Sommersemester 2016 Didaktik der Grundschulmathematik Di, 12-14 Uhr, HS 1 I Zahlen und Operationen V 1 12.04. Arithmetik in der Grundschule V 2 19.04. Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind V 3 26.04. Zahlenraum bis 20 (Kl. 1) Rechenstrategien V 4 03.05. Zahlenraum bis 100 (Kl. 2)- Rechenstrategien V 5 10.05. Multiplizieren und Dividieren V 6 24.05. Erweiterung des Zahlenraums - Schriftliche Verfahren des Rechnens II Raum und Form V7 31.05. Dreiecke im Quadrat III Muster und Strukturen V 8 07.06. Muster und Strukturen IV Größen und Messen V 9 14.06. Größen und Messen V Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit V10 21.06. Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit Kompetenzorientiert unterrichten: -Argumentieren -Kommunizieren -Problemlösen -Modellieren -Darstellen VI Spielerisches Lernen; Offene Aufgaben V11 28.06. Offene Aufgaben individuelle Förderung V12 05.07. Spielerisches Lernen Prüfungen vom 11.-18.07.2016 1
V 2 Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen (1) Einflussfaktoren auf die Entwicklung arithmetischer Kompetenzen (2) Die Entwicklung der Zählfähigkeiten (3) Modelle zur Entwicklung arithmetischer Kompetenzen (4) Die Aspekte des Zahlbegriffs 2
1 Einflussfaktoren auf die Entwicklung mathematischer Kompetenzen (Quellen: Krajewski; Padberg; Moser-Opitz) Mengenvorwissen Subitizing (simultanes Erfassen) Fähigkeit von Geburt an Qualitatives Vergleichen, Klassifizieren, Reihenfolgen erkennen, Eins-zu-eins-Zuordnungen herstellen (s. OTZ, Merkmale 1-4) Zahlenvorwissen Zahlenkenntnis Zählfähigkeiten (s. Punkt 2) subito - plötzlich 3
2 Die Entwicklung der Zählfähigkeiten Hasemann/Gasteiger, Anfangsunterricht 2013;Padberg/Benz, Arithmetik 2012; Krajewski 2003, 2013) (1)Entwicklung der Zahlwortreihe (2)Zählprinzipien 4 Björn, 2 Jahre
2.1 Erwerb der Zahlwortreihe (nach Caren Fuson, 1988. In: Padberg/Benz, 2013) Die 5 Ebenen nach Fuson spiegeln die zunehmenden Kompetenzen beim Umgang mit Zahlwörtern wider. Der Prozess erstreckt sich mindestens bis zum Alter von 7 oder 8 Jahren. Die Zählprinzipien werden dabei allmählich erworben. Die in 3.1 und 3.2 vorgestellten Modelle beruhen u. a. auf dem Modell von Caren Fuson. 5
1. Niveaustufe Ganzheitsauffassung der Zahlwortreihe (string level) Die Zahlwortreihe wird als Ganzes unstrukturiert eingesetzt, wird wie ein Lied oder ein Gedicht rezitiert: einszweidreivierfünfsechs. Die Zahlwortreihe kann nur mit Einschränkungen zum Zählen eingesetzt werden. Eindeutigkeitsprinzip noch nicht sicher. Die Zahlwörter haben noch keine kardinale Bedeutung. 6
2. Niveaustufe Unflexible Zahlwortreihe (unbreakable chain level) Die einzelnen Zahlwörter können klar unterschieden werden, jedoch muss die Reihe immer als Ganzes aufgesagt werden (von 1 an). Durch Zählen kann eine Anzahl bestimmt werden. 7
3. Niveaustufe Teilweise flexible Zahlwortreihe (breakable chain level) Die Zahlwortreihe kann von einem beliebigen Zahlwort aus aufgesagt werden. Vorgänger- und Nachfolgerzahlen können genannt werden. Rückwärtszählen gelingt zum Teil. Kardinale Kompetenz (Bestimmen einer Anzahl) deutlich gestiegen. 8
4. Niveaustufe Flexible Zahlwortreihe (numerable chain level) Von jeder Zahl aus kann eine bestimmte Anzahl Schritte weiter gezählt werden: Zähle von 14 aus drei Schritte vorwärts, rückwärts. Entsprechende Fertigkeiten im Rückwärtszählen entwickeln sich etwas später. Rechenkompetenzen werden erworben. 9
5. Niveaustufe Vollständig reversible Zahlwortreihe (bidirectional chain level) Es kann von jeder Zahl aus vorwärts und rückwärts gezählt werden. Richtungswechsel erfolgen schnell und ohne Schwierigkeiten. Erkenntnisse zum Aufbau unseres Zahlsystems können abgeleitet werden. 10
Die Zeit der Konsolidierung der Zählkompetenz ist zeitlich sehr individuell; unsere Untersuchung deutet auf einen Zeitrahmen vom 4. bis zum 6. Lebensjahr hin. Caluori: Die numerische Kompetenz von Vorschulkindern 11
2.2 Zählprinzipien nach Gelmann & Gallistel 1978 1. Das Eindeutigkeitsprinzip (Jedem der zu zählenden Elemente wird genau ein Zahlwort zugeordnet.) 2. Das Prinzip der stabilen Ordnung (Beim Zählen kommt jede Zahl genau einmal und stets an der gleichen Position vor.) 3. Das Kardinalzahlprinzip (Die letzte Zahl beim Zählen einer Menge gibt deren Anzahl an.) 4. Das Abstraktionsprinzip (Jede Art von Objekten ist zählbar.) 5. Das Prinzip von der Irrelevanz der Anordnung (Die Reihenfolge beim Zählen der Objekte ist beliebig.) vgl. auch Padberg, 2010, S.8/9; Krajewski, 2003 12
2.3 Einflussfaktoren Muttersprache spielt eine Rolle: Sprachen, in denen das Positionssystem klar abgebildet wird, erleichtern das Verständnis für die Zahlbildung, das Zählen wird schneller erlernt (z.b.: in asiatischen Ländern: zehn-eins - 11; zehn-zwei - 12, zwei-zehn-eins- 21). 13
Miller und Stigler (1987) konnten bei 4- bis 6- jährigen chinesisch sprechenden Kindern bedeutend weniger Schwierigkeiten beim Zählen von 10-19 finden als bei amerikanischen Kindern, weil das chinesische Zahlsystem auf einer regulären Wortbildung basiert und bessere Einsicht in das zugrunde liegende Zahlsystem gewährt. 14
Zählfähigkeiten und Rechenfähigkeiten stehen in einem engen Zusammenhang 2.4 Fallbeispiel Sascha, Kl. 1, März 15
Dezember Kl. 1 Zählfähigkeiten Sascha 16
März, Kl. 1 Rechenfähigkeiten Sascha 17
3 Modell zur Entwicklung mathematischer Kompetenzen Fritz/Ricken/Gerlach (2007) 18
3.1 Kompetenzmodell nach Fritz/Ricken/Gerlach 2007/2008 stützt sich auf Resnick (1983) und Fuson (1988) Stufe 1 Säuglinge unterscheiden Mengen mit 2 und 3 Objekten 1 ; mit ca. einem halben Jahr können Mengenveränderungen (im Zahlenraum 1 bis 3) wahrgenommen werden. Mit dem Beginn des Sprechens erlernen Kinder Zahlworte, die sie zunächst ohne Mengenverständnis anwenden. Mit der Zeit entsteht ein Verständnis dafür, dass die Zahlworte in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind (Seriation). Das Zählen wird sicherer, flüssiger und vollständiger, wird aber noch nicht eingesetzt, um Objekte zu zählen. Der Vergleich von Mengen erfolgt über eine 1-zu-1-Zuordnung. n. Thiel 2008 ca. 30% der Fünfjährigen 19
1 Habituierungsversuche nach Starkey und Cooper 1980 Säuglinge können bereits zwischen 2 und 3 Objekten unterscheiden Karen Wynn Untersuchungen zum subitizing Opitz 2008: Fraglich bleiben jedoch die Begründungen für diese Phänomene und die Auswirkungen auf die Zählkompetenz.
Stufe 2 Die Sequenzwörter (sequence-words) werden zu Zählwörtern (countingwords). Das Zählen kann genutzt werden, um Objekte zu zählen. Die Kinder begreifen, dass die Zahlwortreihe eine feste Abfolge hat, auf jede Zahl eine bestimmte Nachfolgerzahl folgt und diese Zahl größer ist. Die Zahlwortreihe weist die steigende Menge aus. Die Kinder vergleichen Zahlen aufgrund ihrer Position in der Zahlwortreihe. Das wachsende Verständnis von Vermehren und Vermindern wird mit der Zahlenstrahlvorstellung verknüpft. Dies versetzt sie in die Lage einfache sachbezogene Rechnungen auszuführen. Die Bewältigung der Aufgaben erfolgt zählend - orientiert am inneren Zahlenstrahl. Die Aufgaben werden in der Regel gelöst, ohne dass die Kinder schon über eine kardinale Mengenvorstellung verfügen. ca. 40% der Fünfjährigen 21
Stufe 3 ca. 20% der Fünfjährigen Foto Thiel Erwerben des kardinalen Verständnisses: Die Kinder betrachten die Zahlen nicht mehr ausschließlich nach ihrer Position auf dem Zahlenstrahl (also rein ordinal), sondern beginnen zu verstehen, dass Zahlen auch für die Anzahl der in ihnen enthaltenen Objekte stehen ( Enthaltensein : Die Zahl 4 enthält auch die Zahlen 1, 2 und 3.) Es muss beim Rechnen nicht mehr alles ausgezählt werden, es kann von der ersten Rechenzahl aus weitergezählt werden. Aus einer Gesamtmenge heraus kann eine Teilmenge bestimmt werden. Vorgänger und Nachfolger von Zahlen können genannt werden, ohne sie zählend ermitteln zu müssen. 22
Stufe 4 weniger als 10% der Fünfjährigen Integration der Zahlenstrahlvorstellung und Mengenbedeutung von Zahlen wird weiter vertieft. Teil-Ganzes-Konzept wird erworben: Zahlen können in Teilmengen zerlegt und aus Teilmengen zusammengesetzt werden. Der ordinale und kardinale Zahlbegriff wird um den relationalen Zahlbegriff erweitert: Mit einer Zahl wird auch ein Abschnitt auf dem Zahlenstrahl bezeichnet. Die Zahl 5 kann z.b. für den Abschnitt 1-2-3-4-5 aber auch für den Abschnitt 4-5-6-7-8 stehen. Die sich allmählich entwickelnden relationalen Kenntnisse gestatten es, dass die Kinder eine Differenz zwischen zwei Mengen bestimmen können. 23
Stufe 5 (in der Schule) Wissen über Beziehungen zwischen Mengen entwickelt sich: Zahlen können in unterschiedliche Teilmengen zerlegt werden, ohne, dass man ihre Mächtigkeit verändert (8=3+5 oder 8=4+4). Kommutativgesetz (3+9 kann umgedreht werden zu 9+3) und effektive Zerlegungsstrategien können genutzt werden (5+8=5+5+3). 24
Die Kompetenzen der 5 Stufen bilden sich allmählich heraus, z. B. in Abhängigkeit vom Zahlenraum. Siegler (1987) benutzte den Begriff der sich überlappenden Wellen. Das bedeutet, dass Kompetenzen nicht sofort und vollständig da sind, sondern sich entwickeln müssen. Während sich die Kompetenz noch entwickelt, kann das Kind die nächste Kompetenz schon vorbereiten. Kalkulie 25
Beispiele zum Erwerb des relationalen Zahlaspekts Stufe 4 (Fritz et al.)
Erstklässler zu Schulbeginn können Differenzen zwischen Zahlen vielfach noch nicht als Anzahlen repräsentieren. 27
Jan und Anna bauen mit Legosteinen. Jan steckt 5 Steine zusammen. Paula baut mit 7 Steinen. Wie viele Bausteine hat Paula mehr? Patrick gehört zu den 22% der Schulanfänger, die mit dem relationalen Zahlaspekt schon arbeiten können. 28
Übung zur Entwicklung mathematischer Kompetenzen s. Vorlesung
4 Die Aspekte des Zahlbegriffs Unterschiedliche Aspekte machen die Gesamtheit des Zahlbegriffes aus. (Padberg; Radatz/Schipper) 30
Quelle: Radatz/Schipper 31
Auf die verschiedenen Aspekte des Zahlbegriffs machen auch Lehrbuchseiten in Kl. 1 aufmerksam. Zahlenbuch/ Klett 32
Matheprofis/Oldenbourg 33
Kardinalzahlaspekt ( wie viele? ) Zahlen dienen zur Beschreibung von Anzahlen. 3 Äpfel, 20 Kinder, 7 Zwerge 34
Mathematikus, Westermann 35
Ordinalzahlaspekt ( die/der wievielte? ) Zahlen beschreiben eine Reihenfolge. Sie kennzeichnen Stellen in Anordnungen. An der 3. Haltestelle muss ich aussteigen. Mein Stellplatz hat die Nummer 12. 36
Mitunter wird noch zwischen Ordnungszahl und Zählzahl unterschieden: Ordnungszahl: gibt den Rangplatz eines Elementes in einer geordneten Reihe an (erster, zweiter, dritter,..). Zählzahl: Folge der natürlichen Zahlen, die beim Zählen durchlaufen wird (eins, zwei, drei,...). 37
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Maßzahlaspekt ( wie lang?,...) Natürliche Zahlen dienen als Maßzahlen für Größen (bezüglich einer gewählten Einheit). 5 Meter, 3 Stunden, 4 kg, 3 Schritte 39
Operatoraspekt ( wie oft? ) Zahlen beschreiben die Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs. Zur Strafe schreibst du fünfmal: Ich darf meinen Lehrer nicht ärgern. Dreimal am Tag muss ich die Tablette einnehmen. 40
Rechenzahlaspekt Natürliche Zahlen werden als Rechenzahlen genutzt. 41
Codierungsaspekt Zahlen werden zur Bezeichnung von Objekten genutzt. Postleitzahlen, Telefonnummern usw. 42
Zahlaspekte überlagern sich teilweise, lassen sich nicht immer eindeutig zuordnen. Zählaktivitäten führen zu den verschiedensten Zahlaspekten. 43
Ordnen Sie folgenden Beispielen den Zahlaspekt zu, der zugrunde liegt (evtl. auch Mehrfachnennungen möglich). Versuchen Sie, Ihre Zuordnungen zu begründen. a. Die Straßenbahnlinie 6 kam heute später als die 5. b. Hans kommt als 5. ins Ziel. c. In der letzten Woche war Kai dreimal im Schwimmbad. d. Der Rückweg dauerte 5 Stunden. e. 5 Mädchen und 3 Jungen spielen Flöte. f. Um 17 Uhr beginnt die Kinovorstellung. g. Jens muss beim Spielen auf das Feld Nr. 5 zurück. h. Beim Lotto wurde die 3 und die 5 gezogen. i. Ich habe das Buch unter ISBN 3-8311-2330-6 bestellt. 44
Arbeitsmittel repräsentieren mitunter besonders einzelne Zahlaspekte: Mengen, die mit Plättchen, Stäbchen, Steinchen, Würfelchen gelegt werden, heben den kardinalen Zahlaspekt hervor. Strukturiert man diese Mengen nach bestimmten Regeln, kann man durch das Legen der Elemente in eine Reihe zum ordinalen Zahlaspekt führen oder durch das Bilden gleichmächtiger Teilmengen zum Operatoraspekt (dreimal 4 Plättchen). Zahlenstrahlmodelle, Zwanzigerreihe und das Hunderter- Zahlenfeld veranschaulichen vor allem den ordinalen Zahlaspekt. Cuisenaire-Stäbe (Farbige Stäbe) repräsentieren insbesondere den Maßzahlaspekt von Zahlen. 45
Zusammenfassend