1 Vollständige Induktion

1 Vollständige Induktion Die vollständige Induktion ist eine machtvolle Methode, um Aussagen zu beweisen, die für alle natürlichen Zahlen gelten sollen. Sei A(n) so eine Aussage, die zu beweisen ist. Bei der vollständigen Induktion wird nun die Aussage für n = 1 (manchmal auch für andere n, je nach Aussage) überprüft Induktionsanfang. Dann wird davon ausgegangen, dass die Aussage für ein beliebiges n N richtig ist Induktionsannahme. Meistens wird auch gleich angenommen, dass die Aussage für alle m N mit m n richtig ist, um mehr Möglichkeiten in der Beweisführung zu haben. Die eigentliche Arbeit steckt im letzten Teil: aus der Richtigkeit für n soll die Richtigkeit der Aussage für n + 1 gefolgert werden Induktionsschritt. Gelingt dies, ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen gezeigt. Bemerkung 1.1 ˆ Eine häufige Fehlerquelle bei der vollständigen Induktion liegt bei der korrekten Anwendung des Induktionsschritts. Obwohl von der Korrektheit für n auf die Korrektheit der Aussage für n + 1 geschlossen werden soll, ist der Ausgangspunkt der Beweisführung stets die allgemeine Aussage für n + 1, die durch geschicktes Umformen mit der Aussage für n kombiniert wird. ˆ Im Induktionsanfang wird die Aussage immer für die kleinste Zahl überprüft, für die man die Aussage geltend machen will, im Normalfall ist dies n = 0 oder n = 1. ˆ Will man sich im Induktionsschritt immer auf beide vorangegangenen Aussagen für n 1 und n berufen, dann müssen beim Indukationsanfang auch die Aussagen für die ersten beiden Zahlen überprüft werden. Beispiel 1.2 Eine Formel für die Summe der ungeraden Zahlen: n (2i 1) = n 2 Induktionsanfang: n = 1 : 1 i=1 (2i 1) = 1 = 12 Induktionsannahme: Aussage gilt für beliebiges k N Induktionsschritt: Für n = k + 1 gilt: k+1 i=1 (2i 1) = k (IA) i=1 (2i 1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 i=1

2 Relationen und Funktionen 2.1 Relationen Definition 2.1 Sei k N mit k 2. Eine k-stellige Relation über den Mengen A 1,..., A k ist eine Teilmenge R A 1 A k. Eine zweistellige Relation nennt man auch binäre Relation. Eine binäre Relation R M M heißt ˆ reflexiv, wenn für alle a M gilt: (a, a) R, ˆ irreflexiv, wenn für alle a M gilt: (a, a) R, ˆ symmetrisch, wenn für alle a, b M gilt: wenn (a, b) R, dann (b, a) R, ˆ asymmetrisch, wenn für alle a, b M gilt: wenn (a, b) R, dann (b, a) R, ˆ antisymmetrisch, wenn für alle a, b M gilt: wenn (a, b) R und (b, a) R, dann a = b, ˆ transitiv, wenn für alle a, b, c M gilt: wenn (a, b) R und (b, c) R, dann (a, c) R. Abkürzung: a R b Definition 2.2 Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, nennt man partielle Ordnung. Eine Relation, die irreflexiv und symmetrisch ist, nennt man Graph. Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, nennt man Äquivalenzrelation.Die Menge aller Elemente aus M, die zu a äquivalent sind heißt Äquivalenzklasse von a und wird mit [a] R := {b M : arb} bezeichnet. Die Menge der Äquivalenzklassen heißt Quotientenmenge und wird mit bezeichnet. M/ R := {[a] R : a M} Proposition 2.3 Sei R eine Äquivalenzrelation über der Menge M. Dann bilden die Äquivalenzklassen eine Partition von M. Genauer: Für zwei beliebige Elemente a, b M gilt: [a] R [b] R [a] R = [b] R (a,b) R Beispiel 2.4 Sei M = Z und eine Relation R gegeben durch arb a = b für a, b Z. Dann ist R reflexiv, symmetrisch und transitiv, also Äquivalenzrelation. Es gilt: [a] R = {a, a} für ein a Z und Z/ R = {[0] R, [1] R, [2] R, [3] R, [4] R,...}

2.2 Funktionen Definition 2.5 Sei f A B eine binäre Relation mit der Eigenschaft, dass jedem Element a A durch f genau ein Element b B zugeordnet wird, d.h. dass a A : {b B : (a, b) f} = 1 gilt. In diesem Fall nennt man f eine Abbildung oder Funktion. Eine Funktion f : A B heißt ˆ injektiv, wenn für alle b B gilt: f 1 (b) 1, ˆ surjektiv, wenn für alle b B gilt: f 1 (b) 1, ˆ bijektiv, wenn für alle b B gilt: f 1 (b) = 1. Für jedes a A ist das eindeutige Element f(a) := b B mit (a, b) f das Bild von a unter f. Das Urbild von b B ist definiert als f 1(b) := {a A : f(a) = b} A und muss nicht notwendigerweise aus genau einem Element bestehen (kann übrigens auch leer sein). Analog: Bild und Urbild einer Menge. Proposition 2.6 Es seien A und B nichtleere, endliche Mengen und f : A B eine Funktion. Dann gilt: (i) Wenn f bijektiv, dann A = B. (ii) Wenn A = B, dann gilt: f injektiv f surjektiv f bijektiv. Beispiel 2.7 Sei die Funktion f : D B gegeben durch f : x x. Dann ist f : Z N surjektiv, aber nicht injektiv, f : N\{0} N injektiv, aber nicht surjektiv, f : N N injektiv und surjektiv, also bijektiv. 2.3 Partielle Ordnungen Definition 2.8 Sei R = (M, ) eine partielle Ordnung. (i) Zwei Elemente a, b M heißen vergleichbar, wenn a b oder b a. (ii) Wenn a und b nicht vergleichbar sind, heißen sie unvergleichbar. (iii) R heißt vollständig oder linear, wenn alle a, b M vergleichbar sind. (iv) R = (M, ) heißt lineare Erweiterung von R = (M, ), wenn R R und R linear ist. (v) Das Element a wird von b überdeckt, wenn a b und es kein c M mit c a, b gibt, so dass a c und c b.

(vi) Das Hasse-Diagramm von R ist ein Diagramm des Graphen ( ) M, {{a, b} : a wird von b überdeckt }, bei dem für jedes Paar a b der Knoten a unterhalb des Knoten b gezeichnet wird. (vii) Eine Kette in R ist eine Menge K M mit der Eigenschaft, dass alle a, b K vergleichbar sind. Eine Antikette in R ist eine Menge L M mit der Eigenschaft, dass alle a, b L mit a b unvergleichbar sind. (viii) Ein Element a M heißt größtes Element, wenn es kein b M mit b a und a b gibt. Ein Element a M heißt kleinstes Element, wenn es kein b M mit b a und b a gibt. Satz 2.9 Es sei M eine endliche, nichtleere Menge und R = (M, ) eine partielle Ordnung. Dann gilt: (i) Die maximale Anzahl von Elementen in einer Antikette von R ist gleich der minimalen Anzahl von Ketten aus R, mit denen man M partitionieren kann. (ii) Die minimale Anzahl von Antiketten aus R, mit denen man M partitionieren kann, ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen in einer Kette von R. Beispiel 2.10 Sei M = {{1}, {2, 3}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} und die Relation R gegeben durch R = (M, ). Dann gilt: R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch, also R partielle Ordnung. Aber R nicht linear, da zum Beispiel {1} {2, 3} und {2, 3} {1}. Betrachte nun die Relation R = (M, ) mit A B A B. Dann gilt: R reflexiv, transistiv und antisymmetrisch. Außerdem ist R linear und es gilt R R. Damit ist R eine lineare Erweiterung von R. Beispiel 2.11 Sei M = {2, 4, 5, 15, 20, 30, 60} und (a, b) R a T eiler von b. R = (M, ) ist partielle Ordnung. Es gilt: 2 und 30 vergleichbar, aber 2 und 15 unvergleichbar. Also R nicht linear. 2 wird von 30 überdeckt, denn a M : 2 a und a 30. 2 und 5 sind kleinste Elemente, 60 einziges größtes Element. Hasse-Diagramm: Kette in R: {5, 15, 30, 60}. Antikette in R: {20, 30}

3 Erzeugende Funktionen Definition 3.1 Es sei (a n ) n N = a 0, a 1, a 2,... eine unendliche Folge von reellen Zahlen. Dann heißt n 0 a nx n, formale Potenzreihe. Mit A(x) := n 0 a nx n wird der Grenzwert der Reihe bezeichnet, unter der Voraussetzung, dass dieser existiert. Definition 3.2 Es seien n 0 a nx n und n 0 b nx n zwei formale Potenzreihen. (i) Die Summe von n 0 a nx n und n 0 b nx n ist definiert als die formale Potenzreihe n 0 c nx n mit c c := a n + b n für alle n N o (ii) Das Produkt zweier formaler Potenzreihen n 0 a nx n und n 0 b nx n ist definiert durch C(x) := A(x) B(x) := n c n x n mit c n = a k b n k. n 0 (iii) Die Potenzreihe n 0 b nx n heißt inverse Potenzreihe von n 0 a nx n, wenn für ihr Produkt n 0 c nx n (das wie in (ii) definiert ist) gilt: c 0 = 1 und c n = 0 für alle n N. (iv) Die Ableitung von n 0 a nx n ist definiert als die formale Potentreihe (n + 1)a n+1 x n. n 0 na n x n 1 = n 0 Betrachtet man formale Potenzreihen als Funktionen, dann leisten die obigen Operationen das, was ihre Namen suggerieren. Satz 3.3 Es seien A(x) = n 0 a nx n und B(x) = n 0 b nx n für x R konvergent. (i) Wenn C(x) = n 0 c nx n mit c n = a n + b n ist, dann gilt C(x) = A(x) + B(x). (ii) Wenn C(x) = n 0 c nx n mit c n = n k=0 a kb n k ist, dann gilt C(x) = A(x) B(x). (iii) Wenn A(x) in x differenzierbar ist und wir die Ableitung mit A (x) bezeichnen, dann gilt A (x) = n 0 (n + 1)a n+1x n. Satz 3.4 n 0 a nx n hat genau dann eine inverse Potenzreihe n 0 b nx n, wenn a 0 0 ist. In diesem Fall gilt b 0 = 1 a 0 und b n = 1 a 0 n k=1 a kb n k n N. Satz 3.5 Taylor Sei A : R R eine Funktion, die in 0 unendlich oft differenzierbar ist, und bezeichne mit A (k) (x) die k-te Ableitung an der Stelle x. Dann gilt: vorausgesetzt, die Summe konvergiert. A(x) = n 0 A (n) (0) x n, n! k=0

Wichtige Formeln von Potenreihen: (i) i 0 γi x i = 1 für γx < 1 1 γx (ii) ( i+k ) i 0 k x i 1 = (1 x) k+1 (iii) i 0 ( k i) x i = (1 + x) k Verfahren für das Aufstellen von erzeugenden Funktionen: Gesucht: explizite Formel für (a n ) n N0 aus rekursiver Vorschrift. 1) Potenreihe aufstellen: F (x) = i=0 a ix i 2) Anfangswerte und Rekursionsformel in Potenzreihe einsetzen 3) Auftretende a i -Terme durch F (x) ersetzen 4) Explizite Formel für F (x) aufstellen (rational gebrochene Funktion) 5) Mittels Partialbruchzerlegung in Potenzreihe umformen 6) Koeffizientenvergleich ergibt explizite Formel.

4 Zählen 4.1 Summen- und Produktregel, Inklusion - Exklusion Summenregel: wenn M = M 1... M k, dann M = M 1 +... + M k = k i=1 M i. Produktregel: wenn M = M 1 M k, dann M = M 1... M k = k i=1 M i. Bei der Summenregel waren disjunkte Mengen vorausgesetzt. Ist dies nicht gegeben, muss anders gerechnet werden: Proposition 4.1 Für endliche Mengen M 1,..., M n gilt: n M i = i=1 n r ( 1) r 1 M ij. r=1 1 i 1 < <i r n j=1 Beispiel 4.2 Für den Fall n = 3 ergibt diese Formel: M 1 M 2 M 3 = M 1 + M 2 + M 3 M 1 M 2 M 1 M 3 M 2 M 3 + M 1 M 2 M 3 Zählen durch Bijektion: Wenn A undb zwei endliche Mengen, und wenn f : A = B. A B eine Bijektion ist, dann Doppeltes Abzählen: Es sei R A B eine binäre Relation. Dann gilt {b B : (a, b) R} = R = a A b B 4.2 Teilmengen zählen {a A : (a, b) R} Aus einer Menge M = {m 1,..., m n } sollen k Elemente c 1,..., c k ausgewählt werden. X bezeichne dabei die Menge an möglichen Kombinationen. Dann sind vier verschiedene Fälle zu unterscheiden: Proposition 4.3 Die Anzahl der Möglichkeiten ist gegeben durch: geordnet ungeordnet mit Zurücklegen n k M = ( ) n+k 1 k ( k ohne Zurücklegen n k n ) k

Proposition 4.4 Es seien x, y R und m, n, k N 0 mit k n und k m. Dann gilt: a) ( ) ( n k = n n k), b) ( ) ( n 1 k 1 + n 1 ) ( k = n ) k für n, k 1, c) 2 n = n ( n i=0 i), d) ( ) n+m k = n ( n m i=0 i)( k i), e) (x + y) n = n ( n i=0 i) x i y n i, f) (x + y) n = n ( n i=0 i) x i y n i, g) x n+k = x n (x n) k, 4.3 Partitionen zählen Definition 4.5 Es seien k, n N 0 und M Menge mit M = n. Eine k-partition der Menge M ist eine Zerlegung von M in k disjunkte, nichtleere Mengen: M = M 1... M k. Die Anzahl von k-partitionen einer n-elementigen Menge wird mit S n,k bezeichnet. Man setzt S 0,0 = 1. Proposition 4.6 Es seien k, n N 0. a) Für k > n gilt: S n,k = 0. b) Für n 1 gilt: S n,0 = 0. c) Für 1 k n gilt: S n,k = S n 1,k 1 + k S n 1,k. Satz 4.7 Für 1 k n gilt: S n,k = k r (k r)n ( 1) r!(k r)!. r=0 Beispiel 4.8 Sei M = {1, 2, 3}. Dann ist offensichtlich S 3,2 = 3: M = {1, 2} {3} = {1, 3} {2} = {2, 3} {1}. Definition 4.9 Es seien k, n N 0. Eine k-partition der Zahl n ist eine Zerlegung von n in k Summanden: n = n 1 + + n k mit n i N für alle i [k]. Bei einer geordneten Partition kommt es auf die Reihenfolge der Summanden an, bei einer ungeordneten nicht. Die Anzahl von ungeordneten k-partitionen der Zahl n wird mit P n,k bezeichnet, man setzt P 0,0 := 1. Proposition 4.10 Es seien k, n N 0. a) Für k > n gilt: P n,k = 0. b) Für n 1 gilt: P n,0 = 0. c) Für 1 k n gilt: P n+k,k = k 1 i=0 P n,k i. d) Für 1 k n gilt: Es gibt genau ( n 1 k 1) geordnete k-partitionen der Zahl n.

Beispiel 4.11 n = 5 und k = 3. Dann gibt es zwei ungeordnete 3-Partitionen von 5, nämlich 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1, also P 5,3 = 2. Es gibt sechs geordnete 3-Partitionen von 5. Proposition 4.12 n Bälle werden in k Körbe geworfen. Dann gibt es folgende Verteilungsmöglichkeiten: beliebig inj. surj. bij. a) Bälle unterscheidbar, Körbe unterscheidbar k n k n k!s n,k n! ( b) Bälle nicht unterscheidbar, Körbe unterscheidbar n+k 1 ) ( k ( n 1 ) n n) 1 k 1 c) Bälle unterscheidbar, Körbe nicht unterscheidbar k i=1 S n,i 1 S n,k 1 d) Bälle nicht unterscheidbar, Körbe nicht unterscheidbar k i=1 P n,i 1 P n,k 1

5 Graphentheorie 5.1 Grundbegriffe und planare Graphen Definition 5.1 Ein Graph G = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V und einer Kantenmenge E ( V 2). ˆ Nachbarschaft eines Knotens: N(v) := {w V : {v, w} E}. Die Anzahl der Nachbarn von x heißt der Grad von x und wird mit deg(x) := N(x) notiert. ˆ Minimalgrad δ(g) ist der kleinste in G auftretende Grad, der Maximalgrad (G) der größte. ˆ Zwei Graphen G 1 = (V 1, E 1 ) und G 2 = (V 2, E 2 ) heißen isomorph (G 1 = G2 ), falls es eine Bijektion f : V 1 V 2 gibt, so dass für alle Knoten u, v V 1 gilt: {u, v} E 1 {f(u), f(v)} E 2. Die Funktion f nennt man in diesem Fall einen (Graphen-) Isomorphismus. ˆ Ein Graph H = (W, F ) ist ein Subgraph von G = (V, E), wenn W V und F E. H ist ein induzierter Subgraph, wenn W V und F = E ( W 2 ). Schreibe: H = G [W ]. ˆ Ein x, y-pfad W in G ist eine Folge (v 0, v 1,..., v l ) von Knoten mit x = v 0, y = v l und der Eigenschaft, dass {v i 1, v i } E für alle i = 1,..., l. Sind die Knoten eines Weges paarweise verschieden, spricht man von einem x, y-weg. Gilt außerdem, dass l 2 und auch die Kante {v l, v 0 } existiert, dann heißt W Kreis in G. Die Länge eines Weges, Kreises oder Pfades, ist definiert als die Anzahl der beteiligten Kanten. ˆ G = (V, E) heißt zusammenhängend, wenn zu je zwei v, w V ein v, w-pfad existiert. Die inklusionsmaximalen zusammenhängenden Subgraphen werden als Zusammenhangskomponenten bezeichnet. ˆ Ein Baum ist ein kreisfreier und zusammenhängender Baum. ˆ Spezielle Graphen: P n := ({0,..., n}, E) mit E := {{i 1, 1} : i [n]}, für n 0, C n := ([n], E) mit E := {{i, i + 1} : i [n 1]}, für n 3, K n := ([n], ( ) [n] 2 ) und E n := ([n], ) für n 1. Satz 5.2 Sei G = (V, E) ein Graph. Dann gilt: a) v V deg(v) = 2 E. b) G hat eine gerade Anzahl von Knoten ungeraden Grades. c) Wenn V 2, dann hat G mindestens zwei Knoten gleichen Grades. Satz 5.3 Für einen Graphen G = (V, E) mit n = V und m = E sind äquivalent: a) G ist ein Baum, b) G ist zusammenhängend und m = n 1, c) G ist Kanten-maximal kreisfrei, d) G ist Kanten-minimal zusammenhängend, e) für je zwei Knoten x, y aus V gibt es genau einen x, y-weg in G.

Definition 5.4 G = (V, E) heißt planar, wenn er sich so in die Ebene zeichnen lässt, dass sich seine Kanten nur in den Knoten berühren. G = (V, E, R), R bezeichnet die Gebiete von G. Satz 5.5 Euler Sei G = (V, E, R) ein ebener zusammenhängender Graph. Dann gilt: V E + R = 2 Folgerung.Sei G = (V, E, R) ein ebener, zusammenhängender Graph mit V 4. Dann gilt a) E 3 V 6. b) G hat mindestens einen Knoten vom Grad kleiner gleich 5. 5.2 Cliquen und stabile Mengen Definition 5.6 Ein induzierter Subgraph H = (V H, E H ) von G = (V, E) heißt Clique, falls für alle v, w V H gilt: {v, w} E H. Die Cliquenzahl eines Graphen G ist definiert als: ω(g) := max{k N : G enthält eine k-clique als induzierten Subgraphen} H = (V H, E H ) heißt stabile Menge, falls für alle v, w V H gilt: {v, w} / E H. Die Stabilitätszahlzahl eines Graphen G ist definiert als: α(g) := max{k N : G enthält eine k-stab. Menge als induzierten Subgraphen}. Beispiel 5.7 Betrachte folgenden Graphen: Es gilt: G planar. G nicht bipartit. ω(g) = 3, α(g) = 3, χ(g) = 3, ν(g) = 3, τ(g) = 3. G besitzt Hamilton Kreis. 5.3 Bipartitheit und Färbungen Definition 5.8 Ein Graph G = (V, E) heißt bipartit genau dann, wenn es eine Partition seiner Knotenmenge V = A B gibt, so dass G[A] und G[B] stabile Mengen sind. Satz 5.9 König G ist genau dann bipartit, wenn er keine ungeraden Kreise enthält.

Definition 5.10 Sei k N. G = (V, E) heißt k-färbbar, wenn es eine Abbildung f : V [k] gibt mit der Eigenschaft, dass benachbarte Knoten nicht die gleiche Farbe erhalten: {x, y} E : f(x) f(y). Die chromatische Zahl von G ist definiert als χ(g) := min{k N : G ist k-färbbar }. Satz 5.11 Jeder planare Graph ist 5-färbbar. 5.4 Exkurs: Diskrete Optimierung Definition 5.12 Ein gewichteter Graph G = (V, E, l) ist duch einen Graphen G und eine Gewichtsfunktion l : E R gegeben. Dadurch erhält jeder Subgraph H = (W, F ) G sein eigenes Gewicht l(h) := e F l(e). Beispiele für Optimierunsprobleme ˆ kürzeste Wege. Gegeben: G = (V, E, l) und s, t V. Gesucht: s, t W eg H als Subgraph von G, der l(h) mminimiert. ˆ Minimal aufspannende Bäume. Gegeben: G = (V, E, l). Gesucht: Baum H = (V, F ) als Subgraoh von G, der l(h) minimiert. ˆ Kürzeste Rundreisen. Gegeben: G = (V, E, l). Gesucht: Kreis H = (V, F ) als Subgraph von G, der l(h) minimiert und dabei alle Knoten enthält. ˆ Optimale Färbungen. Gegeben: G = (V, E). Gesucht: k-färbung von G, die k minimiert. 5.5 Euler-Touren und Hamilton-Kreise Definition 5.13 Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Kantenzug in G ist eine Folge (v 0,..., v k ) von Knoten v i V, so dass {v i 1, v i } E für alle i [k]; und man sagt, dass der Kantenzug die Kante {v i 1, v i } benutzt.(kann Knoten und Kanten mehrfach benutzen). Ein Kantenzug heißt geschlossen, wenn v 0 = v k ist. Eine Euler-Tour von G ist ein geschlossener Kantenzug in G, der jede Kante aus E genau einmal benutzt. Satz 5.14 Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. Dann sind äquivalent: a) Es gibt eine Euler-Tour von G. b) Alle Knoten von G haben geraden Grad. c) Es gibt eine Partition von E in kantendisjunkte Kreise. Definition 5.15 Sei G = (V, E) ein Graph mit V = n. Ein Kreis der Länge n in G heißt Hamilton Kreis.

Lemma 5.16 Seien v, w zwei Knoten in G = (V, E) mit deg(v) + deg(w) n und {v, w} / E. Dann gilt: G hat genau dann einen Hamilton Kreis, wenn G = (V, E {v, w}) einen Hamilton Kreis hat. Satz 5.17 Sei G = (V, E) ein Graph mit V 3. a) Wenn für alle Paare x, y mit {x, y} / E gilt, dass deg(x) + deg(y) V, dann hat G einen Hamilton Kreis. b) Wenn für jeden Knoten x gilt, dass deg(x) V /2, dann hat G einen Hamiltonkreis. Satz 5.18 Sei G = (V, E) ein Graph und V = [n] mit n 3. Wir bezeichnen mit d i der Grad von Knoten i für alle i [n] und mehmen an, dass d 1... d n. Dann gilt: Wenn für alle 1 i n/2 gilt, dass d i i + 1 oder d n i n i, dann hat G einen Hamilton-Kreis. 5.6 Matchings Definition 5.19 Sei G = (V, E) Graph. Eine Teilmenge M E heißt Matching von G, wenn gilt: e 1 e 2 = e 1 e 2 M. M maximales Matching, wenn M {e} kein Matching e E\M. M größtes Matching, wenn für alle Matchings M gilt: M M. M perfektes Matching, wenn M = V /2. Die Matchingzahl eines Graphen ist definiert als: ν(g) := max { M : M ist Matching in G}. Ein M-augmentierender Pfad ist ein Pfad in G, der abwechselnd Matching- und Nichtmatching- Kanten benützt und dessen Endknoten nicht von M überdeckt werden. Satz 5.20 Hall Sei G = (A B, E) ein bipartiter Graph. Dann besitzt G genau dann ein Matching das alle Knoten aus A überdeckt, wenn N(S) S S A. Folgerung. Sei G = (A B, E) bipartit. Dann gilt: G besitzt genau dann ein perfektes Matching, wenn A = B und für jede Menge S A gilt: N(S) S. Lemma 5.21 Sei M ein Matching in G = (V, E) und P = (W, F ) ein M-augmentierender Weg in G. Dann ist M := M F ein Matching in G mit M = M + 1. Satz 5.22 Sei G = (V, E) ein Graph mit einem Matching M. M ist genau dann ein größtes Matching in G, wenn es keinen M-augmentierenden Pfad in G gibt. Definition 5.23 Sei G = (V, E) Graph. Eine Teilmenge U V heißt Knotenüberdeckung, wenn gilt: e U e E. Die Knotenüberdeckungszahl ist definiert als: τ(g) = min{ U : U ist Knotenüberdeckung von G} Lemma 5.24 Für jeden Graphen G gilt: ν(g) τ(g) 2ν(G). Satz 5.25 Für jeden bipartiten Graphen G = (A B, E) gilt: ν(g) = τ(g).

6 Ramsey- und Codierungstheorie 6.1 Ramseytheorie endliches Schubfachprinzip: Sei N und M zwei endliche Mengen mit Kardinalität n = N und m = M, und sei f : N M eine beliebige Funktion. Dann existiert eine Menge S subsetn mit S n m und ein Element c0 M, so dass die Funktion f alle Elemente von S auf c 0 abbildet. Einfacher: Verteilt man n Elemente auf r Fächer, n > r, so existiert ein Fach, dass mindestens zwei Elemente enthält. unendliches Schubfachprinzip: Wenn die Elemente einer unendlichen Menge mit einer endlichen Anzahl von Farben gefärbt werden, dann existiert eine unendliche einfarbige Teilmenge - also eine Teilmenge, deren Elemente alle die gleiche Farbe enthalten. Definition 6.1 Die Ramseyzahl R(k) bezeichnet die kleinste natürliche Zahl n mit der Eigenschaft, dass jede Färbung der Kanten des vollständigen Graphen K n mit zwei Farben einen einfarbigen K k erzwingt. Satz 6.2 Für k N gilt: 2 k/2 R(k) 2 2k 2. Satz 6.3 Für beliebige natürliche Zahlen k, l und r existiert eine kleinste natürliche Zahl R(k, l, r), so dass für jede Menge N mit N geqr(k, l, r) und jede Färbung ( ) N f : [r] l eine Menge K ( ) N k und eine Farbe r0 [r], so dass ( ) K f(l) = r 0 L. l etwas anschaulicher: Jede Färbung der l-elementigen Teilmengen aus der Menge N erzwingt eine Menge K [n] der Größe k, deren l-mengen alle die gleiche Farbe haben. noch eine andere Version: In jeder Gruppe von ( ) s+t 2 s 1 Personen gibt es entweder s Personen, die sich alle gegenseitig kennen, oder t Personen, die sich nicht kennen. Satz 6.4 Für jede natürliche Zahl k existiert eine kleinste natürliche Zahl ES(k), so dass jede Menge auf mindestens ES(k) Punkten in allgemeiner Lage in der Ebene k Pukte enthält, die ein konvexes Polygon bilden.

6.2 Codierungstheorie Problemstellung: Nachricht (W) Codierung Decodierung Codewort (X) Übertragungsfehler Nachricht (W ) Ziel: Rekonstruktion von W, also W = W Wort (Y) Reperatur Codewort (X ) Definition 6.5 Sei A eine Menge der Kardinalität A = q 2 (das sogenannte Codierungsalphabet), und seien t, n N. Die Hammingdistanz zwischen a = (a 1,..., a n ) A n und b = (b 1,..., b n ) A n ist definiert durch (a, b) := {i [n] : a i b i }. Ein Code ist eine Menge C A n. C t-fehlerentdeckend: a b C : (a, b) t + 1. C t-fehlerkorrigierend, a b C : (a, b) 2t + 1. Die Distanz von C ist definiert durch d(c) := min{ (a, b) : a, b C}. Einen Code über dem Alphabet {0, 1} nennt man binär. Beispiel 6.6 Nehmen wir an, bei einem Code werden Buchstabengruppen der Länge 5 übermittelt und der Code besteht aus den Codewörtern STUHL, SCHAL und PFAHL. Damit ist der Hammingabstand zwischen zwei Wörtern (a, b) = 3 und der Code damit 1-fehlerkorrigierend und 2-fehlerentdeckend. Empfängt man zum Beispiel das Wort SCAHL, ist klar, dass zwei Zeichen falsch übertragen wurden, aber nicht, an welcher Stelle sie stehen. Weiß man hingegen, dass nur höchstens ein Zeichen fehlerhaft ist und empfängt das Wort STAHL, kann leicht das ursprüngliche (eindeutige) Codewort STUHL rekonstruiert werden. Angenommen, das Wort a C werde gesendet, das Wort b A n werde empfangen, und maximal t Zeichen sind unterwegs gestört worden, also (a, b) t. ˆ C t-fehelerentdeckend: entweder b = a, oder b / C. ˆ C t-fehlerkorrigierend: es gibt außer a kein Wort a C mit (b, a ) t. (Also ist a das einzige Wort in C mit Abstand höchstens t zu b. Bemerkung 6.7 Ziel: zu gegebenem Alphabet A und Wortlänge n suchen wir einen Code C A n mit möglichst großem d(c) und möglichst großem C. Definition 6.8 Seien n, d, q N. Wir setzen C(n, d, q) := {C {0,..., q 1} n : d(c) d} und M(n, d, q) := max{ C : C C(n, d, q).} Die Menge C(n, d, q) beschreibt also die Menge aller Codes mit Wörtern der Länge n über einem q-elementigen Alphabet, die paarweise Abstand mindestens d haben müssen, und M(n, d, q) ist die maximale Anzahl von Codewörtern in einem solchen Code. Satz 6.9 Hamming-Schranke Seien n, t, q N und d = 2t + 1. Dann gilt M(n, d, q) t i=0 q n ( n i) (q 1) i.