Projektarbeit zur Schwarzkörperstrahlung Quantenmechanik SS 004 Gruppe 9 Gruppenmitglieder Simon Außerlechner Florian Hebenstreit Martin Horn Alexander Reinmüller Christoph Stieb
Inhaltverzeichnis. Einleitung.... Strahlung.... Schwarzer Körper... 4. Theoretische Ansätze... 5 5. Planck sches Gesetz... 7 6. Praktischer Nutzen... 8 7. Herleitungen... 8 8. Quellenangaben... 0
. Einleitung Zu Anfang des 9. Jahrhunderts glaubte man die Physik sei eine annähernd abgeschlossene Wissenschaft. Die Physiker waren überzeugt, dass es möglich ist die physikalische Wirklichkeit mit den zwei klassischen Theorien, der Maxwellschen Elektrodynamik und der Newtonschen Mechanik, vollständig beschreiben zu können. Die Klassische Physik konnte nur mehr wenige Phänomene nicht erklären. Ein Beispiel hierfür ist die Schwarzkörperstrahlung. Um sie verstehen zu können werden nun Begriffe eingeführt und Gesetzte hergeleitet.. Strahlung Allgemein bezeichnet der Begriff Strahlung einen Strom von Energie. Das sogenannte Strahlungsfeld ist gegeben durch die räumliche Verteilung der Energiestromdichte, welche auch Intensität genannt wird. Im Speziellen versteht man unter Strahlung die elektromagnetische, zu der unter anderem die infrarote, die des sichtbaren Lichtes, UV-, Röntgen- und γ- Strahlung zählen. Die Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung im Raum lässt sich anhand des Modells der Wellenausbreitung beschreiben. Auf dem Prinzip der elektromagnetischen Induktion aufbauend besagt es, dass ein elektrisches und ein magnetisches Feld orthogonal zueinander mit einer Phasenverschiebung von 90 harmonisch oszillieren ohne ein Trägermedium zu benötigen. Dieses Modell stößt jedoch bei der Erklärung der Absorption und der Emission von Strahlung durch Materie an seine Grenzen. In der klassischen Physik kann langwellige Strahlung durch sich periodisch ändernde elektrische oder magnetische Felder erzeugt werden. Dies ist beispielsweise im elektrischen Schwingkreis realisiert oder einer Abwandlung davon: Dem Hertzschen Dipol. Dieser besteht nur noch aus einem leitfähigen Stab, in welchem nach einer äußeren Anregung die Ladungsträger hin- und herfließen. Die damit verbundene periodische Änderung des elektrischen Feldes in der Umgebung induziert ein entsprechendes magnetisches Feld. Die Feldlinien schnüren sich ab und breiten sich als elektromagnetische Welle im Raum aus. Die Wellenlänge der Strahlung hängt von Parametern wie zum Beispiel der Dipollänge, der Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger und dem den Dipol umgebenden Stoff ab. Durch die Abstrahlung geht dem Dipol Energie verloren. Der Schwingungsvorgang ist also gedämpft und kommt irgendwann zum Erliegen. Man könnte nun versucht sein, Atome als mikroskopische Hertzsche Dipole aufzufassen, in denen die Elektronen schwingen. Diese könnten einfallende Strahlung beliebiger E- nergie absorbieren und einen Zustand größerer Anregung einnehmen; ebenso könnten sie
durch ihr Schwingungsverhalten abstrahlen. Dies führt jedoch zu eben jenem Widerspruch, der erst von Niels Bohr im Jahre 9 durch die Bohrschen Postulate aufgelöst wurde: Wäre das Atom ein Hertzscher Dipol, würde es ständig Energie abstrahlen, sodass das Elektron nach Nanosekunden in den Kern stürzte. Dies ist offensichtlich nicht der Fall. Gemäß Bohr können die Elektronen im Atom nur eine Reihe von diskreten Energiezuständen einnehmen, in welchen sie nicht abstrahlen. Lediglich bei einer Änderung des Energieniveaus kann ein Elektron Strahlung absorbieren oder emittieren. Dabei besitzt die absorbierte oder emittierte Strahlung entsprechende diskrete Energiewerte. Das Zutreffen dieser Bohrschen Postulate zeigt sich am deutlichsten im Spektrum isolierter, das heißt im gasförmigen Zustand vorliegender Atome. Dieses besteht aus diskreten Linien. Handelt es sich um ein Molekülgas, so sind die Linien verschmiert, und es ergeben sich Molekülbanden. Das Spektrum von Flüssigkeiten und Feststoffen ist kontinuierlich, das heißt es enthält jeden beliebigen Energiewert aus dem zulässigen Energiebereich. Allgemein gilt: Je dichter die untersuchte Materie ist, umso stärker beeinflussen sich die Teilchen gegenseitig, sodass die Linien umso verschmierter sind.. Schwarzer Körper Das Modell des schwarzen Körpers beschreibt mit dem dazugehörenden Planckschen Strahlungsgesetz quantitativ die Energieverteilung der Strahlung eines idealisierten Körpers mit kontinuierlichem Spektrum über der Körpertemperatur und der Strahlungsfrequenz. Dabei werden keine Angaben über die Mechanismen von Absorption und Emission gemacht. Dieses Konzept wurde von Max Planck im Jahre 900 vorgestellt und ging somit den Bohrschen Postulaten zeitlich voraus. Davon ausgehend, dass ein Körper ein natürliches Vermögen besitzt, Strahlung zu absorbieren und Strahlung zu emittieren, stellt sich die Frage, unter welchen Umständen und in welchem Maße er dies tut. Die Emission kann nur von den Eigenschaften des Körpers selbst, insbesondere der Temperatur, abhängen und nicht von denen der Umgebung, sodass ein Körper ständig strahlt, sofern seine Temperatur T > 0 K ist. Welche Energie er jedoch dabei effektiv abgibt oder aufnimmt, hängt außerdem noch von seiner Absorption ab. Befinden sich also zwei Körper im thermischen Gleichgewicht, so ist dieses kein statisches, sondern ein dynamisches, da beide gleichviel Strahlung emittieren wie absorbieren. Von der einfallenden Strahlung wird ein Teil absorbiert, der Rest wird reflektiert. Der Anteil der absorbierten Strahlung relativ zur insgesamt einfallenden wird als Absorptionsgrad ε bezeichnet. Der Reflexionsgrad beträgt demzu-
folge ε. Der Absorptionsgrad ist im Allgemeinen stoff- und frequenzabhängig. Wird die gesamte einfallende Strahlung absorbiert, so beträgt der Absorptionsgrad ε = für alle Frequenzen und man bezeichnet den Körper als schwarz. Die Schwärze eines Körpers ist eine ideale Eigenschaft, welche nur näherungsweise erreicht wird. Die beste technische Realisierung stellt ein Hohlraum mit lamellenartigen Unterteilungen und einer kleinen Öffnung dar: Einfallendes Licht wird so lange reflektiert, bis es fast vollständig von der großen schwarzen Oberfläche absorbiert worden ist. Selbst das Universum stellt keinen schwarzen Körper dar, es existiert die diffuse kosmische Hintergrundstrahlung, die ein äquivalenter schwarzer Körper der Temperatur T = Kelvin emittierte. Der Begriff des Schwarzen Körpers ist eine wichtige Abstraktion und Approximation, um das Absorptions- und Emissionsverhalten realer Körper zu beschreiben. Zum Begriff des Emissionsgrades gelangt man über folgendes Gedankenexperiment: Man denke sich zwei einander gegenüberliegende Platten unterschiedlichen Absorptionsgrades. Der dazwischen liegende Raum sei seitlich durch ideale Spiegel (ε = 0) begrenzt. Die Flächen mögen die Leistungen P und P abstrahlen. Somit absorbiert die erste Fläche die Leistung P ε, die zweite die Leistung P ε. Idealerweise stellt sich irgendwann ein thermisches Gleichgewicht ein, sodass effektiv keine Energie mehr verschoben wird. Dann gilt: P ε = P ε, woraus allgemein folgt, dass ε P = const bzw. P ~ ε. Also ist die abgestrahlte Leistung proportional dem Absorptionsgrad, weshalb dieser auch als Emissionsgrad bezeichnet wird. Dies bedeutet, dass ein schwarzer Körper nicht nur am besten absorbiert, sondern auch am besten emittiert. Seine Strahlungsleistung sei P S. Dann gilt für einen beliebigen Strahler das Kirchhoff sche Strahlungsgesetz: P = ε P. S 4
4. Theoretische Ansätze Abb. Gegen Ende des 9. Jahrhunderts waren schon genaue Messungen der Strahlung des schwarzen Körpers ausgeführt worden (Abb. grüne Kurve). Mit zunehmender Temperatur T verschiebt sich das Maximum der Strahlungsenergie zu kürzeren Wellenlängen λ, das Licht wird blauer. Wilhelm Wien (864-98) erfasste 89 den Zusammenhang: λ MAX =,898 0 T m Diese Beziehung wird als Wiensches Verschiebungsgesetz bezeichnet. Je größer die Temperatur des schwarzer Körpers, desto weiter verschiebt sich das Maximum zu kleineren Wellenlängen hin. Planck gelang es drei Jahre später, diese halbempirisch gewonnene Strahlungsgleichung theoretisch abzuleiten. Allerdings zeigten schon bald Präzisionsmessungen, dass im Bereich langer Wellen erhebliche Abweichungen auftraten. Allerdings stimmten die neuen Messergebnisse mit einer Strahlungsformel überein, die kurz zuvor die englischen Physiker Lord Rayleigh und Sir James Jeans publiziert hatte (Abb. blaue Kurve): u 8π k T λ ( λ, T ) = 4 5
Man sieht, dass diese Beziehung nur bei großen Wellenlängen halbwegs vernünftig mit der Spektralfunktion übereinstimmt. P strebt gegen Unendlich, wenn λ gegen 0 geht, was man auch als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet hat. Abb. Die theoretische Ansätze von Wien beziehungsweise von Rayleigh und Jeans waren nur in eingeschränkten Bereichen gültig (nur bei großen beziehungsweise kleinen Frequenzen). Das wichtigste theoretische Problem war nun die Ableitung des Strahlungsgesetzes, das heißt die Strahlungsdichte im Hohlraum als Funktion der Wellenlänge beziehungsweise Frequenz und der Temperatur zu bekommen. Nach den damals für gültig gehaltenen Gesetzen hätte ein heißer Körper elektromagnetische Wellen in gleichbleibenden Maße abgeben müssen, unabhängig von ihrer Frequenz. Dies würde allerdings bedeuten, dass die abgestrahlte Gesamtenergie unendlich wäre. Aber der vorausgesagte stetige Anstieg der Strahlungsenergie in Abhängigkeit der Frequenz (bis hin zur Ultraviolettkatastrophe) findet nicht statt. 6
5. Planck sches Gesetz Die Abhängigkeit des Energie- und Wellenlängen-Spektrums von der Temperatur beschreibt das Planck sche Strahlungsgesetz. Abb. Max Planck (Abb. ) versuchte die Herleitung der Verteilungsfunktion über den gesamten Wellenlängenbereich. Er suchte zuerst eine Korrekturrechnung der klassischen Theorie und gelangte schließlich im Oktober 900 zum Erfolg, als er sich entschloss, die Energie des schwarzen Körpers nicht als eine kontinuierlich verteilte Größe zu verstehen, sondern anzunehmen, dass sie in winzigen Paketen - den sogenannten Quanten - abgestrahlt und absorbiert wird. Mit anderen Worten: Energie wird immer nur in einzelnen Paketen abgegeben oder aufgenommen. Planck fand, dass die Energie eines Quantums dabei proportional ist zur Frequenz ν der Strahlung. E = h ν Der Proportionalitätsfaktor ist die Naturkonstante h. Sie wird nach Planck auch Planck sche Konstante oder Planck sches Wirkungsquantum genannt. Ihre Einheit ist eine Wirkung [J s] Diese Entdeckung Plancks gilt als Geburtsstunde der Quantenmechanik. Allerdings fehlte noch eine theoretische Begründung für die glücklich erratene Interpretationsformel. Planck selbst wollte eigentlich nicht von der klassischen Physik abweichen und versuchte mehrere Jahre lang, das Phänomen der Schwarzkörperstrahlung mit rein klassischen Vorstellungen zu beschreiben, hatte jedoch keinen Erfolg. Die fundamentale Bedeutung dieser Gleichung erkannte man erst, als Einstein auf ihrer Grundlage den fotoelektrischen Effekt erklären konnte. Dabei ging Einstein noch über Plancks Vorstellung hinaus und zeigte, dass die Energiequantisierung nicht nur eine formale Hilfskonstruktion ist, sondern eine fundamentale Eigenschaft der elektromagnetischen Strahlen überhaupt. Planck konnte also mit seiner Annahme, dass die Energie quantisiert ist, fol- 7
gende Beziehung herleiten (wobei u ( ν,t ) beziehungsweise u (,T ) λ die spektrale Energiedichte ist): u u ( ν, T ) ( λ, T ) 8hπν = c exp ( hν kt ) 8hπc = 5 λ exp( hc λkt ) 6. Praktischer Nutzen Folgerungen des Planck schen Strahlungsgesetzes sind das Wien sche Verschiebungsgesetz, welches das Emissionsmaximum des schwarzen Körpers bestimmt, das Stefan- Boltzmann-Gesetz, welches die gesamte abgestrahlte Energie eines schwarzen Körpers angibt und das Rayleigh-Jeans sche Strahlungsgesetz, welches die Strahlungsabhängigkeit für große Wellenlängen beschreibt und das Wien sche Strahlungsgesetz, welches die Strahlungsabhängigkeit für kleine Wellenlängen beschreibt. In der Astronomie werden Sterne oft durch schwarze Körper angenähert. Der Unterschied zwischen der ideellen Kurve und dem Sternspektrum gibt Aufschluss über die chemische Zusammensetzung und Eigenschaften wie das Magnetfeld des Sterns. Die Kosmische Hintergrundstrahlung zeigt Eigenschaften einer Schwarzkörperstrahlung einer Temperatur von,75 ± 0,00 K. 7. Herleitungen Um die Lage des Maximums von u ( λ,t ) als Funktion von λ bei konstantem T zu finden, setzen wir die Ableitung von u ( λ,t ) nach λ gleich Null und lösen die erhaltene Gleichung. Auf diese Weise gelangen wir zu: λ 0,04hc T = k MAX = const Diese Beziehung entspricht dem Wien schen Verschiebungsgesetz. Da λ MAX und T einfach gemessen werden können und c bekannt ist, können wir dann mit Hilfe obiger Gleichung h k experimentell bestimmen. 8
Im folgenden Bild sieht man diese Energieverteilungen für drei verschiedene Temperaturen eingezeichnet (Wien sches Verschiebungsgesetz): Je höher die Temperatur, desto weiter ist das Maximum der Funktion zu kurzen Wellenlängen verschoben. Um aus dem Planck schen Strahlungsgesetz u ( ν T ) 8hπν = c, exp( hν kt ) das Rayleigh-Jeans sche Strahlungsgesetz und das Wien sche Strahlungsgesetz zu erhalten, kann man folgende Überlegung vornehmen: Für kleine Frequenzen kann der Planck sche Interpolationsterm entwickelt werden und es folgt das Rayleich-Jeans sche Strahlungsgesetz: e hν kbt hν + + O k T B 8πν ( ν ) u( ν, T ) = c k B T Für große Frequenzen kann man (-) im Nenner vernachlässigen und es folgt das Wien sche Gesetz: 9
e hν kbt e hν kbt u 8πhν c hν kbt T ( ν, T ) = e = αν e βν 8. Quellenangaben H. Vogel: Gerthsen Physik, 0. Auflage W. Greiner: Quantum Mechanics, An Introduction; Second Corrected Edition, Springer H. Haken, H. Wolf: Atom und Quantenphysik, Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen; 4. Auflage, Springer W. Demtröder: Experimentalphysik, Atome, Moleküle und Festkörper;. Auflage, Springer Abbildungen gefunden in www.google.de 0