Einseitiger Signifikanztest Allgemein heißt die Hypothese, dass eine vorgelegte unbekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer angenommenen Verteilung übereinstimmt, Nullhypothese und wird mit H 0 bezeichnet. Der Name Nullhypothese rührt daher, dass bei ihrem Eintreffen kein Unterschied zwischen vorliegender und angenommener Verteilung besteht, die Differenz also Null ist. In unserem Fall ist H 0 : p= 1 6 ; allgemein schreibt man hierfür H : p = p. 0 Die andere Hypothese p 1 6 wird Gegenhypothese genannt und mit H 1 bezeichnet. Hierfür ist allgemein die Schreibweise H 1 : p p 0 üblich. Der Vergleich läuft also darauf hinaus, ein Verfahren zu finden, welches uns gestattet, zwischen H 0 und H 1 zu entscheiden. Diese Entscheidung zwischen H0 und H1 kann nur über den Umweg einer Stichprobe gehen, d.h., man wird den vorgelegten Würfel z. B. 100mal werfen und jedes mal notieren, ob eine Sechs fällt oder nicht. Wir haben es also mit einer BERNOULLI-Kette der Länge 100 zu tun. Führt man nun eine Zufallsvariable X ein, welche die Anzahl der Sechsen in der BERNOULLI-Kette zählt, so wissen wir, dass X binomialverteilt ist. Der Parameter n dieser Binomialverteilung ist aufgrund der Länge der Stichprobe festgelegt. Der zweite Parameter p wird nun dadurch festgelegt, dass man H0 als richtig annimmt; d.h., die Größe p, über die wir eine Aussage suchen, geht in die Verteilung von X ein. Deshalb nennt man die Zufallsvariable X auch Prüfvariable und die Verteilung von X auch Prüfverteilung. Bei einer B n; 1 6 -Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner als 10 oder größer als 24 ist, kleiner als 5% (Zeigen). Treten bei den 100 Würfen nun z.b. nur 7 Sechsen auf, wird man nicht annehmen, dass dieses unwahrscheinliche Ergebnis nur zufällig entstanden ist, sondern man wird sich für die andere Möglichkeit entscheiden und sagen, H0 trifft nicht zu. Man entscheidet sich also für die Aussage: Bei dem vorgelegten Würfel fällt die Sechs nicht mit der Wahrscheinlichkeit 6. Bei Ablehnung von H 0 spricht man von einem signifikanten Unterschied zwischen beobachteter Stichprobe und Nullhypothese. Man sagt auch, die beobachtete Stichprobe ist mit H 0 unverträglich oder steht statistisch gesehen im Widerspruch zu H 0. Dieses Verfahren zur Überprüfung einer Hypothese heißt Signifikanztest. Ergibt die Stichprobe keinen extremen Wert, so besagt dies nicht, dass H 0 richtig ist; es besagt
nur, dass H 0 nicht im Widerspruch zum Versuchsergebnis steht. Man sagt deshalb auch nur, die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden und entschließt sich zur Beibehaltung von H 0. Lehnt man H 0 ab, so kann man sich in seiner Entscheidung nicht völlig sicher sein, auch bei einem Würfel mit p= 1 6 kann ein extremes Ergebnis auftreten. Nur ist die Wahrscheinlichkeit hierfür klein. Die Wahrscheinlichkeit, H 0 zu verwerfen, obwohl sie zutrifft, heißt Irrtumswahrscheinlichkeit und wird mit α bezeichnet. Sie charakterisiert den Grad, mit dem man bereit ist, eine richtige Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit muss deshalb vor Durchführung des Zufallsexperimentes festgelegt werden. Je nach Schwere eventueller Folgen wählt man z.b. α=0,05; α=0,01; α=0,001. Nach Vorgabe von α kann man die Werte von X, bei deren Eintreten H 0 abgelehnt wird, berechnen. Die Menge dieser Werte von X heißt Ablehnungsbereich K. Die übrigen Werte von X bilden den Annahmebereich K. Ermittlung des Ablehnungsbereiches K beim zweiseitigen Signifikanztest Bei einem Signifikanztest mit H 0 : p=p 0 und H 1 : p po sei α vorgegeben. Unter der Annahme, dass H 0 gilt, ist die Prüfvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p 0. Da Abweichungen vom Erwartungswert μ 0 =n p 0 nach unten und oben gleichermaßen von Interesse sind, nennt man einen solchen Test zweiseitig. Der Ablehnungsbereich kann also wie folgt geschrieben werden: K = {0;... ;g l } U {g r,;... ;n}. Man nennt g l die linke und g r die rechte Signifikanzgrenze. Die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit α wird nun üblicherweise in zweimal α/2 aufgeteilt. Um diese beiden Wahrscheinlichkeiten α /2 möglichst gut auszuschöpfen, bestimmt man g l als die größte und g r als die kleinste ganze Zahl, für die gilt: P X g l 2 bzw. P X g r 2
Rechtsseitiger und linksseitiger Signifikanztest Beim zweiseitigen Signifikanztest werden die Hypothesen p = p 0 und p p 0 betrachtet. Nun gibt es aber Situationen, wo die Hypothesen nicht in dieser Form geschrieben werden können. Bei Qualitätsuntersuchungen geht es meistens nicht darum, ob der Ausschussanteil p z.b. 5% beträgt oder nicht, sondern man möchte wissen, ob p höchstens 5% ist oder nicht. Man möchte also zwischen p 0,05 und p > 0,05 entscheiden. Entsprechend interessiert man sich bei den Heilungschancen eines Medikamentes dafür, ob diese z.b. mindestens 70% sind oder nicht, d.h., man betrachtet die Hypothesen p 0,7 und p < 0,7. Allgemein sind also zwei Fälle von Hypothesenpaaren denkbar: 1. Fall: p p 0 ; p > p 0 bzw. 2. Fall: p p 0 ; p < p 0 Nun muss aber - wie beim zweiseitigen Test - die Prüfverteilung eindeutig festgelegt werden, damit der Ablehnungsbereich ermittelt werden kann. Deshalb scheiden als Nullhypothese im 1. Fall die Hypothese p > p 0 und im 2. Fall die Hypothese p < p 0 aus. Selbst bei der Wahl von p p 0 bzw. p p 0 als Nullhypothese hat man es immer noch mit unendlich vielen möglichen Verteilungen zu tun. Man kann hier jedoch jedes mal den Extremfall p = p 0 betrachten, um hierdurch die Prüfverteilung eindeutig zu bestimmen. Die Null- und Gegenhypothese wird man also wie folgt festlegen: 1. Fall: H 0 : p p 0 ; H 1 : p > p 0 bzw. 2. Fall: H 0 : p p 0 ; H 1 : p < p 0 Da man die Nullhypothese p p 0 nur bei sehr großen Werten der Prüfvariable ablehnen wird, nennt man diesen Test einen rechtsseitigen Signifikanztest. Ist p p 0 die Nullhypothese, so wird man diese ablehnen, wenn die Prüfvariable sehr kleine Werte annimmt. Deshalb heißt dieser Test linksseitiger Signifikanztest. Beide Arten von Tests zusammen heißen einseitige Tests. Bei einem einseitigen Test muss man die entsprechenden 5 Schritte durchführen wie beim zweiseitigen Test. Nur der Ablehnungsbereich wird anders bestimmt: Betrachten wir z.b. den rechtsseitigen Test mit H 0 : p 0, 4 ; H 1 : p > 0,4 bei einem Stichprobenumfang n = 20. Die Nullhypothese umfasst unendlich viele Verteilungen. Das Bild zeigt die Stabdiagramme für zwei von ihnen. Die Gipfel aller Verteilungen mit p < 0,4 liegen links vom Gipfel der Verteilung mit p = 0,4. Kann die Nullhypothese für p = 0,4 abgelehnt werden, wird sie es auch für alle p 0,4. In diesem Sinne ist p = 0,4 bzw. p = p 0 der Extremfall. Entsprechende Überlegungen gelten für einen linksseitigen Test.
Ermittlung des Ablehnungsbereiches K bei einseitigen Signifikanztests Beim rechtsseitigen Test (Fig. 119.1) ist K={g;g+1;...;n} der Ablehnungsbereich. Bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit α bestimmt man g als die kleinste ganze Zahl, für die gilt: P(X g) = B n;p0 (g) +...+ B n;p0 (n) α. Beim linksseitigen Test (Fig. 119.2) ist K = { 0 ;...;g} der Ablehnungsbereich. Bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit α bestimmt man g als die größte ganze Zahl, für die gilt: P(X g) = B n;p0 (g) +...+ B n;p0 (n) α. Bei einem rechtsseitigen Signifikanztest wird die Nullhypothese H 0 : p p 0 abgelehnt, wenn die Prüfvariable sehr große Werte annimmt. Bei einem linksseitigen Signifikanztest wird die Nullhypothese H 0 : p p 0 abgelehnt, wenn die Prüfvariable sehr kleine Werte annimmt. Beispiel 1: (Rechtsseitiger Test) Der Hersteller eines Artikels garantiert, dass der Ausschussteil höchstens 4% beträgt. Ein Abnehmer entnimmt einer Lieferung 100 Artikel und findet 9 Ausschussstücke. Kann man hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% schließen, dass der Ausschussanteil höher als 4% ist? 1. Die Hypothesen lauten: H 0 : p 0,04; H 1 : p > 0,04. 2. Stichprobenumfang: n = 100; Irrtumswahrscheinlichkeit: α = 0,05. 3. X: Anzahl der Ausschussstücke unter 100 Artikeln. X ist bei wahrer Nullhypothese im Extremfall B 100; 0,04 - verteilt. 4. Da sehr große Werte von X gegen H 0 sprechen, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. Aus P(X g) 0,05 folgt zunächst P(X g - 1) 0,95 und hieraus g - 1 = 7 bzw. g = 8. Also ist K = {8;9;...;100} der Ablehnungsbereich. 5. Da 9 K ist, wird H abgelehnt. Mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 kann man also sagen, dass der Ausschussanteil höher als 4% ist.
Beispiel 2: (Linksseitiger Test) Bei der letzten Wahl hat ein Kandidat 40% der abgegebenen Stimmen erhalten. Um zu prüfen, ob er seinen Stimmenanteil zumindest gehalten hat, wird einige Zeit vor der nächsten Wahl eine Umfrage durchgeführt. Von 100 Personen geben nur 34 an, dass sie diesen Kandidaten wählen werden. Kann man hieraus mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 schließen, dass der Stimmenanteil des Kandidaten gesunken ist? 1. Die Hypothesen lauten: H 0 : p 0,4; H 1 : p < 0,4. 2. Stichprobenumfang: n=100; Irrtumswahrscheinlichkeit: α = 0,05. 3. X: Anzahl der Personen von 100 befragten, die den Kandidaten wählen wollen. X ist bei wahrer Nullhypothese im Extremfall B 100;0,4 -verteilt. 4. Da sehr kleine Werte von X gegen H 0 sprechen, handelt es sich um einen linksseitigen Test: Aus P(X g) 0,05 folgt g = 31. Also ist K={0;...;31} der Ablehnungsbereich. 5. Da 34 K ist, kann H 0 nicht abgelehnt werden. Man kann also weiterhin davon ausgehen, dass der Stimmenanteil mindestens 40% beträgt. Beispiel 3: (Negation einer Vermutung als Nullhypothese) Die Verwaltung einer Stadt plant ein kommunales Projekt und behauptet, dass mindestens 70% der Bürger für dieses Projekt sind. Eine Bürgerinitiative glaubt dagegen, dass der tatsächliche Prozentsatz niedriger ist. Sie startet eine Umfrage und stellt fest, dass von 100 befragten Bürgern nur 58 für das Projekt sind. Kann die Bürgerinitiative aufgrund dieses Ergebnisses mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% behaupten, dass der Prozentsatz der Befürworter niedriger als 70% ist? 1. Die zu überprüfende Vermutung der Bürgerinitiative lautet: p<0,7. Die geringe Anzahl von Befürwortern in der Stichprobe deutet auch darauf hin, dass die Bürgerinitiative recht haben könnte. Nun läßt sich aber prinzipiell eine Vermutung nicht durch das Ergebnis einer Stichprobe bestätigen. Man muß vielmehr umgekehrt zeigen, dass das Ergebnis unter der Voraussetzung p 0,7 sehr unwahrscheinlich ist. Man testet also H 0 : p 0,7 gegen H 1 : p < 0,7. 2. Stichprobenumfang: n=100; Irrtumswahrscheinlichkeit: α =0,05. 3. X: Anzahl derjenigen Bürger von 100 befragten, die für das Projekt sind. X ist bei wahrer Nullhypothese im Extremfall B 100;0,7 -verteilt. 4. Da sehr kleine Werte von X gegen H 0 sprechen, handelt es sich um einen linksseitigen Test: Aus P(X g) 0,05 folgt g=61. Also ist K={0;...;61} der Ablehnungsbereich. 5. Da 58 K ist, wird H 0 abgelehnt. Die Bürgerinitiative kann also (vorbehaltlich einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%) behaupten, dass der Prozentsatz der Befürworter niedriger ist als die Stadtverwaltung angibt. Das Beispiel 3 gibt Gelegenheit, die Wahl der Nullhypothese von einer mehr grundsätzlichen Warte aus zu betrachten: Um ihren Verdacht zu beweisen, müsste die Bürgerinitiative alle Bürger befragen. Da dies aber zu teuer und zu zeitaufwendig ist, möchte sie über eine Stichprobe zu einer Aussage kommen. Durch eine Stichprobe lässt sich aber eine Vermutung niemals bestätigen. Dagegen genügt ein einziges Gegenbeispiel (widersprechendes Experiment), um eine Vermutung als falsch zu erweisen. Um eine Vermutung (hier: Verdacht der Bürgerinitiative) zu prüfen, bleibt also letztlich keine andere Möglichkeit, als die Gegenhypothese zur Vermutung (hier: Behauptung der Verwaltung) durch ein Experiment zu widerlegen. Aufgaben: 1.) In einer Urne mit sehr vielen Kugeln sollen sich angeblich höchstens ein Fünftel weiße Kugeln befinden. Zur Überprüfung werden 20 Kugeln mit Zurücklegen gezogen; man findet 7 weiße Kugeln. Kann aufgrund dieses Ergebnisses der Behauptung widersprochen werden (Irrtumswahrscheinlichkeit 5%)? 2.) Gib in den folgenden Situationen Nullhypothese und Gegenhypothese an. Überlege, wann die Nullhypothese abgelehnt wird. Um welche Art von Signifikanztest handelt es sich damit in den jeweiligen Situationen? a) Zur Überprüfung, ob der Ausschussanteil bei der Herstellung eines Massenartikels höchstens 1 % beträgt, werden 100 Artikel ausgewählt und genau kontrolliert. b) Bei der automatischen Abfüllung von Zucker soll mindestens 95% aller Packungen ein Füllgewicht von 1000 g und mehr haben. Es werden 100 Packungen ausgewogen. c) Zur Überprüfung, ob Jungen- und Mädchengeburten gleich häufig sind, werden 500 Geburten im Geburtsregister einer Klinik ausgewertet. d) Ein neu entwickeltes Mittel soll die Konzentrationsfähigkeit bei älteren Menschen erhöhen. Zur Überprüfung dieser Vermutung lässt ein Psychologe 300 ältere Menschen vor und nach Einnahme des Mittels einen speziellen Konzentrationstest bearbeiten. 3.) Die Hypothese H 0 : p p 0 soll gegen H 1 : p < p 0 bei einem Stichprobenumfang n mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α getestet werden. Gib den Ablehnungsbereich K an: a) p 0 = 1 6 ;n=50; =0,1 b) p 0 = 1 3 ; n=50 ; =0,05 c) p 0 =0,2 ;n=100 ; =0,001
4.) Gib für einen rechtsseitigen Test mit den in Aufgabe 3 angegebenen Werten von p 0, n und α den Ablehnungsbereich K an. 5.) In einer Urne sollen sich angeblich höchstens ein Fünftel weiße und vier Fünftel schwarze Kugeln befinden. Um die Behauptung zu prüfen, wird folgender Test durchgeführt: Es werden 10 Kugeln mit Zurücklegen gezogen; falls sich unter diesen mehr als 4 weiße befinden, wird die Behauptung zurückgewiesen, andernfalls wird sie akzeptiert. a) Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit arbeitet der Test? b) Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll nur 1 % betragen. Bei welchen Anzahlen weißer Kugeln müsste man die Behauptung zurückweisen? 6.) In einem Supermarkt hatte das Waschmittel A bisher einen Marktanteil von 30%. Der Filialleiter hat die Vermutung, dass aufgrund einer Werbeaktion der Marktanteil dieses Waschmittels gestiegen ist. Um dies zu überprüfen, stellt er fest, dass von 100 Kunden, die ein Waschmittel kaufen, 41 das Waschmittel A kaufen. Kann der Filialleiter aufgrund dieses Ergebnisses bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgehen, dass sich der Marktanteil des Waschmittels A erhöht hat? 7.) Eine Samenhandlung verkauft Samen, der laut Angabe des Samenhändlers mit mindestens 90% keimfähig ist. Aufgrund von Beobachtungen aus dem Vorjahr hat ein Gärtner den Verdacht, dass dieser Wert zu hoch ist. Er sät deshalb 100 Körner aus und beobachtet den Wachstumsprozess. a) Der Test soll mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% arbeiten. Ermittle den Ablehnungsbereich. b) Wenn höchstens 80 Samen keimen, nimmt der Gärtner an, dass die Keimfähigkeit geringer als angegeben ist. Berechne die Irrtumswahrscheinlichkeit dieses Tests. 8.) Ein Spieler hat den Verdacht, dass bei einem ihm vorgelegten Würfel die Sechs nicht mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 fällt. a) Welche Hypothesen wird der Spieler testen? Welches ist die Nullhypothese? b) Beschreibe, wie der Spieler den Test durchführen muß. 9.) In einer Zeitschrift wird behauptet, dass 20% aller 25jährigen Frauen Raucher sind. Ein Zigarettenhersteller will diese Behauptung überprüfen lassen. Beschreibe die Durchführung dieser Überprüfung.