Mikroskop Christopher Bronner, Frank Essenberger Freie Universität Berlin 5. Oktober 2006 1 Physikalische Grundlagen Linsen. Eine Linse ist ein optisches Instrument, bei dem Lichtstrahlen durch kugelflächenförmige Grenzen eines optischen Mediums zweimal abgelenkt werden. Betrachtet wird hier nur der bikonvexe 1 Fall. Linsen bilden zum Beispiel Gegenstände (A) in Bilder (A ) ab. Abbildung 1: Parameter einer Linse In der Grafik ist der allgemeine Aufbau einer Linse beschrieben. Es sind f die Brennweite, i der Abstand zwischen den beiden Hauptpunkten H und H, an denen die zwei Brechungen stattfinden, sowie a und a die Gegenstands- bzw. Bildweite. F und F sind die beiden Brennpunkte, die jeweils den Abstand f zur entsprechenden Hauptebene haben. In diesem optischen System gilt die sog. Abbildungsgleichung. 1 a + 1 a = 1 f (1) 1 Konvex bedeutet vom Zentrum der Linse aus nach aussen gewölbt. Eselsbrücke: Ist die Tochter brav, bleibt der Bauch konkav. Hat die Tochter Sex, wird der Bauch konvex. 1
Als ein Maß für die vergrößernde Wirkung einer Linse wird der Abbildungsmaßstab β definiert. Er beschreibt das Verhältnis von Bild und Gegenstand, gibt aber noch keine Auskunft über die tatsächliche Vergrößerung, die man später wahrnimmt. β := a a = A (2) A Ein wichtiger Spezialfall des beschriebenen Systems ist die dünne Linse. Von ihr spricht man, wenn der Hauptpunktabstand i vernachlässigbar klein ist, also der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen so klein wird, dass man die beiden Brechungen als eine einzige interpretieren kann. In diesem Fall werden alle Weiten einfach bis zur Mittelebene der Linse gemessen, die somit zur einzigen Hauptebene wird. Abbildung 2: Strahlengang einer Linse In dieser Grafik zeigt sich auch das Zustandekommen des Bildes exemplarisch am achsenparallelen (1), Zentral- (2) und Brennpunktsstrahl (3). In der dünnen Linse bleiben Gln. (1, 2) erhalten. Bei der dünnen Linse kann nun leicht durch Messen der Gegenstands- und Bildweite die Brennweite ermittelt werden. Dabei misst man den Abstand immer zur Mittelebene der Linse. Da man bei der allgemeinen Linse jedoch erst einmal keine Kenntnis über die genaue Lage der beiden Hauptebenen hat, kann man bei ihr auf diese Art nicht die Brennweite bestimmen. Dies wird erst durch die Besselsche Methode möglich. Dabei stellt man bei gleichem Abstand e zwischen Gegenstand und Bild einmal die vergrößernde und einmal die verkleinernde Abbildung ein. 2
Abbildung 3: Besselmethode Man kann zeigen, dass die Gegenstandsweite der einen Einstellung die Bildweite der anderen sein muss. Um nun die Brennweite zu bestimmen, löst man Gl. (1) nach a und dann nach a auf, setzt jeweils eines in die Gleichung e = a + a + i (3) ein, woraus man eine quadratische Gleichung für a bzw. a erhält und löst diese. Als Lösung erhält man a = e i 2 a = e i 2 [ ] 1 + 1 4f e i [ ] 1 1 4f e i (4) (5) Subtrahiert man nun die zweite von der ersten Gleichung, und löst das dann nach der Brennweite auf, erhält man mit einer geeigneten Näherung: f = (e i)2 (a a ) 2 4(e i) e2 (a a ) 2 4e (6) 3
Alternativ kann man auch nach dem Umformen der Abbildungsgleichung auf den Abbildungsmaßstab β zurückgreifen und erhält sowie den Hauptpunktabstand f = a a 1 β β (7) i = e + (a a ) β + 1 β 1 Mikroskop. Ein Mikroskop ist ein optisches System aus zwei Linsen zur Vergrößerung kleiner, naher Objekte, die etwas weiter als der Brennpunkt vom Objektiv entfernt platziert werden. Es besteht aus einem Objektiv, das ein vergrößertes Bild im Brennpunkt F Ok des Okulars erzeugt, und einem Okular, das die Lichtstrahlen deshalb parallel verlassen (daher kann es mit auf Unendlich akkomodiertem Auge betrachtet werden). Den Abstand zwischen deren Brennpunkten F Ob und F Ok nennt man die Tubuslänge t. (8) Abbildung 4: Strahlengang in eine Mikroskop Die Vergrößerung eines Mikroskops ergibt sich aus dem Produkt: Γ = β Ob Γ Ok (9) Definiert ist Γ Ok = tan σ Ok tan σ 0 als das Verhältnis der Sehwinkel (genauer: deren Tangens) mit und ohne Okular. Damit ist tan σ Ok = y a (10) tan σ 0 = y a 0 (11) 4
Γ Ok ( ) = a 0 a = a 0 f Ok (12) die Lupenvergrößerung bei auf Unendlich akkomodiertem Auge. Ist das Auge auf eine Vergleichsskala im Abstand a 0 = 250 mm akkomodiert, ist Γ Ok (a 0 ) = a 0 f Ok + 1 (13) Aus der Skizze oben erkennt man tan δ = A f Ob = A t, also β Ob := A A = t f Ob. Mit Gl. (9) ergibt sich als Gesamtvergrößerung für die beiden Akkomodationen: Γ = Γ 0 = t a 0 (14) f Ob f [ Ok ] t a0 + 1 (15) f Ok f Ob Auflösungsvermögen. Im Rahmen der rein geometrischen Optik ist der Vergrößerung nach Gl. (14) keine Grenze gesetzt. Ab einer gewissen Größe der zu beobachtenden Struktur treten jedoch wellenoptische Beugungsphänomene auf. Abbildung 5: Aufgabe 1 In der Brennebene des Objektivs entsteht ein Beugungsmuster aus der Überlagerung der verschiedenen Teilstrahlen. Durch deren Interferenz entsteht in der Bildebene aber wieder ein Bild des Gitters. Damit dieses zustandekommt, muss jedoch mindestens noch die erste Beugungsordnung vom Linsendurchmesser erfasst werden. Das ist gerade der Fall, wenn α = ɛ. Für die Interferenz gilt die übliche Bedingung d sin α = zλ, wobei z die Beugungsordnung ist. Die Grenzbedingung für den Durchtritt der ersten Beugungsordnung durch die Linse ist also d min sin ɛ = λ. Füllt man den Raum zwischen Objekt und Objektiv mit einem optischen Medium ( Immersionsmittel ) der Brechzahl n, so ändert sich die Beziehung in d min n sin ɛ = λ. Die Größe n sin ɛ =: A nennt man numerische 5
Apertur; sie ist eine Konstante der Apparatur. Damit ergibt sich die minimale Gitterkonstante, mit der noch eine Auflösung möglich ist zu d min = λ A (16) Da alle anderen Beugungsstrukturen mit Fourier-Zerlegungen aus Gittern j mit Gitterkonstante d j zusammengesetzt werden können, gilt diese Beziehung auch näherungsweise für alle anderen Objekte. Zum Messen ist noch die Darstellung in messbaren Größen sinnvoll. nd A = n sin ɛ = (17) D 2 2 4 + a2 Darin sind D der Linsendurchmesser und a der Abstand des Objektes vom Objektiv. 2 Aufgaben 1. Bestimmung der Brennweite einer Linse nach der Besselschen Methode. 2. Aufbau eines Mikroskop-Strahlenganges. Bestimmung der Vergrößerung für drei verschiedene Tubuslängen und Vergleich der Ergebnisse mit den theoretischen Erwartungen. 3. Kalibrierung eines Okularmikrometers (Meßokular). Bestimmung des Drahtabstandes (Gitterkonstante) und der Drahtstärke eines Drahtnetzes (Kreuzgitter). 4. Überprüfung der Abbeschen Theorie. Beobachtung der Auflösungsgrenze des Mikroskops an dem Drahtgitter. Bestimmung der numerischen Apertur für diesen Grenzfall und Vergleich des daraus erwarteten kleinsten auflösbaren Punktabstandes mit der gemessenen Gitterkonstanten. 5. Rechenaufgabe: Angabe des kleinsten auflösbaren Punktabstandes für stärkste Objektive (numerische Apertur 1,4 mit Immersionsmittel) und der damit erreichbaren sinnvollen Grenzvergrößerung optischer Mikroskope. 3 Messprotokoll Tutor: Krenz Datum: 5. Oktober 2006 Beginn: 15.00, Ende: 17.30 6
3.1 Geräte Lampe mit Skala- und Gitterfenster 2 Sammellinsen (f 1 4 cm, f 2 5 cm lt. Beschriftung) Okularmikrometer Maßstab 3.2 Aufgabe 1 Zur Messung der Brennweite der Linsen haben wir die Besselsche Methode angewandt. Den Abstand e zwischen der Skala an der Lampe (A) und der Okularskala (B) haben wir konstant gehalten und die beiden (vergrößernde und verkleinernde) Einstellungen der Linse 1 eingestellt und deren absolute Positionen (Vergrößernde Einstellung: a, verkleinernde Einstellung: a ) notiert. Ausserdem haben wir für beide Einstellungen die Vergrößerung gemessen, indem wir die beiden übereinanderliegenden Skalen jeweils verglichen haben. Abbildung 6: Aufgabe 1 Der gemessene Abstand zwischen den beiden Skalen betrug e = (250 ± 1) mm 3.2.1 Linse 1 Die beiden absoluten Positionen der Linse waren Der Vergleich der Skalen ergab: a = (58 ± 2) mm a = (200 ± 2) mm 7
Einstellung Skalenabschnitt A / mm Skalenabschnitt B / 0,1 mm Vergößernd 2, 0 ± 0, 1 74 ± 1 Verkleinernd 50 ± 1 131 ± 1 Tabelle 1: Betsimmung von β für l 1 3.2.2 Linse 2 Die beiden absoluten Positionen der Linse waren Der Vergleich der Skalen ergab: a = (77 ± 2) mm a = (180 ± 2) mm Einstellung Skalenabschnitt A / mm Skalenabschnitt B / 0,1 mm Vergößernd 3, 0 ± 0, 1 70 ± 1 Verkleinernd 10 ± 0, 1 40 ± 1 Tabelle 2: Betsimmung von β für l 2 3.3 Aufgabe 2 Bei dieser Aufgabe bestand der Strahlengang aus Lampe mit Skalenfenster (A), Objektivlinse f 4 cm, Blende, Okularlinse f 5 cm sowie einem halbdurchlässigen Spiegel im 45 -Winkel, der noch eine zweite Skala (B) ins Sichtfeld brachte, die so platziert wurde, dass sie einen Abstand a 0 vom Auge hatte. Wir haben dann die Tubuslänge variiert und die vergrößernde Wirkung gemessen. Abbildung 7: Aufgabe 2 8
Die mechanische Tubuslänge steht wie folgt ins Zusammenhang mit der optischen: l = t + f Ob + f Ok (18) a 0 /cm l/mm Skala A / mm Skala B / mm 26 ± 2 240 ± 2 2, 0 ± 0, 1 35 ± 1 26 ± 2 290 ± 2 1, 0 ± 0, 1 23 ± 1 26 ± 2 390 ± 2 1, 0 ± 0, 2 35 ± 2 Tabelle 3: Betsimmung von β für vers. Tubuslängen Abbildung 8: Projektion des Spiegels und Vergrößertes Bild 3.4 Aufgabe 3 Hier sollten wir ein Kreuzgitter mit der Gitterkonstanten d und der Dicke der Stäbe g vermessen. 9
Abbildung 9: Aufgabe 3 Abbildung 10: Parameter des Gitters Zunächst haben wir die Skala B kalibriert: (3, 0±0, 1) mm (157±1) Skt. Die Vermessung des Gittes ergab: 3.5 Aufgabe 4 11d = (58 ± 1) Skt. 34d = (180 ± 1) Skt g = (1, 5 ± 0, 5) Skt. Bei dieser Aufgabe haben wir das Auflösungsvermögen des Mikroskops untersucht. 10
Abbildung 11: Aufgabe 4 Die geometrischen Parameter bei dieser Aufgabe waren: b = (40 ± 1) mm, l = (300 ± 1) mm. Die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes ist nicht monochromatisch aber zur groben Abschätzung der Auflösung einzuschätzen als λ = (550 ± 100) nm. Bei der Blendenstellung D 1, die mit 0, 3 mm beschriftet ist (wir haben das unten nochmal nachgemessen), lieferte noch ein Bild der Gitterstruktur, jedoch war es schon stark verwaschen. Bei Blendenstellung D 2, mit 0, 2 mm beschriftet, war keinerlei Struktur mehr zu sehen. Vermessung der Blende nach dem Verfahren aus Aufg. 3: Kalibrierung: (1, 0 ± 0, 1) mm (62 ± 1) Skt. D 1 = (18 ± 1) Skt. D 2 = (11 ± 1) Skt. 4 Auswertung 4.1 Aufgabe 1 Zur Bestimmung der Brennweiten der beiden Linsen verwendeten wir die beiden bekannten Formeln, Gln. (6, 7). f Methode 1 e2 (a a) 2 4e (19) f Methode 2 = a a 1 β β (20) Um den Hauptpunktabstand auszurechnen, benutzen wir Gl. (8): i = e + (a a ) β + 1 β 1 (21) 11
Die Fehlerabschätzung für die beiden Formeln lautet: f 2 Meth 1 = f 2 Meth 2 = i 2 = [ e 2 2(a a ) 2 [ e + 4e 2 [ e a] + 2(a a ) 2 ] 2 + a 4e ] 2 (22) e (23) 4 + (a a ) 2 4e 2 [ 2 [ ] 2 [ ] 2 a a] a β 1 + β β 1 a a a 1 + β (β 1 [1 + β )2 β 2 ] β (24) [ e + (a a ) β + 1 ] 2 [ β 1 e + e a + (1 a ) β + 1 ] 2 β 1 a [ + e a + (a a ) β + 1 ] 2 [ β 1 a + (a a 1 )[ β 1 β + 1 ] 2 (β 1) 2 ] β (25) Damit ergeben sich für die beiden Linsen aus den verschiedenen Methoden diese Brennweiten. Methode Linse 1 Linse 2 1 f 1 = (42 ± 1) mm f 2 = (51, 9 ± 0, 9) mm 2 f 1 = (40 ± 2) mm f 2 = (49 ± 2) mm Tabelle 4: Brennweiten der Linsen l 1 und l 2 Beide Methoden liefern zufriedenstellende Ergebnisse (im Hinblick auf die auf den Linsen angegebenen Werte), jedoch darf nicht vergessen werden, dass Methode 1 eine Näherung beinhaltet, weshalb wir mit den Ergebnissen aus Methode 2 weiterrechnen werden. Der Hauptpunktabstand beträgt i 1 = (7 ± 6) mm i 2 = (10 ± 9) mm Diese Ergebnisse sind wegen der haarsträubenden Fehler praktisch ohne Aussagekraft, die Größenordnung ist aber realistisch. 4.2 Aufgabe 2 Die theoretischen Erwartungen für die Mikroskopvergrößerung ergeben sich nach den Gln. (14, 15). In diese Formeln haben wir die gemessenen Werte für a 0 aus der Messung 2, die von uns bestimmten Werte für die Brennweiten und die Tubuslänge, die sich aus der mechanischen Tubuslänge nach t = l f Ob f Ok ergibt, eingesetzt. Für die gemessenen Werte haben wir einfach die Werte der beiden Skalenanteile aus Messung 2 durcheinander geteilt. 12
Γ gem = Skalenanteil B Skalenanteil A (26) t/mm Γ 0 Γ Γ gem 151 ± 4 24 ± 2 20 ± 2 18 ± 1 [H] Ermittelte Vergößerungen 201 ± 4 32 ± 3 27 ± 3 23 ± 3 301 ± 4 47 ± 4 40 ± 4 35 ± 8 Entgegen der Erwartung stimmen die experimentellen Werte mehr mit denen für das auf Unendlich akkomodierte Auge überein. 4.3 Aufgabe 3 Bei dieser Aufgabe gibt es im Grunde nichts auszuwerten, die gemessenen Ergebnisse sind lediglich noch gemäß der zuvor bestimmten Kalibrierungsfaktoren in Millimeter umzurechnen. Dann erhält man sofort das Ergebnis d = (101 ± 4) µm g = (30 ± 10) µm Der geringe Fehler bei d war zunächst erstaunlich, ergibt sich aber offenbar aus dem großen Bereich im Gitter, über den gemessen wurde. Im übrigen stimmen die Werte aus den beiden Messungen mit n = 11 und n = 34 genau überein. Dagegen ist der Fehler für g erwartungsgemäß groß, da g sowieso nur zwei Skalenteile breit war, und das Ablesen recht schwierig war. Leider haben wir keine Referenzwerte, aber beide Ergebnisse scheinen uns vernünftig. 4.4 Aufgabe 4 Zur Bestimmung der minimalen, auflösbaren Strukturgröße d min benutzen wir die Formel d min = λ sin(arctan D1 2b ) (27) Dabei musste D 1 wieder gemäß der vorherigen Kalibrierung umgerechnet werden. Als Wellenlänge haben wir λ = (550±100) nm angegeben, da dieses Intervall grob den gesamten sichtbaren Bereich abdeckt. Schließlich war das Licht ja nicht monochromatisch. Dies ergibt zwar einen wahnwitzigen Fehler, aber es geht hier schließlich eher um die qualitative Analyse bzw. die Bestimmung der Größenordnung. Wir haben die Blendenstellung zur Berechnung herangezogen, bei der die Struktur noch gerade so zu sehen war, da das sich aus ihr ergebende d min 13
garantiert noch auflösbar ist, ein Minimalwert mit der Blendenstellung, bei der schon nichts mehr zu sehen war, ist eigentlich unsinnig. Als Ergebnis erhalten wir d min = (0, 15 ± 0, 03) mm Dies liegt in der selben Größenordnung wie die Gitterkonstante d = 0, 101 mm. Für die numerische Aperatur erhalten wir gemäß A = n sin(arctan D1 2b ), wobei n = 1 (Luft): 4.5 Aufgabe 5 A = 0, 0036 ± 0, 0008 Für eine Anordnung mit der numerischen Apertur A = 1, 4 ergibt sich mit der gleichen Wellenlänge wie oben (sichtbares Licht) nach d min = λ A als minimale, auflösbare Struktur 5 Diskussion d min = 393 nm Die gemessen Werte waren alle uneingeschränkt gleich oder verträglich zu den theoretischen vorhersagen. Leider lag die zum Teil nur an sehr großen Fehlern der gemessenen Werte zum anderen konnten wir für das Gitter keine Vergleiche anstellen, da keine Angaben zu den tatsächlichen Werten gemacht wurden. Die Werte für die Gitterkonstant d und die dicke der Stäbe des Gitter von d = (101 ± 4) µm bzw. g = (30 ± 10) µm haöten wir für durchaus realistische Werte. Die Fehler der Einganggrößen waren dabei garnicht so groß, da es sich größtenteils um recht präzise gemessen Längen handelt, jedoch gingen in die Formeln immer sehr viele Größen ein, teilweise mehrfach und dann auch in quadratischer oder reziproker Weise. Die steigert die Fehler ganz enorm, sodass im Extremfall für die Hauptachsenabstände Werte herauskommen die keine wirkliche aussagekraft mehr haben.(i 1 = (7 ± 6) mm und i 2 = (10 ± 9) mm). Größere Fehler als bei den Längenmessungen entstanden beim Ablesen der Skalenteile am Okular. Hier verzählt man sich einfach um einige Skalenteile oder es ist schwer die genaue Dicke der Gitterstruktur abzulesen. Hier hätte eine Kamera hinter dem Objektive sicher Abhilfe geschafft. Besonders schwierig war die Messung der Entfernung vom Auge zum Spiegel. Sie musste grob geschätzt werden auf (26 ± 2) cm Ein weiteres Problem ist auch, dass alle optischen Bauteile auf monochromatischees Licht einer bestimmten Wellenlänge geeicht sind. Wir gingen aber immer mit einem kontinuierlichem Spektrum ein. Der relative Fehler betrug dabei 18% da λ = (550 ± 100) nm angenommen wurde, für die Abschätzung der Größenordnung in der letzten Aufgabe spielt dies jedoch keine Rolle. 14
Abschließend lässt sich sagen, dass die Apparautren sehr einfach gehalten waren. Daraus resultieren Ergebnisse von nicht sehr hoher Präzision, aber dafür war der Verständniss bildende Aspekt der Versuche sehr hoch, da man einen direkten Einblick in die geometrische Optik erhielt. 15