Quantenmechanik

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1 Kap. 4: Einige Grundtatsachen der Quantenmechanik Quantenmechanik = lineare Algebra + eine Differentialgleichung 1. Ordnung Wie alles begann Vektoren Hilbertraum Operatoren im Hilbertraum Dynamik: die Schrödingergleichung Der zweidimensionale Hilbertraum: Einzelne Qubits und Spins Zwei Qubits und die Dichtematrix Verschränkung Die Blochkugel EPR-Korrelationen und Bellsche Ungleichung Das No-Cloning-Theorem Der Messprozess

2 Wie alles begann Wollaston 1802, Fraunhofer 1814, Bunsen und Kirchoff 1859: Atome emittieren und absorbieren Licht mit charakteristischen Wellenlängen bzw. Frequenzen ν. Planck, Bohr, Einstein ca. 1900: Licht kommt in Quanten Photonen, deren Energie proportional zur Frequenz ist: E = hν = h 2πν = ω 2π Atome existieren nur in bestimmten stationären Zuständen mit bestimmten Energien. Die Differenzen dieser Energien sind die Energien der bei Übergängen absorbierten oder emittierten Lichtquanten. Schrödinger 1926: Zustände werden beschrieben durch Wellenfunktionen, deren zeitliche Entwicklung durch die Schrödingergleichung beschrieben wird. Die möglichen Energiewerte ergeben sich als Eigenwerte eines mit der Schrödingergleichung verknüpften Eigenwertproblems. Landau, Bloch 1927: Dichtematrix zur Beschreibung nicht abgeschlossener Systeme

3 Vektoren Hilbertraum Systeme mit einer endlichen Anzahl von Teilchen in einem endlichen Raumbereich z.b. intakte Atome haben ein diskretes Spektrum von Energiewerten. Analogie: Obertonspektrum einer gespannten endlichen Saite. E usw. Es gibt auch ein kontinuierliches Spektrum. Wird ab sofort vernachlässigt. NB: Es wird sich noch früh genug lästig bemerkbar machen Dissipation, Dekohärenz. Annahme: Anzahl d der möglichen Zustände ist endlich mathematisch einfacher. d = 2 : Qubits. Postulat: Die Menge der möglichen Zustände bildet einen d-dimensionalen komplexen Vektorraum, den Hilbertraum.

4 Stationäre Zustände eines Atoms kann man als Basisvektoren des Hilbertraums auffassen. Jede Linearkombination möglicher Zustände ist wieder ein möglicher Zustand. Analogie: Überlagerung zweier möglicher Schwingungsformen In einem Vektorraum gibt es Skalarprodukte, eine Norm, etc.: a 1 a 2 d-dimensionaler Spalten-Vektor:.. a d entsprechender Zeilen-Vektor a 1, a 2,..., a d *: komplexe Konjugation Physiker-Notation à la Dirac: Spaltenvektor: a Ket-Vektor Skalarprodukt: a b = d i=1 a i b i Norm: a 2 = a a > 0 Zeilenvektor: a Bra-Vektor Es genügt, normierte Zustände ψ zu betrachten, also ψ ψ = 1. Außerdem sind die Zustände ψ und e iα ψ α reell physikalisch äquivalent: ein Phasenfaktor vor dem gesamten Zustand ist unwichtig. Hingegen sind relative Phasen zwischen Komponenten einer Zustands-Superposition eminent wichtig: φ + ψ und φ + e iα ψ können sehr verschiedene Eigenschaften haben.

5 Operatoren im Hilbertraum Operatoren bilden einen Zustand linear auf einen anderen ab: d d -Matrizen mit komplexen Elementen, die auf dem d-dimensionalen Hilbertraum operieren. A ψ = φ Besondere Klasse von Operatoren: Observablen, d.h. messbare Größen. Diesen entsprechen selbstadjungierte oder auch Hermitesche Matrizen, d.h. solche mit A = A; A ij := A ji Ein Eigenzustand φ q Eigenvektor eines Operators Q hat die Eigenschaft: Q φ q = q φ q Die komplexe Zahl q heißt Eigenwert. Eigenwerte verschiedener Eigenzustände können gleich sein Trivialbeispiel: 1; Entartung. Selbstadjungierte Operatoren haben reelle Eigenwerte Messgrößen!; ihre Eigenzustände sind paarweise orthogonal cave Entartung, bilden also eine Basis im Hilbertraum. A a i = a i a i i = 1,..., d

6 ... und mit Normierung gilt a i a j = 0 für i j a i a j = δ ij Kronecker-δ Eigenzustände und Eigenwerte beschreiben die Wirkung eines Operators vollständig, da ein beliebiger Zustand aus Eigenzuständen von A linearkombiniert werden kann Spektraldarstellung. Weitere besondere Klasse von Operatoren: Projektionsoperatoren: Wirkung auf einen beliebigen Zustand ψ P i := a i a i P i ψ = a i a i ψ = a i ψ a }{{} i Zahl a i ψ : Länge der Projektion von ψ auf den Einheitsvektor a i : ψ> a > i

7 Für orthonormierte a i d.h. a i a j = δ ij gilt P i P j = δ ij P j ; insbesondere P 2 i = P i Zweimal projizieren ist nicht besser als einmal. Und da die P i alle Richtungen des Hilbertraums erfassen: d P i = i=1 d a i a i = 1 i=1 Vollständigkeitsrelation. Das war Vorarbeit für Spektraldarstellung von A: A = d a i P i = i=1 d a i a i a i i=1 Beliebiger Zustand wird nach Komponenten in Eigenrichtungen zerlegt, jede Komponente wird entsprechend behandelt. Wunsch: Operator, der die stationären Zustände als Eigenzustände und die möglichen Energiewerte als Eigenwerte besitzt. Erfüllung: der Hamiltonoperator Hamiltonian H.

8 Postulat: Eine einzelne Messung der Observablen A im normierten Zustand ψ liefert einen der Eigenwerte a i von A, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit a i ψ 2 i a i ψ 2 = 1 wg. Normierung. Unmittelbar nach der Messung ist das System dann im normierten Zustand P i ψ P i ψ. Man spricht von der Reduktion oder dem Kollaps der Wellenfunktion. Eine genaue Vorhersage des Ergebnisses einer Einzelmessung ist in der Regel nicht möglich. Eine häufig wiederholte bzw. an einem Ensemble von gleichartig präparierten Systemen durchgeführte Messung von A ergibt den Mittelwert Erwartungswert A := ψ A ψ mit Schwankungen beschrieben durch die Varianz A A 2 0 = für Eigenzustand Beachte: Zwei verschiedene Arten von Messungen!

9 Dynamik: die Schrödingergleichung Postulat: Die Zeitentwicklung eines Zustands ψt genügt der zeitabhängigen Schrödingergleichung d dt ψt = i H ψt Mit dem Hamiltonoperator H. Sei nun φ i dessen Eigenzustand mit Energieeigenwert ε i : H φ i = ε i φ i zeitunabhängige Schrödingergleichung. Dann ist ψt = exp i ε it φ i eine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung zur Anfangsbedingung ψt = 0 = φ i. Offenbar tatsächlich ein stationärer Zustand: globaler Phasenfaktor hat keine Bedeutung. Da man einen beliebigen Anfangszustand ψt = 0 aus den Eigenzuständen φ i von H

10 linearkombinieren kann, ist das Anfangswertproblem im Prinzip gelöst. Formale Schreibweise für diese Lösung des AWP für zeitunabhängiges H: ψt = exp i Ht ψt = 0. Dabei ist der Zeitentwicklungsoperator Ut := exp i Ht auf zwei Arten interpretierbar: i Potenzreihe exp ii Spektraldarstellung i Ht = 1 + i Ht i Ht i Ht 3 + exp i Ht = d exp i=1 i ε it φ i φ i NB: Für zeitabhängige Ht ist Ut als Lösung einer Operator-DGl zu berechnen; für ganz allgemeine Zeitabhängigkeit ist die Lösung nicht einmal für d = 2 bekannt. Die Eigenwerte exp i ε it von Ut sind alle vom Betrag 1; solche Operatoren nennt man unitär. Unter der Wirkung eines unitären Operators U bleiben alle Skalarprodukte erhalten, d.h. das Skalarprodukt von ψ und χ ist gleich dem von U ψ und U χ ; insbesondere bleiben

11 Normen erhalten. Unitäre Operatoren sind also Drehungen im Hilbertraum. Allgemeine Definition von Unitarität: Für zeitunabhängiges H gilt plausiblerweise: Unitäre Zeitentwicklung ist reversibel. U U = 1 U = U 1. Ut 1 = U t Zwei Arten von Zustandsänderungen: i unitäre Zeitentwicklung: deterministisch und reversibel ii Messung: probabilistisch und irreversibel. Warum ist eine Messung etwas Anderes als ein beliebiger anderer physikalischer Prozess? Messprozess.

12 Der zweidimensionale Hilbertraum: Einzelne Qubits und Spins Oft kann man ein System so kontrollieren, dass nur zwei Zustände eine Rolle spielen; z.b. Grundzustand Zustand niedrigster Energie und erster angeregter Zustand; manche Systeme Spins 1/2 können überhaupt nur zwei Zustände einnehmen. Aus Gründen der Analogie zu klassischen Bits ebenso wie aus solchen der Schreibökonomie 2 2-Matrizen... bieten sich solche Systeme für das Quantencomputing an. Viele subatomare Teilchen besitzen einen Spin Eigendrehimpuls, verknüpft mit einem magnetischen Moment Elementardipol, das in einem äußeren Magnetfeld B Zustände unterschiedlicher Energie einnehmen kann. Im Gegensatz zu einem klassischen magnetischen Moment kann ein quantenmechanisches nur endlich viele Energiewerte in einem äußeren Feld annehmen, und damit nur endlich viele mögliche Richtungen zu B. Klassisches magnetisches Moment im Feld Feld Moment Feld E = E minimal E > E 0 0 Extremfall: Spin-1/2 -Teilchen e, p +, n 0 : nur zwei Einstellmöglichkeiten zweidimensionaler Hilbertraum, mit Basisvektoren und ; synonym und

13 Nur vier Grundoperatoren in diesem Hilbertraum: P = = 0 0 P = = 0 1 S = = 0 0 S 0 0 = = 1 0 Physikalisch zweckmäßigere Kombinationen dieser Operatoren sind die Folgenden: 1 = = P + P S z = = P P S x = = S+ + S S y = 1 0 i = i 2 i 0 2 S S + S x 2 = S y 2 = S z 2 = Mithilfe dieser Spinmatrizen läßt sich der Hamiltonoperator eines ortsfesten Teilchens mit Spin 1/2 in einem äußeren Feld mit Komponenten B x, B y, B z angeben: H = B S = B x S x + B y S y + B z S z. B hier in extrem unüblichen teilchenspezifischen Einheiten.

14 1 Ein paar kleine Fingerübungen: Der Anfangszustand sei = 0. Bestimme den Zeitentwicklungsoperator Ut für den Fall eines B-Feldes entlang einer der Koordinatenrichtungen α = x, y, z. Ut = exp iht = exp ib αt 2 }{{} 2S α = cos Quadrat=1 Bα t Bα t 1 + i sin 2S α. 2 2 Für α = z ist Ut = exp i B α t exp i B αt 2 ψt = exp i B αt ψ0 2 also stationär; kein Wunder: Anfangszustand = Eigenzustand von S z und damit von H. Anders α = x: cos Bα t Ut = 2 i sin B α t 2 i sin B α t 2 cos B α t, 2 also cos Bα t ψt = 2 i sin Bα t Bα t B α t = cos + i sin Durchläuft also periodisch ein Kontinuum von Zuständen : Rotation im Hilbertraum. α = y: ähnlich.

15 Der allgemeinste Zustand eines Qubits ist eine beliebige normierte Linearkombination von und, z.b. parametrisiert durch zwei Winkel: θ, ϕ = exp i ϕ cos θ exp i ϕ sin θ θ π; 0 ϕ 2π. Das Qubit kann also zwei beschränkte reelle Zahlen speichern. Die Frage ist, wie man diese Information lesen / schreiben / manipulieren kann Rest der Vorlesung. Man rechnet leicht nach, dass obiges Qubit ein Eigenzustand zum Operator cos θs z + sin θ cos ϕs x + sin θ sin ϕs y zum Eigenwert +1/2 ist. Man muss also nur mit einem hinreichend starken Magnetfeld in der θ, ϕ-richtung den Spin ausrichten, um das Qubit zu präparieren. z θ y ϕ x

16 Zwei Qubits und die Dichtematrix Much that is weird and wonderful about quantum mechanics can be appreciated by considering the properties of the quantum states of two qubits. John Preskill, Physics 229, Caltech 97/98

17 Zwei Qubits und die Dichtematrix Much that is weird and wonderful about quantum mechanics can be appreciated by considering the properties of the quantum states of two qubits. John Preskill, Physics 229, Caltech 97/98 Quantensysteme der realen Welt koppeln immer an die Umgebung, die wir in aller Regel nicht in die quantenmechanische Betrachtung aufnehmen können / wollen: Wenn wir aber ein Quantensystem betrachten, welches in Wirklichkeit nur Teil eines größeren Systems ist, dann sind, im Gegensatz zu unseren bisherigen Glaubenssätzen Zustände nicht mehr Vektoren im Hilbertraum Messungen nicht mehr orthogonale Projektionen auf den Endzustand Zeitentwicklungen nicht mehr unitär.

18 Zwei Qubits und die Dichtematrix Much that is weird and wonderful about quantum mechanics can be appreciated by considering the properties of the quantum states of two qubits. John Preskill, Physics 229, Caltech 97/98 Quantensysteme der realen Welt koppeln immer an die Umgebung, die wir in aller Regel nicht in die quantenmechanische Betrachtung aufnehmen können / wollen: Wenn wir aber ein Quantensystem betrachten, welches in Wirklichkeit nur Teil eines größeren Systems ist, dann sind, im Gegensatz zu unseren bisherigen Glaubenssätzen Zustände nicht mehr Vektoren im Hilbertraum Messungen nicht mehr orthogonale Projektionen auf den Endzustand Zeitentwicklungen nicht mehr unitär. Einfachstes Beispiel zur Veranschaulichung : ein Qubit A = System, zugänglich; ein Qubit B = Umgebung, unzugänglich. { A, A } und { B, B } sind orthonormale Basen für die beiden Teilsysteme.

19 Ein korrelierter verschränkter, entangled Zustand von 2 Qubits: ψ = a A B + b A B. Messung des Zustands Projektion auf die A-Basis an Qubit A liefert A B mit Wahrscheinlichkeit a 2 A B mit Wahrscheinlichkeit b 2. In beiden Fällen liegt nach der Messung an A der Zustand von B fest: Verschränkung. Messe nun eine Observable, die nur auf A wirkt: Erwartungswert davon im Zustand ψ : M A 1 B. M A = ψ M A 1 B ψ = [ ] ] a A B + b A B M A 1 B [a A B + b A B 1 B tut nichts an... B -Zuständen; B B = 0 nur zwei Terme überleben. = a 2 A M A A + b 2 A M A A = Tr a 2 P A M A + b 2 P A M A = =

20 Dabei sind = Tr [ a 2 P A + b 2 P A ] MA = Tr ρa M A P A = P A = Projektoren auf die, -Unterräume von A; Tr: Spur trace = Summe der Diagonalelemente einer Matrix, also hier Tr X = A X A + A X A. ρ A = a 2 P A + b 2 a 2 0 P A = 0 b 2 ist der Dichteoperator Dichtematrix; ist hermitesch, positiv und hat Spur 1. Jeder Operator mit diesen Eigenschaften ist ein denkbarer Dichteoperator; ob er nun bezgl. der gerade gewählten Basis diagonal sei oder nicht! Jeder Dichteoperator ist eine Konvexkombination von eindimensionalen orthogonalen Projektoren: ρ = p i P i, p i 0, p i = 1; Tr P i = 1 P i P j = δ ij P i i i Tr ρ 2 = i,j p i p j P i P j = i p 2 i i p i = 1 Gleichheit nur, wenn alle p i = 0 oder 1 p 2 i = p i. Dann ist ρ gleich einem eindimensionalen Projektor und es gilt ρ 2 = ρ.

21 Ist ρ 2 A = ρ A z.b. für a = 1 und b = 0 in unserem Beispiel, also einen unverschränkten Zustand, so ist ρ A ein Projektor auf einen Hilbertraumvektor: reiner Zustand sonst: gemischter Zustand, inkohärente Superposition. Dann ist also ρ = ψ ψ und damit A = Tr ρa = Tr ψ ψ A = i i ψ ψ A i = i ψ A i i ψ = ψ A ψ, also das, was wir aus der elementaren QM gewohnt sind.

22 Rückblick: ψ = a A B + b A B war ein Vektor im großen Hilbertraum; beide Untersysteme korreliert verschränkt, entangled. Bei Messung nur an A ist über alle Möglichkeiten für B zu summieren partielle Spurbildung über Hilbertraum von B. Hier gehen die Phasen von a, b verloren und es bleiben die Wahrscheinlichkeiten a 2, b 2. Der allgemeinste unverschränkte Zustand hat die Gestalt φ = a A + b A c B + d B, a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1. Hier liefert Spurbildung über B Übung! ρ A = a 2 b a a b b 2 = ρ 2 A also einen reinen Zustand Übung: verifizieren! Die Phasen von a und b bleiben in den Nichtdiagonalelementen erhalten; deshalb heißen diese z.b. in der NMR auch Kohärenzen, während die Diagonalelemente aus naheliegenden Gründen Populationen heißen. NB: Diese Unterscheidung hängt ab von der benutzten Basis im Hilbertraum; im Experiment gibt es aber oft eine natürliche Basis.

23 Verlust der in den Phasen gespeicherten Information welche die QM gegenüber einer probabilistischen klassischen Mechanik auszeichnet : Dekohärenz. Typischer Verlauf: Am Anfang sind System A und Umwelt B nicht verschränkt A allein betrachtet ist in einem reinen Zustand. Wechselwirkungen führen zu Verschränkung zwischen System und Umwelt A ist in einem gemischten Zustand. Genauere Quantifizierung von Verschränkung bzw. Reinheit als ja/nein ist möglich; später.

24 Verschränkung

25 Verschränkter Apfelkuchen: Verschränkung

26 Verschränkung Verschränkter Apfelkuchen: Verschränkung im Schrank:

27 Ein Zustand eines aus zwei Teilsystemen A und B bestehenden Systems heißt verschränkt entangled, wenn er nicht als Produktzustand ψ A φ B dargestellt werden kann. Es gibt viele Maße für die Verschränkung von Zuständen: für zwei oder mehr Untersysteme, reine und gemischte Zustände... Zwei Qubits, reine Zustände: χ = α A B + β A B + γ A B + δ A B α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 = 1, Normierung. Definiere die Concurrence Mitwirkung, Übereinstimmung, Zusammentreffen C := 2 αδ βγ 0 Übungsaufgabe: Ist diese Größe abhängig von der Ein-Qubit-Basis? Schreibe den Zustand χ um unter Benutzung der Basiszustände ± = 1 2 ± und drücke C aus durch die entsprechenden Entwicklungskoeffizienten. Übungsaufgabe: C 1; C = 0 χ ist ein Produktzustand. Beispiel: ψ = a A B + b A B Für diesen Zustand ist C = 2 ab = 2 a 1 a 2 1; für a = ±b = 1 2 ist ψ maximal verschränkt.

28 Die vier maximal verschränkten Zustände [ ] 1 2 A B ± A B [ ] 1 2 A B ± A B heißen Bell-Zustände; sie bilden die Bell-Basis im Hilbertraum zweier Qubits. In jedem Bell- Zustand ergibt eine Messung eines einzelnen Qubits völlig zufällige Ergebnisse; die vier Zustände können durch Messungen an Einzel-Qubits nicht unterschieden werden. Concurrence kann auf gemischte Zustände verallgemeinert werden. N Qubits, reine Zustände: Definition für globale Verschränkung Wei et al. ArXiv quant-ph/ eines Zustands Ψ: durch den maximalen Überlapp mit einem Produktzustand Λ max Ψ = max Φ Φ Ψ wobei Φ ein beliebiger reiner N-Qubit-Zustand sein kann. Die Verschränkung E für entanglement wird dann definiert durch entanglement as E log2 Ψ = log 2 Λ 2 maxψ. Diese Größe wird 0 für Produktzustände und 1 für N = 2 und Bell-Zustände; ebenso für die so genannten GHZ-Zustände.